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專題14　直線的方程及兩直線的位置關系
1．直線的斜率公式
過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線l，若x1≠x2，則l的斜率k＝；若x1＝x2，則l的斜率不存在．
2．直線方程的概念
如果以一個方程的解為坐標的點都在某條直線上，且這條直線上的點的坐標都是這個方程的解，那么這個方程叫做這條直線的方程，這條直線叫做這個方程的直線．
3．直線方程的各種形式
(1)點斜式：y－y1＝k(x－x1) 特例：斜截式y＝kx＋b.
(2)兩點式：＝(x1≠x2且y1≠y2) ，特例：截距式＋＝1(ab≠0)．
(3)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同時為0)．
4．兩條直線的位置關系
對于直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，則
l1∥l2?k1＝k2且b1≠b2，
l1⊥l2?k1·k2＝－1.
5．兩條直線的交點
6．距離
(1)點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝.
(2)設l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，則l1與l2的距離d＝.
例1　已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)，
(1)求直線AB和AC的斜率；
(2)若點D在線段BC上(包括端點)移動時，求直線AD的斜率的變化范圍．
變式訓練1　已知A(1，－1)，B(－2，－7)，C(0，－3)三點，求直線AB，AC的斜率．
例2　已知兩條直線l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求滿足下列條件的a，b的值．
(1)l1⊥l2且l1過點(－3，－1)；
(2)l1∥l2且原點到這兩條直線的距離相等．
變式訓練2　已知兩條直線l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＋＝0.試確定m，n的值或取值范圍，使：
(1) l1⊥l2；
(2) l1∥l2.
例3　根據所給條件求直線的方程．
(1)直線過點(－4,0)，傾斜角的正弦值為；
(2)直線過點(－3,4)，且在兩坐標軸上的截距之和為12；
(3)直線過點(5,10)，且到原點的距離為5.
變式訓練3　已知直線l經過點P(－2,5)，且斜率為－，則直線l的方程為(　　)
A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0
C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0
A級
(第1題考查了兩條直線的位置關系與斜率，解決問題的方法是利用兩條直線平行的條件進行求解．)
1．若A(－1,2)，B(0，－1)，且直線AB∥l，則直線l的斜率是(　　)
A．3B．－3C.D．－
(第2題考查了傾斜角與斜率的關系，解決問題的關鍵是掌握傾斜角與斜率的概念．)
2．在下列四個命題中，正確的命題共有(　　)
①坐標平面內的任何一條直線均有傾斜角與斜率；
②直線的傾斜角的取值范圍為[0，π]；
③若一直線的斜率為tanα，則此直線的傾斜角為α；
④若一直線的傾斜角為α，則此直線的斜率為tanα.
A．0個B．1個C．2個D．3個
(第3題考查了點斜式方程，解決問題的方法是利用點斜式方程求解所需要的條件．)
3．在x軸上的截距為2且傾斜角為45°的直線方程為(　　)
A．y＝x＋2 B．y＝－x－2
C．y＝x－2 D．y＝x＋2
4．若直線l經過點(a－2，－1)和(－a－2,1)，且與斜率為－的直線垂直，則實數a的值為(　　)
A．－B．－C.D.
5．一直線傾斜角的正切值為，且過點P(1,2)，則直線方程為____________．
6．直線y＝kx＋3過直線2x－y＋1＝0與y＝x＋5的交點時，k的值是________．
7．若直線(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x軸上的截距為3，則實數a的值為________．
B級
(第8,9題考查的是兩條直線的位置關系，解決關鍵是掌握直線平行與垂直的條件．)
8．兩條直線3x＋2y＋n＝0與2x－3y＋1＝0的位置關系是(　　)
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．與n的值有關
9．已知A(0,8)，B(－4,0)，C(m，－4)三點共線，則實數m的值是(　　)
A．－6B．－2C．2D．6
10．直線3x－4y＋k＝0在兩坐標軸上截距之和為2，則實數k＝________.
11．已知直線y＝(3－2k)x－6不經過第一象限，則k的取值范圍為________．
12．平行四邊形ABCD中，已知三個頂點坐標為A(－3,1)、B(3,0)、C(－1,2)，則D點坐標為________．
(第13,14題主要考查的是求直線的方程，解決的基本方法是根據題意，選用適當的方程形式解決．)
13．已知直線l的斜率與直線3x－2y＝6的斜率相等，且直線l在x軸上的截距比在y軸上的截距大1，求直線l的方程．
14．已知直線l：y＝－2x＋6和點A(1，－1)，過點A作直線l1與直線l相交于B點，且|AB|＝5，求直線l1的方程．
詳解答案
典型例題
例1　解　(1)由斜率公式可得直線AB的斜率kAB＝＝，直線AC的斜率kAC＝＝，
∴直線AB的斜率為，AC的斜率為.
(2)如圖，當點D由B運動到C時，直線AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直線AD的斜率的變化范圍是[，]．
變式訓練1　解　∵A(1，－1)，B(－2，－7)，C(0，－3)，
∴kAB＝＝2，kAC＝＝2.
例2　解　(1)∵l1⊥l2，
∴a(a－1)＋(－b)×1＝0，①
又l1過點(－3，－1)，則－3a＋b＋4＝0，②
聯立①②可得，a＝2，b＝2.
(2)依題意有，＝≠，
且＝，
解得a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.
變式訓練2　解　(1)當m＝0時，直線l1：y＝－和l2：x＝，此時，l1⊥l2，
當m≠0時，此時兩直線的斜率之積等于，顯然l1與l2不垂直，
所以當m＝0，n∈R時直線l1和l2垂直．
(2)當m＝0時，顯然l1與l2不平行.
當m≠0時，＝≠，
解得m＝±4,4n－8－n·m≠0，解得：m＝4，n∈R，或m＝－4，n≠1時，l1∥l2.
例3　解　(1)由題設知，該直線的斜率存在，故可采用點斜式．設傾斜角為α，則sinα＝(0<α<π)，從而cosα＝±，
則k＝tanα＝±，故所求直線方程為
y＝±(x＋4)．
即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.
(2) 由題設知截距不為0，設直線方程為＋＝1，從而＋＝1，解得a＝－4或a＝9.故所求直線方程為4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.
(3)當斜率不存在時，所求直線方程為x－5＝0；當斜率存在時，設其為k，
則y－10＝k(x－5)，即kx－y＋(10－5k)＝0，由點線距離公式，得＝5，解得k＝.故所求直線方程為3x－4y＋25＝0.
綜上知，所求直線方程為x－5＝0或3x－4y＋25＝0.
變式訓練3　A　[由直線方程的點斜式得，y－5＝－(x＋2)，整理得3x＋4y－14＝0.]
強化提高
1．B　[∵AB∥l，
∴kl＝kAB＝＝－3.]
2．A　[當傾斜角α＝90°時，其斜率不存在，故否定①、④；傾斜角α的范圍為[0°，180°)，故②不正確；直線的斜率k＝tan 210°這是可以的，此時傾斜角α＝30°而不是210°，故③不正確．]
3．C　[由已知可知，直線過點(2,0)，斜率為tan45°＝1.
由點斜式得，y－0＝1×(x－2)，
即y＝x－2.]
4．A　[由題意得：×(－)＝－1，
解得a＝－.]
5．y－2＝(x－1)
6.
解析　由得交點是(4,9)，
把(4,9)代入y＝kx＋3得9＝4k＋3，
∴k＝.
7．－6
解析　把x＝3，y＝0代入方程(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0中得3(a＋2)－2a＝0，a＝－6.
8．B　[∵3×2＋2×(－3)＝0，
∴兩直線垂直．]
9．A　[kAB＝＝2，kBC＝
∵kAB＝kBC，∴m＝－6.故選A.]
10．－24
解析　方程變形為＋＝1，
因此－＋＝2，則k＝－24.
11．k≥
解析　由題意知，需滿足它在y軸上的截距不大于零，且斜率不大于零，則得k≥.
12．(－7,3)
解析　設D(x，y)，∵AB∥CD，
∴＝.
又∵AD∥BC，
∴＝，解得.
13．解　由題意知，直線l的斜率為，故設直線l的方程為y＝x＋b，l在x軸上的截距為－b，在y軸上的截距為b，所以－b－b＝1，b＝－，所以直線l的方程為y＝x－.
14．解　由于B在l上，可設B點坐標為(x0，－2x0＋6)．
由|AB|2＝(x0－1)2＋(－2x0＋7)2＝25，
化簡得x－6x0＋5＝0，解得x0＝1或5.
當x0＝1時，
AB方程為x＝1，
當x0＝5時，
AB方程為3x＋4y＋1＝0.
綜上，直線l1的方程為x＝1或3x＋4y＋1＝0.

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