資源簡介

綜合檢測
(時間：120分鐘，滿分：150分)
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)
1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合P＝{1,3,5}，Q＝{1,2,4}，則(?UP)∪Q等于(　　)
A．{1} B．{3,5}
C．{1,2,4,6} D．{1,2,3,4,5}
2．函數y＝f(x)(f(x)≠0)的圖象與x＝1的交點個數是(　　)
A．1B．2C．0或1D．1或2
3．函數f(x)＝lg的定義域為(　　)
A．(1,4) B．[1,4)
C．(－∞，1)∪(4，＋∞) D．(－∞，1]∪(4，＋∞)
4．圓錐的高擴大到原來的2倍，底面半徑縮短到原來的，則圓錐的體積(　　)
A．縮小到原來的一半 B．擴大到原來的2倍
C．不變 D．縮小到原來的
5．已知集合A＝{x|y＝lg(2x－x2)}，B＝{y|y＝2x，x＞0}，R是實數集，則(?RB)∩A等于(　　)
A．[0,1] B．(0,1]
C．(－∞，0] D．以上都不對
6.已知冪函數y＝xn中的n取值分別為3，，－1，則它們對應的圖象依次是(　　)
A．C2，C1，C3
B．C1，C3，C2
C．C3，C2，C1
D．C1，C2，C3
7．過點P(－，－1)的直線l與圓x2＋y2＝1有公共點，則直線l的傾斜角的取值范圍是(　　)
A.B.C.D.
8．函數y＝ln(3－x)的單調減區間為(　　)
A．(－∞，＋∞) B．(－∞，3)
C．(－3，＋∞) D．(－3,3)
9．已知m，n是兩條不同直線，α，β，γ是三個不同平面，下列命題中正確的是(　　)
A．若m∥α，n∥α，則m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β
C．若m∥α，m∥β，則α∥β D．若m⊥α，n⊥α，則m∥n
10．函數f(x)＝x2－2ax，x∈[1，＋∞)是增函數，則實數a的取值范圍是(　　)
A．R B．[1，＋∞)
C．(－∞，1] D．[2，＋∞)
11.如圖，ABCD－A1B1C1D1為正方體，下面結論錯誤的是(　　)
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
D．異面直線AD與CB1所成的角為60°
12．在平面直角坐標系xOy中，直線3x＋4y－5＝0與圓x2＋y2＝4相交于A、B兩點，則弦AB的長等于(　　)
A．3B．2C.D．1
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)
13．化簡式子－lg12的結果是________．
14．函數f(x)＝x2－2x＋b的零點均是正數，則實數b的取值范圍是________．
15．與直線2x＋3y＋5＝0平行，且在兩坐標軸上截距的和為6的直線方程是________．
16．一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為________．
三、解答題(本大題共6小題，共70分)
17．(10分)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，集合B＝{x|(x－m＋2)·(x－m－2)≤0}．
(1)若A∩B＝[0,3]，求實數m的值；
(2)若全集U＝R，A??UB，求實數m的取值范圍．
18．(12分)求滿足下列條件的直線方程：
(1)過點A(1，－4)，與直線2x＋3y＋5＝0平行；
(2)過點A(1，－4)，與直線2x－3y＋5＝0垂直．
19．(12分)已知二次函數f(x)＝ax2＋bx＋1為偶函數，且f(－1)＝－1.
(1)求函數f(x)的解析式；
(2)若函數g(x)＝f(x)＋(2－k)x在區間[－2,2]上單調遞減，求實數k的取值范圍．
20．(12分)某廠生產某種零件，每個零件的成本為40元，出廠單價定為60元．該廠為鼓勵銷售商訂購，決定當一次訂購量超過100個時，每多訂購一個，訂購的全部零件的出廠單價就降低0.02元，但實際出廠單價不能低于51元．
(1)當一次訂購量為多少個時，零件的實際出廠單價恰降為51元？
(2)設一次訂購量為x個，零件的實際出廠單價為P元，寫出函數的表達式；
(3)當銷售商一次訂購500個零件時，該廠獲得的利潤是多少元？如果訂購1000個，利潤又是多少元？(工廠售出一個零件的利潤＝實際出廠單價－成本)
21．(12分)已知點N(，0)，以N為圓心的圓與直線l1：y＝x和l2：y＝－x都相切．
(1)求圓N的方程；
(2)設l分別與直線l1和l2交于A、B兩點，且AB中點為E(4,1)，試判斷直線l與圓N的位置關系，并說明理由．
22．(12分)如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，側棱A1A⊥底面ABC，且各棱長均相等，D，E，F分別為棱AB，BC，A1C1的中點．
(1)證明：EF∥平面A1CD；
(2)證明：平面A1CD⊥平面A1ABB1；
(3)求直線BC與平面A1CD所成角的正弦值．
詳解答案
1．C　[∵?UP＝{2,4,6}，∴(?UP)∪Q＝{2,4,6}∪{1,2,4}＝{1,2,4,6}．]
2．C　[結合函數的定義可知，如果f：A→B成立，則任意x∈A，則有唯一確定的B與之對應，由于x＝1不一定是定義域中的數，故x＝1可能與函數y＝f(x)沒有交點，故函數f(x)的圖象與直線x＝1至多有一個交點．]
3．A　[∵為使函數f(x)有意義，應有>0，即<0?1∴函數f(x)的定義域是(1,4)．]
4．A　[V＝π2×2h＝πr2h，故選A.]
5．B　[由2x－x2＞0，得x(x－2)＜0?0＜x＜2，
故A＝{x|0＜x＜2}，由x＞0，得2x＞1，
故B＝{y|y＞1}，?RB＝{y|y≤1}，
則(?RB)∩A＝{x|0＜x≤1}．]
6．A　[由y＝x3，y＝x＝，y＝x－1＝的圖象可知應選A.]
7．D　[方法一　如圖，過點P作圓的切線PA，PB，切點為A，B.
由題意知|OP|＝2，|OA|＝1，
則sinα＝，
所以α＝30°，∠BPA＝60°.
故直線l的傾斜角的取值范圍是.選D.
方法二　設過點P的直線方程為y＝k(x＋)－1，則由直線和圓有公共點知≤1.
解得0≤k≤.故直線l的傾斜角的取值范圍是[0，]．]
8．B　[函數的定義域為(－∞，3)，
∵t＝3－x在(－∞，3)上單調遞減，
y＝lnt在定義域內為單調遞增函數，
∴函數y＝ln(3－x)的單調減區間為(－∞，3)，故選B.]
9．D　[A不正確．因為m，n平行于同一個平面，故m，n可能相交，可能平行，也可能是異面直線．
B不正確．因為α，β垂直于同一個平面γ，故α，β可能相交，可能平行．
C不正確．因為α，β平行與同一條直線m，故α，β可能相交，可能平行．
D正確．因為垂直于同一個平面的兩條直線平行．故選D.]
10．C　[f(x)＝x2－2ax的對稱軸是直線x＝a，則a≤1.]
11．D　[對A，∵BD∥B1D1，
∴BD∥面CB1D1，∴A正確．
對B，∵BD⊥AC且BD⊥CC1，
∴BD⊥面ACC1A1，∴BD⊥AC1，
∴B正確．
對C，∵AC1⊥B1D1，
又AC1⊥B1C，∴AC1⊥面CB1D1.
∴C正確；
對D，∵AD∥BC，
∴∠BCB1為異面直線AD與CB1所成的角，其大小為45°，∴D錯誤．]
12．B　[利用弦心距、半弦長、半徑長滿足勾股定理求解．
圓x2＋y2＝4的圓心為(0,0)，半徑為2，則圓心到直線3x＋4y－5＝0的距離為d＝＝1.
∴|AB|＝2＝2＝2.]
13．－1
解析　原式＝|1－lg12|－lg12
＝lg12－1－lg12＝－1.
14．(0,1]
解析　設x1，x2是函數f(x)的零點，則x1，x2為方程x2－2x＋b＝0的兩正根，
則有即
解得015．10x＋15y－36＝0
解析　設方程為2x＋3y＋m＝0
由已知得：－－＝6，∴m＝－，
方程為10x＋15y－36＝0.
16．36
解析　該幾何體是底面是直角梯形的直四棱柱，如圖所示，底面是梯形ABCD，高h＝60，
V＝Sh＝[(2＋4)×2]×6＝36.
17．解　(1)∵集合A＝{x|x2－2x－3≤0}＝[－1,3]，
集合B＝{x|(x－m＋2)(x－m－2)≤0}＝[－2＋m,2＋m]．
且A∩B＝[0,3]，∴，
∴m＝2.
(2)∵B＝{x|(x－m＋2)(x－m－2)≤0}＝[－2＋m,2＋m]，全集U＝R，
∴?UB＝(－∞，－2＋m)∪(2＋m，＋∞)，
∵A??UB，
∴3<－2＋m或2＋m<－1.
∴m＞5或m<－3.
故m的取值范圍是{m|m<－3或m＞5}．
18．解　(1)設所求直線方程為2x＋3y＋C1＝0，則由題意得2×1＋3×(－4)＋C1＝0，解得C1＝10，
所以所求直線方程為2x＋3y＋10＝0.
(2)設所求直線方程為3x＋2y＋C2＝0，則
由題意得3×1＋2×(－4)＋C2＝0，解得C2＝5，
所以所求直線方程為3x＋2y＋5＝0.
19．解　(1)∵二次函數f(x)＝ax2＋bx＋1為偶函數，故函數f(x)的圖象關于y軸對稱，即x＝－＝0，即b＝0，
又∵f(－1)＝a＋1＝－1，即a＝－2.
故f(x)＝－2x2＋1.
(2)由(1)得g(x)＝f(x)＋(2－k)x
＝－2x2＋(2－k)x＋1，
故函數g(x)的圖象是開口向下，且以x＝為對稱軸的拋物線，
故函數g(x)在[，＋∞)上單調遞減，
又∵函數g(x)在區間[－2,2]上單調遞減，
∴≤－2，解得k≥10.
故實數k的取值范圍為[10，＋∞)．
20．解　(1)設每個零件的實際出廠價恰好降為51元時，一次訂購量為x0個，則x0＝100＋＝550.
因此，當一次訂購量為550個時，每個零件的實際出廠價恰好降為51元．
(2)當0當100當x≥550時，P＝51.
所以P＝f(x)
＝(x∈N)．
(3)設銷售商的一次訂購量為x個時，工廠獲得的利潤為L元，
則L＝(P－40)x
＝(x∈N)．
當x＝500時，L＝6000；
當x＝1000時，L＝11000.
因此，當銷售商一次訂購500個零件時，
該廠獲得的利潤是6000元；
如果訂購1000個，利潤是11000元．
21．解　(1)由題意可得：點N(，0)為圓心，并且圓N與直線y＝x相切，
所以圓N的半徑為，所以圓N的方程(x－)2＋y2＝.
(2)由題意可設A點的坐標為(a，a)，
因為AB中點為E(4,1)，所以B點的坐標為(8－a,2－a)，
又因為點B在直線y＝－x上，
所以a＝5，所以A點的坐標為(5,5)，
又因為AB中點為E(4,1)，
所以直線l的斜率為4，
所以l的方程為4x－y－15＝0，
圓心N到直線l的距離<，
所以直線l與圓N相交．
22.(1)證明　如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC∥A1C1，且AC＝A1C1，連接ED，
在△ABC中，因為D，E分別為AB，BC的中點，
所以DE＝AC且DE∥AC，
又因為F為A1C1的中點，可得A1F＝DE，且A1F∥DE，
即四邊形A1DEF為平行四邊形，
所以EF∥DA1.
又EF?平面A1CD，DA1?平面A1CD，
所以，EF∥平面A1CD.
(2)證明　由于底面ABC是正三角形，D為AB的中點，
故CD⊥AB，
又由于側棱A1A⊥底面ABC，CD?平面ABC，
所以A1A⊥CD，
又A1A∩AB＝A，因此CD⊥平面A1ABB1，
而CD?平面A1CD，所以平面A1CD⊥平面A1ABB1.
(3)解　在平面A1ABB1內，過點B作BG⊥A1D交直線A1D于點G，連接CG.
由于平面A1CD⊥平面A1ABB1，
而直線A1D是平面A1CD與平面A1ABB1的交線，
故BG⊥平面A1CD.
由此得∠BCG為直線BC與平面A1CD所成的角．
設棱長為a，可得A1D＝，
由△A1AD∽△BGD，易得BG＝.
在Rt△BGC中，sin∠BCG＝＝.
所以直線BC與平面A1CD所成角的正弦值為.

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