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專題7　二次函數(shù)與冪函數(shù)
1．冪函數(shù)的概念
一般地，函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．
2．冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)
(1)冪函數(shù)的圖象(以y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x為例)．
(2)在y＝xα中，
①當冪指數(shù)α>0時，冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(0,0)和(1,1)，且在第一象限內(nèi)函數(shù)單調(diào)遞增；
②當冪指數(shù)α<0時，冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(1,1)，在第一象限內(nèi)函數(shù)單調(diào)遞減.
例1　已知函數(shù)f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，求m為何值時，f(x)：
(1)是正比例函數(shù)；(2)是反比例函數(shù)；
(3)是二次函數(shù)；(4)是冪函數(shù)．
變式訓練1　給出下列函數(shù)：①y＝；②y＝3x－2；③y＝x4＋x2；④y＝，其中是冪函數(shù)的有________個．
例2　比較下列各組值的大小：
(1)0.40.2,0.20.2,20.2,21.6；
(2)a－b，ab，aa，其中0變式訓練2　比較下列各組值的大小：
(1)和；
(2)－8－和－().
例3　點(，2)在冪函數(shù)f(x)的圖象上，點(－2，)在冪函數(shù)g(x)的圖象上．
(1)求f(x)，g(x)的解析式；
(2)問x取何值時：①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；
③f(x)變式訓練3　冪函數(shù)y＝f(x)的圖象經(jīng)過點(4，)，則f()的值為(　　)
A．1B．2C．3D．4
A級
(第1,2題都是先求出函數(shù)的解析式，再根據(jù)解析式求結果．)
1．冪函數(shù)y＝f(x)的圖象經(jīng)過點(27，)，則f()的值為(　　)
A．1B．2C．3D．4
2．若冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(3，)，則其定義域是(　　)
A．{x|x∈R，x>0} B．{x|x∈R，x<0}
C．{x|x∈R，x≠0} D．R
(第3題考查的是冪函數(shù)圖象，可以采取特殊值法求解．)
3．加工爆米花時，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”．在特定條件下，可食用率p與加工時間t(單位：分鐘)滿足函數(shù)關系p＝at2＋bt＋c(a、b、c是常數(shù))，如圖記錄了三次實驗的數(shù)據(jù)．根據(jù)上述函數(shù)模型和實驗數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時間為(　　)
A．3.50分鐘 B．3.75分鐘
C．4.00分鐘 D．4.25分鐘
(第4題根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小．)
4．若a>b>0,0A．logacC．a(chǎn)ccb
(第5,7題考查冪函數(shù)的概念和圖象特征．)
5．函數(shù)f(x)＝(m2－2m＋2)x2m＋1是冪函數(shù)，則m＝________.
6．當α∈{－1，，1,3}時，冪函數(shù)y＝xα的圖象不可能經(jīng)過第________象限．
7．當x∈(0，＋∞)時，冪函數(shù)y＝(m2－m－1)x－5m－3為增函數(shù)，則實數(shù)m的值為________．
B級
8．已知冪函數(shù)f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的圖象關于y軸對稱，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)，則n的值為(　　)
A．－3B．1C．2D．1或2
(第9,10,11,12考查了冪函數(shù)的單調(diào)性，掌握冪函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關鍵．)
9．下列函數(shù)在(－∞，0]上為減函數(shù)的是(　　)
A．y＝x B．y＝x2
C．y＝x3 D．y＝x－2
10．已知f(x)為R上的減函數(shù)，則滿足f()>f(1)的實數(shù)x的取值范圍是(　　)
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，0)∪(0,1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
11．函數(shù)y＝x－2在上的最大值是________．
12．若(a＋1)－<(10－2a)－，則a的取值范圍為________．
(第13題考查的是冪函數(shù)的概念，掌握冪函數(shù)的概念是解決本題的關鍵．)
13．已知f(x)＝(m2＋m)xm2－2m－1，當m取什么值時，
(1)f(x)是正比例函數(shù)；
(2)f(x)是反比例函數(shù)；
(3)在第一象限內(nèi)它的圖象是上升的曲線．
(第14題是求二次函數(shù)含參問題．)
14．函數(shù)f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在區(qū)間[0,1]上有最大值2，求實數(shù)a的值．
詳解答案
典型例題
例1　解　(1)若f(x)是正比例函數(shù)，
則－5m－3＝1，∴m＝－；
(2)若f(x)是反比例函數(shù)，
則－5m－3＝－1，∴m＝－；
(3)若f(x)是二次函數(shù)，則－5m－3＝2，
∴m＝－1；
以上經(jīng)驗證m2－m－1均不等于0.
(4)若f(x)是冪函數(shù)，則m2－m－1＝1，
∴m＝2或－1.
變式訓練1　2
解析　可以對照冪函數(shù)的定義進行判斷．在所給出的四個函數(shù)中，只有y＝＝x－3和y＝＝x符合冪函數(shù)的定義，是冪函數(shù)，其余兩個都不是冪函數(shù)．
例2　解　(1)由y＝x0.2在x>0時是增函數(shù)，
∴0.20.2<0.40.2<20.2，
又y＝2x是增函數(shù)，∴20.2<21.6.
∴0.20.2<0.40.2<20.2<21.6.
(2)∵0又－baa>ab.
變式訓練2　解　(1)因為y＝2x在x>0時是增函數(shù)，而<，
所以2<2，所以<.
(2)－()＝－9－，由于冪函數(shù)y＝x－在(0，＋∞)上是減函數(shù)，
所以8－>9－，
因此－8－<－9－，
即－8－<－().
例3　解　(1)設f(x)＝xa，因為點(，2)在冪函數(shù)f(x)的圖象上，將(，2)代入f(x)＝xa中，得2＝()a，解得a＝2，即f(x)＝x2，設g(x)＝xb，因為點(－2，)在冪函數(shù)g(x)的圖象上，將(－2，)代入g(x)＝xb中，得＝(－2)b，解得b＝－2，
即g(x)＝x－2.
(2)在同一坐標系下作出f(x)＝x2和g(x)＝x－2的圖象如圖所示，
由圖象可知：①當x>1或x<－1時，f(x)>g(x)；
②當x＝1或x＝－1時，f(x)＝g(x)；
③當－1變式訓練3　B　[設冪函數(shù)f(x)＝xα，
則f(4)＝4α＝，
解得α＝－，
所以冪函數(shù)f(x)＝x－，
所以f＝()－＝2，故選B.]
強化提高
1．B　[設f(x)＝xα，由條件知f(27)＝，∴27α＝，
∴α＝－，∴f(x)＝x－，
∴f()＝()－＝2.]
2．C　[設f(x)＝xα，它過點(3，)，
則＝3α，
所以α＝－2，故f(x)＝x－2，
其定義域為{x|x∈R，x≠0}，故選C.]
3．B　[根據(jù)圖表，把(t，p)的三組數(shù)據(jù)(3，0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分別代入函數(shù)關系式，聯(lián)立方程組得消去c化簡得
解得
所以p＝－0.2t2＋1.5t－2.0＝－(t2－t＋)＋－2＝－(t－)2＋，所以當t＝＝3.75時，p取得最大值，即最佳加工時間為3.75分鐘．]
4．B　[對A：logac＝，logbc＝，因為0b>0，所以lga>lgb，但不能確定lga、lgb的正負，所以它們的大小不能確定，所以A錯；對B：logca＝，logcb＝，而lga>lgb，兩邊同乘以一個負數(shù)改變不等號方向，所以選項B正確；對C：由y＝xc在第一象限內(nèi)是增函數(shù)，即可得到ac>bc，所以C錯；對D：由y＝cx在R上為減函數(shù)，得ca5．1
解析　根據(jù)題意可得，m2－2m＋2＝1，解得m＝1.
6．二、四
解析　冪函數(shù)y＝x－1，y＝x，y＝x3的圖象分布在第一、三象限，y＝x的圖象分布在第一象限．
所以冪函數(shù)y＝xα(α∈{－1，，1,3})的圖象不可能經(jīng)過第二、四象限．
7．－1
解析　依題意：?
，所以m＝－1.
8．B　[由于f(x)為冪函數(shù)，所以n2＋2n－2＝1，
解得n＝1或n＝－3，經(jīng)檢驗只有n＝1適合題意，故選B.]
9．B　[由冪函數(shù)的定義：y＝x2在(－∞，0]上y隨x的增大而減小，為減函數(shù)．]
10．D　[∵f(x)是R上的減函數(shù)，
∴<1，整理得x(1－x)<0，
∴x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．]
11．4
解析　∵函數(shù)y＝x－2在(0，＋∞)為減函數(shù)，
∴ymax＝()－2＝4.
12．3解析　∵函數(shù)y＝x－在(0，＋∞)為減函數(shù)，
∴，
解得313．解　(1)令m2－2m－1＝1，得：
m2－2m－2＝0，m＝1±，
此時m2＋m≠0.
(2)令m2－2m－1＝－1，得：
m2－2m＝0?m1＝0，m2＝2，
當m＝0時，此時m2＋m＝0，不符合題意．故m＝2.
(3)由題意得：?
∴m<－1或m>1＋.
14．解　∵f(x)＝－(x－a)2＋a2－a＋1，
∴x＝a是二次函數(shù)的對稱軸，
又∵f(x)在區(qū)間[0,1]上有最大值2，
∴當a≤0時，f(x)max＝f(0)＝1－a＝2，a＝－1；
當a≥1時，f(x)max＝f(1)＝－1＋2a＋1－a＝2，a＝2；
當0綜上，實數(shù)a的值為－1或2.

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