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專題10　空間圖形的基本關系
1．空間點與直線的位置關系：點在直線上，點在直線外．
2．空間點與平面的位置關系：點在平面內，點在平面外．
3．空間直線與直線的位置關系：平行，相交，異面．
4．空間直線與平面的位置關系：直線在平面內，直線在平面外．
5．空間平面與平面的位置關系：平行，相交．
例1　給出以下四個命題：
①不共面的四點中，其中任意三點不共線；
②若點A、B、C、D共面，點A、B、C、E共面，則點A、B、C、D、E共面；
③若直線a、b共面，直線a、c共面，則直線b、c共面；
④依次首尾相接的四條線段必共面．
正確命題的個數是(　　)
A．0B．1C．2D．3
變式訓練1　
如圖，空間四邊形ABCD中，E，F，G，H分別是AB，AD，BC，CD上的點，設EG與FH交于點P.求證：P、A、C三點共線．
例2如圖，在四面體ABCD中，截面PQMN是正方形，則在下列命題中，錯誤的為(　　)
A．AC⊥BD
B．AC∥截面PQMN
C．AC＝BD
D．異面直線PM與BD所成的角為45°
變式訓練2　設A，B，C，D是空間四個不同的點，在下列命題中，不正確的是(　　)
A．若AC與BD共面，則AD與BC共面
B．若AC與BD是異面直線，則AD與BC是異面直線
C．若AB＝AC，DB＝DC，則AD⊥BC
D．若AB＝AC，DB＝DC，則AD＝BC
例3　如果在兩個平面內分別有一條直線，這兩條直線互相平行，那么這兩個平面的位置關系是(　　)
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．以上都不對
變式訓練3　已知平面α∥平面β，直線a?α，則直線a與平面β的位置關系為________．
A級
(第1題考查的是平面與平面的位置關系，解決關鍵是掌握平面與平面的位置關系．)
1.空間三個平面如果每兩個面都相交，那么它們的交線的條數是(　　)
A．一條 B．兩條
C．三條 D．一條或三條
(第2題考查的是直線與直線的位置關系，解決關鍵是畫出圖形，進行判定．)
2．與同一個平面α都相交的兩條直線的位置關系是(　　)
A．平行 B．相交
C．異面 D．以上都有可能
(第3題考查的是異面直線所成角，解決關鍵是找到兩條異面直線所成角的等價角．)
3.正方體A1B1C1D1－ABCD中，BD與B1C所成的角是(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
4．空間中，可以確定一個平面的條件是(　　)
A．兩條直線 B．一點和一條直線
C．一個三角形 D．三個點
5．若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4，滿足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，則下列結論一定正確的是(　　)
A．l1⊥l4
B．l1∥l4
C．l1與l4既不垂直也不平行
D．l1與l4的位置關系不確定
6．在如圖正方體中，與平面AA1C1C平行的棱有________，與棱BB1平行的面有________．
7．已知α∩β＝m，a?α，b?β，a∩b＝A，則直線m與A的位置關系用集合符號表示為________．
B級
(第8題考查的是平面與平面的位置關系，解決關鍵是掌握平面與平面的位置關系．)
8.已知平面α內有無數條直線都與平面β平行，那么(　　)
A．α∥β B．α與β相交
C．α與β重合 D．α∥β或α與β相交
9．教室內有一根直尺，無論怎樣放置，在地面上總有這樣的直線與直尺所在的直線(　　)
A．異面 B．相交
C．平行 D．垂直
10．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別在棱AA1、CC1上，當E、F滿足什么條件時，點D1、E、F、B共面？________(填上一個條件即可)．
(第11小題主要考查直三棱柱ABC－A1B1C1的性質、異面直線所成的角、異面直線所成的角的求法．)
11．直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，則異面直線BA1與AC1所成角的大小為________．
(第12題考查線面、面面之間的位置關系．逐一分析各個選項，利用線面、面面之間的關系，應用有關定理推論，舉反例等手段，排除錯誤選項，得到真命題．)
12．設α、β、γ為彼此不重合的三個平面，l為直線，給出下列命題：
①若α∥β，α⊥γ，則β⊥γ；
②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，則l⊥γ；
③若直線l與平面α內的無數條直線垂直則直線l與平面α垂直；
④若α內存在不共線的三點到β的距離相等，則平面α平行于平面β.
其中真命題的序號為________．
(第13題考查棱柱的結構特征，考查作圖能力．解決關鍵是掌握點共面，點共線的方法．)
13.在正方體AC1中，E、F分別為D1C1、B1C1的中點，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，如右圖．
(1)求證：D、B、E、F四點共面．
(2)設直線AC1與平面BDEF的交點為M，證明：P、Q、M三點共線．
(第14題的實質就是證明直線a與平面α除點A以外不存在其他公共點，用反證法．)
14．如果一條直線經過平面內的一點，又經過平面外的一點，則此直線和平面相交．
詳解答案
典型例題
例1　B　[①假設其中有三點共線，則該直線和直線外的另一點確定一個平面．這與四點不共面矛盾，故其中任意三點不共線，所以①正確．②從條件看出兩平面有三個公共點A、B、C，但是若A、B、C共線，則結論不正確；③不正確；④不正確，因為此時所得的四邊形的四條邊可以不在一個平面上，如空間四邊形．]
變式訓練1　證明　∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG?平面ABC，
∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.
∴P為平面ABC與平面ADC的公共點．
又平面ABC∩平面ADC＝AC.
∴P∈AC.∴P、A、C三點共線．
例2　C　[因為四邊形PQMN為正方形，所以PQ∥MN，
又PQ?平面ADC，MN?平面ADC，
所以PQ∥平面ADC.
又PQ?平面ABC，平面BAC∩平面DAC＝AC，
所以PQ∥AC.
同理可證QM∥BD.由PQ∥AC，QM∥BD，PQ⊥QM可得AC⊥BD，故A正確；
由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正確；
異面直線PM與BD所成的角等于PM與PN所成的角，故D正確；綜上知C錯誤．]
變式訓練2　D　[對于A，易知點A，B，C，D共面，故AD與BC共面，所以A正確；對于B，假設AD與BC不異面，則可得AC與BD共面，與題意矛盾，故B正確；對于C，如圖，E為BC中點，易證得直線BC⊥平面ADE，從而AD⊥BC，故C正確；對于D，當四點構成空間四面體時，只能推出AD⊥BC，但二者不一定相等，故D錯誤．]
例3　C　[如下圖中的甲、乙分別為兩個平面平行、相交的情形．∴應選C.]
變式訓練3　a∥β
解析　∵α∥β，∴α與β無公共點，
∵a?α，∴a與β無公共點，∴a∥β.
強化提高
1．D
2．D
3．C　[∵A1D∥B1C，
∴A1D與BD所成的銳角(或直角)即為所求角，連接A1B.
∵△A1DB為正三角形，∴∠A1DB＝60°.]
4．C　[由公理2知：不共線的三點確定一個平面，而三角形的三個頂點一定不共線，故三角形可以確定一個平面．]
5．D　[在如圖所示的正六面體中，不妨設l2為直線AA1，l3為直線CC1，
則直線l1，l4可以是AB，BC；也可以是AB，CD；也可以是AB，B1C1；
這三組直線相交，平行，垂直，異面，故選D.]
6．BB1和DD1　面AD1和面DC1
7．A∈m
解析　因為A∈a?α，所以A∈α，同理A∈β，又α∩β＝m，故A在α與β的交線m上．
8．D　[如圖，設α∩β＝l，則在α內與l平行的直線可以有無數條a1，a2，…，an，…，它們是一組平行線．這時a1，a2，…，an，…與平面β都平行，但此時α∩β＝l.]
9．D　[若尺子與地面相交，則C不正確；若尺子平行于地面，則B不正確；若尺子放在地面上，則A不正確．所以選D.]
10．AE＝C1F　A1E＝CF
解析　當AE＝C1F時，四點D1、E、B、F共面，
在B1B上取點G，使B1G＝A1E，
∵正方體ABCD－A1B1C1D1中，A1E∥B1G，
∴四邊形A1B1GE為平行四邊形，
∴EG∥A1B1.
又∵A1B1∥C1D1，∴EG∥C1D1，
∴四邊形EGC1D1為平行四邊形，
∴D1E∥C1G，
又∵C1F∥BG，∴C1G∥BF，
∴D1E∥BF，
∴四邊形BFD1E為平行四邊形，
故D1、E、B、F四點共面．
11．60°
解析　延長CA到D，使得AD＝AC，則ADA1C1為平行四邊形，
∠DA1B就是異面直線BA1與AC1所成的角，
∵直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，
AB＝AC＝AA1，
∴三角形A1DB為等邊三角形，
∴∠DA1B＝60°
12．①②
解析　因為2個平行平面中有一個和第三個平面垂直，則另一個也和第三個平面垂直，故①正確．
若2個平面都和第三個平面垂直，則他們的交線也和第三個平面垂直，故②正確．
直線l與平面α內的無數條直線垂直，也不能保證直線l與平面α內的2條相交直線垂直，故③不正確．
α內存在不共線的三點到β的距離相等，這3個點可能在2個相交平面的交線的兩側，故④不正確．
綜上，正確答案為①②.
13．證明　(1)由于E、F為中點，
∴EF∥B1D1，又BD∥B1D1，∴EF∥BD，
∴E、F、B、D四點共面．
(2)在平面ACC1A1中，AC1與PQ必相交于一點R，
∵Q∈EF，P∈BD，∴P、Q∈平面BDEF，
∴PQ?平面BDEF，
∵R∈PQ，∴R∈平面BDEF，
故R就是直線AC1與平面BDEF的交點M，
∴P、Q、M三點共線．
14．證明　方法一　
如右圖，
假設直線a和平面α不相交，則a∥α或a?α.
若a∥α，∵A∈a，
∴A?α與A∈α矛盾．
若a?α，∵B∈a，∴B∈α與B?α矛盾．
∴假設不成立．∴直線a和平面α相交．
方法二　假設直線a與α還有一個公共點C，由公理1知a?α，
又B∈a，∴B∈α與B?α矛盾，
∴直線a與α有且僅有一個公共點，
∴直線a與α相交．

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