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專題13　幾何體的表面積和體積
1．表面積公式
2.體積公式
3.柱體，錐體，臺體之間的關系
V柱體＝Sh?V臺體＝h(S＋＋S′)?V錐體＝Sh.
例1　已知正四棱錐底面正方形的邊長為4cm，高與斜高夾角為30°，則斜高為________；側面積為________；全面積為________，體積為________．
變式訓練1　已知棱長為a，各面均為等邊三角形的四面體S－ABC，求它的表面積．
例2　在邊長為a的正方形ABCD中，剪下一個扇形和一個圓，如圖所示，分別作為圓錐的側面和底面，求所圍成的圓錐的體積.
變式訓練2　一個圓柱的側面積展開圖是一個正方形，這個圓柱的全面積與側面積的比是(　　)
A. B.
C. D.
例3　一個球內有相距9cm的兩個平行截面，且截面同在一側，它們的面積分別為49πcm2和400πcm2，求球的表面積和體積．
變式訓練3　(1)已知球的直徑為6cm，求它的表面積和體積．
(2)已知球的表面積為64π，求它的體積．
(3)已知球的體積為π，求它的表面積．
A級
(第1題考查圓柱的側面積的求法，解題時要認真審題，仔細解答．)
1．底面半徑為2，高為4的圓柱，它的側面積是(　　)
A．8πB．16πC．20πD．24π
(第2題考查正方體的外接球的性質和應用，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答．)
2．正方體的表面積為24，那么其外接球的體積是(　　)
A.πB.πC．4πD．32π
3．以邊長為1的正方形的一邊所在直線為旋轉軸，將該正方形旋轉一周所得圓柱的側面積等于(　　)
A．2πB．πC．2D．1
(第4題考查直線與平面所成的角，棱錐的體積，注意在底面積的計算時，要注意多思則少算．)
4．正四棱錐的側棱長為2，側棱與底面所成的角為60°，則該棱錐的體積為(　　)
A．3B．6C．9D．18
5．如果圓錐的側面展開圖是半圓，那么這個圓錐的頂角(圓錐軸截面中兩條母線的夾角)是________．
6．如果正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為a，那么四面體A1－ABD的體積是________．
7．某四棱柱的三視圖如圖所示，則該四棱柱的體積為________．
B級
(第8題給出兩個球的表面積之比，求它們的體積之比．著重考查了球的表面積公式和體積公式等知識．)
8．若兩個球的表面積之比為1∶4，則這兩個球的體積之比為(　　)
A．1∶2B．1∶4C．1∶8D．1∶16
9．將邊長為a的正方形ABCD沿對角線AC折起，使得BD＝a，則三棱錐D－ABC的體積為(　　)
A.B.C.D.
(第10題考查了棱柱和棱錐的體積公式，考查了相似多邊形的面積的比等于相似比的平方．)
10.如圖，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F分別是AB，AC，AA1的中點，設三棱錐F－ADE的體積為V1，三棱柱A1B1C1－ABC的體積為V2，則V1∶V2＝________.
11．將一鋼球放入底面半徑為3cm的圓柱形玻璃容器中，水面升高4cm，則鋼球的半徑是________cm.
(第12題考查不規則幾何體的體積求法，解題的關鍵是看出幾何體可以分成三部分，逐個求出三部分的體積，注意數字的運算不要出錯．)
12.如圖所示的幾何體中，底面ABCD是矩形，AB＝9，BC＝6，EF∥平面ABCD，EF＝3，△ADE和△BCF都是正三角形，求幾何體EFABCD的體積．
(第13題考查了棱臺的側面積，解題關鍵是掌握求側面積所需要的條件．)
13.如圖，一個棱錐S－BCD的側面積是Q，在高SO上取一點A，使SA＝SO，過點A作平行于底面的截面得一棱臺，求這個棱臺的側面積．
(第14題考查了棱錐的體積公式，解決關鍵是找到等量關系．)
14.如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，邊長AB＝a，且PD＝a，PA＝PC＝a，若在這個四棱錐內放一個球，求球的最大半徑.
詳解答案
典型例題
例1　4cm　32cm2　48cm2　cm3
解析　如圖，正四棱錐的高PO，斜高PE，底面邊心距OE組成直角△POE.
∵OE＝2cm，∠OPE＝35°，
∴斜高PE＝
＝＝4(cm)，
∴PO＝＝＝2.
∴S正棱錐側＝ch′＝×4×4×4
＝32(cm2)，
S正棱錐全＝42＋32＝48(cm2)．
V＝×42×2＝(cm3)．
變式訓練1　解　先求△SBC的面積，過點S作SD⊥BC，交BC于點D.
因為BC＝a，
SD＝＝＝a，
所以S△SBC＝BC·SD＝a×a
＝a2.
因此，四面體S－ABC的表面積S＝4×a2＝a2.
例2　解　設扇形半徑為x，圓半徑為r，則
×2πx＝2πr，∴x＝4r，
AC＝x＋r＋r＝(5＋)r.
又AC＝a，∴(5＋)r＝a，
解得r＝.
圓錐的高h＝＝r，
∴V＝πr2h＝.
變式訓練2　A　[設圓柱的底面半徑為r，高為h，則由題設知h＝2πr.
∴S全＝2πr2＋(2πr)2＝2πr2(1＋2π)．
S側＝h2＝4π2r2，
∴＝.]
例3　解　如圖所示為球的軸截面．由球的截面性質，知
AO1∥BO2，且O1、O2分別為兩截面圓的圓心，則OO1⊥AO1，OO2⊥BO2.
設球的半徑為R.
∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7.
同理，π·O1A2＝400π，∴O1A＝20.
設OO1＝x，則OO2＝x＋9.
在Rt△OO1A中，R2＝x2＋202，
在Rt△OO2B中，R2＝(x＋9)2＋72，
∴x2＋202＝72＋(x＋9)2.解得x＝15.
∴R2＝x2＋202＝252，∴R＝25.
∴S球＝4πR2＝2500π(cm2)，
V球＝πR3＝π(cm3)，
∴球的表面積為2500πcm2，
體積為πcm3.
變式訓練3　解　(1)∵直徑為6cm，
∴半徑R＝3cm，
∴表面積S球＝4πR2＝36π(cm2)，
體積V球＝πR3＝36π(cm3)．
(2)∵S球＝4πR2＝64π，
∴R2＝16，即R＝4，
∴V球＝πR3＝π×43＝π.
(3)∵V球＝πR3＝π，
∴R3＝125，R＝5，
∴S球＝4πR2＝100π.
強化提高
1．B　[∵圓柱底面半徑為2，高為4，
∴它的側面積S＝(2×2×π)×4＝16π.
故選B.]
2．C　[設正方體的棱長為a，
則6a2＝24，∴a＝2，
其外接球的直徑為2，半徑為，
∴其體積為π()3＝4π.]
3．A　[以正方形的一邊所在直線為軸旋轉得到的圓柱底面半徑r＝1，高h＝1，所以側面積S＝2πrh＝2π.]
4．B　[高h＝2sin60°＝3，又因底面正方形的對角線等于2，
∴底面積為S＝2××2×＝6，
∴體積V＝×6×3＝6，故選B.]
5．60°
解析　設母線為l，底面半徑為r，則πl＝2πr.
∴＝，∴母線與高的夾角為30°.
∴圓錐的頂角為60°.
6.a3
解析　如圖四面體A1－ABD的體積是V＝××a×a×a＝a3.
7.
解析　由三視圖知該四棱柱為直四棱柱，
底面積S＝＝，高h＝1，
所以四棱柱體積V＝S·h＝×1＝.
8．C　[設兩個球的半徑分別為r1、r2，根據球的表面積公式，
可得它們的表面積分別為S1＝4πr，S2＝4πr，
∵兩個球的表面積之比為1∶4，
∴＝＝，解之得，＝，
因此，這兩個球的體積之比為＝＝，即兩個球的體積之比為1∶8.]
9．D　[O是AC中點，連接DO，BO，△ADC，△ABC都是等腰直角三角形，DO＝BO＝＝a，BD＝a，△BDO也是等腰直角三角形，DO⊥AC，DO⊥BO，DO⊥平面ABC，DO就是三棱錐D－ABC的高，S△ABC＝a2，三棱錐D－ABC的體積：×a2×a＝，故選D.]
10．1∶24
解析　設三棱錐F－ADE的高為h，
A到DE的距離為h1，A到BC的距離為h2，
＝
＝＝.
11．3
解析　設球的半徑為r，則36π＝πr3，可得r＝3cm.
12．解　本題可以采用分割的方法，過F，E做一個與平面ABCD垂直的平面，這個平面把幾何體分割成三部分，
中間一部分得到一個側棱長是3的幾何體，且幾何體的底面是一個等腰三角形，底邊長是6，腰是＝3，
∴底面面積是×6×3＝9，
三棱柱的體積是3×9.
兩側截取兩個體積相等的四棱錐，
四棱錐的底面是邊長分別是3,6的矩形，高是3，
∴一個四棱錐的體積是×3×6×3＝18，
∴兩個四棱錐的體積是36，
∴幾何體的體積是27＋36＝63.
13．解　棱錐S－BCD的截面為B′C′D′，過S作SF⊥B′C′，垂足為F，延長SF交BC于點E，連接AF和OE，
∵平面BCD∥平面B′C′D′，平面B′C′D′∩平面SOE＝AF，平面BCD∩平面SOE＝OE，
∴AF∥OE，于是＝＝＝，
即SF＝SE，同理可得B′C′＝BC，
∴S△SB′C′＝S△SBC，S△SB′D′＝S△SBD，S△SC′D′＝S△SCD，
∴S棱錐S－B′C′D′＝Q，∴S棱臺側＝Q.
14．解　設放入的球的半徑為R，球心為S，當且僅當球與四棱錐的各個面都相切時，球的半徑最大，連接SA、SB、SC、SD、SP，則把此四棱錐分割成四個三棱錐和一個四棱錐，這些小棱錐的高均為R，底面為原四棱錐的側面或底面．由體積關系，得
VP－ABCD＝(S△PAB＋S△PBC＋S△PCD＋S△PAD＋S?ABCD)
＝＝(2＋)a2
又VP－ABCD＝S正方形ABCD·PD＝a3，
∴(2＋)a2＝a3，
解得R＝a，故所放入的球的最大半徑為a.

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