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專題16　直線與圓的位置關系
1．直線與圓的位置關系
相離、相切、相交．
2．直線l：Ax＋By＋C＝0與圓C的位置關系的判斷方法
(1)幾何法：求出圓的半徑r，圓心C到直線l的距離為d
d>r?直線l與圓C相離?直線l與圓C無交點
d＝r?直線l與圓C相切?直線l與圓C有一交點
d(2)代數法：將直線方程代入圓的方程消元變成一元二次方程，求出判別式Δ＝b2－4ac，
Δ<0?直線l與圓C相離?直線l與圓C無交點
Δ＝0?直線l與圓C相切?直線l與圓C有一交點
Δ>0?直線l與圓C相交?直線l與圓C有兩交點
3．直線l與圓交于A、B兩點，圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r，則弦長|AB|＝2.
例1　當k為何值時，直線l：y＝kx＋5與圓C：(x－1)2＋y2＝1：
(1)相交；(2)相切；(3)相離．
變式訓練1　若直線x＋y＋m＝0與圓x2＋y2＝m相切，則m的值為(　　)
A．0或2 B．0或4
C．2 D．4
例2　已知圓O：x2＋y2＝4，求過點P(2,4)與圓O相切的切線．
變式訓練2　求斜率為－1與圓x2＋y2＝4相切的直線方程．
例3　求直線l：x－y＋2＝0被圓C：x2＋y2－4x＋4y－17＝0截得的弦AB的長．
變式訓練3　求直線2x－y－1＝0被圓x2＋y2－2y－1＝0所截得的弦長．
A級
1．直線y＝x＋1與圓x2＋y2＝1的位置關系是(　　)
A．相切 B．相交但直線不過圓心
C．直線過圓心 D．相離
2．若直線x－y＋1＝0與圓(x－a)2＋y2＝2有公共點，則實數a的取值范圍是(　　)
A．[－3，－1] B．[－1,3]
C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
3．已知P＝{(x，y)|x＋y＝2}，Q＝{(x，y)|x2＋y2＝2}，那么P∩Q為(　　)
A．? B．(1,1)
C．{(1,1)} D．{(－1，－1)}
(第4題考查了直線與圓相交的性質，以及圓的標準方程，當直線與圓相交時，常常根據垂徑定理由垂直得中點，進而由弦長的一半，圓的半徑及弦心距構造直角三角形，利用勾股定理來解決問題．)
4．設A，B為直線y＝x與圓x2＋y2＝1的兩個交點，則|AB|等于(　　)
A．1B.C.D．2
(第5題主要考查直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式是解題關鍵．)
5．若直線y＝kx＋2與⊙O：x2＋y2＝1相切，則k＝________.
6．若直線y＝kx＋1與圓x2＋y2＝1相交于P，Q兩點，且∠POQ＝120°(其中O為坐標原點)，則k的值為________．
(第7題主要考查求一個點關于某直線的對稱點的坐標的方法，利用了垂直和中點在對稱軸上這兩個條件．)
7．圓C：x2＋y2－4x－2y＝0關于直線l：x＋y＋1＝0對稱的圓C′的方程為________．
B級
(第8題考查了直線與圓的位置關系，以及點與圓的位置關系，涉及的知識有圓的標準方程，點到直線的距離公式，以及兩點間的距離公式，熟練掌握公式是解本題的關鍵．)
8．已知點M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，則直線ax＋by＝1與圓O的位置關系是(　　)
A．相切B．相交C．相離D．不確定
(第9題考查直線與圓的位置關系，圓的切線方程求法，可以直接解答，本題的解答是間接法，值得同學們學習．)
9．過點(3,1)作圓(x－1)2＋y2＝1的兩條切線，切點分別為A，B，則直線AB的方程為(　　)
A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0
C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0
(第10題考查圓的標準方程的求法，列出方程組是解題的關鍵．)
10．若圓C經過坐標原點和點(4,0)，且與直線y＝1相切，則圓C的方程是________．
11．直線y＝kx＋3與圓(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于M，N兩點，|MN|≥2，則k的取值范圍是________．
(第12題考查直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式，弦長公式的應用．做法是由圓的方程可得圓心和半徑，由點到直線的距離公式，求出圓心到直線2x－y－1＝0的距離，再利用弦長公式求得弦長．)
12．直線x＋y－2＝0截圓x2＋y2＝4得的劣弧所對的圓心角為________．
(第13,14題考查圓的方程的求法，可采用待定系數法．)
13．求圓心在直線y＝－4x上，并且與直線l：x＋y－1＝0相切于點P(3，－2)的圓的方程．
14．已知圓C和y軸相切，圓心C在直線x－3y＝0上，且被直線y＝x截得的弦長為2，求圓C的方程．
詳解答案
典型例題
例1　解　方法一　由消去y得(x－1)2＋(kx＋5)2＝1，
即(k2＋1)x2＋(10k－2)x＋25＝0，
故Δ＝(10k－2)2－4×25(k2＋1)
＝－96－40k.
(1)當Δ＞0，即k<－時，直線與圓相交．
(2)當Δ＝0，即k＝－時，直線與圓相切．
(3)當Δ<0，即k＞－時，直線與圓相離．
方法二　圓心C的坐標為(1,0)，
半徑r＝1，
圓心C到直線l的距離d＝.
(1)當d(2)當d＝r，即＝1?k＝－時，直線與圓相切．
(3)當d＞r，即＞1?k＞－時，直線與圓相離．
變式訓練1　C　[方法一　圓x2＋y2＝m的圓心坐標為(0,0)，半徑長r＝(m＞0)，由題意得＝，即m2＝2m，又m＞0，所以m＝2.
方法二　由消去y并整理，
得2x2＋2mx＋m2－m＝0.
因為直線與圓相切，所以上述方程有唯一實數解，
因此Δ＝(2m)2－8(m2－m)＝0，
即m2－2m＝0，
又m＞0，所以m＝2.]
例2　解　∵點P(2,4)不在圓O上，當切線斜率不存在時x＝2與圓相切；當切線斜率存在時，設切線PT的直線方程為y＝k(x－2)＋4，根據d＝r，∴＝2，解得k＝，
所以y＝(x－2)＋4，即3x－4y＋10＝0.
所以過點P(2,4)與圓O相切的切線方程為3x－4y＋10＝0和x＝2.
變式訓練2　解　設圓的切線方程為y＝－x＋b，代入圓的方程，整理得2x2－2bx＋b2－4＝0，
∵直線與圓相切，
∴Δ＝(－2b)2－4×2(b2－4)＝0.
解得b＝±2.∴所求切線方程為x＋y±2＝0.
例3　解　x2＋y2－4x＋4y－17＝0化為標準方程為：(x－2)2＋(y＋2)2＝25，則圓心坐標為(2，－2)，半徑r＝5，d＝＝3，l2＝r2－d2＝25－18＝7則l＝，所以所求弦長為2.
變式訓練3　解　由圓的方程可得圓心為(0,1)，半徑為，
則圓心到直線2x－y－1＝0的距離為，
則所求弦長為：2＝.
強化提高
1．B　[圓心到直線的距離d＝＝<1，
又∵直線y＝x＋1不過圓心(0,0)，∴選B.]
2．C　[圓(x－a)2＋y2＝2的圓心C(a,0)到直線x－y＋1＝0的距離為d，則d≤r＝?≤?|a＋1|≤2?－3≤a≤1.]
3．C　[解方程組，得.]
4．D　[由圓x2＋y2＝1，得到圓心坐標為(0,0)，半徑r＝1，
∵圓心(0,0)在直線y＝x上，
∴弦AB為圓O的直徑，則|AB|＝2r＝2.]
5．±
解析　若直線y＝kx＋2與⊙O：x2＋y2＝1相切，則圓心(0,0)到直線kx－y＋2＝0的距離等于半徑，即＝1，解得k＝±.
6．±
解析　由已知可得，圓心到直線的距離d＝1×cos60°＝，即＝，解得k＝±.
7．(x＋2)2＋(y＋3)2＝5
解析　圓C：x2＋y2－4x－2y＝0即(x－2)2＋(y－1)2＝5，表示以C(2,1)為圓心，以為半徑的圓．
設C(2,1)關于直線l：x＋y＋1＝0對稱的C′的坐標為(a，b)，
則有×(－1)＝－1，
且＋＋1＝0.
解得a＝－2，b＝－3，即C′的坐標為(－2，－3)，故圓C′的方程為(x＋2)2＋(y＋3)2＝5.
8．B　[由點M(a，b)在圓x2＋y2＝1外，則a2＋b2>1，圓心O到直線ax＋by＝1的距離d＝<1，故直線與圓O相交．]
9．A
　[如圖所示：由題意知：AB⊥PC，kPC＝，
∴kAB＝－2，∴直線AB的方程為：y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0.]
10．(x－2)2＋2＝
解析　設圓心坐標為(2，y0)，則
，解得y0＝－，r＝，
∴圓C的方程為(x－2)2＋2
＝.
11．(－∞，0]
解析　因為|MN|≥2，所以圓心(1,2)到直線y＝kx＋3的距離不大于＝1，即≤1，
解得k≤0.
12.
解析　依題意得，弦心距d＝，故弦長|AB|＝2＝2，從而△OAB是等邊三角形，故截得的劣弧所對的圓心角為∠AOB＝.
13．解　設所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
則依題意有，
解方程組得a＝1，b＝－4，r＝2，
∴所求圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
14．解　設圓心坐標為(3m，m)，∵圓C和y軸相切，得圓的半徑為3|m|，
∵圓心到直線y＝x的距離為
＝|m|.
由半徑、弦心距的關系得9m2＝7＋2m2，
∴m＝±1.∴所求圓C的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.

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