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專題6　對數函數
1．對數的概念
式子b＝logaN(a>0，且a≠1；N>0)叫做以a為底N的對數．
(1)常用對數：lgN；
(2)自然對數：lnN.
2．對數公式
(1)對數恒等式：alogaN＝N(a>0，且a≠1；N>0)；
(2)對數換底公式：logbN＝.
3．對數的性質
(1)負數和零沒有對數；
(2)1的對數是零；
(3)底的對數等于1.
4．對數的運算法則：
如果a>0，a≠1，M>0，N>0，那么
(1)logaMN＝logaM＋logaN；
(2)loga＝logaM－logaN；
(3)logaMa＝alogaM.
5．對數函數的圖象與性質
例1　對下列式子化簡求值：
(1)lg5(lg8＋lg1000)＋(lg2)2＋lg＋lg0.06；
(2)log3·log5.
變式訓練1　對下列的式子化簡求值：
(1)(log32＋log92)·(log43＋log83)；
(2)(lg32＋log416＋6lg)＋lg.
例2　比較下列各組數的大小．
(1)log3與log5；
(2)log1.10.7與log1.20.7.
變式訓練2　設a＝log3π，b＝log2，c＝log3，則(　　)
A．a>b>cB．a>c>b
C．b>a>cD．b>c>a
例3　函數y＝lg(x＋1)的圖象大致是(　　)
變式訓練3　已知a>0且a≠1，函數y＝ax與y＝loga(－x)的圖象只能是(　　)
A級
1．方程2log3x＝的解是(　　)
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝9
2．已知0A．0C．03．在N＝log(5－b)(b－2)中，實數b的取值范圍是(　　)
A．b<2或b>5 B．2C．44．函數y＝log2(x＋4)(x>0)的反函數是(　　)
A．y＝2x＋4(x>2) B．y＝2x＋4(x>0)
C．y＝2x－4(x>2) D．y＝2x－4(x>0)
5．已知4a＝2，lgx＝a，則x＝________.
6．已知logx＝3，則x＝________.
7．函數f(x)＝1－loga(2－x)的圖象恒過定點________．
B級
8．函數y＝log2|x|的圖象大致為(　　)
9．若loga<1(a>0且a≠1)，則實數a的取值范圍是(　　)
A．(0，) B．(0，)∪(1，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0,1)
10．已知函數f(x)＝，則f(2＋log32)的值為(　　)
A．－B.C.D．－54
11．函數f(x)＝的定義域為________．
12．函數y＝log2(x2－4x)的單調遞增區間為________．
13．計算：
(1)(log33)2＋log0.25＋9log5－log1；
(2).
14．已知函數f(x)＝lg(x－1)．
(1)求函數f(x)的定義域和值域；
(2)證明f(x)在定義域上是增函數．
詳解答案
典型例題
例1　解　(1)原式＝lg5(3lg2＋3)＋3lg22－lg6＋lg6－2
＝3lg2lg5＋3lg5＋3lg22－2
＝3lg2(lg5＋lg2)＋3lg5－2
＝3lg2＋3lg5－2＝3－2＝1；
(2)原式＝log33－×log5(10－3－2)
＝－.
變式訓練1　解　(1)(log32＋log92)·(log43＋log83)
＝log32·log23
＝(log32·log23)＝.
(2)原式＝lg25＋·log22－lg2－lg5
＝lg2＋－lg2－lg5
＝－lg2＋(2－lg5)
＝－lg2＋lg
＝－lg2＋lg20＝.
例2　解　(1)∵log3而log5>log51＝0，∴log3(2)方法一　∵0<0.7<1,1.1<1.2，
∴0>log0.71.1>log0.71.2.
∴<，
由換底公式可得log1.10.7方法二　作出y＝log1.1x與y＝log1.2x的圖象，
如圖所示，兩圖象與x＝0.7相交可知log1.10.7變式訓練2　A　[a＝log3π>log33＝1，
b＝log2c＝log3又＝＝＝2>1，
∴b>c，∴a>b>c.故選A.]
例3　C　[函數y＝lg(x＋1)底數為10>1，所以函數為遞增函數，排除A，B；
當x＝0時，y＝0，即函數y＝lg(x＋1)的圖象過點(0,0)，
所以排除D，故選C.]
變式訓練3　B　[可從圖象位置及單調性來判斷，或利用函數的性質識別，注意底數a對圖象的影響．y＝loga(－x)只可能在左半平面，故排除A、C，再看單調性，y＝ax與y＝loga(－x)的增減性正好相反，又排除D，故選B.]
強化提高
1．A　[∵2log3x＝2－2，∴log3x＝－2，
∴x＝3－2＝.]
2．C　[由，解得03．D　[∵∴24．C　[∵x>0，∴x＋4>4.∴y>2.
∵y＝log2(x＋4)，∴2y＝x＋4.
∴反函數為y＝2x－4(x>2)．]
5.
解析　4a＝2，a＝，lgx＝a，x＝10a＝.
6.
解析　∵logx＝3，∴x＝3，
∴x＝＝.
7．(1,1)
解析　當x＝1時，不管a為何值，
f(1)＝1是定值，∴f(x)過定點(1,1)．
8．C　[由|x|＝1時，y＝0排除A、B；
由x>0時，y＝log2x為增函數，排除D，選C.]
9．B　[當a>1時，loga<0<1，成立．
當0由loga<1＝logaa，得0綜上所述，01.]
10．B　[∵0∴f(2＋log32)＝f(3＋log32)＝f(log354)
＝()log354＝.]
11．(0，]
解析　要使函數f(x)＝有意義，則
解得012．(4，＋∞)
解析　先求定義域：由x2－4x>0得x(x－4)>0，
∴x<0或x>4，
又函數y＝log2t是增函數，
故所求單調遞增區間為t＝x2－4x在定義域內的單調遞增區間．
∵t＝x2－4x的對稱軸為x＝2，
∴所求單調遞增區間為(4，＋∞)．
13．解　(1)(log33)2＋log0.25＋9log5－log1
＝2＋1＋9×－0
＝＋1＋＝.
(2)
＝
＝
＝
＝＝
＝＝1.
14．(1)解　要使函數有意義，x的取值需滿足x－1>0，則有x>1，即函數f(x)的定義域是(1，＋∞)．
由于函數f(x)的定義域是(1，＋∞)，則有u＝x－1的值域是(0，＋∞)，那么函數f(x)的值域是R.
(2)證明　設1f(x1)－f(x2)＝lg(x1－1)－lg(x2－1)
＝lg.
∵1∴0<<1.
又∵當0∴lg<0.∴f(x1)∴f(x)在定義域上是增函數．

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