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專題9　空間幾何體的結構與三視圖
1．簡單空間幾何體分類
柱體
錐體
臺體
球
2．特殊的四棱柱
棱柱平行六面體直平行六面體長方體正四棱柱
正方體
3．三視圖：正視圖，俯視圖和側視圖
例1　下列命題中正確的是(　　)
A．四棱柱是平行六面體
B．直平行六面體是長方體
C．六個面都是矩形的六面體是長方體
D．底面是矩形的四棱柱是長方體
變式訓練1　下列說法中正確的是(　　)
A．棱柱的面中，至少有兩個面互相平行
B．棱柱中兩個互相平行的平面一定是棱柱的底面
C．棱柱中一條側棱就是棱柱的高
D．棱柱的側面一定是平行四邊形，但它的底面一定不是平行四邊形
例2　
如圖所示，在棱長為1的正方體內有兩個球相外切且又分別與正方體內切，求兩球半徑之和．
變式訓練2　用一個平面截半徑為5cm的球，球心到截面距離為4cm，求截面圓的面積．
例3　(1)畫出下列幾何體的三視圖．
(2)某物體的三視圖如下，試判斷該幾何體的形狀．
變式訓練3　根據下列圖中所給的三視圖，試畫出該物體的形狀．
A級
(第1,2,3題都是考查簡單幾何體的概念，解題關鍵是理解幾何體相關概念．)
1．一個圓柱的三視圖中，一定沒有的圖形是(　　)
A．正方形B．長方形C．三角形D．圓
2．下列命題正確的是(　　)
A．棱柱的底面一定是平行四邊形
B．棱錐的底面一定是三角形
C．棱錐被平面分成的兩部分不可能都是棱錐
D．棱柱被平面分成的兩部分可以都是棱柱
3．下列圖形中，不是三棱柱的展開圖的是(　　)
(第4,5題考查的是三視圖，考查了學生的空間想象能力，掌握三視圖的畫法是解題的關鍵．)
4.如圖，網格紙的各小格都是正方形，粗實線畫出的是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體是(　　)
A．三棱錐 B．三棱柱
C．四棱錐 D．四棱柱
5．在如圖所示的空間直角坐標系O－xyz中，一個四面體的頂點坐標分別是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)，給出編號為①、②、③、④的四個圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為(　　)
A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②
6．一個棱柱有10個頂點，所有的側棱長的和為60cm，則每條側棱長為________cm.
(第7題考查了球的計算問題，考查了學生空間想象能力和數形結合思想，結合圖形解決問題是解決的關鍵．)
7．已知球的大圓的內接直角三角形的兩直角邊長分別為3和4，則球的半徑為________．
B級
8．下面幾何體的截面一定是圓面的是(　　)
A．圓臺B．球C．圓柱D．棱柱
(第9題考查了簡單空間幾何體的三視圖，解答的關鍵是明確三種視圖都是圖形在與目光視線垂直面上的投影．)21世紀教育網版權所有
9．一個長方體去掉一個小長方體，所得幾何體的正視圖與側視圖分別如圖所示，則該幾何體的俯視圖為(　　)21·cn·jy·com
(第10題考查棱柱的結構特征、球的性質，考查學生空間想象能力，解答的關鍵是構造球的大圓溝通條件之間的聯系．)www.21-cn-jy.com
10．高為5，底面邊長為4的正三棱柱形容器(下有底)內，可放置最大球的半徑是(　　)
A.B．2C.D.
(第11題考查圓錐的結構特征，旋轉體的側面展開圖，考查計算能力，空間想象能力．)
11．如果圓錐的側面展開圖是半圓，那么這個圓錐的頂角(圓錐軸截面中兩條母線的夾角)是________．2·1·c·n·j·y
12．下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個視圖相同的是________．
(第13題考查了棱柱的概念，解題關鍵是理解和掌握棱柱的概念．)
13.如圖所示為長方體ABCD－A′B′C′D′，當用平面BCFE把這個長方體分成兩部分后，各部分形成的多面體還是棱柱嗎？如果不是，請說明理由；如果是，指出底面及側棱．
(第14題考查的是三視圖，解題關鍵是掌握三視圖的畫法．)
14.畫出下面空間幾何體的三視圖．
詳解答案
典型例題
例1　C　[四個側面都是矩形的棱柱是直平行六面體，兩個底面是矩形的直平行六面體是長方體．]
變式訓練1　A　[棱柱的定義是，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，相鄰的公共邊互相平行，由這些面圍成的幾何體是棱柱；可以判斷A正確；B不正確，例如正六棱柱的相對側面；C不正確，只有直棱柱滿足C的條件；D不正確，例如長方體．]
例2　解　
作出截面圖，如圖所示．
球心O1和O2在AC上，過O1、O2分別作AD、BC的垂線交于E、F兩點．
則由AB＝1，AC＝，得AO1＝r，CO2＝R.
∴r＋R＋(r＋R)＝.
∴R＋r＝＝.
變式訓練2　解　
如圖，設AK為截面圓的半徑，則OK⊥AK.
在Rt△OAK中，OA＝5，OK＝4.
∴AK＝＝＝3(cm)．
∴截面圓的面積為π×32＝9π(cm2)．
例3　解　(1)這兩個幾何體的三視圖分別如下：
(2)該幾何體為一個正四棱錐．
變式訓練3　解　根據三視圖的畫法規則，可知他們所對應的幾何體形狀如下圖：
強化提高
1．C　[根據圓柱體特征，三視圖中可能存在的圖形是正方形，長方形，圓等．]
2．D　[由三棱柱和四棱柱可以排除A，B；過棱錐的頂點的平面可以把棱錐分成兩個棱錐，排除C；平行于棱柱底面的平面可以把棱柱分成兩個棱柱，故選D.]21教育網
3．C
4．B　[如圖，幾何體為三棱柱．]
5．D　[由三視圖可知，該幾何體的正視圖是一個直角三角形(三個頂點的坐標分別是(0,0,2)，(0,2,0)，(0,2,2))且內有一虛線(一頂點與另一直角邊中點的連線)，故正視圖是④；俯視圖即在底面的射影是一個斜三角形，三個頂點的坐標分別是(0,0,0)，(2,2,0)，(1,2,0)，故俯視圖是②.]
6．12
解析　因棱柱有10個頂點，所以棱柱為五棱柱，共有五條側棱，所以側棱長為＝12 (cm)．
7.
解析　球的大圓的直徑就是其內接直角三角形的斜邊，而斜邊長為5，得球的大圓半徑為，即球的半徑．
8．B　[截面可以從各個不同的部位截取，截得的截面都是圓面的幾何體只有球．]
9．C　[由三視圖中的正視圖、側視圖得到幾何體如圖所示，所以該幾何體的俯視圖為C.]
10．B　[由題意知，正三棱柱形容器內有一個球，其最大半徑為r，
r即為底面正三角形的內切圓半徑，
∵底面邊長為4得r＝2，故選B.]
11.
解析　設圓錐的母線長為R，則圓錐的底面周長為πR，則圓錐的底面直徑為R，所以圓錐的頂角為.
12．②④
解析　正方體的三視圖都是相同的正方體；
圓錐的三視圖中正視圖、側視圖相同是三角形，俯視圖是圓；
三棱臺的三視圖都不相同，正視圖是兩個梯形，側視圖是一個梯形，俯視圖是外部三角形、內部三角形對應頂點連線的圖形；21cnjy.com
四棱錐的正視圖與側視圖相同，是三角形，俯視圖是有對角線的正方形．
故有且僅有兩個視圖相同的是②和④.
13．解　截面BCFE右側部分是棱柱，因為它滿足棱柱的定義．
它是三棱柱BEB′－CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面．EF，B′C′，BC是側棱，
截面BCFE左側部分也是棱柱．
它是四棱柱ABEA′－DCFD′.
其中四邊形ABEA′和四邊形DCFD′是底面．
A′D′，EF，BC，AD為側棱．
14．解　空間幾何體的三視圖如圖．

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