資源簡介

專題12　空間中的垂直關系
1．直線與平面垂直
(1)定義：如果直線l與平面α的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α垂直．
(2)判定定理：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直.
(3)性質定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行．
2．平面與平面垂直
(1)定義：一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．
(2)判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．
(3)性質定理：兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直．
3．(1)二面角：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形．
(2)二面角的平面角：在二面角α－l－β的棱l上任取一點O，以點O為垂足，在半平面α和β內分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構成的∠AOB叫做二面角的平面角．21cnjy.com
例1　在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分別為棱BC，CC1，C1D1，AA1的中點，O為AC與BD的交點．21·cn·jy·com
求證：(1)A1O⊥平面BDF；(2)平面BDF⊥平面AA1C.
變式訓練1　如圖所示，ABCD是正方形，P是平面ABCD外一點，且平面PCD⊥平面ABCD，又△PCD是正三角形，E是PC中點．2·1·c·n·j·y
求證：平面EDB⊥平面PBC.
例2　已知Rt△ABC，斜邊BC?α，點A?α，AO⊥α，O為垂足，∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，求二面角A－BC－O的大?。緛碓矗?1·世紀·教育·網】
變式訓練2　三棱錐A－BCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝a，對角線AC＝a，BD＝a，求二面角A－BD－C的大?。畐ww-2-1-cnjy-com
例3　如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F.2-1-c-n-j-y
(1)證明：PA∥平面EDB；
(2)證明：PB⊥平面EFD.
變式訓練3　如圖，△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中點．求證：平面BDM⊥平面ECA.21*cnjy*com
A級
(第1題考查的是線面位置關系，解題方法是利用線面位置關系的性質定理可判定．)
1．若已知直線a∥直線b，直線a⊥平面α，則(　　)
A．b⊥α
B．b∥α
C．b與α相交但不垂直
D．b與α的位置關系無法確定
(第2題考查的是線線的位置關系，解題方法是利用線面位置關系的性質定理和勾股定理．)
2.如圖，PA⊥平面ABC，△ABC中，BC⊥AC，則圖中直角三角形的個數是(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
(第3題考查的是二面角的求法，解題方法是先找到二面角的平面角，然后放在三角形中求解．)
3．正方體A1B1C1D1－ABCD中，截面A1BD與底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值等于(　　)【來源：21cnj*y.co*m】
A.B.C.D.
4．已知直線a∥b，平面α∥β，a⊥α，則b與β的位置關系是(　　)
A．b⊥β B．b∥β
C．b?β D．b?β或b∥β
5．下列命題中正確的是(　　)
A．平面α和β分別過兩條互相垂直的直線，則α⊥β
B．若平面α內的一條直線垂直于平面β內的兩條平行直線，則α⊥β
C．若平面α內的一條直線垂直于平面β內的兩條相交直線，則α⊥β
D．若平面α內的一條直線垂直于平面β內的無數條直線，則α⊥β
6．過正方形ABCD的頂點A作線段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，則平面ABP與平面CDP所成的二面角的度數是________．【出處：21教育名師】
7．?ABCD的對角線交點為O，點P在?ABCD所在平面外，且PA＝PC，PD＝PB，則PO與平面ABCD的位置關系是________．【版權所有：21教育】
B級
(第8題考查了線線，面面位置關系，解題關鍵是掌握相關的判定定理．)
8．已知直線l、m，平面α、β，且l⊥α，m?β，給出下列三個命題：①若α∥β，則l⊥m；②若l⊥m，則α∥β；③若l∥m，則α⊥β.其中正確命題的個數有(　　)
A．1個B．2個C．3個D．0個
9．三棱錐P－ABC的兩個側面△PAB與△PBC都是邊長為a的正三角形且AC＝a，則平面ABC與平面PAC的位置關系是________．www.21-cn-jy.com
10．空間四邊形ABCD中，四條邊均相等，則對角線AC、BD的位置關系是________．
(第11題考查面面垂直的性質，考查線面、線線垂直，考查學生的計算能力．)
11．四面體P－ABC中，PA＝PB＝13cm，平面PAB⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，則PC＝________.21教育名師原創作品
(第12題考查面面垂直的性質，考查線面、線線垂直，考查學生的計算能力，屬于基礎題．)
12.如圖，兩個正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，設M、N分別是BD和AE的中點，那么①AD⊥MN；②MN∥面CDE；③MN∥CE；④MN、CE異面．其中正確結論的序號是________．
(第13題主要考查空間中直線與直線之間的位置關系，空間中直線與平面之間的位置關系，平面與平面之間的位置關系，考查空間想象能力和思維能力．)21*cnjy*com
13.如圖，已知PA⊥平面ABC，二面角A－PB－C是直二面角．求證：AB⊥BC.
14.如圖，在四棱錐PABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD.
(1)在平面PAD內找一點M，使得直線CM∥平面PAB，并說明理由．
(2)證明：平面PAB⊥平面PBD.
詳解答案
典型例題
例1　證明　(1)設正方體的棱長為a，
在Rt△A1AO中，A1O2＝a2，
在Rt△OCF中，OF2＝a2，
在Rt△A1C1F中，A1F2＝a2，
于是A1O2＋OF2＝A1F2?A1O⊥OF，
又BD⊥A1O，BD與OF相交于O點，
∴A1O⊥平面BDF.
(2)由(1)知，A1O⊥平面BDF，而A1O在平面AA1C上，
∴平面BDF⊥平面AA1C.
變式訓練1　證明　∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，BC⊥CD，CB?平面ABCD，21·世紀*教育網
∴BC⊥平面PCD，∵DE?平面PCD，
∴DE⊥BC.
∵△PCD是正三角形，E是PC的中點，
∴DE⊥PC，∴DE⊥平面PBC，
又DE?平面EDB，
∴平面EDB⊥平面PBC.
例2　解　
如圖所示，在平面α內，過O作OD⊥BC，垂足為D，連接AD.
設OC＝a，
∵AO⊥α，BC?α，
∴AO⊥BC.
又∵AO∩OD＝O，
∴BC⊥平面AOD，而AD?平面AOD.
∴AD⊥BC，
∴∠ADO是二面角A－BC－O的平面角．
由AO⊥α，OB?α，OC?α知AO⊥OB，
AO⊥OC.又∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，
∴AO＝a，AC＝a，AB＝2a.
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，
∴BC＝＝a，
∴AD＝＝＝a.
在Rt△AOD中，sin∠ADO＝＝
＝.∴∠ADO＝60°.
即二面角A－BC－O的大小是60°.
變式訓練2　解　取BD的中點O，分別連接AO、CO，
∵AB＝AD，BC＝CD，
∴AO⊥BD，CO⊥BD，
∴∠AOC為二面角A－BD－C的平面角，
∵AB＝AD＝a，BD＝a，
∴AO＝a，
∵BC＝CD＝a，BD＝a，∴OC＝a，
在△AOC中，OC＝a，AO＝a，AC＝a，
∴OA2＋OC2＝AC2，∴∠AOC＝90°.
即二面角A－BD－C的大小為90°.
例3　證明　(1)如圖，連接AC，交BD于O，連接EO.
∵底面ABCD是正方形，
∴點O是AC的中點．
在△PAC中，EO是中位線，
∴PA∥EO.
而EO?平面EDB且PA?平面EDB，
∴PA∥平面EDB.
(2)∵PD⊥底面ABCD，且DC?底面ABCD，
∴PD⊥DC.
∵PD＝DC，可知△PDC是等腰直角三角形．
而DE是斜邊PC的中線，∴DE⊥PC.
同理，由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC.
∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC.
∴BC⊥平面PDC.
而DE?平面PDC，
∴BC⊥DE.BC∩PC＝C，
∴DE⊥平面PBC.
而PB?平面PBC，
∴DE⊥PB.
又EF⊥PB且DE∩EF＝E，
∴PB⊥平面EFD.
變式訓練3　證明　如圖，取CA的中點N，連接MN，BN，則MN∥EC且MN＝EC，
∵EC∥BD，
∴MN∥BD，
∴點N在平面BDM內．
∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN.
又CA⊥BN，∴BN⊥平面ECA.
∵BN在平面MNBD內，
∴平面MNBD⊥平面ECA，即平面BDM⊥平面ECA.
強化提高
1．A　[利用線面垂直的性質可知，b⊥α.]
2．A　[PA⊥平面ABC，
∴∠PAB＝∠PAC＝90°，PA⊥BC.
又BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC，
∴∠BCP＝∠BCA＝90°，故選A.]
3．C　[設AC、BD交于O，連接A1O，
∵BD⊥AC，BD⊥AA1，
∴BD⊥平面AA1O，∴BD⊥A1O，
∴∠A1OA為二面角的平面角．
tan∠A1OA＝＝，∴選C.]
4．A　[∵a⊥α，a∥b，∴b⊥α，
又∵α∥β，∴b⊥β.]
5．C　[當平面α和β分別過兩條互相垂直且異面的直線時，平面α和β有可能平行，故A錯；由直線與平面垂直的判定定理知，B、D錯，C正確．]21世紀教育網版權所有
6．45°
解析　可將圖形補成以AB、AP為棱的正方體，不難求出二面角的大小為45°.
7．垂直
解析　∵PA＝PC，O是AC的中點，
∴PO⊥AC.
同理可得PO⊥BD.∵AC∩BD＝O，
∴PO⊥平面ABCD.
8．B　[①對，l⊥α，α∥β，∴l⊥β，又m?β，
∴l⊥m；
②錯，因為l不一定垂直于β；③對，
∵l∥m，l⊥α，∴m⊥α，
又∵m?β，∴α⊥β，故①③正確．]
9．垂直
解析　如圖，取AC的中點O，連接PO、OB，由題意知PO⊥AC，
PO＝a，PB＝a，
OB＝a，
∴PB2＝PO2＋OB2，
∴PO⊥OB，
∴PO⊥面ABC，
又∵PO?面PAC，∴面ABC⊥面PAC.
10．BD⊥AC
解析　如圖取BD的中點O，連接AO，CO，
∵AB＝BC＝CD＝AD，O為BD的中點，
∴AO⊥BD，CO⊥BD，
∴BD⊥面AOC，AC?面AOC，
∴BD⊥AC.
11．13cm
解析　取AB中點E，連接PE，EC，
又∵∠ACB＝90°，AC＝8cm，
BC＝6cm，
∴AB＝10cm，∴CE＝5cm，
∵PA＝PB＝13cm，E是AB中點，
∴PE＝12cm，PE⊥AB，
∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，
∴PE⊥平面ABC，
∵CE?平面ABC，∴PE⊥CE，
在直角△PEC中，
PC＝＝13cm.
12．①②③
解析　∵兩個正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，設M、N分別是BD和AE的中點，
取AD的中點G，連接MG，NG，易得AD⊥平面MNG，進而得到AD⊥MN，故①正確；
連接AC，CE，根據三角形中位線定理，可得MN∥CE，由線面平行的判定定理，可得②MN∥面CDE及③MN∥CE正確，④MN、CE異面錯誤；21教育網
故答案為：①②③.
13．證明　二面角A－PB－C為直二面角，即平面PAB⊥平面CPB，且PB為交線．
在平面PAB內，過A點作AD⊥PB，D為垂足，
則AD⊥平面CPB，
又BC?平面CPB，所以AD⊥BC.
因為PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
所以PA⊥BC，
又PA∩AD＝A，
因此，BC⊥平面PAB，
又AB?平面PAB，所以AB⊥BC.
14．(1)解　取棱AD的中點M(M∈平面PAD)，點M即為所求的一個點，理由如下：
因為AD∥BC，BC＝AD.所以BC∥AM，且BC＝AM.
所以四邊形AMCB是平行四邊形，從而CM∥AB.
又AB?平面PAB，CM?平面PAB.
所以CM∥平面PAB.
(說明：取棱PD的中點N，則所找的點可以是直線MN上任意一點)
(2)證明　由已知，PA⊥AB，PA⊥CD.
因為AD∥BC，BC＝AD，所以直線AB與CD相交，
所以PA⊥平面ABCD.
從而PA⊥BD.
又BC∥MD，且BC＝MD.
所以四邊形BCDM是平行四邊形，
所以BM＝CD＝AD，所以BD⊥AB.
又AB∩AP＝A，所以BD⊥平面PAB.
又BD?平面PBD，
所以平面PAB⊥平面PBD.

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