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專題15　圓的方程
1．圓的標準方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圓心(a，b)，半徑為r.
2．圓的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，圓心C(－，－)，半徑為.
例1　判斷方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圓，若能表示圓，求出圓心和半徑長．21*cnjy*com
變式訓練1　將下列圓的方程化為標準方程，并求出圓心和半徑．
(1)x2＋y2－2x＋4y＋4＝0；
(2)2x2＋2y2＋8x－12y＋23＝0.
例2　求經過兩點A(2，－3)、B(－2，－5)，且圓心在直線x－2y－3＝0上的圓的方程．
變式訓練2　求圓心在x軸上，半徑為5，且過點A(2，－3)的圓的標準方程．
例3　試判斷A(1,2)，B(0,1)，C(7，－6)，D(4,3)四點是否在同一圓上．
變式訓練3　過三點A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)的圓的方程為________．
A級
(第1題考查的是圓的一般方程的定義，求圓的半徑和圓心有兩種方法：一個是轉化為圓的標準方程，一個是直接利用一般式方程的定義求解．)21·世紀*教育網
1．方程x2＋y2＋2x＋4y＋1＝0表示的圓的圓心為(　　)
A．(2,4) B．(－2，－4)
C．(－1，－2) D．(1,2)
2．點P(－2，－2)和圓x2＋y2＝4的位置關系是(　　)
A．在圓上 B．在圓外
C．在圓內 D．以上都不對
(第3題考查的是圓一般方程的定義，解題方法是利用一般式方程定義求解．)
3．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋a2＋a－1＝0表示圓，則a的取值范圍是(　　)
A．a<1 B．a>1
C．－2(第4題考查的是圓的方程，做法是先求出端點坐標，然后求出半徑，可得圓的標準方程．)
4．已知一圓的圓心為點A(2，－3)，一條直徑的兩個端點分別在x軸和y軸上，則此圓的方程是(　　)
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13
B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52
D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52
5．圓心是點(3,4)且過點(0,0)的圓的方程是________．
(第6題考查學生掌握圓的基本性質，靈活運用兩點間的距離公式化簡求值，會根據圓心和半徑寫出圓的標準方程，做題時注意數形結合．)【來源：21cnj*y.co*m】
6．已知三角形的三個頂點是A(0,0)，B(4,0)，C(0,3)，則△ABC的外接圓方程為________．
7．若圓C的半徑為1，其圓心與點(1,0)關于直線y＝x對稱，則圓C的標準方程為________．
B級
(第8題做法是因為圓心一定在圓直徑上，所以只要求出圓心坐標，再逐一代入各個選項驗證即可．)
8．已知圓的方程為x2＋y2－2x－2y－8＝0，那么該圓的一條直徑所在直線的方程為(　　)
A．2x－y－1＝0 B．2x－y＋1＝0
C．2x＋y＋1＝0 D．2x＋y－1＝0
(第9題考查圓的標準方程，圓的一般方程，兩圓的位置關系，確定圓的圓心與半徑，即可求得結論．)
9．半徑為6的圓與x軸相切，且與圓x2＋(y－3)2＝1內切，則此圓的方程是(　　)
A．(x－4)2＋(y－6)2＝6
B．(x＋4)2＋(y－6)2＝6或(x－4)2＋(y－6)2＝6
C．(x－4)2＋(y－6)2＝36
D．(x＋4)2＋(y－6)2＝36或(x－4)2＋(y－6)2＝36
10．若圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，則m＝________.
11．在已知圓x2＋y2－4x＋6y－12＝0中，長為8的弦中點的軌跡方程為________．
12．圓O的方程為(x－3)2＋(y－4)2＝25，點(2,3)到圓上的最大距離為________．
(第13題考查了二元二次方程表示圓的條件和求半徑的最大值，可用配方法將方程化為標準方程后，利用r2＞0求出參數的范圍，求半徑的最大值時需要驗證對稱軸的值是否取到．)
13．已知圓的方程為x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0(k為實數)．
(1)若定點A(1,2)在圓的外面，求k的取值范圍；
(2)求其中面積最大的圓的方程．
(第14題熟練掌握圓的一般方程表示圓的充要條件和二次函數的性質是解題的關鍵．)
14．已知x2＋y2－2(2t－3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0.
(1)當t為何值時，方程表示圓？
(2)方程表示的圓的圓心能否在直線y＝x上？
詳解答案
典型例題
例1　解　方法一　由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0可知D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，21世紀教育網版權所有
∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2，
因此，當m＝2時，它表示一個點；
當m≠2時，原方程表示圓的方程，此時，圓的圓心為(2m，－m)，半徑為r＝＝|m－2|.
方法二　原方程可化為(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2，
因此，當m＝2時，它表示一個點；
當m≠2時，原方程表示圓的方程，
此時，圓的圓心為(2m，－m)，
半徑為r＝|m－2|.
變式訓練1　解　(1)配方化為：(x－1)2＋(y＋2)2＝1，圓心(1，－2)，半徑r＝1.
(2)配方化為：2(x＋2)2＋2(y－3)2＝3，
即(x＋2)2＋(y－3)2＝，圓心(－2,3)，半徑r＝.
例2　解　方法一　設所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
由已知條件得，
解得
∴所求圓的方程為(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
方法二　由A(2，－3)，B(－2，－5)得，
AB的中點為(0，－4)，kAB＝，
∴AB的垂直平分線的方程為y＋4＝－2x，
即2x＋y＋4＝0，
解方程組得
∴圓心為(－1，－2)，半徑r＝.
故所求圓的方程為(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
方法三　設點C是圓心，
∵點C在直線l上，∴設點C為(2b＋3，b)．
又∵|CA|＝|CB|，
∴
＝解得b＝－2，
∴圓心為C(－1，－2)，半徑r＝，
故所求圓的方程為(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
變式訓練2　解　設圓心在x軸上，半徑為5的圓的標準方程為(x－a)2＋y2＝52.
∵點A在圓上，∴(2－a)2＋(－3)2＝25.
∴a＝－2或a＝6.
故所求圓的標準方程為(x＋2)2＋y2＝25或(x－6)2＋y2＝25.
例3　解　方法一　線段AB、BC的斜率分別為kAB＝1，
kBC＝－1.得kAB≠kBC.
∴A、B、C三點不共線，設過A、B、C三點的圓的方程為
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
∵A、B、C三點在此圓上，
∴∴
∴過A、B、C三點的圓的方程為x2＋y2－8x＋4y－5＝0.
將D點坐標(4,3)代入方程左端得：42＋32－8×4＋4×3－5＝0.
即點D在此圓上，故A、B、C、D四點在同一個圓上．
方法二　∵kAB·kBC＝×＝－1，
∴AB⊥BC，∴AC是過A、B、C三點的圓的直徑，
|AC|＝＝10，
AC中點即為圓心M(4，－2)．
∵|DM|＝＝5
＝|AC|，
∴點D在圓M上，∴A、B、C、D四點共圓．
變式訓練3　x2＋y2＋6x－2y－15＝0
解析　設所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
∵三點A、B、C在圓上，
∴，∴，
故所求圓的方程為x2＋y2＋6x－2y－15＝0.
強化提高
1．C　[方程可變為(x＋1)2＋(y＋2)2＝4，
∴圓的圓心為(－1，－2)．]
2．B　[將點P的坐標代入圓的方程的等號左邊，有(－2)2＋(－2)2＝8>4，故點P在圓外．]
3．A　[因為當a2＋4a2－4(a2＋a－1)>0時方程表示圓，故－a＋1>0，解得a<1.]
4．A　[由已知，得直徑的兩端點為(4,0)，(0，－6)，
∴半徑r＝＝，
∴圓的方程為(x－2)2＋(y＋3)2＝13.]
5．(x－3)2＋(y－4)2＝25
解析　圓的半徑r＝＝5.
所以圓的方程為(x－3)2＋(y－4)2＝25.
6．x2＋y2－4x－3y＝0
解析　根據圖形可知△ABC為直角三角形，所以AC的垂直平分線方程MP為y＝；AB邊的垂直平分線方程MQ為x＝2.21教育網
所以圓心坐標為(2，)，半徑r＝；
則圓的方程為(x－2)2＋(y－)2＝，化簡得x2＋y2－4x－3y＝0.
7．x2＋(y－1)2＝1
解析　由題意知圓C的圓心為(0,1)，半徑為1，所以圓C的標準方程為x2＋(y－1)2＝1.
8．A　[∵圓的方程為x2＋y2－2x－2y－8＝0，
∴圓心坐標為(1,1)，又∵直徑一定過圓心，∴只需檢驗選項中那個過圓心即可，把(1,1)點逐一代入各選項，可得代入A選項時成立．故選A.]21·cn·jy·com
9．D　[由題意可設圓的方程為(x－a)2＋(y－6)2＝36，由題意，得＝5，所以a2＝16，所以a＝±4.]www.21-cn-jy.com
10．9
解析　圓C2的標準方程為(x－3)2＋(y－4)2＝25－m.
又圓C1：x2＋y2＝1，∴|C1C2|＝5.
又∵兩圓外切，∴5＝1＋，解得m＝9.
11．(x－2)2＋(y＋3)2＝9
解析　設中點M(x，y)，已知圓的圓心為C(2，－3)，半徑r＝5，則|MC|＝3，所以點M的軌跡方程為(x－2)2＋(y＋3)2＝9.21cnjy.com
12．5＋
解析　點(2,3)與圓心連線的延長線與圓的交點到點(2,3)的距離最大，最大距離為點(2,3)到圓心(3,4)的距離加上半徑長5，即為5＋.2·1·c·n·j·y
13．解　(1)將圓的方程化為(x＋)2＋(y＋1)2＝，所以圓心為(－，－1)，半徑為.由于點(1,2)在圓外，因此有＞恒成立，【來源：21·世紀·教育·網】
又∵4－3k2＞0，解得－(2)由(1)知圓的半徑r＝，故當k＝0時，半徑取最大值1，這時面積最大，所以面積最大的圓的方程是x2＋y2＋2y＝0.2-1-c-n-j-y
14．解　(1)方程x2＋y2－2(2t－3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0，
可化為[x－(2t－3)]2＋[y＋(1－4t2)]2＝－16t4－9＋(2t－3)2＋(1－4t2)2＝－12t＋1，若此方程表示圓，則－12t＋1＞0，【出處：21教育名師】
解得t∈(－∞，)．
(2)該圓的圓心為(2t－3，－(1－4t2))．若圓心在直線y＝x上，則2t－3＝－(1－4t2)，就是4t2－2t＋2＝0，其中Δ＝(－2)2－4×4×2＝－24<0，方程無解，從而該方程表示的圓的圓心不能在直線y＝x上．www-2-1-cnjy-com

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