資源簡介

專題5　相關(guān)性與回歸直線方程
1．兩個變量線性相關(guān)
(1)散點圖：將樣本中n個數(shù)據(jù)點(xi，yi)(i＝1,2，…，n)描在平面直角坐標系中得到的圖形．
(2)正相關(guān)與負相關(guān)
①正相關(guān)：散點圖中的點散布在從左下角到右上角的區(qū)域．
②負相關(guān)：散點圖中的點散布在從左上角到右下角的區(qū)域．
2．回歸直線的方程
(1)回歸直線：如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，就稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線．2-1-c-n-j-y
(2)回歸方程：回歸直線對應(yīng)的方程叫回歸直線的方程，簡稱回歸方程．
(3)回歸方程的推導(dǎo)過程：
①假設(shè)已經(jīng)得到兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)．
②設(shè)所求回歸方程為＝x＋，其中，是待定參數(shù)．
③由最小二乘法得
.
其中，是回歸方程的斜率，是截距．
例1　在下列兩個變量的關(guān)系中，哪些是相關(guān)關(guān)系？
①正方形邊長與面積之間的關(guān)系；
②作文水平與課外閱讀量之間的關(guān)系；
③人的身高與年齡之間的關(guān)系；
④降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關(guān)系．
變式1　有關(guān)法律規(guī)定，香煙盒上必須印上“吸煙有害健康”的警示語．吸煙是否一定會引起健康問題？有人認為“健康問題不一定是由吸煙引起的，所以可以吸煙”的說法對嗎？
例2　以下是某地搜集到的新房屋的銷售價格和房屋的面積的數(shù)據(jù)：
畫出數(shù)據(jù)對應(yīng)的散點圖，并指出銷售價格與房屋面積這兩個變量是正相關(guān)還是負相關(guān)．
變式2　一個車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進行了10次試驗，收集數(shù)據(jù)如下：21*cnjy*com
(1)畫出散點圖；
(2)關(guān)于加工零件的個數(shù)與加工時間，你能得出什么結(jié)論？
例3　有一個同學(xué)家開了一個小賣部，他為了研究氣溫對熱飲銷售的影響，經(jīng)過統(tǒng)計，得到一個賣出的熱飲杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對比表：21教育網(wǎng)
(1)畫出散點圖；
(2)從散點圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間關(guān)系的一般規(guī)律；
(3)求回歸方程；
(4)如果某天的氣溫是2℃，預(yù)測這天賣出的熱飲杯數(shù)．
變式3　下表為某地近幾年機動車輛數(shù)與交通事故數(shù)的統(tǒng)計資料.
(1)請判斷機動車輛數(shù)與交通事故數(shù)之間是否有線性相關(guān)關(guān)系，如果不具有線性相關(guān)關(guān)系，說明理由；
(2)如果具有線性相關(guān)關(guān)系，求出回歸直線方程．
A級
1．下列兩個變量之間的關(guān)系：
①角度和它的余弦值；
②正n邊形的邊數(shù)與內(nèi)角和；
③家庭的支出與收入；
④某戶家庭用電量與電價間的關(guān)系．
其中是相關(guān)關(guān)系的有(　　)
A．1個B．2個C．3個D．4個
2．回歸直線方程＝x＋必過(　　)
A．點(0,0) B．點(，0)
C．點(0，) D．點(，)
3．在對兩個變量x，y進行線性回歸分析時有下列步驟：
①用所求出的回歸方程作出估計；②收集數(shù)據(jù)(xi，yi)，i＝1,2，…，n；③求回歸直線方程；④求相關(guān)系數(shù)；⑤根據(jù)所搜集的數(shù)據(jù)繪制散點圖．如果根據(jù)可靠性要求能夠作出變量x，y具有線性相關(guān)結(jié)論，則正確的操作順序是(　　)www.21-cn-jy.com
A．①②⑤③④ B．③②④⑤①
C．②④③①⑤ D．②⑤④③①
4.設(shè)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是變量x和y的n個樣本點，直線l是由這些樣本點通過最小二乘法得到的回歸直線(如圖)，以下結(jié)論中正確的是(　　)2·1·c·n·j·y
A．x和y的相關(guān)系數(shù)為直線l的斜率
B．x和y的相關(guān)系數(shù)在0到1之間
C．當(dāng)n為偶數(shù)時，分布在l兩側(cè)的樣本點的個數(shù)一定相同
D．直線l過點(，)
5．若對某個地區(qū)人均工資x與該地區(qū)人均消費y進行調(diào)查統(tǒng)計得y與x具有相關(guān)關(guān)系，且回歸方程＝0.7x＋2.1(單位：千元)，若該地區(qū)人均消費水平為10.5，則估計該地區(qū)人均消費額占人均工資收入的百分比約為________．【來源：21·世紀·教育·網(wǎng)】
6．期中考試后，某校高三(9)班對全班65名學(xué)生的成績進行分析，得到數(shù)學(xué)成績y對總成績x的回歸方程為＝6＋0.4x.由此可以估計：若兩個同學(xué)的總成績相差50分，則他們的數(shù)學(xué)成績大約相差________分．www-2-1-cnjy-com
7．為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關(guān)系，隨機調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭，得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)表：
根據(jù)上表可得回歸直線方程＝ x＋，其中＝0.76，＝－.據(jù)此估計，該社區(qū)一戶年收入為15萬元家庭的年支出為(　　)【來源：21cnj*y.co*m】
A．11.4萬元 B．11.8萬元
C．12.0萬元 D．12.2萬元
B級
8．某產(chǎn)品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：
根據(jù)上表可得回歸方程＝x＋中的為9.4，據(jù)此模型預(yù)報廣告費用為6萬元時銷售額為(　　)
A．63.6萬元 B．65.5萬元
C．67.7萬元 D．72.0萬元
9．工人月工資(元)依勞動生產(chǎn)率(千元)變化的回歸方程為＝60＋90x，下列判斷正確的是(　　)
A．勞動生產(chǎn)率為1千元時，工資為50元
B．勞動生產(chǎn)率提高1千元時，工資提高150元
C．勞動生產(chǎn)率提高1千元時，工資約提高90元
D．勞動生產(chǎn)率為1千元時，工資為90元
10．某商品銷售量y(件)與銷售價格x(元/件)負相關(guān)，則其回歸方程可能是(　　)
A.＝－10x＋200 B.＝10x＋200
C.＝－10x－200 D.＝10x－200
11．如圖所示，有5組(x，y)數(shù)據(jù)，去掉數(shù)據(jù)________后，剩下的4組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性變強(　　)21cnjy.com
A．EB．DC．BD．A
12．某數(shù)學(xué)老師身高176cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173cm、170cm和182cm.因兒子的身高與父親的身高有關(guān)，該老師用線性回歸分析的方法預(yù)測他孫子的身高為__________cm.21·cn·jy·com
13．下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改進后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標準煤)的幾組對照數(shù)據(jù).【出處：21教育名師】
(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖；
(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的回歸方程＝x＋；
(3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標準煤．試根據(jù)(2)求出的回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標準煤？【版權(quán)所有：21教育】
(參考數(shù)值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)
詳解答案
典型例題
例1　解　兩變量之間的關(guān)系有兩種：函數(shù)關(guān)系與帶有隨機性的相關(guān)關(guān)系．①正方形的邊長與面積之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系．②作文水平與課外閱讀量之間的關(guān)系不是嚴格的函數(shù)關(guān)系，但是具有相關(guān)性，因而是相關(guān)關(guān)系．③人的身高與年齡之間的關(guān)系既不是函數(shù)關(guān)系，也不是相關(guān)關(guān)系，因為人的年齡達到一定時期身高就不發(fā)生明顯變化了，因而他們不具備相關(guān)關(guān)系．④降雪量與交通事故的發(fā)生率之間具有相關(guān)關(guān)系．21教育名師原創(chuàng)作品
變式1　解　從已經(jīng)掌握的知識來看，吸煙會損害身體的健康，但是除了吸煙之外，還有許多其他的隨機因素影響身體健康，人體健康是很多因素共同作用的結(jié)果．我們可以找到長壽的吸煙者，也更容易發(fā)現(xiàn)由于吸煙而引發(fā)的患病者，所以吸煙不一定引起健康問題．但吸煙引起健康問題的可能性大．因此“健康問題不一定是由吸煙引起的，所以可以吸煙”的說法是不對的．21*cnjy*com
例2　解　散點圖如下：
由上圖可看出，銷售價格與房屋面積這兩個變量正相關(guān)．
變式2　解　(1)散點圖如下：
(2)加工零件的個數(shù)與所花費的時間呈正線性相關(guān)關(guān)系．
例3　解　(1)散點圖如圖所示：
(2)從上圖看到，各點散布在從左上角到右下角的區(qū)域里，因此，氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間呈負相關(guān)，即氣溫越高，賣出去的熱飲杯數(shù)越少．21世紀教育網(wǎng)版權(quán)所有
(3)從散點圖可以看出，這些點大致分布在一條直線的附近，因此，可用公式求出回歸方程的系數(shù)．利用計算器容易求得回歸方程＝－2.352x＋147.767.
(4)當(dāng)x＝2時，＝143.063.因此，某天的氣溫為2℃時，這天大約可以賣出143杯熱飲．
變式3　解　(1)在直角坐標系中畫出數(shù)據(jù)的散點圖，如下圖．
直觀判斷散點在一條直線附近，故具有線性相關(guān)關(guān)系．
(2)計算相應(yīng)的數(shù)據(jù)之和：
i＝1031，i＝71.6，
＝137835，iyi＝9611.7.
將它們代入公式計算得≈0.0774，≈－1.0249，
所以，所求回歸方程為＝0.0774x－1.0249.
強化提高
1．A　2.D
3．D　[本題考查具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量的研究步驟，應(yīng)先收集數(shù)據(jù)，再作散點圖，求相關(guān)系數(shù)，求回歸方程，最后應(yīng)用回歸方程作出估計，則順序為②⑤④③①.]
4．D　[相關(guān)系數(shù)r的計算公式與l斜率的計算公式不一樣，故A錯；由|r|＜1知B錯；分布在l兩側(cè)的點的個數(shù)沒有什么規(guī)律，故C錯；(，)為樣本點的中心，回歸直線過樣本的中心，故D正確．]
5．87.5%
解析　設(shè)該地區(qū)人均工資收入為，則＝0.7＋2.1，當(dāng)＝10.5時，＝＝12.×100%＝87.5%.
6．20
解析　令兩人的總成績分別為x1，x2.
則對應(yīng)的數(shù)學(xué)成績估計為
1＝6＋0.4x1，2＝6＋0.4x2，所以|1－2|＝|0.4(x1－x2)|＝0.4×50＝20.
7．B　[先求，再利用回歸直線方程預(yù)測．
由題意知，
＝＝10，
＝＝8，
∴＝8－0.76×10＝0.4，
∴當(dāng)x＝15時，＝0.76×15＋0.4＝11.8(萬元)．]
8．B　[由題意可知＝3.5，＝42，則42＝9.4×3.5＋，＝9.1，＝9.4×6＋9.1＝65.5，答案應(yīng)選B.]21·世紀*教育網(wǎng)
9．C　[因工人月工資與勞動生產(chǎn)率變化的回歸方程為＝60＋90x，當(dāng)x由a提高到a＋1時，2－1＝60＋90(a＋1)－60－90a＝90.]
10．A　11.B
12．185
解析　根據(jù)題中所提供的信息，可知父親與兒子的對應(yīng)數(shù)據(jù)可列表如下：
＝173，＝176，∴＝＝＝1，＝－＝176－173＝3，∴回歸方程為＝x＋3，從而可預(yù)測他孫子的身高為182＋3＝185(cm)．
13．解　(1)散點圖如下圖所示：
(2)＝＝4.5，
＝＝3.5，
xiyi＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，x＝32＋42＋52＋62＝86，
∴＝＝
＝0.7，
＝－＝3.5－0.7×4.5＝0.35.
∴所求的回歸方程為＝0.7x＋0.35.
(3)現(xiàn)在生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品用煤
＝0.7×100＋0.35＝70.35，
∴90－70.35＝19.65.
∴生產(chǎn)能耗比技改前降低約19.65噸標準煤．

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