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專題4　用樣本估計總體
1．用樣本估計總體的兩種情況
(1)用樣本的頻率分布估計總體的分布．
(2)用樣本的數字特征估計總體的數字特征．
2．用樣本的頻率分布估計總體分布
(1)頻率分布直方圖；
(2)頻率分布折線圖和總體密度曲線及莖葉圖
①頻率分布折線圖的作法；
②總體密度曲線的含義；
③莖葉圖的特點．
3．用樣本的數字特征估計總體的數字特征
(1)眾數、中位數、平均數的定義；
(2)樣本方差、標準差的含義及求法．
例1　調查某校高三年級男生的身高，隨機抽取40名高三男生，實測身高數據(單位：cm)如下：
171　163　163　166　166　168　168　160　168　165
171　169　167　169　151　168　170　168　160　174
165　168　174　159　167　156　157　164　169　180
176　157　162　161　158　164　163　163　167　161
(1)作出頻率分布表；
(2)畫出頻率分布直方圖．
變式1　下表給出了某校500名12歲男孩中用隨機抽樣得出的120人的身高(單位：cm).
(1)列出樣本頻率分布表；
(2)畫出頻率分布直方圖；
(3)估計身高小于134cm的人數占總人數的百分比．
例2　某賽季甲、乙兩名籃球運動員每場得分情況如下：
甲的得分：12,15,24,25,31,31,36,37,36,39,44,49,50.
乙的得分：8,13,14,16,23,26,28,33,38,39,51,9,17.
(1)用莖葉圖表示上面的數據；
(2)根據你所畫的莖葉圖，分析甲、乙運動員的得分情況．
變式2　有關部門從甲、乙兩個城市所有的自動售貨機中分別隨機抽取了16臺，記錄了上午8：00～11：00間各自的銷售情況(單位：元)21世紀教育網版權所有
畫出莖葉圖，分析兩城市自動售貨機的銷售情況．
例3　從甲、乙兩種玉米苗中各抽10株，分別測得它們的株高如下(單位：cm)：
甲：25　41　40　37　22　14　19　39　21　42
乙：27　16　44　27　44　16　40　40　16　40
問：(1)哪種玉米的苗長得高？
(2)哪種玉米的苗長得齊？
變式3　甲、乙兩臺機床在相同的條件下同時生產一種零件，現在從中各抽測10個，它們的尺寸分別為(單位：mm)：21·cn·jy·com
甲：10.2　10.1　10.9　8.9　9.9　10.3　9.7　10　9.9　10.1
乙：10.3　10.4　9.6　9.9　10.1　10　9.8　9.7　10.2　10
分別計算上面兩個樣本的平均數與標準差．如果圖紙上的設計尺寸為10mm，從計算結果看，用哪臺機床加工這種零件較合適．2·1·c·n·j·y
A級
1．用樣本頻率分布估計總體頻率分布的過程中，下列說法正確的是(　　)
A．總體容量越大，估計越精確
B．總體容量越小，估計越精確
C．樣本容量越大，估計越精確
D．樣本容量越小，估計越精確
2．頻率分布直方圖中，小長方形的面積等于(　　)
A．組距B．頻率C．組數D．頻數
3．一個樣本數據按從小到大的順序排列為13,14,19，x,23,27,28,31，其中位數為22，則x為(　　)【來源：21·世紀·教育·網】
A．21B．22C．20D．23
4．從總體中抽取的樣本數據有n1個a，n2個b，n3個c，則總體平均數的估計值為(　　)
A. B.
C. D.
5．一個容量為n的樣本，分成若干組，已知甲組的頻數和頻率分別為36和，則容量n＝________，且頻率為的乙組的頻數是________．21·世紀*教育網
6．已知一樣本x1，x2，…，xn，其標準差s＝8.5，另一樣本3x1＋5,3x2＋5，…，3xn＋5，其標準差s′＝________.【來源：21cnj*y.co*m】
7．某商店大米的價格是3.00元/千克，面粉的價格是3.60元/千克，大米與面粉的銷量分別是1000千克，500千克，則該商店出售的糧食的平均價格是______元/千克．
B級
8．容量為20的樣本數據，分組后的頻數如下表：
則樣本數據落在區間[10,40)的頻率為(　　)
A．0.35B．0.45C．0.55D．0.65
9.對某商店一個月內每天的顧客人數進行了統計，得到樣本的莖葉圖(如圖所示)，則該樣本的中位數、眾數、極差分別是(　　)21教育網
A．46,45,56 B．46,45,53
C．47,45,56 D．45,47,53
10．某同學使用計算器求30個數據的平均數時，錯將其中一個數據105輸入為15，那么由此求出的平均數與實際平均數的差等于(　　)【版權所有：21教育】
A．3.5B．－3C．3D．－0.5
11．如圖是容量為100的樣本的頻率分布直方圖，試根據圖形中的數據填空．
(1)樣本數據落在范圍[6,10)內的頻率為________；
(2)樣本數據落在范圍[10,14)內的頻數為________．
12．已知樣本9,10,11，x，y的平均數是10，方差是4，則xy＝________.
13．某校100名學生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區間是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．www-2-1-cnjy-com
(1)求圖中a的值；
(2)根據頻率分布直方圖，估計這100名學生語文成績的平均分；
(3)若這100名學生語文成績某些分數段的人數(x)與數學成績相應分數段的人數(y)之比如下表所示，求數學成績在[50,90)之外的人數.21教育名師原創作品
14．某車間20名工人年齡數據如下表：
(1)求這20名工人年齡的眾數與極差；
(2)以十位數為莖，個位數為葉，作出這20名工人年齡的莖葉圖；
(3)求這20名工人年齡的方差．
詳解答案
典型例題
例1　解　(1)最低身高為151cm，最高身高為180cm，它們的差是180－151＝29，即極差為29；確定組距為3，組數為10，列表如下：21*cnjy*com
(2)頻率分布直方圖，如圖所示．
變式1　解　(1)樣本頻率分布表如下：
(2)其頻率分布直方圖如下：
(3)由樣本頻率分布表可知身高小于134cm的男孩出現的頻率為0.04＋0.07＋0.08＝0.19，所以我們估計身高小于134cm的人數占總人數的19%.
例2　解　(1)如圖所示的莖葉圖中，中間的數字表示兩位運動員得分的十位數，兩邊的數字分別表示兩個人各場比賽得分的個位數．
(2)從莖葉圖上可以看出：甲運動員的得分比較集中在莖為3的一行，且大致關于這一行對稱；乙運動員的得分主要分散在四行．
所以甲運動員的發揮比較穩定，總體得分情況比乙運動員好．
變式2　解　莖葉圖如圖所示．
根據莖葉圖對兩城市自動售貨機進行比較，從莖葉圖上可以看出：甲城市自動售貨機的銷售量不均勻，有最多的，58元．有最少的，5元；乙城市自動售貨機的銷售量沒有特殊銷售量，分布比較均勻．2-1-c-n-j-y
因此乙城市自動售貨機銷售量比較穩定．
例3　解　(1)∵甲＝(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝×300＝30(cm)，
乙＝(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝×310＝31(cm)．
∴甲<乙，即乙種玉米的苗長得高．
(2)∵s＝[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]＝(25＋121＋100＋49＋64＋256＋121＋81＋81＋144)＝×1042＝104.2，
s＝[(2×272＋3×162＋3×402＋2×442)－10×312]＝×1288＝128.8，
∴s變式3　解　甲＝(10.2＋10.1＋10.9＋…＋10.1)＝10，
乙＝(10.3＋10.4＋9.6＋…＋10)＝10，
s甲＝＝＝0.477.
s乙＝＝＝0.245.
因為甲＝乙＝10，s甲>s乙，所以乙比甲穩定，用乙較合適．
強化提高
1．C　2.B　3.A　4.D
5．144　24
解析　抽樣時要保證每個個體被抽到的機會均等，則＝，所以n＝36×4＝144，設頻率為的乙組的頻數為x，同理＝，x＝24.
6．25.5
解析　s′＝3s＝25.5.
7．3.20
8．B　[根據頻率的定義求解．由表知[10,40)的頻數為2＋3＋4＝9，所以樣本數據落在區間[10,40)的頻率為＝0.45.]www.21-cn-jy.com
9．A[由題意知，各數為
12,15,20,22,23,23,31,32,34,34,38,39,45,45,45,47,47,48,48,49,50,50,51,51,54,57,59,61,67,68，中位數是46，眾數是45，最大數為68，最小數為12，極差為68－12＝56.]
10．B　[少輸入90，＝3，平均數少3，求出的平均數減去實際的平均數等于－3.]
11．0.32　36
解析　樣本數據落在[6,10)內的頻率為4×0.08＝0.32，落在[10,14)內的頻率為4×0.09＝0.36，頻數n＝100×0.36＝36.21*cnjy*com
12．91
解析　由題意得
即
解得，或.所以xy＝91.
13．解　(1)由頻率分布直方圖知(2a＋0.02＋0.03＋0.04)×10＝1，解得a＝0.005.
(2)由頻率分布直方圖知這100名學生語文成績的平均分為55×0.005×10＋65×0.04×10＋75×0.03×10＋85×0.02×10＋95×0.005×10＝73(分)．
(3)由頻率分布直方圖知語文成績在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)各分數段的人數依次為0.005×10×100＝5,0.04×10×100＝40,0.03×10×100＝30，0.02×10×100＝20.
由題中給出的比例關系知數學成績在上述各分數段的人數依次為5,40×＝20,30×＝40,20×＝25.【出處：21教育名師】
故數學成績在[50,90)之外的人數為100－(5＋20＋40＋25)＝10.
14．解　(1)這20名工人年齡的眾數為：30；這20名工人年齡的極差為：40－19＝21.
(2)以十位數為莖，個位數為葉，作出這20名工人年齡的莖葉圖如下：
(3)這20名工人年齡的平均數為：(19＋28×3＋29×3＋30×5＋31×4＋32×3＋40)÷20＝30；
所以這20名工人年齡的方差為：
(30－19)2＋(30－28)2＋(30－29)2＋(30－30)2＋(30－31)2＋(30－32)2＋(30－40)2＝12.6.21cnjy.com

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