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專題10　命題及其關(guān)系、充分必要條件
1．命題及其關(guān)系
2．充分條件與必要條件
(1)p?q，p是q的充分條件，q是p的必要條件．
(2)既有p?q，又有q?p，p是q的充分必要條件，簡稱充要條件記作p?q.
如果p?q，那么p與q互為充要條件．
例1　已知a，b，c∈R，命題“若a＋b＋c＝3，則a2＋b2＋c2≥3”的否命題是(　　)
A．若a＋b＋c≠3，則a2＋b2＋c2<3
B．若a＋b＋c＝3，則a2＋b2＋c2<3
C．若a＋b＋c≠3，則a2＋b2＋c2≥3
D．若a2＋b2＋c2≥3，則a＋b＋c＝3
變式1　設(shè)a，b是向量，命題“若a＝－b，則|a|＝|b|”的逆命題是(　　)
A．若a≠－b，則|a|≠|(zhì)b|
B．若a＝－b，則|a|≠|(zhì)b|
C．若|a|≠|(zhì)b|，則a≠－b
D．若|a|＝|b|，則a＝－b
例2　設(shè)a，b∈R，則“(a－b)·a2<0”是“aA．充分而不必要條件
B．必要而不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
變式2　設(shè)a，b為向量，則“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充分必要條件
D．既不充分也不必要條件
例3　e1，e2是不共線的兩個向量，a＝e1＋ke2，b＝ke1＋e2，若a∥b，求實數(shù)k的值．
變式3　已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，若a⊥b，求x的值．
A級
1．命題“若a?A，則b∈B”的否命題是(　　)
A．若a?A，則b?B
B．若a∈A，則b?B
C．若b∈B，則a?A
D．若b?B，則a?A
2．命題“如果x2<1，則－1A．如果x2≥1，則x≥1，或x≤－1
B．如果－1C．如果x>1或x<－1，則x2>1
D．如果x≥1或x≤－1，則x2≥1
3．原命題為“若A．真，真，真 B．假，假，真
C．真，真，假 D．假，假，假
4．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，則“a＝3”是“A?B”的(　　)
A．充分而不必要條件
B．必要而不充分條件
C．充分必要條件
D．既不充分也不必要條件
5．設(shè)a，b都是非零向量，下列四個條件中，使＝成立的充分條件是(　　)
A．a(chǎn)＝－b B．a(chǎn)∥b
C．a(chǎn)＝2b D．a(chǎn)∥b且|a|＝|b|
6．“x，y均為奇數(shù)”是“x＋y為偶數(shù)”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
7．在△ABC中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，則“a≤b”是“sinA≤sinB”的(　　)
A．充分必要條件
B．充分非必要條件
C．必要非充分條件
D．非充分非必要條件
B級
8．設(shè)x，y是兩個實數(shù)，命題：“x，y中至少有一個數(shù)大于1”成立的充分不必要條件是(　　)
A．x＋y＝2 B．x＋y>2
C．x2＋y2>2 D．xy>1
9．設(shè)x，y∈R，則“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的(　　)
A．充分而不必要條件
B．必要而不充分條件
C．充分必要條件
D．既不充分也不必要條件
10．已知函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，則“f(x)是奇函數(shù)”是“φ＝”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充分必要條件
D．既不充分也不必要條件
11．“x＞1”是“l(fā)og(x＋2)＜0”的(　　)
A．充要條件
B．充分而不必要條件
C．必要而不充分條件
D．既不充分也不必要條件
12．已知p：α≠β，q：cosα≠cosβ，則p是q的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充分必要條件
D．既不充分也不必要條件
13．給出下列命題：
①命題“若b2－4ac<0，則方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)無實根”的否命題；
②命題“在△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC為等邊三角形”的逆命題；
③命題“若a>b>0，則>>0”的逆否命題；
④“若m>1，則mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集為R”的逆命題．
其中真命題的序號為________．
詳解答案
典型例題
例1　A
變式1　D
例2　A　[由(a－b)a2<0?a≠0且a變式2　C　[由|a||b||cos〈a，b〉|＝|a||b|，則有cos〈a，b〉＝±1.
即〈a，b〉＝0或π，所以a∥b.由a∥b，得向量a與b同向或反向，
所以〈a，b〉＝0或π，
所以|a·b|＝|a||b|.]
例3　解　∵a∥b，設(shè)a＝λb，
∴，
∴k2＝1，∴k＝±1.
變式3　解　∵a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，a⊥b，
∴a·b＝(x－1,2)·(2,1)＝2(x－1)＋2×1＝2x＝0，即x＝0.
強化提高
1．B　2.D
3．A　[原命題與其逆命題都是真命題，所以其否命題和逆否命題也都是真命題，故選A.]
4．A　5.C　6.A
7．A　[由正弦定理，知a≤b?2Rsin A≤2Rsin B(R為△ABC外接圓的半徑)?sin A≤sinB．故選A.]21cnjy.com
8．B　9.A
10．B　[φ＝?f(x)＝Acos＝－Asin(ωx)為奇函數(shù)，∴“f(x)是奇函數(shù)”是“φ＝”的必要條件．www.21-cn-jy.com
又f(x)＝Acos(ωx＋φ)是奇函數(shù)?f(0)＝0?φ＝＋kπ(k∈Z)D/?φ＝.
∴“f(x)是奇函數(shù)”不是“φ＝”的充分條件．]
11．B　[由x＞1?x＋2＞3?log(x＋2)＜0，log(x＋2)＜0?x＋2＞1?x＞－1，故“x＞1”是“l(fā)og(x＋2)＜0”成立的充分不必要條件．因此選B.]21·cn·jy·com
12．B　[q?p成立，但pD/?q，
∴p是q的必要不充分條件．]
13．①②③
解析　①否命題：若b2－4ac≥0，則方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有實根，真命題；
②逆命題：若△ABC為等邊三角形，則AB＝BC＝CA，真命題；
③因為命題“若a>b>0，則>>0”是真命題，故其逆否命題為真；
④逆命題：若mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集為R，則m>1，假命題，
因為
得m∈?.
所以應(yīng)填①②③.

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