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專題12　橢　圓
1．橢圓的定義
2．橢圓的標準方程
3．橢圓的簡單幾何性質
4．直線與橢圓的位置關系
例1　如圖，在圓C：(x＋1)2＋y2＝25內有一點A(1,0)，Q為圓C上一點，AQ的垂直平分線與C，Q的連線交于點M，求點M的軌跡方程．
變式1　已知在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點F1，F2在x軸上，離心率為.過F1的直線l交C于A，B兩點，且△ABF2的周長為16，那么C的方程為__________________．
例2　求滿足下列條件的橢圓的標準方程．
(1)長軸長是短軸長的2倍，且經過點A(2，－6)；
(2)經過點(3,0)，離心率e＝.
變式2　(1)橢圓x2＋my2＝1的焦點在y軸上，長軸長是短軸長的兩倍，則m的值是(　　)
A. B. C．2 D．4
(2)已知橢圓＋＝1的離心率為，則k的值為________．
例3　設F1，F2分別是橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，過F1斜率為1的直線l與E相交于A，B兩點，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數列．
(1)求E的離心率；
(2)設點P(0，－1)滿足|PA|＝|PB|，求E的方程．
變式3　已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交E于A、B兩點．若AB的中點坐標為(1，－1)，則E的方程為(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
A級
1．直線l經過橢圓的一個頂點和一個焦點，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的，則該橢圓的離心率為(　　)
A. B.
C. D.
2．橢圓＋＝1的左焦點為F1，點P在橢圓上．如果線段PF1的中點M在y軸上，那么點M的縱坐標是(　　)
A．± B．±C．± D．±
3．設F1，F2是橢圓＋＝1的焦點，P為橢圓上一點，則△PF1F2的周長為(　　)
A．16 B．18 C．20 D．不確定
4．設F1，F2是橢圓＋＝1的兩個焦點，P是橢圓上的點，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，則△F1PF2的面積等于(　　)
A．5 B．4 C．3 D．1
5．設P是橢圓＋＝1上一點，P到兩焦點F1，F2的距離之差為2，則△PF1F2是(　　)
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形
6．設橢圓的兩個焦點分別為F1、F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若△F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是________．
7．已知橢圓C：＋＝1，點M與C的焦點不重合．若M關于C的焦點的對稱點分別為A，B，線段MN的中點在C上，則|AN|＋|BN|＝________.
B級
8．已知橢圓的焦點是F1，F2，P是橢圓上的一動點，如果延長F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么動點Q的軌跡是(　　)
A．圓 B．橢圓
C．雙曲線的一支 D．拋物線
9．已知O為坐標原點，F是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦點，A，B分別為C的左，右頂點．P為C上一點，且PF⊥x軸．過點A的直線l與線段PF交于點M，與y軸交于點E.若直線BM經過OE的中點，則C的離心率為(　　)
A.B. C. D.
10．設AB是橢圓P：＋＝1(a>b>0)的長軸，點C在P上，且∠CBA＝，若AB＝4，BC＝，則P的兩個焦點之間的距離為________．
11.如圖，在平面直角坐標系xOy中，F是橢圓＋＝1(a＞b＞0)的右焦點，直線y＝與橢圓交于B，C兩點，且∠BFC＝90°，則該橢圓的離心率是________．
12．橢圓Г：＋＝1(a>b>0)的左，右焦點分別為F1，F2，焦距為2c.若直線y＝(x＋c)與橢圓Г的一個交點M滿足∠MF1F2＝2∠MF2F1，則該橢圓的離心率等于________．
13．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的一個頂點為A(2,0)，離心率為.直線y＝k(x－1)與橢圓C交于不同的兩點M，N.
(1)求橢圓C的方程；
(2)當△AMN的面積為時，求k的值．
詳解答案
典型例題
例1　解　由題意知點M在線段CQ上，
從而有|CQ|＝|MQ|＋|MC|.
又點M在AQ的垂直平分線上，則|MA|＝|MQ|，∴|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5.
∵A(1,0)，C(－1,0)，
∴點M的軌跡是以(1,0)，(－1,0)為焦點的橢圓，且2a＝5，
故a＝，c＝1，b2＝a2－c2＝－1＝.
故點M的軌跡方程為＋＝1.
變式1　＋＝1
解析　根據橢圓的定義，知△ABF2的周長為4a，故a＝4.又＝，則c＝2.
則b2＝8，所以C的方程為＋＝1.
例2　解　(1)依題意a＝2b.
①當焦點在x軸上時，設橢圓方程為
＋＝1.
代入點A(2，－6)坐標，得＋＝1，
解得b2＝37，∴a2＝4b2＝4×37＝148，
∴橢圓的標準方程為＋＝1.
②當焦點在y軸上時，設橢圓方程為
＋＝1.
代入點A(2，－6)坐標得＋＝1，
∴b2＝13，∴a2＝52.
∴橢圓的標準方程為＋＝1.
綜上所述，所求橢圓的標準方程為
＋＝1或＋＝1.
(2)由橢圓的性質知，點(3,0)是橢圓的一個頂點，故a＝3或b＝3.
①當焦點在x軸上時，a＝3，
又＝，所以c＝，所以b2＝3，
所以橢圓的標準方程為＋＝1.
②當焦點在y軸上時，b＝3，
由＝，得＝，即＝，得a2＝27.所以橢圓的標準方程為＋＝1.
綜上所述，所求橢圓的標準方程為＋＝1或＋＝1.
變式2　(1)A　[將橢圓方程化為標準方程為x2＋＝1，∵焦點在y軸上，∴>1，
∴0∵a＝2b，∴m＝.]
(2)4或－
解析　當k＋8>9時，e2＝＝＝，k＝4；當k＋8<9時，e2＝＝＝，
k＝－.
例3　解　(1)由橢圓定義知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a，
又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝a.
l的方程為y＝x＋c，其中c＝.
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則A，B兩點坐標滿足方程組.
化簡得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，
則x1＋x2＝，x1x2＝.
因為直線AB斜率為1，
所以|AB|＝|x2－x1|
＝
得a＝，故a2＝2b2.
所以E的離心率e＝＝＝.
(2)設AB的中點為N(x0，y0)，由(1)知
x0＝＝＝－c，y0＝x0＋c＝.
由|PA|＝|PB|，知△APB為等腰三角形，PN⊥AB，得kPN＝－1.即＝－1，得c＝3，從而a＝3，b＝3.
故橢圓E的方程為＋＝1.
變式3　D　[設A(x1，y1)、B(x2，y2)，所以運用點差法，所以直線AB的斜率為k＝，設直線方程為y＝(x－3)，
聯立直線與橢圓的方程得(a2＋b2)x2－6b2x＋9b2－a4＝0，
所以x1＋x2＝＝2；
又因為a2－b2＝9，解得b2＝9，a2＝18.]
強化提高
1．B
2．A　[由條件可得F1(－3,0)，PF1的中點在y軸上，∴P坐標(3，y0)，
又P在＋＝1的橢圓上，
∴y0＝±，
∴M的坐標為(0，±)，故選A.]
3．B　[△PF1F2的周長為|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c.因為2a＝10，c＝＝4，所以周長為10＋8＝18.]
4．B　[由橢圓方程，得a＝3，b＝2，c＝，
∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，
又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，
∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，
由22＋42＝(2)2可知△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面積為|PF1|·|PF2|＝×4×2＝4，故選B.]
5．B　6.－1
7．12
解析　橢圓＋＝1中，a＝3.
如圖，設MN的中點為D，
則|DF1|＋|DF2|＝2a＝6.
∵D，F1，F2分別為MN，AM，BM的中點，
∴|BN|＝2|DF2|，|AN|＝2|DF1|，
∴|AN|＋|BN|＝2(|DF1|＋|DF2|)＝12.
8．A　[如圖，
依題意：
|PF1|＋|PF2|＝2a
(a>0是常數)．
又∵|PQ|＝|PF2|，
∴|PF1|＋|PQ|＝2a，
即|QF1|＝2a.
∴動點Q的軌跡是以F1為圓心，2a為半徑的圓，故選A.]
9．A　[設M(－c，m)，則E，OE的中點為D，則D，又B，D，M三點共線，所以＝，a＝3c，e＝.]
10.　11.
12.－1
解析　由直線方程為y＝(x＋c)，
知∠MF1F2＝60°，又∠MF1F2＝2∠MF2F1，
所以∠MF2F1＝30°，MF1⊥MF2，
所以|MF1|＝c，|MF2|＝c，
所以|MF1|＋|MF2|＝c＋c＝2a.
即e＝＝－1.
13．解　(1)由題意得解得b＝.
所以橢圓C的方程為＋＝1.
(2)由，
得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.
設點M，N的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，
x1＋x2＝，x1x2＝.
所以|MN|
＝
＝.
又因為點A(2,0)到直線y＝k(x－1)的距離d＝，所以△AMN的面積為
S＝|MN|d＝.
由＝，解得k＝±1.

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