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專題14　拋物線
1．拋物線的定義
2．拋物線的標準方程
3．拋物線的幾何性質
4．直線與拋物線的位置關系
討論直線與拋物線的位置關系，一般是將直線方程與拋物線的方程聯立成方程組，消去y得關于x的方程ax2＋bx＋c＝0，討論a及判別式Δ，由ax2＋bx＋c＝0解的情況得到直線與拋物線的位置關系．當a≠0且Δ<0時，直線與拋物線沒有公共點；當a≠0且Δ＝0時，直線與拋物線相切，有一個公共點；當a＝0且b≠0時，直線與拋物線相交，有一個公共點，此時直線與拋物線的對稱軸平行；當a≠0且Δ>0時，直線與拋物線相交，有兩個公共點．
例1　設拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，點M在C上，|MF|＝5，若以MF為直徑的圓過點(0,2)，則C的方程為(　　)
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
變式1　已知點P是拋物線y2＝2x上的一個動點，則點P到點(0,2)的距離與點P到該拋物線準線的距離之和的最小值是(　　)
A. B．3 C.D.
例2　已知拋物線C：y2＝8x與點M(－2,2)，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A、B兩點．若·＝0，求k的值．
變式2　設F為拋物線C：y2＝4x的焦點，過點P(－1,0)的直線l交拋物線C于A、B兩點，點Q為線段AB的中點，若|FQ|＝2，則直線l的斜率等于________．
例3　如圖，已知△AOB的一個頂點為拋物線y2＝2x的頂點O，A、B兩點都在拋物線上，且∠AOB＝90°.
證明：直線AB必過一定點；
變式3　如圖，過拋物線y2＝x上一點A(4，2)作傾斜角互補的兩條直線AB、AC交拋物線于B、C兩點，求證：直線BC的斜率是定值．
A級
1．已知拋物線y2＝2px(p＞0)的準線經過點(－1,1)，則該拋物線焦點坐標為(　　)
A．(－1,0) B．(1,0) C．(0，－1) D．(0,1)
2．已知F是拋物線y2＝x的焦點，A，B是該拋物線上的兩點，|AF|＋|BF|＝3，則線段AB的中點到y軸的距離為(　　)
A. B．1 C.D.
3．已知拋物線關于x軸對稱，它的頂點在坐標原點O，并且經過點M(2，y0)．若點M到該拋物線焦點的距離為3，則|OM|等于(　　)
A．2 B．2 C．4 D．2
4．過點(1,0)作斜率為－2的直線，與拋物線y2＝8x交于A、B兩點，則弦AB的長為(　　)
A．2B．2C．2D．2
5．若拋物線y2＝4x上的點M到焦點的距離為10，則M到y軸的距離是________．
6．設拋物線y2＝8x的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點，PA⊥l，A為垂足，如果直線AF的斜率為－，那么|PF|＝________.
7．根據下列條件寫出拋物線的標準方程：
(1)準線方程是y＝3；
(2)過點P(－2，4)；
(3)焦點到準線的距離為.
B級
8．動點到點(3,0)的距離比它到直線x＝－2的距離大1，則動點的軌跡是(　　)
A．橢圓 B．雙曲線
C．雙曲線的一支 D．拋物線
9．已知直線y＝k(x＋2)(k>0)與拋物線C：y2＝8x相交于A，B兩點，F為C的焦點．若|FA|＝2|FB|，則k等于(　　)
A. B.
C. D.
10．以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A，B兩點，交C的準線于D，E兩點．已知|AB|＝4，|DE|＝2，則C的焦點到準線的距離為(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
11．已知O為坐標原點，F為拋物線y2＝4x的焦點，A是拋物線上一點，若·＝－4，則點A的坐標是________．
12．如圖所示是拋物線形拱橋，
當水面在l時，拱頂離水面2 m，水面寬4 m．水位下降1 m后，水面寬________ m.
13．已知動圓過定點A(4,0)，且在y軸上截得弦MN的長為8.
(1)求動圓圓心的軌跡C的方程；
(2)已知點B(－1,0)，設不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點P，Q，若x軸是∠PBQ的角平分線，證明：直線l過定點．
詳解答案
典型例題
例1　C　[由題意知：F，拋物線的準線方程為x＝－，則由拋物線的定義知，xM＝5－，設以MF為直徑的圓的圓心為，所以圓的方程為2＋2＝，又因為圓過點(0,2)，所以yM＝4，又因為點M在C上，所以16＝2p，解得p＝2或p＝8，所以拋物線C的方程為y2＝4x或y2＝16x，故選C.]
變式1　A
例2　解　聯立直線與拋物線的方程，消元得一元二次方程并得兩根之間的關系，由·＝0進行坐標運算解未知量k.
拋物線C的焦點為F(2,0)，則直線方程為y＝k(x－2)，與拋物線方程聯立，
消去y化簡得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0.
設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1＋x2＝4＋，x1x2＝4.
所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－4k＝，
y1y2＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝－16.
因為·＝(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋y1y2－2(y1＋y2)＋8＝0，將上面各個量代入，化簡得k2－4k＋4＝0，所以k＝2.
變式2　±1
解析　設直線l的方程為y＝k(x＋1)，
A(x1，y1)、B(x2，y2)、Q(x0，y0)．
解方程組.
化簡得：k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0
∴x1＋x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2＋2)＝.∴x0＝，y0＝.
由＝2得：
2＋2＝4.∴k＝±1.
例3　證明　方法一　設OA所在直線的方程為y＝kx(k≠0)，
則直線OB的方程為y＝－x，
由解得或
即A點的坐標為(，)．
同理由，
解得B點的坐標為(2k2，－2k)．
∴AB所在直線的方程為
y＋2k＝(x－2k2)，
化簡并整理，得(－k)y＝x－2.
不論實數k取任何不等于0的實數，當x＝2時，恒有y＝0.故直線過定點P(2,0)．
方法二　設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直線AB的方程為y＝kx＋m，
將x＝代入y2＝2x，消x，
整理得y2－y＋＝0，
則Δ＝(－)2－>0，y1y2＝.
由y＝2x1，y＝2x2，所以x1x2＝，
由∠AOB＝90°，OA⊥OB，故x1x2＋y1y2＝0.
所以＋y1y2＝0，可得y1y2＝－4，
于是－4＝，得m＝－2k，滿足Δ>0，
所以y＝kx＋m＝kx－2k＝k(x－2)，直線過(2,0)；當直線AB的方程為x＝2時，由y2＝4，得y＝±2，滿足OA⊥OB；故直線AB過定點P(2,0)．
方法三　設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直線AB的方程為y－y1＝(x－x1)，
即y－y1＝(x－x1)，
即y－y1＝(x－)，
即y＝x＋y1－，
即y＝x＋.由方法二知y1y2＝－4，代入即得直線AB過定點P(2,0)．
變式3　證明　設kAB＝k (k≠0)，
∵直線AB，AC的傾斜角互補，
∴kAC＝－k(k≠0)，
∵AB的方程是y＝k(x－4)＋2.
由方程組消去y后，整理得
k2x2＋(－8k2＋4k－1)x＋16k2－16k＋4＝0.
∵A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程組的解．
∴4·xB＝，
即xB＝，
以－k代換xB中的k，得xC＝，
∴kBC＝
＝
＝＝
＝－.所以直線BC的斜率為定值．
強化提高
1．B　[由于拋物線y2＝2px(p＞0)的準線方程為x＝－，由題意得－＝－1，p＝2，焦點坐標為，故選B.]
2．C　[∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋＝3，
∴xA＋xB＝.
∴線段AB的中點到y軸的距離為＝.]
3．B　[由拋物線定義，知＋2＝3，所以p＝2，拋物線方程為y2＝4x.因為點M(2，y0)在拋物線上，所以y＝8，故|OM|＝＝2.]
4．B　[不妨設A，B兩點坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，其中x1>x2.
由直線AB斜率為－2，且過點(1,0)得直線AB的方程為y＝－2(x－1)，
代入拋物線方程y2＝8x得4(x－1)2＝8x，
整理得x2－4x＋1＝0，解得x1＝2＋，x2＝2－，代入直線AB方程得
y1＝－2－2，y2＝2－2.
故A(2＋，－2－2)，B(2－，2－2)．
|AB|＝＝2.]
5．9
解析　拋物線y2＝4x的焦點F(1,0)．準線為x＝－1，由M到焦點的距離為10，可知M到準線x＝－1的距離也為10，故M的橫坐標滿足xM＋1＝10，解得xM＝9，所以點M到y軸的距離為9.
6．8
解析　如圖所示，直線AF的方程為y＝－(x－2)，與準線方程x＝－2聯立得
A(－2，4)．
設P(x0,4)，
代入拋物線y2＝8x，
得8x0＝48，∴x0＝6，
∴|PF|＝x0＋2＝8.
7．解　(1)由準線方程為y＝3知拋物線的焦點在y軸負半軸上，且＝3，則p＝6，
故所求拋物線的標準方程為x2＝－12y.
(2)∵點P(－2，4)在第二象限，
∴設所求拋物線的標準方程為y2＝－2px(p>0)或x2＝2py(p>0)，
將點P(－2，4)代入y2＝－2px，得p＝2，
代入x2＝2py，得p＝1.∴所求拋物線的標準方程為y2＝－4x或x2＝2y.
(3)由焦點到準線的距離為，得p＝，
故所求拋物線的標準方程為y2＝2x，y2＝－2x，x2＝2y或x2＝－2y.
8．D
9．D　[設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
易知x1>0，x2>0，y1>0，y2>0，
由得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，
∴x1x2＝4，①
∵|FA|＝x1＋＝x1＋2，
|FB|＝x2＋＝x2＋2，且|FA|＝2|FB|，
∴x1＝2x2＋2.②
由①②得x2＝1，
∴B(1,2)，代入y＝k(x＋2)，
得k＝.故選D.]
10．B[不妨設拋物線C：y2＝2px(p>0)，則圓的方程可設為x2＋y2＝r2(r>0)，如圖，
又可設A(x0,2)，
D，
點A(x0,2)在拋物線y2＝2px上，∴8＝2px0，①
點A(x0,2)在圓x2＋y2＝r2上，
∴x＋8＝r2，②
點D在圓x2＋y2＝r2上，
∴5＋2＝r2，③
聯立①②③，解得p＝4，即C的焦點到準線的距離為p＝4，故選B.]
11．(1,2)或(1，－2)
解析　∵拋物線的焦點為F(1,0)，
設A(，y0)，
則＝(，y0)，＝(1－，－y0)，
由·＝－4，
得y0＝±2，
∴點A的坐標是(1,2)或(1，－2)．
12．2
解析　(數形結合法)
建立如圖所示的平面直角坐標系，設拋物線方程為x2＝－2py(p>0)，
則A(2，－2)，將其坐標代入x2＝－2py得p＝1.∴x2＝－2y.
當水面下降1 m時，得D(x0，－3)(x0>0)，
將其坐標代入x2＝－2y得x＝6，
∴x0＝.∴水面寬|CD|＝2 m.
13．(1)解　如圖，設動圓圓心為O1(x，y)，由題意，
得|O1A|＝|O1M|，
當O1不在y軸上時，過O1作O1H⊥MN交MN于H，
則H是MN的中點，
∴|O1M|＝，
又|O1A|＝，
∴＝，化簡得y2＝8x(x≠0)．
又當O1在y軸上時，O1與O重合，點O1的坐標為(0,0)也滿足方程y2＝8x，
∴動圓圓心的軌跡C的方程為y2＝8x.
(2)證明　由題意，設直線l的方程為y＝kx＋b(k≠0)，
P(x1，y1)，Q(x2，y2)，將y＝kx＋b代入y2＝8x中，
得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0.其中Δ＝－32kb＋64>0.
由根與系數的關系得，x1＋x2＝，①
x1x2＝，②
因為x軸是∠PBQ的角平分線，
所以＝－，
即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，
(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，
2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0③
將①，②代入③得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0，
∴k＝－b，此時Δ>0，
∴直線l的方程為y＝k(x－1)，即直線l過定點(1,0)．

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