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專題16　空間向量在立體幾何中的應(yīng)用
1．判斷平行、垂直關(guān)系
直線的方向向量平行(垂直)，則直線平行(垂直)；
直線的方向向量與平面法向量平行，則線面垂直；
直線的方向向量與平面法向量垂直，則線面垂直(直線不在此平面內(nèi))；
平面法向量平行(垂直)，則面面平行(垂直)．
2．求異面直線所成的角
設(shè)兩異面直線的方向向量分別為n1、n2，向量夾角為θ，異面直線所成的角為α，則：cosα＝|cosθ|.
3．求直線與平面所成的角
直線的方向向量、平面法向量分別為n1、n2，向量夾角為θ，線面角為α，則sin α＝|cosθ|.
4．求二面角
方法一：平面法向量分別為n1、n2，向量夾角為θ，二面角為α，則|cosα|＝|cosθ|；
方法二：如圖，BA、EF分別在半平面內(nèi)，BA⊥l，EF⊥l，則二面角即為〈，〉．
　　　　　　　　　　　　　
例1　如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別是C1C、B1C1的中點(diǎn)．求證：MN∥平面A1BD.
變式1　三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC.A1A＝，AB＝AC＝2A1C1＝2，D為BC中點(diǎn)．
求證：平面A1AD⊥平面BCC1B1.
例2　如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，直線BC1與平面A1BD所成角的余弦值是________．
變式2　如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M是C1C的中點(diǎn)，O是底面ABCD的中心，P是A1B1上的任意點(diǎn)，則直線BM與OP所成的角為________．
例3　如圖，三棱錐PABC中，PC⊥平面ABC，PC＝3，∠ACB＝.D，E分別為線段AB，BC上的點(diǎn)，且CD＝DE＝，CE＝2EB＝2.
(1)證明：DE⊥平面PCD；
(2)求二面角APDC的余弦值．
變式3　如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，側(cè)棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E為棱AA1的中點(diǎn)．
(1)證明：B1C1⊥CE；
(2)求二面角B1－CE－C1的正弦值；
(3)設(shè)點(diǎn)M在線段C1E上，且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為，求線段AM的長．
A級
1．設(shè)平面α的法向量為(1,2，－2)，平面β的法向量為(－2，－4，k)，若α∥β，則k等于(　　)
A．2 B．－4 C．4 D．－2
2．已知直線l1的方向向量a＝(2,4，x)，直線l2的方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，則x＋y的值是(　　)
A．－3或1 B．3或－1
C．－3 D．1
3．設(shè)直線l與平面α相交，且l的方向向量為a，α的法向量為n，若〈a，n〉＝，則l與α所成的角為(　　)
A.B.C.D.
4．三棱錐A－BCD中，平面ABD與平面BCD的法向量分別為n1，n2，若〈n1，n2〉＝，則二面角A－BD－C的大小為(　　)
A. B.
C.或 D.或
5．已知點(diǎn)A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，則平面ABC與平面xOy所成銳二面角的余弦值為________．
6．如圖所示，三棱柱OAB—O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，則異面直線A1B與AO1所成角的余弦值的大小為________．
7．設(shè)ABCD、ABEF都是邊長為1的正方形，F(xiàn)A⊥平面ABCD，則異面直線AC與BF所成的角為________．
B級
8．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，則PC與平面ABCD所成的角是(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
9．直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，BC＝CA＝CC1，則BM與AN所成角的余弦值為(　　)
A.B.C. D.
10．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中AA1＝2AB，則CD與平面BDC1所成角的正弦值等于________．
11．二面角的棱上有A、B兩點(diǎn)，直線AC、BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，則該二面角的大小為______．
12．在棱長為2的正方體ABCD—A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是CC1，AD的中點(diǎn)，那么異面直線OE和FD1所成角的余弦值等于________．
13．如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.
(1)證明：AB⊥A1C；
(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB＝2，求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值．

詳解答案
典型例題
例1　證明　方法一　如圖，以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，
則可求得M，N，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，
于是＝，＝(1,0,1)，＝(1,1,0)，
設(shè)平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)，
則n·＝0，且n·＝0，得
令x＝1，得y＝－1，z＝－1，∴n＝(1，－1，－1)．
又·n＝(，0，)·(1，－1，－1)＝0，
∴⊥n.又MN?平面A1BD.
∴MN∥平面A1BD.
方法二　∵＝－＝－＝(－)＝，
∴∥，而MN?平面A1BD，DA1?平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.
變式1　證明　方法一
如圖，建立空間直角坐標(biāo)系．
則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0，)，C1(0,1，)，
∵D為BC的中點(diǎn)，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1,0)，
∴＝(－2,2,0)，＝(1,1,0)，
＝(0,0，)，
∵·＝－2＋2＋0＝0，·＝0＋0＋0＝0，
∴⊥，⊥，∴BC⊥AD，BC⊥AA1，
又AD∩AA1＝A，∴BC⊥平面ADA1，
而BC?平面BCC1B1，
∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.
方法二　同方法一，得＝(0,0，)，＝(1,1,0)，＝(－2,2,0)，＝(0，－1，)，
設(shè)平面A1AD的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，
平面BCC1B1的法向量為n2＝(x2，y2，z2)．
由得
令y1＝－1得x1＝1，z1＝0，
∴n1＝(1，－1,0)．
由得
令y2＝1，得x2＝1，z2＝，∴n2＝(1,1，)．
∴n1·n2＝1－1＋0＝0，∴n1⊥n2.
∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.
例2　
解析　建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)棱長為1，則B(1,1,0)，C1(0,1,1)，A1(1,0,1)，D(0,0,0)，＝(－1,0,1)，＝(－1,0，－1)，＝(－1，－1,0)，
設(shè)平面A1BD的一個法向量為n＝(1，x，y)，
設(shè)平面A1BD與BC1所成的角為θ，
n⊥，n⊥，所以n·＝0，n·＝0，所以
解得
所以n＝(1，－1，－1)，
則cos〈，n〉＝＝－，
所以sin θ＝，
所以cosθ＝＝.
變式2　
例3　(1)證明　由PC⊥平面ABC，DE?平面ABC，故PC⊥DE.
由CE＝2，CD＝DE＝得△CDE為等腰直角三角形，故CD⊥DE.
由PC∩CD＝C，DE垂直于平面PCD內(nèi)兩條相交直線，故DE⊥平面PCD.
(2)解　由(1)知，△CDE為等腰直角三角形，∠DCE＝，如圖，過D作DF垂直CE于F，易知DF＝FC＝FE＝1，又已知EB＝1，故FB＝2.
由∠ACB＝得DF∥AC，
＝＝，
故AC＝DF＝.
以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則C(0,0,0)，P(0,0,3)，A，E(0,2,0)，D(1,1,0)，＝(1，－1,0)，＝(－1，－1,3)，＝.
設(shè)平面PAD的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，
由n1·＝0，n1·＝0，得
故可取n1＝(2,1,1)．
由(1)可知DE⊥平面PCD，故平面PCD的法向量n2可取為，即n2＝(1，－1,0)．
從而法向量n1，n2的夾角的余弦值為
cos〈n1，n2〉＝＝，
故所求二面角APDC的余弦值為.
變式3　方法一　如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，以AD，AA1，AB所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，依題意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0)．
(1)證明　易得＝(1,0，－1)，＝(－1,1，－1)，于是·＝0，所以B1C1⊥CE.
(2)解　＝(1，－2，－1)．
設(shè)平面B1CE的法向量m＝(x，y，z)，
則即
消去x，得y＋2z＝0，
不妨令z＝1，
可得一個法向量為m＝(－3，－2,1)．
由(1)知，B1C1⊥CE，
又CC1⊥B1C1，可得B1C1⊥平面CEC1，
故＝(1,0，－1)為平面CEC1的一個法向量．
于是cos〈m，〉＝＝＝－，
從而sin〈m，〉＝，所以二面角B1－CE－C1的正弦值為.
(3)解　＝(0,1,0)，＝(1,1,1)，
設(shè)＝λ＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，
有＝＋＝(λ，λ＋1，λ)．
可取＝(0,0,2)為平面ADD1A1的一個法向量．
設(shè)θ為直線AM與平面ADD1A1所成的角，則sin θ＝|cos〈，〉|＝
＝＝，
于是＝，解得λ＝(負(fù)值舍去)，所以AM＝.
強(qiáng)化提高
1．C　2.A　3.C　4.C
5.
解析　＝(－1,2,0)，＝(－1,0,3)．
設(shè)平面ABC的法向量為n＝(x，y，z)．
由n·＝0，n·＝0知
令x＝2，則y＝1，z＝.∴平面ABC的一個法向量為n＝(2,1，)．
平面xOy的一個法向量為＝(0,0,3)．
由此易求出所求二面角的余弦值為.
6.
解析　建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則O(0,0,0)，O1(0，1，)，A(，0,0)，A1(，1，)，
B(0,2,0)，
∴＝(－，1，－)，
＝(，－1，－)．
∴|cos〈，〉|＝
＝＝.
∴異面直線A1B與AO1所成角的余弦值為.
7．60°
8．A　[建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則
P(0,0,1)，C(1，，0)，
＝(1，，－1)，
平面ABCD的一個法向量為n＝(0,0,1)，
所以cos〈，n〉＝＝－，所以〈·n〉＝120°，
所以斜線PC與平面ABCD的法向量所在直線所成的角為60°，所以斜線PC與平面ABCD所成的角為30°.]
9．C　[方法一　補(bǔ)成正方體，利用向量的方法求異面直線所成的角．
由于∠BCA＝90°，三棱柱為直三棱柱，且BC＝CA＝CC1，可將三棱柱補(bǔ)成正方體．
建立如圖(1)所示空間直角坐標(biāo)系．
設(shè)正方體棱長為2，則可得A(0,0,0)，B(2,2,0)，M(1,1,2)，N(0,1,2)，
∴＝(1,1,2)－(2,2,0)＝(－1，－1,2)，＝(0,1,2)．
∴cos〈，〉＝
＝＝＝.
方法二　通過平行關(guān)系找出兩異面直線的夾角，再根據(jù)余弦定理求解．
如圖(2)，取BC的中點(diǎn)D，連接MN，ND，AD，由于MN綊B1C1綊BD，因此有ND綊BM，則ND與NA所成的角即為異面直線BM與AN所成的角．設(shè)BC＝2，則BM＝綊ND＝，AN＝，AD＝，因此cos∠AND＝＝.]
10.
解析　設(shè)AB＝1，則AA1＝2，分別以、、的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則D(0,0,2)，C1(0,1,0)，B(1,1,2)，C(0,1,2)，
＝(1,1,0)，＝(0,1，－2)，＝(0,1,0)，
設(shè)n＝(x，y，z)為平面BDC1的一個法向量，
則，即
取n＝(－2,2,1)，
設(shè)CD與平面BDC1所成角為θ，
則sin θ＝＝.
11．60°
12.
解析　以D為原點(diǎn)，分別以DA、DC、DD1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
∴F(1,0,0)，D1(0,0,2)，O(1,1,0)，
E(0,2,1)，
∴＝(－1,0,2)，＝(－1,1,1)，
∴cos〈，〉＝＝.
13．(1)證明　如圖，取AB的中點(diǎn)O，連接CO、A1O.∵CA＝CB，∴CO⊥AB，
又∵AA1＝AB，∴AA1＝2AO，
又∠A1AO＝60°，∴∠AOA1＝90°，即AB⊥A1O，∴AB⊥平面A1OC，∴AB⊥A1C.
(2)解　以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在直線為x軸，OA1所在直線為y軸，OC所在直線為z軸，建立如圖直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，A1(0，，0)，B(－1,0,0)，C(0,0，)，B1(－2，，0)，
則＝(1,0，)，＝(－1，，0)，＝(0，－，)，
設(shè)n＝(x，y，z)為平面BB1C1C的法向量，則，所以n＝(，1，－1)為平面BB1C1C的一個法向量，
所以直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值sin θ＝.

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