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專題15　空間向量及其運(yùn)算
1．空間向量
(1)空間向量及其表示．
(2)共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb(λ唯一)．
(3)共面向量定理：如果兩個(gè)向量a，b不共線，p與向量a，b共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)x，y使p＝xa＋yb.
(4)空間向量基本定理．
2．空間向量的運(yùn)算
(1)空間向量的線性運(yùn)算(加、減、數(shù)乘)；
(2)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算．
3．空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示
向量加、減、數(shù)乘、數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示；
向量平行、垂直的坐標(biāo)表示；
模、空間兩點(diǎn)間的距離的坐標(biāo)表示．
例1　已知點(diǎn)A(λ＋1，μ－1,3)，B(2λ，μ，λ－2μ)，C(λ＋3，μ－3,9)三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)λ＋μ＝________.
變式1　下列等式中，使點(diǎn)M與點(diǎn)A、B、C一定共面的是(　　)
A.＝3－2－
B.＝＋＋
C.＋＋＋＝0
D.＋＋＝0
例2　如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別為AB、B1C的中點(diǎn)．試用、、表示向量.
變式2　如圖，在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，M為AC與BD的交點(diǎn)．若＝a，＝b，＝c，則下列向量中與相等的向量是(　　)
A．－a＋b＋c
B.a＋b＋c
C.a－b＋c
D．－a－b＋c
例3　已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1,2,3)，B(2，－1，5)，C(3,2，－5)．
(1)求△ABC的面積；
(2)求△ABC中AB邊上的高．
變式3　如圖，已知點(diǎn)P在正方體ABCD－A′B′C′D′的對(duì)角線BD′上，∠PDA＝60°.求DP與CC′所成角的大小．
A級(jí)
1．下列說法中正確的是(　　)
A．若|a|＝|b|，則a、b的長(zhǎng)度相同，方向相同或相反
B．若向量a是向量b的相反向量，則|a|＝|b|
C．空間向量的減法滿足結(jié)合律
D．在四邊形ABCD中，一定有＋＝
2．對(duì)于向量a、b、c和實(shí)數(shù)λ，下列命題中的真命題是(　　)
A．若a·b＝0，則a＝0或b＝0
B．若λa＝0，則λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，則a＝b或a＝－b
D．若a·b＝a·c，則b＝c
3．如圖，在四棱柱的上底面ABCD中，＝，則下列向量相等的是(　　)
A.與
B.與
C.與
D.與
4．已知向量a、b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，則一定共線的三點(diǎn)是(　　)
A．A、B、D B．A、B、C
C．B、C、D D．A、C、D
5．若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，且a與b的夾角的余弦值為，則λ＝________.
6．已知向量a＝(－1,0,1)，b＝(1,2,3)，k∈R，若ka－b與b垂直，則k＝________.
7．已知點(diǎn)A(－1,3,1)，B(－1,3,4)，D(1,1,1)，若＝2，則||的值是________．
B級(jí)
8．已知a、b是異面直線，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，則a與b所成的角是(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
9．已知在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，同一頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都等于1，且彼此的夾角都是60°，則此平行六面體的對(duì)角線AC1的長(zhǎng)為(　　)
A.B．2 C. D.
10．已知A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，則△ABC的形狀是(　　)
A．等腰三角形 B．等邊三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
11．對(duì)于空間中的非零向量、、，有下列各式：
①＋＝；
②－＝；
③||＋||＝||；
④||－||＝||.
其中一定不成立的是________．
12．如圖所示，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各條棱長(zhǎng)都相等，M是側(cè)棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線AB1和BM所成角的大小是________．
13．在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形，幾何體EFG－ABC為三棱臺(tái)，EG∶AC＝1∶2，若M是線段AD的中點(diǎn)，求證：GM∥平面ABFE；
詳解答案
典型例題
例1　0
解析　因?yàn)椋?λ－1,1，λ－2μ－3)，＝(2，－2,6)，若A，B，C三點(diǎn)共線，則∥，即＝－＝，解得λ＝0，μ＝0，所以λ＋μ＝0.
變式1　D　[由于M、A、B、C四點(diǎn)共面?＝x＋y＋z(x，y，z∈R)且x＋y＋z＝1，∴選項(xiàng)A、B、C都不正確．由于＋＋＝0?＝－－，所以存在x＝－1，y＝－1，使＝x＋y，∴，，共面．由于M為公共點(diǎn)，∴M、A、B、C四點(diǎn)共面，故選D.]
例2　解　＝＋＋
＝＋＋(＋)
＝＋＋(－＋)
＝＋＋.
變式2　A　[＝＋＝＋(＋)＝c＋(－a＋b)＝－a＋b＋c，故選A.]
例3　解　(1)由已知得＝(1，－3,2)，＝(2,0，－8)，∴||＝＝，
||＝＝2，
·＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14，
cos〈，〉＝
＝＝，
sin〈，〉＝＝.
∴S△ABC＝||·||·sin〈，〉
＝××2×＝3.
(2)設(shè)AB邊上的高為CD，
則||＝＝3.
變式3　解　如圖，以D為原點(diǎn)，DA為單位長(zhǎng)度建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz.
則＝(1,0,0)，＝(0,0,1)，連接BD，B′D′.在平面BB′D′D中，延長(zhǎng)DP交B′D′于H.
設(shè)＝(m，m,1)(m>0)，由已知〈，〉＝60°，·＝||·||·cos〈·〉，可得2m＝.解得m＝，所以＝(，，1)．
可得cos〈，〉＝，所以〈，〉＝，即DP與CC′所成角的大小為.
強(qiáng)化提高
1．B　[|a|＝|b|，說明a與b模長(zhǎng)相等，但方向不確定；對(duì)于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，從而B正確；空間向量只定義加法具有結(jié)合律，減法不具有結(jié)合律；一般的四邊形不具有＋＝，只有平行四邊形才能成立．故A、C、D均不正確．]
2．B　[對(duì)于A，可舉反例：當(dāng)a⊥b時(shí)，a·b＝0；
對(duì)于C，a2＝b2，只能推得|a|＝|b|，而不能推出a＝±b；對(duì)于D，a·b＝a·c可以移項(xiàng)整理推得a⊥(b－c)．]
3．D　4.A
5．－2或
解析　因?yàn)閍·b＝1×2＋λ×(－1)＋2×2＝6－λ，
又因?yàn)閍·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＝··＝，
所以＝6－λ，
解得λ＝－2或.
6．7
7．2
解析　設(shè)點(diǎn)P(x，y，z)，則由＝2，
得(x＋1，y－3，z－1)＝2(－1－x,3－y,4－z)，
則解得
即P(－1,3,3)，
則||＝＝＝2.
8．C　[∵＝＋＋，
∴·＝(＋＋)·
＝·＋2＋·
＝0＋12＋0＝1，
又||＝2，||＝1.
∴cos〈，〉＝＝＝.
∴a與b所成的角是60°.]
9．D
10．C　[＝(3,4，－8)，＝(2，－3,1)，
＝(5,1，－7)，
于是·＝10－3－7＝0，而||＝，
||＝5，所以△ABC是直角三角形．]
11．②
解析　根據(jù)空間向量的加減法運(yùn)算，對(duì)于①：＋＝恒成立；對(duì)于③：當(dāng)、、方向相同時(shí)，有||＋||＝||；對(duì)于④：當(dāng)、、共線且與、方向相反時(shí)，有||－||＝||.只有②一定不成立．
12．90°
解析　不妨設(shè)棱長(zhǎng)為2，選擇基向量{，，}，
則＝－，＝＋.
cos〈，〉
＝
＝＝0.故填90°.
13．證明　＝＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋，故、、共面．
因?yàn)镸G不在平面ABFE內(nèi)，所以GM∥平面ABFE.

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