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專題9　互斥事件與對立事件
1．事件的包含關系
一般地，對于事件A與事件B，如果事件A發生，則事件B一定發生，這時稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)記作B?A(或A?B)．
2．事件的相等關系
一般地，若B?A且A?B，那么稱事件A與事件B相等，記作A＝B.
3．互斥事件與對立事件
(1)若A∩B為不可能事件(A∩B＝?)，那么稱事件A與事件B互斥．
(2)若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件．
例1　判斷下列給出的每對事件，是互斥事件還是對立事件，并說明理由．
從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花點數從1～10各10張)中，任取一張．
(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；
(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌點數為5的倍數”與“抽出的牌點數大于9”．
變式1　拋擲一個骰子(各面上分別標有數字1,2,3,4,5,6)，判斷下列給出的每對事件，是否為對立事件．
(1)“朝上的一面出現奇數”與“朝上的一面出現偶數”；
(2)“朝上的一面數字不大于4”與“朝上的一面數字大于4”．
例2　如果從不包括大小王的52張撲克牌中隨機抽取一張，那么取到紅心(事件A)的概率是，取到方塊(事件B)的概率是，問：
(1)取到紅色牌(事件C)的概率是多少？
(2)取到黑色牌(事件D)的概率是多少？
變式2　袋中有12個小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一球，已知得到紅球的概率是，得到黑球或黃球的概率是，得到黃球或綠球的概率也是，試求得到黑球、黃球、綠球的概率分別是多少？
A級
1．給出以下結論：
①互斥事件一定對立；
②對立事件一定互斥；
③互斥事件不一定對立；
④事件A與事件B的和事件的概率一定大于事件A的概率；
⑤事件A與事件B互斥，則有P(A)＝1－P(B)．
其中正確命題的個數為(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
2．拋擲一粒骰子，觀察擲出的點數，設事件A為出現奇數點，事件B為出現2點，已知P(A)＝，P(B)＝，則出現奇數點或2點的概率為(　　)
A.B.C.D.
3．在10支鉛筆中，有8支正品和2支次品，從中不放回地任取2支，至少取到1支次品的概率是(　　)
A.B.C.D.
4．某產品分甲、乙、丙三級，其中乙、丙兩級均屬次品，在正常情況下，出現乙級品和丙級品的概率分別是5%和3%，則抽驗一只是正品(甲級)的概率為(　　)
A．0.95 B．0.97
C．0.92 D．0.08
5．口袋內有一些大小相同的紅球、白球和黑球，從袋中任取一球，摸出紅球的概率是0.3，摸出白球的概率是0.5，則摸出黑球的概率是________．
6．如圖所示，
靶子由一個中心圓面Ⅰ和兩個同心圓環Ⅱ、Ⅲ構成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分別為0.35、0.30、0.25，則不命中靶的概率是______．
7．甲、乙兩人下棋，兩人和棋的概率是，乙獲勝的概率是，則乙不輸的概率是________．
B級
8．4位同學各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，則周六、周日都有同學參加公益活動的概率為(　　)
A.B.C.D.
9．對空中飛行的飛機連續射擊兩次，每次發射一枚炮彈，設A＝{兩次都擊中飛機}，B＝{兩次都沒擊中飛機}，C＝{恰有一彈擊中飛機}，D＝{至少有一彈擊中飛機}，下列關系不正確的是(　　)
A．A?D B．B∩D＝?
C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D
10．拋擲一枚均勻的正方體骰子(各面分別標有數字1,2,3,4,5,6)，事件A表示“朝上一面的數是奇數”，事件B表示“朝上一面的數不超過2”，則P(A＋B)＝________.
11．從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，所選3人中至少有1名女生的概率為，那么所選3人中都是男生的概率為________．
12．同時拋擲兩枚骰子，沒有5點或6點的概率為，則至少有一個5點或6點的概率是________．
13．經統計，在某儲蓄所一個營業窗口等候的人數及相應概率如下：
(1)至多2人排隊等候的概率是多少？
(2)至少3人排隊等候的概率是多少？
14．在一個袋子中放入3個白球，1個紅球，搖勻后隨機摸球，摸出的球不放回袋中．
(1)求第1次或第2次摸出紅球的概率；
(2)摸出的球放回袋中連續摸2次，求第1次或第2次摸出的球都是紅球的概率．
詳解答案
典型例題
例1　解　(1)是互斥事件，不是對立事件．
原因：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅桃”與“抽出黑桃”是不可能同時發生的，所以是互斥事件，但是，不能保證其中必有一個發生，這是由于還有可能抽出“方塊”或者“梅花”，因此，二者不是對立事件．
(2)既是互斥事件，又是對立事件．
原因：從40張撲克牌中，任意抽取1張．“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”兩個事件不可能同時發生，但其中必有一個發生，所以它們既是互斥事件，又是對立事件．
(3)既不是互斥事件，也不是對立事件．
原因：從40張撲克牌中任意抽取1張．“抽出的牌點數為5的倍數”與“抽出的牌點數大于9”這兩個事件可能同時發生，如抽得點數為10，因此，二者不是互斥事件，當然不可能是對立事件．
變式1　
解　(1)根據題意可作出圖．由圖可知：“朝上的一面出現奇數”與“朝上的一面出現偶數”各自所含的結果所組成的集合互為補集，因此它們構成對立事件．
(2)根據題意作圖可得．由圖可知，“朝上的一面數字不大于4”與“朝上的一面數字大于4”各自所含的結果組成的集合互為補集，它們構成對立事件．
例2　解　(1)因為C＝A∪B，且A與B不會同時發生，所以事件A與事件B互斥，根據概率的加法公式得P(C)＝P(A)＋P(B)＝.
(2)事件C與事件D互斥，且C∪D為必然事件，因此事件C與事件D是對立事件，P(D)＝1－P(C)＝.
變式2　解　設得到黑球、黃球的概率分別為x，y，由題意得
解得：x＝，y＝，(1－－－)＝.所以得到黑球、黃球、綠球的概率分別是，，.
強化提高
1．C　2.A
3．C　[(間接法)“至少取到1支次品”的對立事件為“取到的2支鉛筆均為正品”，所以所求事件的概率為P＝1－＝.]
4．C　5.0.2
6．0.10
解析　射手命中圓環Ⅰ為事件A，命中圓環Ⅱ為事件B，命中圓環Ⅲ為事件C，不中靶為事件D，則A、B、C互斥，故射手中靶的概率為P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.35＋0.30＋0.25＝0.90.
因為中靶和不中靶是對立事件，故不命中靶的概率為P(D)＝1－P(A∪B∪C)＝1－0.90＝0.10.
7.
8．D　[4名同學各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動的情況有24＝16(種)，其中僅在周六(周日)參加的各有1種，∴所求概率為1－＝.]
9．D　[“恰有一彈擊中飛機”指第一枚擊中第二枚沒中或第一枚沒中第二枚擊中，“至少有一彈擊中”包含兩種情況：一種是恰有一彈擊中，一種是兩彈都擊中，
∴A∪B≠B∪D.]
10.
解析　將事件A＋B分為：事件C“朝上一面的數為1,2”與事件D“朝上一面的數為3,5”，則C，D互斥，且P(C)＝，P(D)＝，∴P(A＋B)＝P(C＋D)
＝P(C)＋P(D)＝.
11.
解析　設A＝{3人中至少有1名女生}，B＝{3人都為男生}，則A、B為對立事件，∴P(B)＝1－P(A)＝.
12.
解析　記“沒有5點或6點”的事件為A，則P(A)＝，“至少有一個5點或6點”的事件為B.因A∩B＝?，A∪B為必然事件，所以A與B是對立事件，則P(B)＝1－P(A)＝1－＝.
故至少有一個5點或6點的概率為.
13．解　記事件在窗口等候的人數為0,1,2，3,4,5人及5人以上分別為A、B、C、D、E、F.
(1)至多2人排隊等候的概率是
P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)方法一　至少3人排隊等候的概率是
P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)
＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.
方法二　因為至少3人排隊等候與至多2人排隊等候是對立事件，故由對立事件的概率公式，至少3人排隊等候的概率是P(D＋E＋F)＝1－P(A＋B＋C)＝1－0.56＝0.44.
所以至多2人排隊等候的概率是0.56，至少3人排隊等候的概率是0.44.
14．解　(1)記第1次摸到紅球為事件A，第2次摸到紅球為事件B.顯然A、B為互斥事件，易知P(A)＝.現在我們計算P(B)．
摸兩次球可能出現的結果為
(白1，白2)、(白1，白3)、(白1，紅)、(白2，白1)、(白2，白3)、(白2，紅)、(白3，白1)、(白3，白2)、(白3，紅)、(紅，白1)、(紅，白2)、(紅，白3)，
在這12種情況中，第二次摸到紅球有3種情況，所以P(B)＝，故第1次或第2次摸到紅球的概率為P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
(2)把第1次、第2次摸球的結果列舉出來，除了(1)中列舉的12種以外，由于放回，又會增加4種即(白1，白1)，(白2，白2)，(白3，白3)，(紅，紅)．這樣共有16種摸法．
其中第1次摸出紅球，第2次摸出不是紅球的概率為P1＝.
第1次摸出不是紅球，第2次摸出是紅球的概率為P2＝.
兩次都是紅球的概率為P3＝.
所以第1次或第2次摸出紅球的概率為
P＝P1＋P2＋P3＝.

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