資源簡介

專題8　幾何概型
1．幾何概型的定義
如果每個事件發生的概率只與構成該事件區域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型．
2．幾何概型的特點
(1)試驗中所有可能出現的結果(基本事件)有無限多個．
(2)每個基本事件出現的可能性相等．
3．幾何概型的概率公式
P(A)＝.
例1　某公共汽車站，每隔15分鐘有一輛車發出，并且發出前在車站停靠3分鐘．
(1)求乘客到站候車時間大于10分鐘的概率；
(2)求候車時間不超過10分鐘的概率；
(3)求乘客到達車站立即上車的概率．
變式1　在等腰Rt△ABC中，在斜邊AB上取一點M，則AM的長小于AC的長的概率為(　　)
A.B.C.D.
例2　向面積為S的△ABC內任意投一點P，則△PBC的面積小于的概率是多少？
變式2　如右圖，在半徑為1的半圓內放置一個邊長為的正方形ABCD，向半圓內任投一點，則該點落在正方形內的概率為________．
例3　已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，在正方體內隨機取點M，求使四棱錐M－ABCD的體積小于的概率．
變式3　已知正三棱錐S－ABC的底面邊長為a，高為h，在正三棱錐內取點M，試求點M到底面的距離小于的概率．
A級
1．在區間[－1,1]上任取兩數x和y，組成有序實數對(x，y)，記事件A為“x2＋y2<1”，則P(A)等于(　　)
A.B.C．πD．2π
2．在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD－A1B1C1D1內隨機取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率為(　　)
A.B．1－C.D．1－
3．已知△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一點D，則使△ABD為鈍角三角形的概率為(　　)
A.B.C.D.
4．在長為10厘米的線段AB上任取一點G，用AG為半徑作圓，則圓的面積介于36π平方厘米到64π平方厘米的概率是(　　)
A.B.C.D.
5．有一個圓面，圓面內有一個內接正三角形，若隨機向圓面上投一鏢都中圓面，則鏢落在三角形內的概率為________．
6．在邊長為2的正三角形ABC內任取一點P，則使點P到三個頂點的距離至少有一個小于1的概率是________．
7．平面內有一組平行線，且相鄰平行線間的距離為3cm，把一枚半徑為1cm的硬幣任意投擲在這個平面內，則硬幣不與任何一條平行線相碰的概率是________．
B級
8．當你到一個紅綠燈路口時，紅燈的時間為30秒，黃燈的時間為5秒，綠燈的時間為45秒，那么你看到黃燈的概率是(　　)
A.B.C.D.
9．ABCD為長方形，AB＝2，BC＝1，O為AB的中點，在長方形ABCD內隨機取一點，取到的點到O的距離大于1的概率為(　　)
A.B．1－C.D．1－
10．有四個游戲盤，如下圖所示，如果撒一粒黃豆落在陰影部分，則可中獎，小明希望中獎機會大，他應當選擇的游戲盤為(　　)
11．兩根相距6m的木桿上系一根繩子，并在繩子上掛一盞燈，燈與兩端距離都大于2m的概率為________．
12．如圖，在邊長為1的正方形中隨機撒1000粒豆子，有180粒落到陰影部分，據此估計陰影部分的面積為________．
13．取一個邊長為a的正方形，如圖所示，隨機地向正方形內丟一粒沙子，求沙子落入陰影部分的概率．
14．設關于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.
(1)若a是從0,1,2,3四個數中任取的一個數，b是從0,1,2三個數中任取的一個數，求上述方程有實根的概率．
(2)若a是從區間[0,3]上任取的一個數，b是從區間[0,2]上任取的一個數，求上述方程有實根的概率．
詳解答案
典型例題
例1　解　(1)如圖所示，設相鄰兩班車的發車時刻為T1、T2，T1T2＝15.
設T0T2＝3，TT0＝10，記“乘客到站候車時間大于10分鐘”為事件A.則當乘客到站時刻t落到T1T上時，事件A發生．
∵T1T＝15－3－10＝2，T1T2＝15，
∴P(A)＝＝.
(2)如圖所示，當t落在TT2上時，候車時間不超過10分鐘，故所求概率為＝.
(3)如圖所示，當t落在T0T2上時，乘客立即上車，故所求概率為＝＝.
變式1　A　[在AB上截取AC′＝AC.點M隨機地落在線段AB上，故線段AB為區域D.當點M位于圖中線段AC′上時，AM例2　解　如圖所示，EF為△ABC的中位線，當點P落在四邊形EFCB內時△PBC的面積小于，已知總事件為△ABC的面積S，S四邊形EFCB＝S△ABC－S△AEF＝S－＝.
設滿足條件的事件為事件A，
則P(A)＝＝＝.
變式2　
解析　S正＝2＝，
S半圓＝π×12＝，
由幾何概型的計算公式得所求的概率為
＝＝.
例3　解　如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1.
設M－ABCD的高為h，則×S正方形ABCD×h<，
又S正方形ABCD＝1，
∴h<，即點M在正方體的下半部分，
∴所求概率為＝.
變式3　解　在SA、SB、SC上取點A1、B1、C1，使A1、B1、C1分別為SA、SB、SC的中點，則當點M位于平面ABC和平面A1B1C1之間時，點M到底面的距離小于.設△ABC的面積為S′，由△ABC∽△A1B1C1且相似比為2，得△A1B1C1的面積為.由題意，得三棱錐S－ABC的體積為S′h，三棱臺A1B1C1－ABC的體積為S′h－··＝S′h·.故所求概率為.
強化提高
1．A　[如圖，集合S＝{(x，y)|－1≤x≤1，－1≤y≤1}，則S中每個元素與隨機事件的結果一一對應，而事件A所對應的事件(x，y)與圓面x2＋y2<1內的點一一對應，
∴P(A)＝.]
2．B　[點P到點O距離大于1的點位于以O為球心，以1為半徑的半球外．記“點P到點O的距離大于1”為事件A，
P(A)＝＝1－.]
3．C　[如圖，當BE＝1時，∠AEB為直角，則點D在線段BE(不包含B、E點)上時，△ABD為鈍角三角形；當BF＝4時，∠BAF為直角，則點D在線段CF(不包含C、F點)上時，△ABD為鈍角三角形．所以△ABD為鈍角三角形的概率為＝.]
4．D　[以AG為半徑作圓，面積介于36π平方厘米到64π平方厘米，則AG的長度應介于6厘米到8厘米之間．∴所求概率P(A)＝＝.]
5.
解析　設圓面半徑為R，
如圖所示△ABC的面積S△ABC＝3·S△AOC＝3·AC·OD＝3·CD·OD
＝3·Rsin60°·Rcos60°＝，
∴P＝＝＝.
6.
解析　以A、B、C為圓心，以1為半徑作圓，與△ABC交出三個扇形，
當點P落在陰影部分內時符合要求．
∴P＝＝.
7.
解析　如圖所示，當硬幣中心落在陰影區域時，硬幣不與任何一條平行線相碰，故所求概率為.
8．C　[由題意可知在80秒內路口的紅、黃、綠燈是隨機出現的，可以認為是無限次等可能出現的，符合幾何概型的條件．事件“看到黃燈”的時間長度為5秒，而整個燈的變換時間長度為80秒，據幾何概型概率計算公式，得看到黃燈的概率為P＝＝.]
9．B　[當以O為圓心，1為半徑作圓，則圓與長方形的公共區域內的點滿足到點O的距離小于或等于1，故所求事件的概率為P(A)＝＝1－.]
10．A　[A中P1＝，B中P2＝＝，
C中設正方形邊長為2，則P3＝＝，D中設圓直徑為2，則P4＝＝.在P1，P2，P3，P4中，P1最大．]
11.
12．0.18
解析　由題意知，這是個幾何概型問題，
＝＝0.18，
∵S正＝1，∴S陰＝0.18.
13．解　記“沙子落入陰影部分”為事件A，
則P(A)＝.由題意知，
S陰影部分＝a2－8×(－··)＝a2.∴P(A)＝＝.
14．解　設事件A為“方程x2＋2ax＋b2＝0有實根”．當a≥0，b≥0時，方程x2＋2ax＋b2＝0有實根的充要條件為a≥b.
(1)基本事件共有12個：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一個數表示a的取值，第二個數表示b的取值．
事件A包含9個基本事件，故事件A發生的概率為P(A)＝＝.
(2)試驗的全部結果所構成的區域為
{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}．
構成事件A的區域為{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}．所以所求的概率為P(A)＝＝.

展開更多......

收起↑