資源簡介

專題7　古典概型
1．基本事件的定義
2．古典概型的定義
3．古典概型的適用條件
(1)試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個；
(2)每個基本事件出現的可能性相等．
4．古典概型的解題步驟
(1)求出總的基本事件數；
(2)求出事件A所包含的基本事件數，然后利用公式
P(A)＝.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例1　袋中有紅、白、黃、黑顏色大小相同的四個小球．
(1)從中任取一球；
(2)從中一次取兩球；
(3)先后各取一球．
寫出上面試驗的所有基本事件，并指出基本事件的總數．
變式1　有兩個正四面體的玩具，其四個面上分別標有數字1,2,3,4，下面做投擲這兩個正四面體玩具的試驗：用(x，y)表示結果，其中x表示第1個正四面體玩具出現的點數，y表示第2個正四面體玩具出現的點數．試寫出：
(1)試驗的基本事件；
(2)事件“出現點數之和大于3”；
(3)事件“出現點數相等”．
例2　下列實驗中是古典概型的是(　　)
A．在適宜的條件下，種下一粒種子，觀察它是否發芽
B．口袋里有2個白球和2個黑球，這4個球除顏色外完全相同，從中任取一球
C．向一個圓面內隨機地投一個點，該點落在圓內任意一點都是等可能的
D．射擊運動員向一靶心進行射擊，試驗結果為命中10環，命中9環，…，命中0環
變式2　下列事件中，屬于古典概型的序號是________．
①從3名男生和2名女生中抽一名學生參加社區服務活動；②從[0,1]之間任取一個數；③某成績優秀的同學做一道選擇題時從A、B、C、D中選擇答案；④畢業會考中，某同學各科成績均為A.
例3　袋中有6個球，其中4個白球，2個紅球，從袋中任意取出2個球，求下列事件的概率：
(1)事件A：取出的2個球都是白球；
(2)事件B：取出的2個球中1個是白球，另1個是紅球．
變式3　一個口袋內裝有大小相同的1個白球和已經編有不同號碼的3個黑球，從中摸出2個球．求：
(1)基本事件的總數；
(2)事件“摸出2個黑球”包含的基本事件有多少個？
(3)摸出2個黑球的概率是多少？
A級
1．擲兩顆均勻的骰子，則點數之和為5的概率等于(　　)
A. B.
C. D.
2．袋中共有15個除了顏色外完全相同的球，其中有10個白球，5個紅球．從袋中任取2個球，所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球的概率為(　　)
A.B.C.D．1
3．有五根細木棒，長度分別為1,3,5,7,9(cm)，從中任取三根，能搭成三角形的概率是(　　)
A.B.C.D.
4．某部三冊的小說，任意排放在書架的同一層上，則各冊從左到右或從右到左恰好為第1,2,3冊的概率為(　　)
A. B.
C. D.
5．已知5件產品中有2件次品，其余為合格品．現從這5件產品中任取2件，恰有一件次品的概率為(　　)
A．0.4B．0.6C．0.8D．1
6．在1,2,3,4四個數中，可重復地選取兩個數，其中一個數是另一個數的2倍的概率是________．
7．袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球，從中一次隨機摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為________．
B級
8．先后兩次拋擲一枚骰子，在得到點數之和不大于6的條件下，先后出現的點數中有3的概率為(　　)
A.B.C.D.
9．已知集合A＝{－1,0,1}，點P坐標為(x，y)，其中x∈A，y∈A，記“點P落在第一象限”為事件M，則P(M)等于(　　)
A.B.C.D.
10．4張卡片上分別寫有數字1,2,3,4，從這4張卡片中隨機抽取2張，則取出的2張卡片上的數字之和為奇數的概率為(　　)
A. B.
C. D.
11．若以連續擲兩次骰子分別得到的點數m、n作為點P的坐標，則點P落在圓x2＋y2＝16內的概率是________．
12．某人有4把鑰匙，其中2把能打開門，現隨機地取1把鑰匙試著開門，不能開門的就扔掉，問第二次才能打開門的概率是______；如果試過的鑰匙不扔掉，這個概率是________．
13．某學校要從藝術節活動中所產生的4名書法比賽一等獎的同學和2名繪畫比賽一等獎的同學中選出2名志愿者，參加某項活動的志愿服務工作．
(1)求選出的兩名志愿者都是獲得書法比賽一等獎的同學的概率；
(2)求選出的兩名志愿者中一名是獲得書法比賽一等獎，另一名是獲得繪畫比賽一等獎的同學的概率．
14．一個袋中裝有四個形狀大小完全相同的球，球的編號分別為1,2,3,4.
(1)從袋中隨機取兩個球，求取出的球的編號之和不大于4的概率；
(2)先從袋中隨機取一個球，該球的編號為m，將球放回袋中，然后再從袋中隨機取一個球，該球的編號為n，求n詳解答案
典型例題
例1　解　(1)從袋中任取一球，可用取到球的顏色表示試驗結果，如“紅”表示“取到紅球”．這樣，所有基本事件包括“紅”“白”“黃”“黑”，基本事件總數為4.
(2)一次取兩球，如記{紅，白}代表一次取出紅球、白球兩個，則該試驗的所有基本事件包括{紅，白}，{紅，黃}，{紅，黑}，{白，黃}，{白，黑}，{黃，黑}，基本事件的總數是6.
(3)先后取兩球，如記(紅，白)代表先取一紅球，后取一白球．因此本試驗的基本事件包括(紅，白)，(白，紅)，(紅，黃)，(黃，紅)，(紅，黑)，(黑，紅)，(白，黃)，(黃，白)，(白，黑)，(黑，白)，(黃，黑)，(黑，黃)，基本事件的總數是12.
變式1　解　(1)這個試驗的基本事件為
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．
(2)事件“出現點數之和大于3”包含以下13個基本事件：(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．
(3)事件“出現點數相等”包含以下4個基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．
例2　B
變式2　①
例3　解　設4個白球的編號為1,2,3,4,2個紅球的編號為5,6.從袋中的6個小球中任取2個球的方法為(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共15種．
(1)從袋中的6個球中任取2個，所取的2個球全是白球的方法總數，即是從4個白球中任取2個的方法總數，共有6種，即為(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．
∴取出的2個球全是白球的概率為
P(A)＝＝.
(2)從袋中的6個球中任取2個，其中1個為紅球，而另1個為白球，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)共8種．∴取出的2個球中1個是白球，另1個是紅球的概率為P(B)＝.
變式3　解　(1)∵從裝有4個球的口袋中摸出2個球，共有(白，黑1)、(白，黑2)、(白，黑3)、(黑1，黑2)、(黑1，黑3)、(黑2，黑3)六種情況．∴基本事件總數為6.
(2)“摸出2個黑球”包含的基本事件為(黑1，黑2)、(黑1，黑3)、(黑2，黑3)這3個基本事件．
(3)基本事件總數為6，事件“摸出兩個黑球”包含的基本事件數為3，故摸出2個黑球的概率為＝.
強化提高
1．B　[擲兩顆骰子，點數有以下情況：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36種，其中點數之和為5的有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4種，故所求概率為＝.]
2．B　[從袋中任取2個球共有C＝105種取法，其中恰好1個白球1個紅球共有CC＝50種取法，所以所取的球恰好1個白球1個紅球的概率為＝.]
3．D　4.B
5．B　[5件產品中有2件次品，記為a，b，有3件合格品，記為c，d，e，從這5件產品中任取2件，結果有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)共10種．恰有一件次品的結果有6種，則其概率為p＝＝0.6.]
6.
解析　用列舉法知，可重復地選取兩個數共有16種可能，其中一個數是另一個數的2倍的有1,2；2,1；2,4；4,2共4種，故所求的概率為＝.
7.
解析　這兩只球顏色相同的概率為，故兩只球顏色不同的概率為1－＝.
8．C　[由題意可知，在得到點數之和不大于6的條件下，先后出現的點數中有3的概率為＝.]
9．C
10．C　[從4張卡片中任取2張有6種可能，數字之和為奇數的有4種可能，則概率為＝.]
11.
解析　由題意知，基本事件總數為36，事件“點P落在圓x2＋y2＝16內”包含8個基本事件：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，
所求概率為P＝＝.
12.　
解析　第二次能打開門說明第一次是從不能打開門的鑰匙中取一，第二次是從能打開門的鑰匙中取一，第二次打開門這個事件包含的基本事件數為2×2＝4，基本事件總數為4×3＝12，所求概率為P1＝＝.如果試過的鑰匙不扔掉，基本事件總數為4×4＝16，所求概率為P2＝＝.
13．解　把4名獲書法比賽一等獎的同學編號為1,2,3,4；2名獲繪畫比賽一等獎的同學編號為5,6.從6名同學中任選兩名的所有可能結果如下：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5), (2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15個．
(1)從6名同學中任選兩名，都是書法比賽一等獎的所有可能如下：(1,2)，(1,3)，(1,4), (2,3)，(2,4)，(3,4)，共6個．
∴選出的兩名志愿者都是書法比賽一等獎的概率是P1＝＝.
(2)從6名同學中任選兩名，一名是書法比賽一等獎，另一名是繪畫比賽一等獎的所有可能如下： (1,5), (1,6), (2,5), (2,6), (3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8個．
∴選出的兩名志愿者一名是書法比賽一等獎，另一名是繪畫比賽一等獎的概率是P2＝.
14．解　(1)從袋中隨機取兩個球，其一切可能的結果組成的基本事件有：1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6個．
從袋中取出的兩個球的編號之和不大于4的事件有：1和2,1和3，共2個．因此所求事件的概率為P＝＝.
(2)先從袋中隨機取一個球，記下編號為m，放回后，再從袋中隨機取一個球，記下編號為n，其一切可能的結果(m，n)有：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16個．
又滿足條件n≥m＋2的事件有：(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3個．所以滿足條件n≥m＋2的事件的概率為P1＝.
故滿足條件n1－P1＝1－＝.

展開更多......

收起↑