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【寒假作業】假期培優解決方案 寒假專題突破練 高二文科數學(選修1-1,必修5)(通用版)專題1 正弦定理與余弦定理

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【寒假作業】假期培優解決方案 寒假專題突破練 高二文科數學(選修1-1,必修5)(通用版)專題1 正弦定理與余弦定理

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專題1 正弦定理與余弦定理
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1.正弦定理:在一個三角形中,各邊和它所對角的正弦的比相等,即==.
2.余弦定理:三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍.
即a2=b2+c2-2bccos A,b2=c2+a2-2cacos B,
c2=a2+b2-2abcos C.
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例1 已知△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若c=,b=,B=120°,則a等于(  )
A. B.2
C. D.
變式1 在△ABC中,若a=3,b=,A=,則C的大小為________.
例2 已知a、b、c為△ABC的三邊長,若滿足(a+b-c)(a+b+c)=ab,則C的大小為________.
變式2 在△ABC中,若a=2,b+c=7,cosB=-,則b=________.
例3 在△ABC中,若==,則△ABC是(  )
A.直角三角形 B.等邊三角形
C.鈍角三角形 D.等腰直角三角形
變式3 在△ABC中,若2cos BsinA=sin C,則△ABC的形狀一定是(  )
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等邊三角形
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A級
1.在△ABC中,若b=5,B=,sin A=,則a為(  )
A.2 B.
C. D.5
2.在△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若a2+c2-b2=ac,則角B的值為(  )
A. B.
C.或 D.或
3.設△ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,則△ABC的形狀為(  )
A.銳角三角形
B.直角三角形
C.鈍角三角形
D.不確定
4.在△ABC中,已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,則sin A∶sinB∶sinC等于(  )
A.6∶5∶4 B.7∶5∶3
C.3∶5∶7 D.4∶5∶6
5.在△ABC中,若AB=,BC=3,∠C=120°,則AC等于(  )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.在△ABC中,B=120°,AB=,A的角平分線AD=,則AC=________.
7.在單位圓上有三點A,B,C,設△ABC三邊長分別為a,b,c,則++=________.
B級
8.在△ABC中,若sin 2A+sin 2BA.銳角三角形 B.直角三角形
C.鈍角三角形 D.不能確定
9.在△ABC中,若tan A=,C=150°,BC=1,則AB等于(  )
A.2 B. C.D.4
10.在△ABC中,B=,BC邊上的高等于BC,則cosA等于(  )
A. B. C.- D.-
11.△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若cosA=,cosC=,a=1,則b=________.
12.設△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a=1,b=2,cosC=,則sin B=________.
13.在△ABC中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且bsinA=acosB.
(1)求角B的大小;
(2)若b=3,sin C=2sin A,求a,c的值.
14.在△ABC中,a,b,c分別為內角A,B,C的對邊,且2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C.
(1)求A的大小;
(2)若sin B+sin C=1,試判斷△ABC的形狀.
詳解答案
典型例題
例1 D [由正弦定理得=,
∴sin C===,
∵c∴A=180°-120°-30°=30°.
∴a=c=.]
變式1 
解析 利用正弦定理及三角形內角和性質求解.
在△ABC中,由正弦定理可知=,
即sin B===.
又∵a>b,∴B=.∴C=π-A-B=.
例2 120°
解析 ∵(a+b-c)(a+b+c)=ab,
∴a2+b2-c2=-ab,即=-,
∴cosC=-,∴C=120°.
變式2 4
解析 將b+c=7變形為c=7-b后,利用余弦定理求解.
在△ABC中,由b2=a2+c2-2accos B及b+c=7知,
b2=4+(7-b)2-2×2×(7-b)×,整理得15b-60=0.∴b=4.
例3 B [由正弦定理知:==,
∴tan A=tan B=tan C,
∴A=B=C,故三角形為等邊三角形.]
變式3 C [∵2cos BsinA=sin C=sin(A+B),∴sin AcosB-cosAsinB=0,
即sin(A-B)=0,∴A=B.]
強化提高
1.A [由正弦定理得=,a=2.]
2.A [∵a2+c2-b2=ac,
∴cosB===,
∴B=.]
3.B [由bcosC+ccosB=asinA,得
sin BcosC+sin CcosB=sin2A,
即sin(B+C)=sin2A,所以sin A=1,由04.B [∵(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,
∴==.令===k (k>0),
則解得
∴sin A∶sinB∶sinC=a∶b∶c=7∶5∶3.]
5.A [由余弦定理得AB2=AC2+B ( http: / / www.21cnjy.com )C2-2AC·BC·cos C,即13=AC2+9-2AC×3×cos 120°,化簡得AC2+3AC-4=0,解得AC=1或AC=-4(舍去).故選A.]
6.
解析 由正弦定理得=,即=,解得sin∠ADB=,∠ADB=45°,從而∠BAD=15°=∠DAC,所以C=180°-120°-30°=30°,AC=2ABcos 30°=.
7.7
解析 ∵△ABC的外接圓直徑為2R=2,
∴===2R=2,
∴++=2+1+4=7.
8.C [由正弦定理可知a2+b2從而cosC=<0,
∴C為鈍角,故該三角形為鈍角三角形.]
9.C [∵tan A=,A∈(0°,180°),
∴sin A=.
由正弦定理知=,
∴AB===.]
10.C [設BC邊上的高AD交BC于點D ( http: / / www.21cnjy.com ),由題意B=,BD=BC,DC=BC,tan∠BAD=1,tan∠CAD=2,tan A==-3,所以cosA=-.]
11.
解析 在△ABC中由cos ( http: / / www.21cnjy.com )A=,cosC=,可得sin A=,sin C=,sin B=sin(A+C)=sin AcosC+cosA·sinC=,由正弦定理得b==.
12.
解析 方法一 利用余弦定理求出c的長度,再利用等腰三角形的性質作出高線,利用直角三角形求出sin B.
由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C得
c2=1+4-2×1×2×=4,
∴c=2,故△ABC為等腰三角形.
如圖所示,過點A作BC的高線AE,在Rt△ABE中,
AE=
==,
∴sin B===.
方法二 利用正、余弦定理及同角三角函數基本關系式求解.
由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C得
c2=1+4-2×1×2×=4,∴c=2.
∵cosC=,∴sin C==.
又由正弦定理=得
sin B==sin C=.
13.解 (1)由bsinA=acosB及正弦定理=,得sin B=cosB.
所以tan B=,所以B=.
(2)由sin C=2sin A及正弦定理=,得c=2a.
由b=3及余弦定理b2=a2+c2-2accos B,
得9=a2+c2-ac.所以a=,c=2.
14.解 (1)由已知,根據正弦定理得
2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,
即a2=b2+c2+bc.①
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,
所以cosA=-,故A=120°.
(2)由①得sin2A=sin2B+sin2C+sin BsinC,
又sin B+sin C=1,故sin B=sin C=.
因為0°<B<90°,0°<C<90°,故B=C.
所以△ABC是等腰的鈍角三角形.

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