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【寒假作業】假期培優解決方案 寒假專題突破練 高二文科數學(選修1-1,必修5)(通用版)專題2 正弦定理與余弦定理的應用

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【寒假作業】假期培優解決方案 寒假專題突破練 高二文科數學(選修1-1,必修5)(通用版)專題2 正弦定理與余弦定理的應用

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專題2 正弦定理與余弦定理的應用
1.實際問題中的常用角:
(1)仰角和俯角;
(2)方位角;
(3)方向角.
2.三角形面積公式:
(1)S=ah(h表示a邊上的高);
(2)S=absinC=bcsinA=acsinB.
例1 在△ABC中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知=2,cosB=,b=2,求△ABC的面積S.
變式1 在△ABC中,若a=2,C=,cosB=,求△ABC的面積S.
例2 
如圖,A、B、C、D都在同一個與水平面垂直的平面內,B、D為兩島上的兩座燈塔的塔頂.測量船于水面A處測得B點和D點的仰角分別為75°、30°,于水面C處測得B點和D點的仰角均為60°,AC=0.1 km.試探究圖中B、D間距離與另外哪兩點間距離相等,然后求B、D間的距離(計算結果精確到0.01 km,≈1.414,≈2.449).
變式2 如圖,在△ABC中,已知點D在BC邊上,AD⊥AC,sin∠BAC=,AB=3,AD=3,則BD的長為______.
例3 A,B,C是海面上三點,B點北偏西60°且距離B點10海里的A點有一艘輪船發出求救信號,位于B點南偏西60°且與B點相距20海里的C點的救援船立即前往營救,其航行速度為30海里/小時,該救援船到達A點需要多長時間?
變式3 如圖所示,一架飛機從A地飛到B地,兩地相距700 km.飛行員為了避開某一區域的雷雨云層,從機場起飛后,就沿與原來的飛行方向成21°角的方向飛行,飛行到中途,再沿與原來的飛行方向成35°夾角的方向繼續飛行直到終點.這樣飛機的飛行路程比原來路程700 km遠了多少?
A級
1.在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,則∠BAC的大小為(  )
A. B.
C. D.
2.若△ABC的周長等于20,面積是10,A=60°,則角A的對邊長為(  )
A.5 B.6 C.7 D.8
3.三角形的一邊長為14,這條邊所對的角為60°,另兩邊之比為8∶5,則這個三角形的面積為(  )
A.40 B.20
C.40 D.20
4.小紅向正東方向走x千米后,她向右轉150°,然后朝新方向走3千米,結果她離出發點恰好千米,那么x的值為(  )
A. B.2
C.或2 D.3
5.如圖所示,為了測定河的寬度,在一岸邊選定兩點A、B,望對岸標記物C,測得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120 m,則河的寬度為______.
6.已知三角形的三邊為a,b,c面積S=a2-(b-c)2,則cosA=________.
7.設△ABC的內角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,則角C=________.
B級
8.某人在C點測得某塔在南偏西80°,塔頂仰角為45°,此人沿南偏東40°方向前進10 m到D,測得塔頂A的仰角為30°,則塔高為(  )
A.15 m B.5 m
C.10 m D.12 m
9.如圖,在△ABC中,D是邊AC上的點,且AB=AD,2AB=BD,BC=2BD,則sin C的值為(  )
A. B.
C. D.
10.如圖,△ABC中,AB=AC=2,BC=2,點D在BC邊上,∠ADC=45°,則AD的長度等于________.
11.在△ABC中,若sin A∶sinB∶sinC=5∶7∶8,則∠B=__________.
12.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若a=,b=2,sin B+cosB=,則角A的大小為________.
13.在△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c,B=,cosA=,b=.
(1)求sin C的值;
(2)求△ABC的面積.
詳解答案
典型例題
例1 解 由正弦定理及=2,得c=2a.
由余弦定理b2=a2+c2-2accos B及cosB=,b=2,得4=a2+4a2-4a2×,
解得a=1.從而c=2.
又因為cosB=,且0變式1 解 因為cosB=,所以sin B=,
又C=,sin A=sin(B+C)=,
由正弦定理,得c==,
故S=acsinB=.
例2 解 在△ACD中,∠DAC=30°,
∠ADC=60°-∠DAC=30°,所以CD=AC=0.1.又∠BCD=180°-60°-60°=60°,
故CB是△CAD底邊AD的中垂線,
所以BD=BA.
在△ABC中,=,
所以AB==,
即BD=≈0.33(km).
故B、D間的距離約為0.33 km.
變式2 
解析 sin∠BAC=sin(+∠BAD)
=cos∠BAD,
∴cos∠BAD=.
BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠BAD=(3)2+32-2×3×3×,
即BD2=3,BD=.
例3 解 在△ABC中,∠ABC=180°-60°-60°=60°,AB=10,BC=20,
由余弦定理得
AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC
=300+1 200-2×10×20×=900,
∴AC=30(海里),則需要的時間t==1(小時).所以救援船到達A點需要1小時.
變式3 解 在△ABC中,AB=700 km,∠ACB=180°-21°-35°=124°,
根據正弦定理,==,
AC=,BC=,
AC+BC=+≈786.89 (km),
786.89-700=86.89 km.
答 路程比原來遠了約86.89 km.
強化提高
1.A [由余弦定理得
cos∠BAC===-,∴∠BAC=.]
2.C [∵a+b+c=20,∴b+c=20-a,
即b2+c2+2bc=400+a2-40a,
∴b2+c2-a2=400-40a-2bc,①
又cosA==,
∴b2+c2-a2=bc.②
又S△ABC=bc·sinA=10,
∴bc=40.③
由①②③可知a=7.]
3.A [設另兩邊長為8x,5x,
則cos 60°=,解得x=2.
兩邊長是16與10,
三角形的面積是×16×10×sin 60°
=40.]
4.C [由余弦定理得()2=x2+32-2×x×3×cos 30°,解得x=或2.]
5.60 m
解析 在△ABC中,∠CAB=30°,∠CBA=75°,∴∠ACB=75°.∠ACB=∠ABC.
∴AC=AB=120(m).
作CD⊥AB,垂足為D,則CD即為河的寬度.
由正弦定理得
=,
∴=,∴CD=60(m)
∴河的寬度為60 m.
6.
解析 S=a2-(b-c)2=a2-b2-c2+2bc
=-2bccos A+2bc,
∵S=bcsinA,∴bcsinA=2bc-2bccos A.即4-4cos A=sin A.
平方得:17cos2A-32cos A+15=0.
即(17cos A-15)(cosA-1)=0.
得cosA=1(舍)或cosA=.
7.
解析 由已知條件和正弦定理得3a=5b,且b+c=2a,則a=,c=2a-b=,
cosC==-,
又08.C [如圖,設塔高為h,
在Rt△AOC中,∠ACO=45°,
則OC=OA=h.
在Rt△AOD中,∠ADO=30°,
則OD=h.
在△OCD中,∠OCD=120°,CD=10,
由余弦定理得OD2=OC2+CD2-2OC·CDcos∠OCD,
即(h)2=h2+102-2h×10×cos 120°,
∴h2-5h-50=0,解得h=10或h=-5(舍).即塔高為10 m.]
9.D [設AB=a,∴AD=a,BD=,BC=2BD=,cosA===,∴sin A==.
由正弦定理知sin C=·sin A=×=.]
10.
解析 在△ABC中,∵AB=AC=2,BC=2,∴cosC=,∴sin C=,
在△ADC中,由正弦定理得,
=,∴AD=×=.
11.
解析 由正弦定理知
sin A∶sinB∶sinC=a∶b∶c=5∶7∶8,
可設a=5k,b=7k,c=8k,
cosB===.
又∵B∈(0,π),∴B=.
12.
解析 ∵sin B+cosB=sin=,∴sin=1.
又∵0由正弦定理,得
sin A===.
又∵a13.解 (1)因為角A、B、C為△ABC的內角,且B=,cosA=,
所以C=-A,sin A=.
于是sin C=sin=cosA+sin A=.
(2)由(1)知sin A=,sin C=.
又因為B=,b=,所以在△ABC中,由正弦定理得a==.
于是△ABC的面積S=absinC
=×××=.

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