資源簡介

專題3　數(shù)列的概念與表示
1．?dāng)?shù)列與函數(shù)的關(guān)系
數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})為定義域的函數(shù)an＝f(n)當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時(shí)所對應(yīng)的一列函數(shù)值．
2．?dāng)?shù)列的表示
(1)通項(xiàng)公式
如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與序號n之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項(xiàng)公式．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式實(shí)際上就是相應(yīng)的函數(shù)解析式，即an＝f(n)．
(2)數(shù)列的圖象表示
數(shù)列的圖象是一群孤立的點(diǎn)，這些點(diǎn)的個數(shù)可以是有限的，也可以是無限的．
(3)列表表示．
3．遞推公式
如果一個數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)等于它的前一項(xiàng)的2倍再加上1，即an＝2an－1＋1(n>1)，那么
a2＝2a1＋1＝3，
a3＝2a2＋1＝7，
…
像這樣給出數(shù)列的方法叫做遞推法，其中an＝2an－1＋1(n>1)稱為遞推公式．遞推公式也是數(shù)列的一種表示方法．
4．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和
(1)已知數(shù)列{an}，記Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，那么Sn叫做數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．S1，S2，S3，…，Sn，…也是一個數(shù)列，記為{Sn}．
(2)an與Sn的關(guān)系是：an＝
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例1　根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出下列各數(shù)列的一個通項(xiàng)公式．
(1)－1,7，－13,19，…；
(2)0.8,0.88,0.888，…；
(3)，，－，，－，，…；
(4)，1，，，….
變式1　根據(jù)下面各數(shù)列的前幾項(xiàng)的值，寫出數(shù)列的一個通項(xiàng)公式：
(1)3,33,333,3333，…；
(2)1,3,7,15,31，…；
(3)1，，，，，….
例2　已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，且an＝an－1＋(n>1)，寫出這個數(shù)列的前4項(xiàng)．
變式2　已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，對所有n≥2，都有a1a2a3…an＝n2，求a2，a3.
例3　已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝2n2－n＋1，求an.
變式3　已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2(an－1)，則a2＝________.
A級
1．已知數(shù)列，，，，…，那么0.94,0.96,0.98,0.99中屬于該數(shù)列中某一項(xiàng)值的應(yīng)當(dāng)有(　　)
A．1個 B．2個
C．3個 D．4個
2．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝，則a2a3等于(　　)
A．70 B．28 C．20 D．8
3．已知數(shù)列1，，，，…，，則3是它的(　　)
A．第22項(xiàng) B．第23項(xiàng)
C．第24項(xiàng) D．第28項(xiàng)
4．?dāng)?shù)列{an}中，a1＝1，對所有的n≥2，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，則a3＋a5等于(　　)
A. B.
C. D.
5．在數(shù)列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x＝________.
6．已知數(shù)列{an}滿足：an≤an＋1，an＝n2＋λn，n∈N*，則實(shí)數(shù)λ的最小值是________．
7．?dāng)?shù)列{an}滿足a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n≥1)，則數(shù)列的前6項(xiàng)依次為____________________．
B級
8．設(shè)數(shù)列0.3,0.33,0.333,0.3333……的通項(xiàng)公式是(　　)
A.(10n－1) B.(1－)
C.(10n－1) D.(10n－1)
9．由1,3,5，…，2n－1，…構(gòu)成數(shù)列{an}，數(shù)列{bn}滿足b1＝2，當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝abn－1，則b6的值是(　　)
A．9 B．17
C．33 D．65
10．?dāng)?shù)列{an}滿足an＋1＝，a8＝2，則a1＝________.
11．?dāng)?shù)列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，此數(shù)列的最大項(xiàng)的值是________．
12．已知數(shù)列{an}滿足：a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝an，n∈N*，則a2 013＝________，a2 014＝________.
13．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝cn＋dn－1，且a2＝，a4＝，求an和a10.
詳解答案
典型例題
例1　解　(1)符號問題可通過(－1)n或(－1)n＋1表示，其各項(xiàng)的絕對值的排列規(guī)律為：后面的數(shù)的絕對值總比前面數(shù)的絕對值大6，故通項(xiàng)公式為an＝(－1)n(6n－5)．
(2)將數(shù)列變形為(1－0.1)，(1－0.01)，(1－0.001)，…，∴an＝.
(3)各項(xiàng)的分母分別為21,22,23,24，…，易看出第2,3,4項(xiàng)的分子均比分母小3.因此把第1項(xiàng)變?yōu)椋链嗽瓟?shù)列已化為－，，－，，…，
∴an＝(－1)n·.
(4)將數(shù)列統(tǒng)一為，，，，…，對于分子3,5,7,9，…，是序號的2倍加1，可得分子的通項(xiàng)公式為bn＝2n＋1，對于分母2,5,10,17，…，聯(lián)想到數(shù)列1,4,9,16，…，即數(shù)列{n2}，可得分母的通項(xiàng)公式為cn＝n2＋1，
∴可得原數(shù)列的一個通項(xiàng)公式為an＝.
變式1　解　(1)an＝(10n－1)．
(2)an＝2n－1.
(3)注意到35＝36－1,63＝64－1,99＝100－1，把前兩項(xiàng)調(diào)整為，，即，，，，，…，這樣分母依次為：22－1,42－1,62－1,82－1,102－1，分子分別為21＋1,22＋1,23＋1,24＋1,25＋1，所以an＝.
例2　解　a1＝1；a2＝a1＋＝1＋1＝2；
a3＝a2＋＝2＋＝；
a4＝a3＋＝＋＝.
變式2　解　令n＝2，a1a2＝22，即a2＝＝4；令n＝3，a1a2a3＝32，即a3＝＝.
例3　解　a1＝S1＝2－1＋1＝2；n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n2－n＋1－[(2(n－1)2－(n－1)＋1)]＝4n－3，所以an＝.
變式3　4
解析　令n＝1，得S1＝2(a1－1)，
即a1＝2(a1－1)，解得a1＝2；
令n＝2，得S2＝2(a2－1)，
即a1＋a2＝2(a2－1)，解得a2＝4.
強(qiáng)化提高
1．C　2.C　3.B　4.C　5.13　6.－3
7．2,3,5,9,17,33　8.B　9.C
10.
解析　∵an＋1＝，
∴an＋1＝＝
＝＝＝1－
＝1－＝1－(1－an－2)＝an－2，
∴周期T＝(n＋1)－(n－2)＝3.
∴a8＝a3×2＋2＝a2＝2.
而a2＝，∴a1＝.
11．108
12．1　0
解析　2 013＝2 016－3＝4×504－3，故a2 013＝1；由a2n＝an，知a2 014＝a1 007，
又1 007＝1 008－1＝4×252－1，
故a2 014＝a1 007＝0.
13．解　∵a2＝，a4＝，代入通項(xiàng)公式an中得，解得c＝，d＝2.
∴an＝＋.∴a10＝＋＝.
專題3　數(shù)列的概念與表示
1．?dāng)?shù)列與函數(shù)的關(guān)系
數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})為定義域的函數(shù)an＝f(n)當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時(shí)所對應(yīng)的一列函數(shù)值．
2．?dāng)?shù)列的表示
(1)通項(xiàng)公式
如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與序號n之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項(xiàng)公式．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式實(shí)際上就是相應(yīng)的函數(shù)解析式，即an＝f(n)．
(2)數(shù)列的圖象表示
數(shù)列的圖象是一群孤立的點(diǎn)，這些點(diǎn)的個數(shù)可以是有限的，也可以是無限的．
(3)列表表示．
3．遞推公式
如果一個數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)等于它的前一項(xiàng)的2倍再加上1，即an＝2an－1＋1(n>1)，那么
a2＝2a1＋1＝3，
a3＝2a2＋1＝7，
…
像這樣給出數(shù)列的方法叫做遞推法，其中an＝2an－1＋1(n>1)稱為遞推公式．遞推公式也是數(shù)列的一種表示方法．
4．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和
(1)已知數(shù)列{an}，記Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，那么Sn叫做數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．S1，S2，S3，…，Sn，…也是一個數(shù)列，記為{Sn}．
(2)an與Sn的關(guān)系是：an＝
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例1　根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出下列各數(shù)列的一個通項(xiàng)公式．
(1)－1,7，－13,19，…；
(2)0.8,0.88,0.888，…；
(3)，，－，，－，，…；
(4)，1，，，….
變式1　根據(jù)下面各數(shù)列的前幾項(xiàng)的值，寫出數(shù)列的一個通項(xiàng)公式：
(1)3,33,333,3333，…；
(2)1,3,7,15,31，…；
(3)1，，，，，….
例2　已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，且an＝an－1＋(n>1)，寫出這個數(shù)列的前4項(xiàng)．
變式2　已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，對所有n≥2，都有a1a2a3…an＝n2，求a2，a3.
例3　已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝2n2－n＋1，求an.
變式3　已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2(an－1)，則a2＝________.
A級
1．已知數(shù)列，，，，…，那么0.94,0.96,0.98,0.99中屬于該數(shù)列中某一項(xiàng)值的應(yīng)當(dāng)有(　　)
A．1個 B．2個
C．3個 D．4個
2．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝，則a2a3等于(　　)
A．70 B．28 C．20 D．8
3．已知數(shù)列1，，，，…，，則3是它的(　　)
A．第22項(xiàng) B．第23項(xiàng)
C．第24項(xiàng) D．第28項(xiàng)
4．?dāng)?shù)列{an}中，a1＝1，對所有的n≥2，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，則a3＋a5等于(　　)
A. B.
C. D.
5．在數(shù)列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x＝________.
6．已知數(shù)列{an}滿足：an≤an＋1，an＝n2＋λn，n∈N*，則實(shí)數(shù)λ的最小值是________．
7．?dāng)?shù)列{an}滿足a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n≥1)，則數(shù)列的前6項(xiàng)依次為____________________．
B級
8．設(shè)數(shù)列0.3,0.33,0.333,0.3333……的通項(xiàng)公式是(　　)
A.(10n－1) B.(1－)
C.(10n－1) D.(10n－1)
9．由1,3,5，…，2n－1，…構(gòu)成數(shù)列{an}，數(shù)列{bn}滿足b1＝2，當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝abn－1，則b6的值是(　　)
A．9 B．17
C．33 D．65
10．?dāng)?shù)列{an}滿足an＋1＝，a8＝2，則a1＝________.
11．?dāng)?shù)列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，此數(shù)列的最大項(xiàng)的值是________．
12．已知數(shù)列{an}滿足：a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝an，n∈N*，則a2 013＝________，a2 014＝________.
13．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝cn＋dn－1，且a2＝，a4＝，求an和a10.
詳解答案
典型例題
例1　解　(1)符號問題可通過(－1)n或(－1)n＋1表示，其各項(xiàng)的絕對值的排列規(guī)律為：后面的數(shù)的絕對值總比前面數(shù)的絕對值大6，故通項(xiàng)公式為an＝(－1)n(6n－5)．
(2)將數(shù)列變形為(1－0.1)，(1－0.01)，(1－0.001)，…，∴an＝.
(3)各項(xiàng)的分母分別為21,22,23,24，…，易看出第2,3,4項(xiàng)的分子均比分母小3.因此把第1項(xiàng)變?yōu)椋链嗽瓟?shù)列已化為－，，－，，…，
∴an＝(－1)n·.
(4)將數(shù)列統(tǒng)一為，，，，…，對于分子3,5,7,9，…，是序號的2倍加1，可得分子的通項(xiàng)公式為bn＝2n＋1，對于分母2,5,10,17，…，聯(lián)想到數(shù)列1,4,9,16，…，即數(shù)列{n2}，可得分母的通項(xiàng)公式為cn＝n2＋1，
∴可得原數(shù)列的一個通項(xiàng)公式為an＝.
變式1　解　(1)an＝(10n－1)．
(2)an＝2n－1.
(3)注意到35＝36－1,63＝64－1,99＝100－1，把前兩項(xiàng)調(diào)整為，，即，，，，，…，這樣分母依次為：22－1,42－1,62－1,82－1,102－1，分子分別為21＋1,22＋1,23＋1,24＋1,25＋1，所以an＝.
例2　解　a1＝1；a2＝a1＋＝1＋1＝2；
a3＝a2＋＝2＋＝；
a4＝a3＋＝＋＝.
變式2　解　令n＝2，a1a2＝22，即a2＝＝4；令n＝3，a1a2a3＝32，即a3＝＝.
例3　解　a1＝S1＝2－1＋1＝2；n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n2－n＋1－[(2(n－1)2－(n－1)＋1)]＝4n－3，所以an＝.
變式3　4
解析　令n＝1，得S1＝2(a1－1)，
即a1＝2(a1－1)，解得a1＝2；
令n＝2，得S2＝2(a2－1)，
即a1＋a2＝2(a2－1)，解得a2＝4.
強(qiáng)化提高
1．C　2.C　3.B　4.C　5.13　6.－3
7．2,3,5,9,17,33　8.B　9.C
10.
解析　∵an＋1＝，
∴an＋1＝＝
＝＝＝1－
＝1－＝1－(1－an－2)＝an－2，
∴周期T＝(n＋1)－(n－2)＝3.
∴a8＝a3×2＋2＝a2＝2.
而a2＝，∴a1＝.
11．108
12．1　0
解析　2 013＝2 016－3＝4×504－3，故a2 013＝1；由a2n＝an，知a2 014＝a1 007，
又1 007＝1 008－1＝4×252－1，
故a2 014＝a1 007＝0.
13．解　∵a2＝，a4＝，代入通項(xiàng)公式an中得，解得c＝，d＝2.
∴an＝＋.∴a10＝＋＝.

展開更多......

收起↑