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專題6　不等關(guān)系與不等式
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1．實數(shù)的基本性質(zhì)
a>b a－b>0；
a＝b a－b＝0；
a2．不等式的基本性質(zhì)
(1)a>b b(2)a>b，b>c a>c；
(3)a>b a＋c>b＋c.
推論：a＋b>c a>c－b；
(4)a>b，c>0 ac>bc；
a>b，c<0 ac(5)a>b，c>d a＋c>b＋d；
(6)a>b>0，c>d>0 ac>bd；
(7)a>b>0，n∈N，n≥1 an>bn；
(8)a>b>0，n∈N，n≥2 >.
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例1　對于實數(shù)a，b，c，有下列命題：
①若a>b，則ac②若ac2>bc2，則a>b；
③若aab>b2；
④若a>b，ab>0，則<；
⑤若c>a>b>0，則>.
其中真命題的個數(shù)是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
變式1　判斷下列命題的真假：
(1)若a>b，則<；
(2)若a(3)若ac－3>bc－3，則a>b；
(4)若a>b，k∈N*，則ak>bk；
(5)若a>b，b>c，則a－b>b－c.
例2　比較(a＋3)(a－5)與(a＋2)(a－4)的大小．
變式2　已知a，b為正實數(shù)，試比較＋與＋的大小．
例3　已知奇函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞) ( http: / / www.21cnjy.com )上是減函數(shù)，x1，x2，x3∈R且x1＋x2>0，x2＋x3>0，x1＋x3>0.證明：f(x1)＋f(x2)＋f(x3)<0.
變式3　已知a>b>0，證明：a－>b－.
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A級
1．若a>b>0，cA.> B.<
C.> D.<
2．已知a、b為非零實數(shù)，且aA．a(chǎn)2C.< D.<
3．已知α，β滿足：－<α<β<，則α－β的范圍是(　　)
A．－π<α－β<0 B．－π<α－β<π
C．－<α－β<0 D．－<α－β<
4．若a>b>c且a＋b＋c＝0，則下列不等式中正確的是(　　)
A．a(chǎn)b>ac B．a(chǎn)c>bc
C．a(chǎn)|b|>c|b| D．a(chǎn)2>b2>c2
5．(x＋5)(x＋7)與(x＋6)2的大小關(guān)系為______________________________________．
6．設(shè)a<0，－17．已知x≠0，比較(x2＋1)2與x4＋x2＋1的大小．
B級
8．若a>0且a≠1，M＝loga(a3＋1)，N＝loga(a2＋1)，則M，N的大小關(guān)系為(　　)
A．MC．M>N D．M≥N
9．若0A．a(chǎn)1b1＋a2b2 B．a(chǎn)1a2＋b1b2
C．a(chǎn)1b2＋a2b1 D.
10.和(a>b，a，b，m∈R＋)的大小關(guān)系是__________．
11．已知三個不等式：①ab>0；②>；③bc>ad，以其中兩個作為條件，余下一個作為結(jié)論，真命題的個數(shù)是________．
12．已知a>b>0，c.
13．設(shè)函數(shù)f(x)＝|lgx|，若0f(b)．證明：ab<1.
詳解答案
典型例題
例1　C　[①反例：c＝0時結(jié)論不成立．
②由ac2>bc2，知c2≠0，故c2>0，所以a>b.
③由 a2>ab， ab>b2，故a2>ab>b2.
④由ab>0，知>0，故a·>b·，即<.
⑤a>b，得－a<－b，得c－aa，故0于是>>0，又a>b>0，所以>.]
變式1　解　都是假命題．
例2　解　∵(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)
＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0.
∴(a＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4)．
(步驟：作差—變形—判號—結(jié)論)
變式2　解　∵＋－(＋)＝(－)＋(－)＝＋
＝(a－b)(－)＝(a－b)
＝(＋)(－)
＝(＋)≥0.
∴＋≥＋.
例3　證明　由x1＋x2>0，得x1>－x2，
又f(x)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)，故f(x1)又f(x)為奇函數(shù)，所以f(x1)<－f(x2)，
即f(x1)＋f(x2)<0.
同理，f(x1)＋f(x3)<0，f(x2)＋f(x3)<0，
所以2[f(x1)＋f(x2)＋f(x3)]<0，
即f(x1)＋f(x2)＋f(x3)<0.
變式3　證明　可以利用作差法證明，也可以利用函數(shù)單調(diào)性證明．
令f(x)＝x－(x>0)，由y＝x及y＝－在(0，＋∞)上都是增函數(shù)，
知f(x)＝x－在(0，＋∞)上是增函數(shù)，故a>b>0時，有f(a)>f(b)，即a－>b－.
強化提高
1．B　[方法一　令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2，
則＝－1，＝－1，排除選項C，D；
又＝－，＝－，
所以<，所以選項A錯誤，選項B正確．故選B.
方法二　因為c－d>0，所以>>0.
又a>b>0，所以>，所以<.故選B.]
2．C
3．A　[由－<α<β<，知－<α<①
－<－β<②
所以－π<α－β<π.
又α<β，故α－β<0，所以－π<α－β<0.]
4．A　[由a>b>c及a＋b＋c＝0知a>0，c<0， ab>ac.]
5．(x＋5)(x＋7)<(x＋6)2　6.a7．解　(x2＋1)2－(x4＋x2＋1)
＝x4＋2x2＋1－x4－x2－1＝x2.
∵x≠0，∴x2>0，從而(x2＋1)2>x4＋x2＋1.
8．C
9．A　[特殊值法．
令a1＝，a2＝，b1＝，b2＝，
則a1b1＋a2b2＝＝，a1a2＋b1b2＝＝，a1b2＋a2b1＝＝，
∵>>，
∴最大的數(shù)應(yīng)是a1b1＋a2b2.]
10.<　11.3
12．證明　ca－c>b－d>0 >.
13．證明　由題意，得|lga|>|lgb|，
所以(lga)2>(lgb)2，
所以(lga)2－(lgb)2＝(lga＋lgb)(lga－lgb)＝lglg(ab)>0，
∵0∴l(xiāng)g<0，
∴l(xiāng)g(ab)<0，∴ab<1.