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專題7　一元二次不等式及其解法
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1．三個“二次”之間的聯系
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0或ax ( http: / / www.21cnjy.com )2＋bx＋c<0(其中a>0)與相應的一元二次函數y＝ax2＋bx＋c(a>0)、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)之間的關系：
( http: / / www.21cnjy.com / )
2.解一元二次不等式的步驟
(1)變形(二次項系數化為正數，另一邊為零)；
(2)判號(確定判別式Δ＝b2－4ac的符號)；
(3)求根(解相應的一元二次方程)；
(4)畫圖(畫出相應二次函數的圖象)；
(5)定解集(根據圖象寫出不等式的解集)．
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例1　解關于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0.
變式1　解關于x的不等式(x－2)(ax－2)>0.
例2　已知不等式(m－2)x2＋2(m－2)x＋4>0的解集為R，求m的取值范圍．
變式2　若不等式mx2－2x＋1－m<0對滿足－2≤m≤2的所有m都成立，求實數x的取值范圍．
例3　已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|20的解集．
變式3　已知關于x的不等式x2－mx＋n≤0的解集是{x|－5≤x≤1}，求實數m，n的值．
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A級
1．不等式2x2－x－1>0的解集是(　　)
A.
B．(1，＋∞)
C．(－∞，1)∪(2，＋∞)
D.∪(1，＋∞)
2．已知一元二次不等式f(x)<0的解集為{x|x<－1或x>1}，則f(x)>0的解集為(　　)
A．{x|x<－1或x>1}
B．{x|－1C．{x|x≤－1或x≥1}
D．以上都不對
3．若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝ ，則實數a的值的集合是(　　)
A．{a|0C．{a|04．若00的解集是(　　)
A. B.
C. D.
5．已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，則k的取值范圍是______________．
6．函數y＝的定義域為R，則k的取值范圍是________．
7．用一根長為100 m的繩子能圍成一個面積大于600 m2的矩形嗎？
B級
8．不等式≥2的解集是(　　)
A．[－3，] B．[－，3]
C．[，1)∪(1,3] D．[－，1)∪(1,3]
9．如果方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的兩個實根一個小于1，另一個大于1，那么實數m的取值范圍是(　　)
A．(－，) B．(－2,0)
C．(－2,1) D．(0,1)
10．對任意a∈[－1,1]，函數f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，則x的取值范圍是(　　)
A．13
C．12
11．關于x的不等式>1對一切實數x恒成立，則k的取值范圍是________．
12．若關于x的不等式(2x－1)213．已知函數f(x)＝x2＋ax＋b(a ( http: / / www.21cnjy.com )，b∈R)的值域為[0，＋∞)，若關于x的不等式f(x)詳解答案
典型例題
例1　解　將不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0變形為(x－a)(x－a2)>0.
∵a2－a＝a(a－1)．
∴當a<0或a>1時，aa2}．
當0a}．
當a＝0或1時，解集為{x|x∈R且x≠a}．
綜上知，當a<0或a>1時，
不等式的解集為{x|xa2}；
當0a}；
當a＝0或1時，不等式的解集為{x|x∈R且x≠a}．
變式1　解　不等式的解及其結構與a相關，所以必須分類討論．
(1)當a＝0時，原不等式化為x－2<0，解集為{x|x<2}；
(2)當a<0時，由于2>，原不等式化為(x－2)(x－)<0，解集為{x|(3)當00，解集為{x|x<2或x>}；
(4)當a＝1時，原不等式化為(x－2)2>0，解集為{x|x≠2}；
(5)當a>1時，由于2>，原不等式化為(x－2)(x－)>0，解集為{x|x<或x>2}．
綜上所述，原不等式的解集為：
當a＝0時，解集為{x|x<2}；
當a<0時，解集為{x|當0}；
當a＝1時，解集為{x|x≠2}；
當a>1時，解集為{x|x<或x>2}．
例2　解　①m＝2時，不等式4>0恒成立，故m＝2適合題意；
②m≠2時，y＝(m－2)x2＋2(m－2)x＋4為二次函數，
∵二次函數的值恒大于零，即(m－2)x2＋2(m－2)x＋4>0的解集為R.
∴，即，
解得：.∴m的取值范圍為(2,6)．
綜上，m的取值范圍為[2,6)．
變式2　解　已知不等式可化為(x2－1)m＋(1－2x)<0.
設f(m)＝(x2－1)m＋(1－2x)， ( http: / / www.21cnjy.com )這是一個關于m的一次函數(或常數函數)，從圖象上看，要使f(m)<0在－2≤m≤2時恒成立，其等價條件是：
，
即解得所以，實數x的取值范圍是.
例3　解　由題意知，2,3是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，且a<0，
∴，即.
代入不等式cx2－bx＋a>0得：6ax2＋5ax＋a>0(a<0)．
即6x2＋5x＋1<0，
∴所求不等式的解集為{x|－變式3　解　∵不等式x2－mx＋n≤0的解集是{x|－5≤x≤1}．
∴x1＝－5，x2＝1是x2－mx＋n＝0的兩個實數根，∴由根與系數的關系知：
，∴.
強化提高
1．D　[∵2x2－x－1 ( http: / / www.21cnjy.com )＝(2x＋1)(x－1)，∴由2x2－x－1>0得(2x＋1)(x－1)>0，解得x>1或x<－，∴不等式的解集為∪(1，＋∞)．]
2．B
3．D　[a＝0時符合題意，a>0時，相應二次方程中的Δ＝a2－4a≤0，得{a|04．D　[∵01，∴>t.
∴(t－x)(x－)>0 (x－t)(x－)<0 t5．k≤2或k≥4
解析　x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，把x＝1代入不等式得k2－6k＋8≥0，解得k≥4或k≤2.
6．[0,4)
解析　kx2＋kx＋1>0恒成立．
k＝0適合題意；k≠0時，有
∴07．解　設矩形一邊的長為x m，則另一邊的長為(50－x) m，0由題意，得x(50－x)>600，即x2－50x＋600<0.解得20所以，當矩形一邊的長在(20,30)的范圍內取值時，能圍成一個面積大于600 m2的矩形．
8．D　[≥2
所以x∈[－，1)∪(1,3]．]
9．C　10.B　11.(3，＋∞)
12.
解析　原不等式可化為(4－a)x2－4x＋1<0①，由于原不等式的解集中的整數恰有3個，所以
即0又<<，所以解集中的3個整數必為1,2,3，所以3<≤4，解得13．9
解析　通過值域求a，b的關系是關鍵．
由題意知f(x)＝x2＋ax＋b＝2＋b－.
∵f(x)的值域為[0，＋∞)，∴b－＝0，即b＝.∴f(x)＝2.
又∵f(x)即－－∴
②－①，得2＝6，∴c＝9.

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