資源簡(jiǎn)介

專(zhuān)題8　二元一次不等式(組)與簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題
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1．二元一次不等式(組)與平面區(qū)域
在平面直角坐標(biāo)系中，
二元一次不等式Ax＋By＋C>0，表示直線(xiàn)Ax＋By＋C＝0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域(把直線(xiàn)畫(huà)成虛線(xiàn)，表示區(qū)域不包括邊界)；
二元一次不等式Ax＋By＋C≥0，表示直線(xiàn)Ax＋By＋C＝0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域(把直線(xiàn)畫(huà)成實(shí)線(xiàn)，表示區(qū)域包括邊界)．
由于對(duì)在直線(xiàn)Ax＋By＋C＝0同一側(cè)的所 ( http: / / www.21cnjy.com )有點(diǎn)(x，y)，把它的坐標(biāo)(x，y)代入Ax＋By＋C，所得到實(shí)數(shù)的符號(hào)都相同，所以只需在此直線(xiàn)的某一側(cè)取一特殊點(diǎn)(x0，y0)，從Ax0＋By0＋C的正負(fù)即可判斷Ax＋By＋C>0表示直線(xiàn)哪一側(cè)的平面區(qū)域．(特殊地，當(dāng)C≠0時(shí)，常把原點(diǎn)作為此特殊點(diǎn))．
2．簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題
(1)線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)：
關(guān)于x、y的一次解析式z＝ax＋by，叫線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)．
(2)線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題：
一般地，在線(xiàn)性約束條件下求線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題，統(tǒng)稱(chēng)為線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題．
(3)可行解、可行域和最優(yōu)解：
滿(mǎn)足線(xiàn)性約束條件的解(x，y)叫做可行解．
由所有可行解組成的集合叫做可行域．
使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解．
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例1　如圖所示，表示滿(mǎn)足不等式(x－y)(x＋2y－2)>0的點(diǎn)(x，y)所在的區(qū)域?yàn)?　　)
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變式1　△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(3，－ ( http: / / www.21cnjy.com )1)，B(－1,1)，C(1,3)，則△ABC的內(nèi)部及邊界所對(duì)應(yīng)的二元一次不等式組是__________________．
例2　若變量x，y滿(mǎn)足約束條件則x＋2y的最大值是(　　)
A．－ B．0
C. D.
變式2　已知x，y滿(mǎn)足約束條件若z＝ax＋y的最大值為4，則a等于(　　)
A．3 B．2 C．－2 D．－3
例3　已知正數(shù)a，b，c滿(mǎn)足：5c－3a≤b≤4c－a，則的最大值是________．
變式3　如果方程x2＋ax＋b＝0的兩個(gè)實(shí)根一個(gè)小于1，另一個(gè)大于1，那么實(shí)數(shù)a2＋b2的范圍是________．
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A級(jí)
1．若x，y滿(mǎn)足則2x＋y的最大值為(　　)
A．0 B．3 C．4 D．5
2．設(shè)變量x，y滿(mǎn)足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋5y的最小值為(　　)
A．－4 B．6 C．10 D．17
3．設(shè)二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)镸，使函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)的圖象過(guò)區(qū)域M的a的取值范圍為(　　)
A．[1,3] B．[2，]
C．[2,9] D．[，9]
4．設(shè)變量x，y滿(mǎn)足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z＝3x－y的取值范圍是(　　)
A. B.
C. D.
5．某農(nóng)戶(hù)計(jì)劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過(guò)50畝，投入資金不超過(guò)54萬(wàn)元，假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價(jià)如下表
( http: / / www.21cnjy.com / )
為使一年的種植總利潤(rùn)(總利潤(rùn)＝總銷(xiāo)售收入－總種植成本)最大，那么黃瓜和韭菜的種植面積(單位：畝)分別為(　　)
A．50,0 B．30,20
C．20,30 D．0,50
6．若點(diǎn)(x，y)位于曲線(xiàn)y＝|x－1|與y＝2所圍成的封閉區(qū)域，則2x－y的最小值為_(kāi)_______．
7．若A為不等式組表示的平面區(qū)域，則當(dāng)a從－2連續(xù)變化到1時(shí)，動(dòng)直線(xiàn)x＋y＝a掃過(guò)A中的那部分區(qū)域的面積為_(kāi)_______．
B級(jí)
8．直線(xiàn)2x＋y－10＝0與不等式組表示的平面區(qū)域的公共點(diǎn)有(　　)
A．0個(gè) B．1個(gè)
C．2個(gè) D．無(wú)數(shù)個(gè)
9．若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線(xiàn)y＝kx＋分為面積相等的兩部分，則k的值是(　　)
A.B. C. D.
10．設(shè)關(guān)于x、y的不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)P(x0，y0)，滿(mǎn)足x0－2y0＝2，則m的取值范圍是(　　)
A. B.
C. D.
11．給定區(qū)域D：.令點(diǎn)集T＝{(x0， ( http: / / www.21cnjy.com )y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D上取得最大值或最小值的點(diǎn)}，則T中的點(diǎn)共確定________條不同的直線(xiàn)．
12．設(shè)z＝kx＋y，其中實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足若z的最大值為12，則實(shí)數(shù)k＝________.
13．若直線(xiàn)y＝kx＋1與 ( http: / / www.21cnjy.com )圓x2＋y2＋kx＋my－4＝0相交于P、Q兩點(diǎn)，且P、Q關(guān)于直線(xiàn)x＋y＝0對(duì)稱(chēng)，則不等式組表示的平面區(qū)域的面積是多少？
詳解答案
典型例題
例1　B　[不等式(x－y)(x＋2y－2)>0等價(jià)于不等式組(Ⅰ)
或不等式組(Ⅱ)分別畫(huà)出不等式組(Ⅰ)和(Ⅱ)所表示的平面區(qū)域，再求并集，可得正確答案為B.]
變式1　
解析　如圖直線(xiàn)AB的方程為x＋2y－1＝0，
直線(xiàn)AC的方程為2x＋y－5＝0，
直線(xiàn)BC的方程為x－y＋2＝0，
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把(0,0)代入2x＋y－5＝0，得－5<0，所以AC左下方的區(qū)域?yàn)?x＋y－5<0.
同理可得△ABC區(qū)域(含邊界)為
例2　C　[畫(huà)出可行域如圖．
設(shè)z＝x＋2y，平行移動(dòng)直線(xiàn)y＝－x＋z，當(dāng)直線(xiàn)y＝－x＋過(guò)點(diǎn)M時(shí)，z取最大值.]
變式2　B　[不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示．
易知A(2,0)，
由得B(1,1)．
由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z.
∴當(dāng)a＝－2或a＝－3時(shí)，z＝ax＋y ( http: / / www.21cnjy.com )在O(0,0)處取得最大值，最大值為zmax＝0，不滿(mǎn)足題意，排除C，D選項(xiàng)；當(dāng)a＝2或3時(shí)，z＝ax＋y在A(2,0)處取得最大值，
∴2a＝4，∴a＝2，排除A，故選B.]
例3　7
解析　條件5c－3a≤b≤4c－a，
可化為，
設(shè)＝x，＝y(tǒng)，則題目轉(zhuǎn)化為：已知x，y滿(mǎn)足，求的最大值．
作出(x，y)所在平面區(qū)域，可求得的最大值為7.
變式3　
解析　令f(x)＝x2＋ax＋b， ( http: / / www.21cnjy.com )由題意，得f(1)＝1＋a＋b<0，a2＋b2表示點(diǎn)(a，b)到原點(diǎn)距離的平方．原點(diǎn)(0,0)到直線(xiàn)x＋y＋1＝0的距離是，故a2＋b2的最小值是.
強(qiáng)化提高
1．C　[
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不等式組表示的可行域如圖中陰影部分 ( http: / / www.21cnjy.com )所示．令z＝2x＋y，則y＝－2x＋z，作直線(xiàn)2x＋y＝0并平移，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，截距最大，即z取得最大值，
由得所以A點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，可得2x＋y的最大值為2×1＋2＝4.]
2．B　[由約束條件作出可行域如圖所示，目標(biāo)函數(shù)可化為y＝－x＋z，在圖中畫(huà)出直線(xiàn)y＝－x，
INCLUDEPICTURE "F:\\實(shí)習(xí)期文件\\寒假作業(yè)數(shù)學(xué)高二\\數(shù)學(xué)高二寒假作業(yè)（必修5、選修2-1）(理)\\16W117.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "H://必修5、選修2-1（理）/16W117.TIF" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "H://必修5、選修2-1（理）/16W117.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "H://必修5、選修2-1（理）/16W117.TIF" \* MERGEFORMATINET
平移該直線(xiàn)，易知經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)z最小．
又知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0)，
∴zmin＝2×3＋5×0＝6.故選B.]
3．C
4．A　[作出不等式組表示的可行域，如圖陰影部分所示，作直線(xiàn)3x－y＝0，并向左上、右下平移．
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由圖可得，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，z＝3x－y取最大值；當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，z＝3x－y取最小值．
由解得A(2,0)；
由解得B.
∴zmax＝3×2－0＝6，zmin＝3×－3＝－.
∴z＝3x－y的取值范圍是.]
5．B　[設(shè)種植黃瓜x(chóng)畝，韭菜y畝，則由題意可知求目標(biāo)函數(shù)z＝x＋0.9y的最大值，根據(jù)題意畫(huà)可行域如圖陰影所示．
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當(dāng)目標(biāo)函數(shù)線(xiàn)l向右平移，移至點(diǎn)A(30,20)處時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，即當(dāng)黃瓜種植30畝，韭菜種植20畝時(shí)，種植總利潤(rùn)最大．]
6．－4
解析　如圖，曲線(xiàn)y＝|x－1|與y＝2所圍成的封閉區(qū)域如圖中陰影部分，
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令z＝2x－y，則y＝2x－z，作直線(xiàn)y＝2 ( http: / / www.21cnjy.com )x，在封閉區(qū)域內(nèi)平行移動(dòng)直線(xiàn)y＝2x，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－1,2)時(shí)，z取得最小值，此時(shí)z＝2×(－1)－2＝－4.
7.
解析如圖所示，區(qū)域A表示的平面區(qū)域?yàn)椤鱋BC內(nèi)部及其邊界組成的圖形，當(dāng)a從－2連續(xù)變化到1時(shí)掃過(guò)的區(qū)域?yàn)樗倪呅蜲DEC所圍成的區(qū)域．
又D(0,1)，B(0,2)，
E，C(－2,0)．
S四邊形ODEC＝S△OBC－S△BDE＝2－＝.
8．B　[畫(huà)出可行域如圖陰影部分所示．
∵直線(xiàn)過(guò)(5,0)點(diǎn)，故只有1個(gè)公共點(diǎn)(5,0)．]
INCLUDEPICTURE "F:\\實(shí)習(xí)期文件\\寒假作業(yè)數(shù)學(xué)高二\\數(shù)學(xué)高二寒假作業(yè)（必修5、選修2-1）(理)\\A124.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "H://必修5、選修2-1（理）/A124.TIF" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "H://必修5、選修2-1（理）/A124.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "H://必修5、選修2-1（理）/A124.TIF" \* MERGEFORMATINET
9．A　[不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示．
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由于直線(xiàn)y＝kx＋過(guò)定點(diǎn).
因此只有直線(xiàn)過(guò)AB中點(diǎn)時(shí)，
直線(xiàn)y＝kx＋能平分平面區(qū)域．
因?yàn)锳(1,1)，B(0,4)，
所以AB中點(diǎn)D.
當(dāng)y＝kx＋過(guò)點(diǎn)時(shí)，
＝＋，
所以k＝.]
10．C　[當(dāng)m≥0時(shí)，若 ( http: / / www.21cnjy.com )平面區(qū)域存在，則平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)在第二象限，平面區(qū)域內(nèi)不可能存在點(diǎn)P(x0，y0)滿(mǎn)足x0－2y0＝2，因此m<0.如圖所示的陰影部分為不等式組表示的平面區(qū)域．
要使可行域內(nèi)包含y＝x－1上的點(diǎn)，只需可行域邊界點(diǎn)(－m，m)在直線(xiàn)y＝x－1的下方即可，即m<－m－1，解得m<－.]
11．6
解析　線(xiàn)性區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，取得最小值時(shí)點(diǎn)為(0,1)，最大值時(shí)點(diǎn)為(0,4)(1,3)(2,2)(3,1)(4,0)，故共可確定6條．
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12．2
解析　由畫(huà)出可行域如圖，
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由z＝kx＋y即y＝－kx＋z的最大值為12，知直線(xiàn)y＝－kx＋12必過(guò)點(diǎn)M(4,4)．
∴k＝2.
13．解　P、Q關(guān)于直線(xiàn)x＋y＝0對(duì)稱(chēng)，故PQ與直線(xiàn)x＋y＝0垂直，直線(xiàn)PQ即為直線(xiàn)y＝kx＋1，故k＝1；
又線(xiàn)段PQ為圓x2＋y2 ( http: / / www.21cnjy.com )＋kx＋my－4＝0的一條弦，故該圓的圓心在線(xiàn)段PQ的垂直平分線(xiàn)上，即為直線(xiàn)x＋y＝0，又圓心為(－，－)，∴m＝－k＝－1，
∴不等式組為，
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它表示的區(qū)域如圖所示，直線(xiàn)x－y＋1＝0與x＋y＝0的交點(diǎn)為(－，)，∴S△＝×1×＝.故面積為.

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