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專題9　基本不等式
　　　　　　　　　　　　　
1．重要不等式
如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取“＝”號)．
2．基本不等式
如果a>0，b>0，那么≥，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立．
3．利用基本不等式求最值
(1)兩個正數(shù)的和為定值時，它們的積有最大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M為定值，則ab≤，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立．
(2)兩個正數(shù)的積為定值時，它們的和有最小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P為定值，則a＋b≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立．
例1　下列各函數(shù)中，最小值為2的是(　　)
A．y＝x＋
B．y＝sin x＋，x∈(0，)
C．y＝
D．y＝＋
變式1　在下列結(jié)論中，正確的是(　　)
A．若a，b∈R，則＋≤2 ＝2
B．若a，b∈R＋，則lga＋lgb≥2
C．函數(shù)y＝x＋(－1D．函數(shù)y＝3x＋3－x(x≤0)的最小值為2
例2　已知x>0，y>0，＋＝2，求xy的最小值．
變式2　若2a＋3b＝6(a>0，b>0)，則＋的最小值為(　　)
A. B.C. D．4
例3　求函數(shù)y＝x＋，x∈(0，c)的最小值．
變式3　求函數(shù)y＝的值域．
A級
1．若x，y∈R＋，且x＋y＝1，則＋的取值范圍是(　　)
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(4，＋∞) D．[4，＋∞)
2．設(shè)a>0，b>0，且不等式＋＋≥0恒成立，則實數(shù)k的最小值等于(　　)
A．0 B．4 C．－4 D．－2
3．若x>0，y>0，且x＋y＝4，則下列不等式中恒成立的是(　　)
A.≤ B.＋≥1
C.≥2 D.≥1
4．若log4(3a＋4b)＝log2，則a＋b的最小值是(　　)
A．6＋2 B．7＋2
C．6＋4 D．7＋4
5．設(shè)a>2，則a＋的最小值是________．
6．已知x>y>0，xy＝1，則的最小值為________．
7．已知x>0，y>0，lgx＋lgy＝1，求＋的最小值．
B級
8．設(shè)a>0，b>0，若是3a與3b的等比中項，則＋的最小值為(　　)
A．8 B．4 N C．1 D.
9．設(shè)正實數(shù)x，y，z滿足x2－3xy＋4y2－z＝0.則當(dāng)取得最小值時，x＋2y－z的最大值為(　　)
A．0 B. C．2 D.
10．在4×□＋9×□＝60的兩個□中，分別填入兩個自然數(shù)，使它們的倒數(shù)和最小，應(yīng)分別填上________和________．
11．在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長x為________ m.
12．設(shè)x>－1，則函數(shù)y＝的最小值是________．
13．某建筑公司用8 000萬元購得一塊空地，計劃在該地塊上建造一棟至少12層、每層4 000平方米的樓房．經(jīng)初步估計得知，如果將樓房建為x(x≥12)層，則每平方米的平均建筑費用為Q(x)＝3 000＋50x(單位：元)．為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？每平方米的平均綜合費用最小值是多少？
(注：平均綜合費用＝平均建筑費用＋平均購地費用，平均購地費用＝)
詳解答案
典型例題
例1　D　[對于A，當(dāng)x<0時，函數(shù)值為負(fù)數(shù)；
對于B，sin x＝在(0，)內(nèi)無解；
對于C，y＝＝＋，不能保證＝在R上有解；
對于D，y＝＋≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時等號成立．]
變式1　D
例2　解　方法一　xy＝＝≥＝10，當(dāng)且僅當(dāng)＝即時，等號成立．故xy的最小值為10.
方法二　由＋＝2，得y＝(x>1)，
所以xy＝＝
＝＝[(x－1)＋＋2]≥(2＋2)＝10
(當(dāng)且僅當(dāng)x＝2，y＝5時取等號)．
變式2　A　[＋＝(＋)＝×(4＋＋＋9)≥(13＋2×6)＝(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時取等號)．]
例3　解　x>0，x＋≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝1時取等號．
若c>1，則y＝x＋，x∈(0，c)的最小值為2；若0綜上，c>1時函數(shù)最小值為2；
0變式3　解　函數(shù)的定義域為R，
(1)當(dāng)x＝0時，y＝0；
(2)當(dāng)x>0時，y＝，由x＋≥2(當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝1時取等號)
得0<≤，即0(3)當(dāng)x<0時，y＝，由x＋＝－(－x＋)≤－2(當(dāng)且僅當(dāng)－x＝－，即x＝－1時取等號)
得－≤<0，即－≤y<0；
綜上所述：－≤y≤，即函數(shù)的值域是[－，]．
強化提高
1．D　2.C
3．B　[若x>0，y>0，由x＋y＝4，得＝1，
∴＋＝(x＋y)(＋)＝(2＋＋)≥(2＋2)＝1.]
4．D　[由題意得所以
又log4(3a＋4b)＝log2，
所以log4(3a＋4b)＝log4ab，
所以3a＋4b＝ab，故＋＝1.
所以a＋b＝(a＋b)(＋)＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，
當(dāng)且僅當(dāng)＝時取等號．故選D.]
5．4
解析　∵a>2，∴a－2>0.
∴a＋＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝4.
當(dāng)且僅當(dāng)a－2＝，即a＝3時，等號成立．
6．2
解析　∵xy＝1，x>y>0，∴x－y>0，
∴＝＝
＝(x－y)＋
≥2 ＝2.
當(dāng)且僅當(dāng)，
即時取等號，
∴的最小值為2.
7．解　方法一　由已知條件x>0，y>0，lgx＋lgy＝1，可得xy＝10.
則＋＝≥＝2.
所以min＝2，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．
方法二　由已知條件x>0，y>0，lgx＋lgy＝1，可得xy＝10.
＋≥2 ＝2 ＝2(當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．)
8．B　[因為3a·3b＝3，
所以a＋b＝1，
＋＝(a＋b)(＋)＝2＋＋
≥2＋2 ＝4，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝b＝時，“＝”成立，故選B.]
9．C　[由題意知：z＝x2－3xy＋4y2，
則＝＝＋－3≥1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y時取等號，此時z＝xy＝2y2.
所以x＋2y－z＝2y＋2y－2y2＝－2y2＋4y＝－2(y－1)2＋2≤2.]
10．6　4
解析　設(shè)兩數(shù)為x，y，即4x＋9y＝60，
又＋＝(＋)×＝(13＋＋)≥×(13＋12)＝，當(dāng)且僅當(dāng)＝，且4x＋9y＝60，即x＝6，y＝4時，等號成立．
11．20
解析　如圖所示，△ADE∽△ABC，設(shè)矩形的面積為S，另一邊長為y，
則＝2＝2.
所以y＝40－x，則S＝x(40－x)＝－(x－20)2＋202，所以當(dāng)x＝20時，S最大．
12．9
解析　∵x>－1，∴x＋1>0，
設(shè)x＋1＝t>0，則x＝t－1，
于是有y＝＝
＝t＋＋5≥2 ＋5＝9，
當(dāng)且僅當(dāng)t＝，即t＝2時取等號，此時x＝1.
∴當(dāng)x＝1時，函數(shù)y＝取得最小值9.
13．解　設(shè)樓房每平方米的平均綜合費用為f(x)元，依題意得
f(x)＝Q(x)＋
＝50x＋＋3 000(x≥12，x∈N)，
f(x)＝50x＋＋3 000
≥2 ＋3 000
＝5 000(元)．
當(dāng)且僅當(dāng)50x＝，即x＝20時上式取“＝”．因此，當(dāng)x＝20時，f(x)取得最小值5 000(元)．
所以為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應(yīng)建為20層，每平方米的平均綜合費用最小值為5 000元．

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