資源簡介

專題11　簡單的邏輯聯結詞、全稱量詞與存在量詞
1．四種命題及其關系
2．充分條件與必要條件
3．邏輯聯結詞
(1)邏輯聯結詞“且、或、非”的含義；
(2)命題“p∧q”、“p∨q”、“綈p”真假的判斷．
4．全稱量詞與存在量詞
(1)全稱命題與特稱命題；
(2)含有一個量詞的命題的否定．
例1　“p∧q是真命題”是“p∨q是真命題”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
變式1　錢大姐常說“便宜沒好貨”，她這句話的意思是：“不便宜”是“好貨”的 (　　)
A．充分條件
B．必要條件
C．充分必要條件
D．既非充分也非必要條件
例2　設x∈Z，集合A是奇數集，集合B是偶數集．若命題p：?x∈A,2x∈B，則(　　)
A．綈p：?x∈A,2x∈B
B．綈p：?x?A,2x?B
C．綈p：?x?A,2x∈B
D．綈p：?x∈A,2x?B
變式2　命題“?x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是(　　)
A．?x∈R，|x|＋x2<0
B．?x∈R，|x|＋x2≤0
C．?x0∈R，|x0|＋x20<0
D．?x0∈R，|x0|＋x20≥0
例3　已知p：{x|x2－8x－20≤0}，q：{x|x2－2x－(m2－1)≤0，m>0}，若綈p是綈q的必要而不充分條件，求實數m的取值范圍．
變式3　p：<0，q：x2－4x－5<0，若p∧q為假命題，則x的取值范圍是______________．
A級
1．設a，b，c是非零向量．已知命題p：若a·b＝0，b·c＝0，則a·c＝0；命題q：若a∥b，b∥c，則a∥c.則下列命題中真命題是(　　)
A．p∨q B．p∧q
C．(綈p)∧(綈q) D．p∨(綈q)
2．命題“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是(　　)
A．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2
B．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2
C．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2
D．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2
3．設點P(x，y)，則“x＝2且y＝－1”是“點P在直線l：x＋y－1＝0上”的(　　)
A．充分而不必要條件
B．必要而不充分條件
C．充分必要條件
D．既不充分也不必要條件
4．命題p：a2＋b2<0(a，b∈R)，命題q：(a－2)2＋|b－3|≥0(a，b∈R)，下列結論正確的是(　　)
A．p∨q為真 B．p∧q為真
C．綈p為假 D．綈q為真
5．若α∈R，則“α＝0”是“sin αA．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充分必要條件
D．既不充分也不必要條件
6．已知命題p：1∈{x|(x＋2)(x－3)<0}，命題q：?＝{0}，則下列判斷正確的是(　　)
A．p假q真 B．“p或q”為真
C．“p且q”為真 D．“綈p”為真
7．下列命題中的假命題是(　　)
A．?x∈R，lgx＝0
B．?x∈R，tan x＝1
C．?x∈R，x3>0
D．?x∈R,2x>0
B級
8．下列全稱命題為真命題的是(　　)
A．所有的素數是奇數
B．?x∈R，x2＋3≥3
C．?x∈R,2x－1＝0
D．所有的平行向量都相等
9．已知命題p1：函數y＝2x－2－x在R上為增函數，p2：函數y＝2x＋2－x在R上為減函數，則在命題q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，真命題是(　　)
A．q1，q3 B．q2，q3
C．q1，q4 D．q2，q4
10．一元二次方程ax2＋4x＋3＝0 (a≠0)有一個正根和一個負根的充分不必要條件是(　　)
A．a<0 B．a>0
C．a<－1 D．a>1
11．已知命題p：“a＝1”是“?x>0，x＋≥2”的充要條件，命題q：?x0∈R，x＋x0－1>0.則下列結論中正確的是________．
①命題“p∧q”是真命題；
②命題“p∧綈q”是真命題；
③命題“綈p∧q”是真命題；
④命題“綈p∨綈q”是假命題．
12．已知p：?x∈R，mx2＋1≤0，q：?x∈R，x2＋mx＋1>0，若p∨q為假命題，則實數m的取值范圍為________．
13．已知p：2x2－9x＋a<0，q：且綈p是綈q的充分條件，求實數a的取值范圍．
14．已知函數f(x)＝x2－2x＋5.
(1)是否存在實數m，使不等式m＋f(x)>0對于任意x∈R恒成立？并說明理由；
(2)若存在實數x，使不等式m－f(x)>0成立，求實數m的取值范圍．
詳解答案
典型例題
例1　A　[p∧q是真命題?p是真命題，且q是真命題?p∨q是真命題；p∨q是真命題D?/p∧q是真命題．]
變式1　B　[根據等價命題，便宜?沒好貨，等價于好貨?不便宜，故選B.]
例2　D　[命題p：?x∈A,2x∈B是一個全稱命題，其命題的否定綈p應為?x∈A,2x?B，選D.]
變式2　C　[?x∈R，|x|＋x2≥0的否定是?x0∈R，|x0|＋x<0.故選C.]
例3解綈p是綈q的必要不充分條件，即綈q?綈p，且綈pD?/綈q，則p?q，qD?/p.
令A＝{x|x2－8x－20≤0}，B＝{x|x2－2x－(m2－1)≤0，m>0}，則A是B的真子集．
而A＝{x|－2≤x≤10}，B＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}，
故或，解得m≥9.
變式3　(－∞，－1]∪[3，＋∞)
強化提高
1．A　[方法一　取a＝c＝(1,0)，b＝(0,1)，顯然a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，
∴p是假命題．
a，b，c是非零向量，由a∥b知a＝xb，
由b∥c知b＝yc，∴a＝xyc，
∴a∥c，∴q是真命題．
綜上知p∨q是真命題，p∧q是假命題．
又∵綈p為真命題，?綈q為假命題，
∴(綈p)∧(綈q)，p∨(綈q)都是假命題．
方法二　
由于a，b，c都是非零向量，∵a·b＝0，∴a⊥b.∵b·c＝0，∴b⊥c.如圖，則可能a∥c，∴a·c≠0，∴命題p是假命題，∴綈p是真命題．命題q中，a∥b，則a與b方向相同或相反；b∥c，則b與c方向相同或相反．故a與c方向相同或相反，∴a∥c，即q是真命題，則綈q是假命題，故p∨q是真命題，p∧q，(綈p)∧(綈q)，p∨(綈q)都是假命題．]
2．D　[原命題是全稱命題，條件為?x∈R，結論為?n∈N*，使得n≥x2，其否定形式為特稱命題，條件中改量詞，并否定結論，只有D選項符合．]
3．A　[當x＝2且y＝－1時，滿足方程x＋y－1＝0，即點P(2，－1)在直線l上．點P′(0,1)在直線l上，但不滿足x＝2且y＝－1，∴“x＝2且y＝－1”是“點P(x，y)在直線l上”的充分而不必要條件．]
4．A　5.A　6.B
7．C　[對于A，當x＝1時，lgx＝0，正確；對于B，當x＝時，tan x＝1，正確；對于C，當x≤0時，x3≤0，錯誤；對于D，?x∈R,2x＞0，正確．]
8．B　9.C
10．C　[一元二次方程ax2＋4x＋3＝0 (a≠0)有一個正根和一個負根?，解得a<0，故a<－1是它的一個充分不必要條件．]
11．③
解析　a＝1?x＋＝x＋≥2＝2，
顯然a＝2時也能推出“?x>0，x＋≥2”成立，
所以“a＝1”是“?x>0，x＋≥2”的充分不必要條件，
故p是假命題，而q是真命題，故③正確．
12．[2，＋∞)
13．解　由得
即2設A＝{x|2x2－9x＋a<0}，B＝{x|2∴2即2設f(x)＝2x2－9x＋a，
要使2須　即∴a≤9.
故所求實數a的取值范圍是a≤9.
14．解　(1)不等式m＋f(x)>0可化為m>－f(x)，即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4對于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．故存在實數m使不等式m＋f(x)>0對于任意x∈R恒成立，此時m>－4.
(2)不等式m－f(x)>0可化為m>f(x)．
若存在實數x使不等式m>f(x)成立，只需m>f(x)min.
又f(x)＝(x－1)2＋4，
∴f(x)min＝4，
∴m>4.
故所求實數m的取值范圍是(4，＋∞)．

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