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專題13　雙曲線
　　　　　　　　　　　　　　
1．雙曲線定義
2．雙曲線標準方程
3．雙曲線的簡單幾何性質
(1)范圍；(2)對稱性；(3)頂點；(4)漸近線；(5)離心率．
例1　設圓C與兩圓(x＋)2＋y2＝4，(x－)2＋y2＝4中的一個內切，另一個外切．
(1)求C的圓心軌跡L的方程；
(2)已知點M(，)，F(－，0)，且P為L上動點．求|MP|＋|FP|的最小值．
變式1　設F1，F2是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的兩個焦點，P是C上一點，若|PF1|＋|PF2|＝6a且△PF1F2的最小內角為30°，則雙曲線C的離心率為________．
例2　已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率為，則C的漸近線方程為(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
變式2　雙曲線－y2＝1的頂點到其漸近線的距離等于(　　)
A. B.
C. D.
例3　已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，P是雙曲線右支上一點，當取得最小值時，該雙曲線離心率的最大值為________．
變式3　已知雙曲線－＝1 (a>0，b>0)的右焦點為F，若過點F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是________．
A級
1．已知雙曲線－＝1(a>0)的離心率為2，則a等于(　　)
A．2 B.
C. D．1
2．已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為F(3,0)，離心率等于，則C的方程是(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
3．雙曲線mx2＋y2＝1的虛軸長是實軸長的2倍，則m的值為(　　)
A．－ B．－4
C．4 D.
4．已知中心在原點，對稱軸為坐標軸且經過點P(1,3)，離心率為的雙曲線的標準方程為(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
5．雙曲線－＝1的焦點到漸近線的距離為(　　)
A．2 B．2 C. D．1
6．雙曲線＋＝1的離心率e∈(1,2)，則k的取值范圍是________．
7．已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線為2x＋y＝0，一個焦點為(，0)，則a＝________；b＝______________.
B級
8．已知方程－＝1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則n的取值范圍是(　　)
A．(－1,3) B．(－1，)
C．(0,3) D．(0，)
9．雙曲線x2－＝1的離心率大于的充分必要條件是(　　)
A．m> B．m≥1
C．m>1 D．m>2
10．已知F1，F2是雙曲線E：－＝1的左，右焦點，點M在E上，MF1與x軸垂直，sin∠MF2F1＝，則E的離心率為(　　)
A.B.C. D．2
11．已知橢圓＋＝1與雙曲線－＝1有相同的焦點，則實數a＝________.
12．設F1，F2是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的兩個焦點．若在C上存在一點P，使PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°，則C的離心率為________．
13.
如圖，F1，F2是橢圓C1：＋y2＝1與雙曲線C2的公共焦點，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點．若四邊形AF1BF2為矩形，求C2的離心率．
詳解答案
典型例題
例1　解　(1)兩圓的圓心分別為A(－，0)，B(，0)，半徑為2，設圓C的半徑為r.
由題意得|CA|＝r－2，|CB|＝r＋2或|CA|＝r＋2，|CB|＝r－2，
兩式相減得|CA|－|CB|＝－4或|CA|－|CB|＝4，即||CA|－|CB||＝4.
則C的軌跡為雙曲線，其中2a＝4，c＝，b2＝1，
∴圓C的圓心軌跡L的方程為－y2＝1.
(2)由(1)知F為雙曲線L的左焦點，則F′(，0)為右焦點．
若P在L右支上，由于|FP|＝|PF′|＋4，
|MP|＋|FP|＝|MP|＋|PF′|＋4≥|MF′|＋4＝6；若P在L左支上，|MP|＋|FP|≥|MF|＝4；所以，|MP|＋|FP|的最小值為4.
變式1　
解析　不妨設|PF1|>|PF2|，
則|PF1|－|PF2|＝2a，
又∵|PF1|＋|PF2|＝6a，
∴|PF1|＝4a，
|PF2|＝2a.
又在△PF1F2中，∠PF1F2＝30°，
由正弦定理得，∠PF2F1＝90°，
∴|F1F2|＝2a，
∴雙曲線C的離心率e＝＝.
例2　C
變式2　C
例3　3
解析　＝＝
＝|PF2|＋≥4a，當且僅當|PF2|＝2a時等號成立．顯然，|PF1|≥c＋a，
又|PF1|＝|PF2|＋2a，
則|PF2|≥c－a，
所以2a≥c－a，即3a≥c，故e≤3，即離心率的最大值為3.
變式3　[2，＋∞)
解析　雙曲線的漸近線方程為y＝±x，由題意知≥，則b≥a，b2≥3a2，c2－a2≥3a2，c2≥4a2，故e≥2.
強化提高
1．D　[由題意得e＝＝2，
∴＝2a，
∴a2＋3＝4a2，
∴a2＝1，∴a＝1.]
2．B　[由題意知：c＝3，e＝＝，∴a＝2.b2＝c2－a2＝9－4＝5，故所求雙曲線方程為－＝1.]
3．A　[由雙曲線方程mx2＋y2＝1，知m<0，則雙曲線方程可化為y2－＝1，則a2＝1，a＝1，又虛軸長是實軸長的2倍，∴b＝2，∴－＝b2＝4，∴m＝－，故選A.]
4．D　[由于離心率為，∴e2＝＝＝1＋＝2，即a＝b，∴雙曲線為等軸雙曲線，故設所求雙曲線的標準方程為x2－y2＝λ(λ≠0)，又點P(1,3)，在雙曲線上，則λ＝1－9＝－8，∴所求雙曲線的標準方程為－＝1.故選D.]
5．A　6.(－12,0)
7．1　2
解析　由2x＋y＝0得y＝－2x，
所以＝2.
又c＝，a2＋b2＝c2，解得a＝1，b＝2.
8．A　[∵方程－＝1表示雙曲線，∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m29．C　[由x2－＝1知，a＝1，b＝，
∴c2＝a2＋b2＝1＋m，e2＝＝1＋m，
由e>，得1＋m>2，∴m>1.]
10．A　[
如圖，因為MF1與x軸垂直，所以|MF1|＝.又sin∠MF2F1＝，所以＝，即|MF2|＝3|MF1|.由雙曲線的定義得2a＝|MF2|－|MF1|＝2|MF1|＝，所以b2＝a2，所以c2＝b2＋a2＝2a2，所以離心率e＝＝.]
11．1
解析　由雙曲線－＝1可知a>0，且焦點在x軸上．根據題意知4－a2＝a＋2，即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2(舍去)，故實數a＝1.
12.＋1
解析　在Rt△PF1F2中，設|PF2|＝m，
則|PF1|＝m，|F1F2|＝2m，
∴2a＝(－1)m,2c＝2m，
∴e＝＝＝＋1.
13．解　|F1F2|＝2.
設雙曲線的方程為－＝1.
∵|AF2|＋|AF1|＝4，|AF2|－|AF1|＝2a，
∴|AF2|＝2＋a，|AF1|＝2－a.
在Rt△F1AF2中，∠F1AF2＝90°，
∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，
即(2－a)2＋(2＋a)2＝(2)2，
∴a＝，
∴e＝＝＝.

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