資源簡介

專題14　拋物線
　　　　　　　　　　　　
1．拋物線的定義
2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
3．拋物線的幾何性質(zhì)
4．直線與拋物線的位置關(guān)系
討論直線與拋物線的位置關(guān)系，一般是將直線方程與拋物線的方程聯(lián)立成方程組，消去y得關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0，討論a及判別式Δ，由ax2＋bx＋c＝0解的情況得到直線與拋物線的位置關(guān)系．當(dāng)a≠0且Δ<0時，直線與拋物線沒有公共點(diǎn)；當(dāng)a≠0且Δ＝0時，直線與拋物線相切，有一個公共點(diǎn)；當(dāng)a＝0且b≠0時，直線與拋物線相交，有一個公共點(diǎn)，此時直線與拋物線的對稱軸平行；當(dāng)a≠0且Δ>0時，直線與拋物線相交，有兩個公共點(diǎn)．
例1　設(shè)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，|MF|＝5，若以MF為直徑的圓過點(diǎn)(0,2)，則C的方程為(　　)
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
變式1　已知點(diǎn)P是拋物線y2＝2x上的一個動點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離與點(diǎn)P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值是(　　)
A. B．3 C. D.
例2　已知拋物線C：y2＝8x與點(diǎn)M(－2,2)，過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A、B兩點(diǎn)．若·＝0，求k的值．
變式2　設(shè)F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，過點(diǎn)P(－1,0)的直線l交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q為線段AB的中點(diǎn)，若|FQ|＝2，則直線l的斜率等于________．
例3　如圖，已知△AOB的一個頂點(diǎn)為拋物線y2＝2x的頂點(diǎn)O，A、B兩點(diǎn)都在拋物線上，且∠AOB＝90°.
證明：直線AB必過一定點(diǎn)；
變式3　如圖，過拋物線y2＝x上一點(diǎn)A(4，2)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線AB、AC交拋物線于B、C兩點(diǎn)，求證：直線BC的斜率是定值．
A級
1．已知拋物線y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線經(jīng)過點(diǎn)(－1,1)，則該拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為(　　)
A．(－1,0) B．(1,0) C．(0，－1) D．(0,1)
2．已知F是拋物線y2＝x的焦點(diǎn)，A，B是該拋物線上的兩點(diǎn)，|AF|＋|BF|＝3，則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為(　　)
A. B．1 C. D.
3．已知拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O，并且經(jīng)過點(diǎn)M(2，y0)．若點(diǎn)M到該拋物線焦點(diǎn)的距離為3，則|OM|等于(　　)
A．2 B．2 C．4 D．2
4．過點(diǎn)(1,0)作斜率為－2的直線，與拋物線y2＝8x交于A、B兩點(diǎn)，則弦AB的長為(　　)
A．2 B．2 C．2 D．2
5．若拋物線y2＝4x上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10，則M到y(tǒng)軸的距離是________．
6．設(shè)拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，PA⊥l，A為垂足，如果直線AF的斜率為－，那么|PF|＝________.
7．根據(jù)下列條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)準(zhǔn)線方程是y＝3；
(2)過點(diǎn)P(－2，4)；
(3)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.
B級
8．動點(diǎn)到點(diǎn)(3,0)的距離比它到直線x＝－2的距離大1，則動點(diǎn)的軌跡是(　　)
A．橢圓 B．雙曲線
C．雙曲線的一支 D．拋物線
9．已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－1，拋物線y2＝4x上一動點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是(　　)
A．2 B．3 C. D.
10．以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點(diǎn)．已知|AB|＝4，|DE|＝2，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
11．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，A是拋物線上一點(diǎn)，若·＝－4，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是________________．
12．如圖所示是拋物線形拱橋，
當(dāng)水面在l時，拱頂離水面2 m，水面寬4 m．水位下降1 m后，水面寬________ m.
13．已知動圓過定點(diǎn)A(4,0)，且在y軸上截得弦MN的長為8.
(1)求動圓圓心的軌跡C的方程；
(2)已知點(diǎn)B(－1,0)，設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，若x軸是∠PBQ的角平分線，證明：直線l過定點(diǎn)．
詳解答案
典型例題
例1　C　[由題意知：F，拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－，則由拋物線的定義知，xM＝5－，設(shè)以MF為直徑的圓的圓心為，所以圓的方程為2＋2＝，又因?yàn)閳A過點(diǎn)(0,2)，所以yM＝4，又因?yàn)辄c(diǎn)M在C上，所以16＝2p，解得p＝2或p＝8，所以拋物線C的方程為y2＝4x或y2＝16x，故選C.]
變式1　A
例2　解　聯(lián)立直線與拋物線的方程，消元得一元二次方程并得兩根之間的關(guān)系，由·＝0進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算解未知量k.
拋物線C的焦點(diǎn)為F(2,0)，則直線方程為y＝k(x－2)，與拋物線方程聯(lián)立，
消去y化簡得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0.
設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1＋x2＝4＋，x1x2＝4.
所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－4k＝，
y1y2＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝－16.
因?yàn)椤ぃ?x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋y1y2－2(y1＋y2)＋8＝0，將上面各個量代入，化簡得k2－4k＋4＝0，所以k＝2.
變式2　±1
解析　設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋1)，
A(x1，y1)、B(x2，y2)、Q(x0，y0)．
解方程組.
化簡得：k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0
∴x1＋x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2＋2)＝.∴x0＝，y0＝.
由＝2得：
2＋2＝4.
∴k＝±1.
例3　證明　方法一　設(shè)OA所在直線的方程為y＝kx(k≠0)，
則直線OB的方程為y＝－x，
由解得或
即A點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)．
同理由，
解得B點(diǎn)的坐標(biāo)為(2k2，－2k)．
∴AB所在直線的方程為
y＋2k＝(x－2k2)，
化簡并整理，得(－k)y＝x－2.
不論實(shí)數(shù)k取任何不等于0的實(shí)數(shù)，當(dāng)x＝2時，恒有y＝0.故直線過定點(diǎn)P(2,0)．
方法二　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直線AB的方程為y＝kx＋m，
將x＝代入y2＝2x，消x，
整理得y2－y＋＝0，
則Δ＝(－)2－>0，y1y2＝.
由y＝2x1，y＝2x2，所以x1x2＝，
由∠AOB＝90°，OA⊥OB，故x1x2＋y1y2＝0.
所以＋y1y2＝0，可得y1y2＝－4，
于是－4＝，得m＝－2k，滿足Δ>0，
所以y＝kx＋m＝kx－2k＝k(x－2)，直線過(2,0)；當(dāng)直線AB的方程為x＝2時，由y2＝4，得y＝±2，滿足OA⊥OB；故直線AB過定點(diǎn)P(2,0)．
方法三　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直線AB的方程為y－y1＝(x－x1)，
即y－y1＝(x－x1)，
即y－y1＝(x－)，
即y＝x＋y1－，
即y＝x＋.
由方法二知y1y2＝－4，
代入即得直線AB過定點(diǎn)P(2,0)．
變式3　證明　設(shè)kAB＝k (k≠0)，
∵直線AB，AC的傾斜角互補(bǔ)，
∴kAC＝－k(k≠0)，
∵AB的方程是y＝k(x－4)＋2.
由方程組
消去y后，整理得
k2x2＋(－8k2＋4k－1)x＋16k2－16k＋4＝0.
∵A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程組的解．
∴4·xB＝，即xB＝，
以－k代換xB中的k，得xC＝，
∴kBC＝
＝
＝＝
＝－.所以直線BC的斜率為定值．
強(qiáng)化提高
1．B　[由于拋物線y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線方程為x＝－，由題意得－＝－1，p＝2，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選B.]
2．C　[∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋＝3，
∴xA＋xB＝.∴線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為＝.]
3．B　[由拋物線定義，知＋2＝3，所以p＝2，拋物線方程為y2＝4x.因?yàn)辄c(diǎn)M(2，y0)在拋物線上，所以y＝8，故|OM|＝＝2.]
4．B　[不妨設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，其中x1>x2.
由直線AB斜率為－2，且過點(diǎn)(1,0)得直線AB的方程為y＝－2(x－1)，
代入拋物線方程y2＝8x得4(x－1)2＝8x，
整理得x2－4x＋1＝0，
解得x1＝2＋，x2＝2－，
代入直線AB方程得
y1＝－2－2，y2＝2－2.
故A(2＋，－2－2)，B(2－，2－2)．
|AB|＝＝2.]
5．9
6．8
解析　如圖所示，直線AF的方程為y＝－·(x－2)，與準(zhǔn)線方程x＝－2聯(lián)立得A(－2，4)．
設(shè)P(x0,4)，
代入拋物線y2＝8x，
得8x0＝48，
∴x0＝6，
∴|PF|＝x0＋2＝8.
7．解　(1)由準(zhǔn)線方程為y＝3知拋物線的焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上，且＝3，則p＝6，
故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－12y.
(2)∵點(diǎn)P(－2，4)在第二象限，
∴設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－2px(p>0)或x2＝2py(p>0)，
將點(diǎn)P(－2，4)代入y2＝－2px，得p＝2，
代入x2＝2py，得p＝1.∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－4x或x2＝2y.
(3)由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，得p＝，
故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2x，y2＝－2x，x2＝2y或x2＝－2y.
8．D
9．A　[直線l2：x＝－1為拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線，由拋物線的定義知，P到l2的距離等于P到拋物線的焦點(diǎn)F(1,0)的距離，故本題轉(zhuǎn)化為在拋物線y2＝4x上找一個點(diǎn)P使得P到點(diǎn)F(1,0)和直線l1的距離之和最小，最小值為F(1,0)到直線l1：4x－3y＋6＝0的距離，即dmin＝＝2，故選A.]
10．B
　[不妨設(shè)拋物線C：y2＝2px(p>0)，則圓的方程可設(shè)為x2＋y2＝r2(r>0)，如圖，
又可設(shè)A(x0,2)，
D，
點(diǎn)A(x0,2)在拋物線y2＝2px上，
∴8＝2px0，①
點(diǎn)A(x0,2)在圓x2＋y2＝r2上，
∴x＋8＝r2，②
點(diǎn)D在圓x2＋y2＝r2上，
∴5＋2＝r2，③
聯(lián)立①②③，解得p＝4，即C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p＝4，故選B.]
11．(1,2)或(1，－2)
解析　∵拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)，
設(shè)A(，y0)，
則＝(，y0)，＝(1－，－y0)，
由·＝－4，
得y0＝±2，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,2)或(1，－2)．
12．2
解析　(數(shù)形結(jié)合法)
建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p>0)，
則A(2，－2)，將其坐標(biāo)代入x2＝－2py得p＝1.∴x2＝－2y.
當(dāng)水面下降1 m時，得D(x0，－3)(x0>0)，
將其坐標(biāo)代入x2＝－2y得x＝6，
∴x0＝.∴水面寬|CD|＝2 m.
13．(1)解　如圖，設(shè)動圓圓心為O1(x，y)，由題意，
得|O1A|＝|O1M|，
當(dāng)O1不在y軸上時，過O1作O1H⊥MN交MN于H，則H是MN的中點(diǎn)，
∴|O1M|＝，
又|O1A|＝，
∴＝，化簡得y2＝8x(x≠0)．
又當(dāng)O1在y軸上時，O1與O重合，點(diǎn)O1的坐標(biāo)為(0,0)也滿足方程y2＝8x，
∴動圓圓心的軌跡C的方程為y2＝8x.
(2)證明　由題意，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋b(k≠0)，
P(x1，y1)，Q(x2，y2)，將y＝kx＋b代入y2＝8x中，
得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0.
其中Δ＝－32kb＋64>0.
由根與系數(shù)的關(guān)系得，x1＋x2＝，①
x1x2＝，②
因?yàn)閤軸是∠PBQ的角平分線，
所以＝－，
即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，
(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，
2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0③
將①，②代入③得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0，
∴k＝－b，此時Δ>0，
∴直線l的方程為y＝k(x－1)，即直線l過定點(diǎn)(1,0)．

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