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專題15　導數及其運算
1．導數的幾何意義
2．基本初等函數的導數公式
(1)若f(x)＝c(c為常數)，則f′(x)＝0；
(2)若f(x)＝xα(α∈Q*)，則f′(x)＝αxα－1；
(3)若f(x)＝sin x，則f′(x)＝cosx；
(4)若f(x)＝cosx，則f′(x)＝－sin x；
(5)若f(x)＝ax，則f′(x)＝axlna；
(6)若f(x)＝ex，則f′(x)＝ex；
(7)若f(x)＝logax，則f′(x)＝；
(8)若f(x)＝lnx，則f′(x)＝.
3．導數的運算法則
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)[]′＝(g(x)≠0)．
　　
例1　已知函數f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處切線方程為y＝4x＋4.求a，b的值．
變式1　若曲線y＝ax2－lnx在點(1，a)處的切線平行于x軸，則a＝________.
例2　求下列函數的導數：
(1)y＝；(2)y＝.
變式2　求下列函數的導數：
(1)y＝x2sin x＋2cos x；(2)f(x)＝ex.
例3　已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，則f′(0)等于(　　)
A．2 B．0 C．－2 D．－4
變式3　已知函數f(x)滿足f(x)＝ex－f(0)x＋x2，求f(x)的解析式．
A級
1．若函數f(x)＝x3＋x2＋x＋1，則f′(0)等于(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知曲線y＝2x3上一點A(1,2)，則在A處的切線斜率等于(　　)
A．2 B．4 C．8 D．6
3．點P(1,1)是曲線y＝x2－alnx上一點，若曲線在點P處的切線是直線y＝x，則a等于(　　)
A．1 B.C. D.
4．曲線y＝ex在點(2，e2)處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為(　　)
A.B．2e2 C．e2D.
5．設曲線y＝x2在點P處的切線斜率為3，則點P的坐標為(　　)
A．(3,9) B．(－3,9)
C. D．(1,1)
6．已知函數y＝f(x)的圖象在點M(1，f(1))處的切線方程是y＝x＋2，則f(1)＋f′(1)＝________.
7．若曲線y＝xlnx上點P處的切線平行于直線2x－y＋1＝0，則點P的坐標是________．
B級
8．函數y＝的導數是(　　)
A. B.
C. D.
9．設曲線y＝在點(3,2)處的切線與直線ax＋y＋1＝0垂直，則a等于(　　)
A．2 B.
C．－ D．－2
10．若函數f(x)＝x2－ax＋lnx存在垂直于y軸的切線，則實數a的取值范圍是________．
11．在平面直角坐標系xOy中，若曲線y＝ax2＋(a，b為常數)過點P(2，－5)，且該曲線在點P處的切線與直線7x＋2y＋3＝0平行，則a＋b的值是______．
12．設函數f(x)滿足x2f′(x)＋f(x2－x＋1)＝ex，則f′(1)的值為________．
13．已知函數f(x)＝x2＋xsinx＋cosx.
(1)若曲線y＝f(x)在點(a，f(a))處與直線y＝b相切，求a與b的值；
(2)若曲線y＝f(x)與直線y＝b有兩個不同交點，求b的取值范圍．
詳解答案
典型例題
例1　解　f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.
由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，
故b＝4，a＋b＝8，解得a＝b＝4.
變式1　
解析　y′＝2ax－，所以y′|x＝1＝2a－1＝0，所以a＝.
例2　解　(1)方法一　y′＝
＝＝.
方法二　y＝＝＝1＋，y′＝－.
(2)y′＝＝.
變式2　解　(1)y′＝(x2sin x)′＋(2cos x)′
＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＋2(cosx)′
＝2xsin x＋x2cos x－2sin x.
(2)f′(x)＝
＝xex·.
例3　D　[f′(x)＝2x＋2f′(1)，
令x＝1，得f′(1)＝－2，
于是f′(x)＝2x－4，所以f′(0)＝－4.]
變式3　解　f′(x)＝ex－f(0)＋x，
令x＝1，得f(0)＝1.
所以f(x)＝ex－x＋x2.
令x＝0，得f′(1)＝f(0)e＝e.
故f(x)的解析式為f(x)＝ex－x＋x2.
強化提高
1．B
2．D　[∵y＝2x3，∴y′＝6x2.∴y′|x＝1＝6.
∴點A(1,2)處切線的斜率為6.]
3．A　[y′＝2x－，所以y′|x＝1＝2－a＝1，所以a＝1.]
4．D　5.C　6.3　7.(e，e)　8.B　9.D
10．[2，＋∞)
解析　∵f(x)＝x2－ax＋lnx，
∴f′(x)＝x－a＋.
∵f(x)存在垂直于y軸的切線，
∴f′(x)存在零點，
即x＋－a＝0有解，∴a＝x＋≥2.
11．－3
解析　y＝ax2＋的導數為
y′＝2ax－，
直線7x＋2y＋3＝0的斜率為－.
由題意得
解得
則a＋b＝－3.
12．e－1
解析　令x＝0，得f(1)＝1；令x＝1，得f′(1)＋f(1)＝e，故f′(1)＝e－1.
13．解　(1)由f(x)＝x2＋xsinx＋cosx，
得f′(x)＝x(2＋cosx)
∵y＝f(x)在點(a，f(a))處與直線y＝b相切．∴f′(a)＝a(2＋cosa)＝0且b＝f(a)，
則a＝0，b＝f(0)＝1.
(2)令f′(x)＝0，得x＝0.
∴當x>0時，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)遞增．當x<0時，f′(x)<0，f(x)在(－∞，0)上遞減．
∴f(x)的最小值為f(0)＝1.
由于函數f(x)在區間(－∞，0)和(0，＋∞)上均單調，
所以當b>1時曲線y＝f(x)與直線y＝b有且僅有兩個不同交點．

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