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綜合檢測
(時間：120分鐘，滿分：150分)
一、選擇題(本大題共12小題．每小題5分，共60分．)
1．若5，x，y，z,21成等差數列，則x＋y＋z的值為(　　)
A．26 B．29
C．39 D．52
2．關于x的不等式x2＋px－2<0的解集是(q,1)，則p＋q的值為(　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
3．在等差數列{an}和{bn}中，a1＝25，b1＝75，a100＋b100＝100，則數列{an＋bn}的前100項的和為(　　)21世紀教育網版權所有
A．10 000 B．8 000 C．9 000 D．11 000
4．臺風中心從A地以20 km/h的速度向東北方向移動，離臺風中心30 km內的地區為危險區，城市B在A的正東40 km處，B城市處于危險區內的時間為(　　)
A．0.5 h B．1 h C．1.5 h D．2 h
5．下列命題中為真命題的是(　　)
①“等腰三角形都相似”的逆命題；
②“若x2＋y2≠0，則x，y不全為零”的否命題；
③“若m>1，則不等式x2＋2x＋m>0的解集為R”的逆否命題．
A．① B．①② C．①③ D．②③
6．設變量x，y滿足約束條件則目標函數z＝x＋2y的最小值為(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
7．已知數列{an}的前n項和為Sn＝－n2＋n，當Sn取最大值時，n的值為(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
8．已知橢圓C1：＋y2＝1(m＞1)與雙曲線C2：－y2＝1(n＞0)的焦點重合，e1，e2分別為C1，C2的離心率，則(　　)21·cn·jy·com
A．m＞n且e1e2＞1 B．m＞n且e1e2＜1
C．m＜n且e1e2＞1 D．m＜n且e1e2＜1
9．已知正三角形AOB的頂點A，B在拋物線y2＝2x上，O為坐標原點，則S△AOB等于(　　)
A．12 B．6C．36D．24
10．已知函數f(x)＝＋lnx，則有(　　)
A．f(2)B．f(e)C．f(3)D．f(e)11．已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，準線為l，P是l上一點，Q是直線PF與C的一個交點，若＝4，則|QF|等于(　　)2·1·c·n·j·y
A. B.C．3 D．2
12．下列敘述中正確的是(　　)
A．若a，b，c∈R，則“ax2＋bx＋c≥0”的充分條件是“b2－4ac≤0”
B．若a，b，c∈R，則“ab2≥cb2”的充要條件是“a>c”
C．命題“對任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”
D．l是一條直線，α，β是兩個不同的平面，若l⊥α，l⊥β，則α∥β
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．)
13．設214．設等比數列{an}的公比q＝，前n項和為Sn，則＝________.
15．設x＝－2與x＝4是函數f(x)＝x3＋ax2＋bx的兩個極值點，則常數a－b的值為________．
16．拋物線y＝－x2上的動點M到兩定點F(0，－1)，E(1，－3)的距離之和的最小值為________．www.21-cn-jy.com
三、解答題(本大題共6小題，滿分70分．)
17．(10分)已知不等式ax2＋4x＋1>0.
(1)當a＝3時，解此不等式；
(2)若此不等式對一切實數x恒成立，求實數a的取值范圍．
18．(12分)已知a、b、c分別是△ABC的三個內角A、B、C所對的邊．
(1)若△ABC的面積S△ABC＝，c＝2，A＝60°，求a、b的值；
(2)若a＝ccosB，且b＝csinA，試判斷△ABC的形狀．
19．(12分)運貨卡車以x千米/小時(50≤x≤100)的速度勻速行駛120千米．假設汽油的價格是每升6元，而汽車每小時耗油升，司機的工資是每小時33元．
(1)求這次行車總費用y關于速度x的表達式；
(2)當x為何值時，這次行車的總費用最低，并求出最低費用的值．
20．(12分)已知直線與拋物線y2＝2px(p>0)交于A，B兩點，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于點D，點D的坐標為(2,1)，求p的值．【來源：21·世紀·教育·網】
21．(12分)若函數f(x)＝ax3－bx＋4，當x＝2時，函數f(x)有極值－.
(1)求函數的解析式．
(2)若方程f(x)＝k有3個不同的根，求實數k的取值范圍．
22．(12分)已知橢圓的中心在原點O，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的2倍且經過點M(2,1)，平行于OM的直線l在y軸上的截距為m(m≠0)，l交橢圓于A、B兩個不同點．
(1)求橢圓的方程；
(2)求m的取值范圍；
(3)求證：直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形．
詳解答案
1．C　[∵5，x，y，z,21成等差數列，
∴y既是5和21的等差中項也是x和z的等差中項．
∴5＋21＝2y，∴y＝13，x＋z＝2y＝26.
∴x＋y＋z＝39.]
2．B　[q,1是方程x2＋px－2＝0的根，根據根與系數的關系，q×1＝－2，且12＋p×1－2＝0，得p＝1，q＝－2，p＋q＝－1.]21·世紀*教育網
3．A　[由已知得{an＋bn}為等差數列，故其前100項的和為
S100＝
＝50×(25＋75＋100)＝10 000.]
4．B　[設A地東北方向上點P到B的距離為30 km時，AP＝x，
在△ABP中，PB2＝AP2＋AB2－2AP·ABcos A，
即302＝x2＋402－2x·40cos 45°，
化簡得x2－40x＋700＝0.
設該方程的兩根為x1，x2，則P點的位置有兩處，即P1，P2.
則|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝400，
|x1－x2|＝20，
即P1P2＝20(km)，
故t＝＝＝1(h)．
故選B.]
5．D
6．B　[根據約束條件作出可行域，如圖陰影部分所示．
由z＝x＋2y得y＝－x＋.
先畫出直線y＝－x，然后將直線y＝－x進行平移．當平移至直線過點A時，z取得最小值．由得A(1,1)，故z最小值＝1＋2×1＝3.]www-2-1-cnjy-com
7．C　[f(x)＝－x2＋x的對稱軸為x＝，∈(4.5,5)．]
8．A　[由題意可得：m2－1＝n2＋1，
即m2＝n2＋2，
又∵m＞0，n＞0，故m＞n.
又∵e·e＝·＝·＝＝1＋＞1，
∴e1·e2＞1.]
9．A　[由△AOB是正三角形知，點A，B關于x軸對稱．解出點A，B坐標即可．]
10．A　[∵f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝＋>0在(0，＋∞)上恒成立，
∴f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，
∴f(2)11．C　[∵＝4，
∴||＝4||，
∴＝.
如圖，過Q作QQ′⊥l，垂足為Q′，
設l與x軸的交點為A，則|AF|＝4，
∴＝＝，
∴|QQ′|＝3，
根據拋物線定義可知|QQ′|＝|QF|＝3，故選C.]
12．D　[由于“若b2－4ac≤0，則ax2＋bx＋c≥0”是假命題，所以“ax2＋bx＋c≥0”的充分條件不是“b2－4ac≤0”，A錯；∵ab2>cb2，且b2>0，∴a>c.而a>c時，若b2＝0，則ab2>cb2不成立，由此知“ab2>cb2”是“a>c”的充分不必要條件，B錯；“對任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2<0”，C錯；由l⊥α，l⊥β，可得α∥β，理由是：垂直于同一條直線的兩個平面平行，D正確．]2-1-c-n-j-y
13．4　14.15
15．21
解析　∵f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
∴
?
∴a－b＝－3＋24＝21.
16．4
解析　將拋物線方程化成標準方程為x2＝－4y，
可知焦點坐標為(0，－1)，－3<－，
所以點E(1，－3)在拋物線的內部，
如圖所示，設拋物線的準線為l，過M點作MP⊥l于點P，過點E作EQ⊥l于點Q，由拋物線的定義可知，
|MF|＋|ME|＝|MP|＋|ME|≥|EQ|，
當且僅當點M在EQ上時取等號，
又|EQ|＝1－(－3)＝4，
故距離之和的最小值為4.
17．解　(1)當a＝3時，不等式為3x2＋4x＋1>0，即(3x＋1)(x＋1)>0，解得x<－1或x>－，所以不等式的解集為{x|x<－1或x>－}．21教育網
(2)若a＝0，不等式4x＋1>0在R上不恒成立，故a＝0不合題意；當a≠0時，由題意知，解得a>4.21cnjy.com
所以實數a的取值范圍是(4，＋∞)．
18．解　(1)∵S△ABC＝bcsinA＝，
∴b·2sin 60°＝，得b＝1.
由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccos A＝12＋22－2×1×2×cos 60°＝3，
所以a＝.
(2)由余弦定理得：a＝c·?a2＋b2＝c2，所以∠C＝90°.
在Rt△ABC中，sin A＝，
所以b＝c·＝a，所以△ABC是等腰直角三角形．
19．解　(1)行車所用時間為(小時)，
y＝·6·＋，x∈[50,100]
所以這次行車總費用y關于x的表達式是y＝＋2x，x∈[50,100]
(2)y＝＋2x≥120，當且僅當＝2x，即x＝30時，等號成立．且30∈[50,100]．
所以，當x＝30時，這次行車的總費用最低，最低費用為120元．
20．解　∵D的坐標為(2,1)，∴kOD＝，
∵OD⊥AB，∴kAB＝－2.
∴直線AB的方程為y－1＝－2(x－2)．
即y＝－2x＋5
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由OA⊥OB，可知x1x2＋y1y2＝0
由消去x并整理得：
y2＋py－5p＝0.∴y1y2＝－5p
又∵x1x2＋y1y2＝0.∴·＋y1y2＝0.
于是有：－5p＝0，∴p＝.
21．解　f′(x)＝3ax2－b.
(1)由題意得
解得故所求函數的解析式為f(x)＝x3－4x＋4.
(2)由(1)可得f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.
當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
因此，當x＝－2時，f(x)有極大值，
當x＝2時，f(x)有極小值－.
f(x)的圖象大約為
數形結合，要使方程f(x)＝k有3個不同的根須－∴k的取值范圍為.
22．(1)解　設橢圓方程為＋＝1(a>b>0)，由題意知：，
解得，
∴橢圓方程為＋＝1.
(2)解　∵直線l平行于OM，且在y軸上的截距為m，
又kOM＝.∴l的方程為y＝x＋m，
由，∴x2＋2mx＋2m2－4＝0
∵直線l與橢圓交于A、B兩個不同點，
∴Δ＝(2m)2－4(2m2－4)>0，解得－2∴m的取值范圍是{m|－2(3)證明　設直線MA、MB的斜率分別為k1，k2，只需證明k1＋k2＝0即可，
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則k1＝，k2＝，
由x2＋2mx＋2m2－4＝0可得
x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4，
而k1＋k2＝＋
＝
＝
＝
＝
＝＝0，
∴k1＋k2＝0.故直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形．

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