資源簡介

2．1　圓的對稱性
知識要點1　圓的定義
知識要點2　點與圓的位置關系
知識要點3　圓的有關概念
易錯
提醒
(1)直徑是圓中最長的弦，但弦_______是直徑；
(2)長度相等的弧_______是等弧，還要弧度相等，即必須重合.
知識要點4　圓的對稱性
圓的中心對稱性：圓是________圖形，________是它的對稱中心；
圓的軸對稱性：圓是________圖形，任意一條________所在的直線都是圓的對稱軸．圓有________條對稱軸．21cnjy.com
　　　　　　　　　　　　　　　　
(教材P46習題T3變式)如圖，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以點C為圓心作⊙C，半徑為r.www.21-cn-jy.com
(1)當r取什么值時，點A、B在⊙C外？
(2)當r取什么值時，點A在⊙C內，點B在⊙C外．
分析：(1)若點A、B在⊙C外，則AC＞r即可；(2)點A在⊙C內，點B在⊙C外，則AC＜r＜BC即可．【來源：21·世紀·教育·網】
方法點撥：點與圓的位置關系的判斷，要記住若半徑為r，點到圓心的距離為d，則有：當d＞r時，點在圓外；當d＝r時，點在圓上；當d＜r時，點在圓內．
(教材P46習題T4變式)如圖，△ABC和△ABD都為直角三角形，且∠C＝∠D＝90°.求證：A、B、C、D四點在同一個圓上．21·世紀*教育網
分析：取AB的中點O，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半證得OA＝OB＝OC＝OD后即可求證A、B、C、D四點在同一個圓上．www-2-1-cnjy-com
方法點撥：求證幾個點在同一個圓上就是證明這幾個點到定點的距離相等．
1．半徑為4的圓的一條弦長不可能是(　　)
A．3 B．5 C．8 D．10
2．下列說法正確的是(　　)
A．弦是直徑
B．弧是半圓
C．半圓是弧
D．過圓心的線段是直徑
3．如圖，線段AB過圓心O，點A、B、C均在⊙O上，則圖中的直徑是________，劣弧是________，優弧是________．2·1·c·n·j·y
4．正方形ABCD的邊長為2cm，以A為圓心，2cm為半徑作⊙A，則點B在⊙A________；點C在⊙A________；點D在⊙A________．21世紀教育網版權所有
參考答案:
要點歸納
知識要點1：一周　圖形　定點　圓心　定長　半徑　所有點
知識要點2：＝　<　>
知識要點3：線段　圓心　圓弧 圓弧　 弧　　優弧　劣弧 完全重合　 同圓或等圓　不一定　不一定21·cn·jy·com
知識要點4：中心對稱　圓心　軸對稱　直徑　無數
典例導學
例1　解：(1)若點A、B在⊙C外，則AC＞r，∵AC＝3，∴r＜3；
(2)若點A在⊙C內，點B在⊙C外，則AC＜r＜BC，∵AC＝3，BC＝4，∴3＜r＜4.
例2　證明：取AB的中點O，連接OC，OD，∵△ABC和△ABD都為直角三角形，且∠C＝∠D＝90°，∴DO，CO分別為Rt△ABD和Rt△ABC斜邊上的中線，∴OA＝OB＝OC＝OD，∴A、B、C、D四點在同一個圓上．21教育網
當堂檢測
1．D　2.C
3．AB　、　
4．上　外　上
2．2　圓心角、圓周角
2．2.1　圓心角
知識要點　圓心角的概念及圓心角、弧、弦之間的關系
文字敘述
幾何語言
圖例
定理
在同圓中，如果圓心角相等，那么它們所對的________相等，所對的________也相等.
如圖，如果∠AOB＝∠COD，那么＝________，AB＝________；
推論
在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧和兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別________．可簡記為：在同圓或等圓中，圓心角相等?弧相等?弦相等.
如果AB＝CD，那么∠AOB＝∠________，＝________；
(2)如果＝，那么AB＝________，∠AOB＝∠________.
解題
策略
圓心角、弧、弦之間關系的結論成立的前提條件是“在同圓或等圓中”；
(2)同圓或等圓中圓心角、弧、弦之間的關系是證明圓中線段相等、角相等、弧相等的主要依據.
如圖所示的圓中，下列各角是圓心角的是(　　)
A．∠ABC
B．∠AOB
C．∠OAB
D．∠OCB
分析：根據圓心角的概念，∠ABC、∠OAB、∠OCB的頂點分別是B、A、C，都不是圓心O，因此都不是圓心角．只有B中的∠AOB的頂點在圓心，是圓心角．21·cn·jy·com
方法點撥：確定一個角是否是圓心角，只要看這個角的頂點是否在圓心上，頂點在圓心上的角就是圓心角，否則不是．2·1·c·n·j·y
(教材P56習題T2變式)如圖，M為⊙O上一點，＝，MD⊥OA于D，ME⊥OB于E，求證：MD＝ME.【來源：21·世紀·教育·網】
分析：連接MO，根據等弧對等弦，則∠MOD＝∠MOE，再由角平分線的性質，得出MD＝ME.
方法點撥：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等，但不要忘記“在同圓或等圓中”這一個條件．21·世紀*教育網
如圖，C，D是以AB為直徑的⊙O上的兩點，且OD∥BC.求證：AD＝DC.
分析：如圖，連接OC，根據平行線的性質得到∠1＝∠B，∠2＝∠3，而∠B＝∠3，所以∠1＝∠2，再根據圓心角、弧、弦的關系即可得到結論．www.21-cn-jy.com
方法點撥：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．
1．在同圓或等圓中，下列說法錯誤的是(　　)
A．相等的弦所對的圓心角相等
B．相等的圓心角所對的弧相等
C．相等的弦所對的弧相等
D．相等的圓心角所對的弦相等
2．(教材P49練習T2變式)如圖，AB是⊙O的直徑，＝＝，∠COD＝34°，則∠AOE的度數是(　　)21世紀教育網版權所有
A．51° B．56° C．68° D．78°
第2題圖
　　第3題圖
3．如圖，AB是⊙O的直徑，C是半圓弧AB的中點，D是上(異于B.C)的任意一點，則∠CDB等于(　　)www-2-1-cnjy-com
A．100° B．120° C．150° D．135°
4．在⊙O中，弦AB＝2cm，圓心角∠AOB＝60°，則⊙O的直徑為________cm.
5．如圖，AB、CD是⊙O的直徑，AB∥DE，AC＝3，求AE的長．
參考答案:
要點歸納
知識要點：弧　弦　　CD　相等　COD　　CD COD
典例導學
例1　B
例2　證明：連接MO，∵＝，∴∠MOD＝∠MOE.又∵MD⊥OA于D，ME⊥OB于E，∴∠MDO＝∠MEO＝90°，∵MO＝MO, ∴△MDO≌△MEO(AAS)，∴MD＝ME.
例3　證明：連結OC，∵OD∥BC，∴∠1＝∠B，∠2＝∠3.又∵OB＝OC，∴∠B＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AD＝DC.21教育網
當堂檢測
1．C　2.D　3.D　4.4
5．解：∵AB∥DE，∴＝.∵AB、CD是⊙O的直徑，∠BOD＝∠AOC，∴＝，∴＝，∴AE＝AC＝3.21cnjy.com
2．2.2　圓周角
第1課時　圓周角定理與推論1
知識要點　圓周角定理與推論1
內容
幾何語言
圖例
圓周角
的概念
頂點在圓上，角的兩邊都與圓相交，像這樣的角叫作圓周角.
∠________是圓周角
圓周角
定理
圓周角的度數等于它所對弧上的圓心角度數的一半.
∠ACB＝______∠AOB
圓周角
定理的
推論1
在同圓(或等圓)中，同弧或等弧所對的圓周角相等；相等的圓周角所對的弧也相等.
∵＝，∴∠1＝________；＝?∠1＝________＝________
易錯
提示
(1)同一條弧所對的圓周角有________個，且它們是________的；
(2)在推論1中，如果將“同弧或等弧”改成“同弦或等弦”后，結論就不一定成立，即同弦或等弦所對的圓周角________或________．
(3)同一條非直徑的弦所對的圓周角有兩種情況，無圖時，注意分類討論，一類是頂點在劣弧上的圓周角，另一類是頂點在優弧上的圓周角，這兩種情況下的圓周角________．(下一課時將得證)
(教材P56習題T4變式)如圖，AB是⊙O的直徑，∠AOC＝130°，則∠D＝________°.
分析：AB是⊙O的直徑，∠AOC＝130°，根據鄰補角的定義，即可求得∠BOC的度數，然后根據在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半，即可求得∠D的度數．21·cn·jy·com
方法點撥：圓周角和圓心角的轉化：①可通過作圓的半徑構造等腰三角形，利用等腰三角形的頂點和底角的關系進行轉化；②可利用“橋梁”—圓心角轉化．
如圖，點A、B、C、D、E都在⊙O上，AC平分∠BAD，且AB∥CE，求證：AD＝CE.
分析：欲證明AD＝CE，只需證明＝即可．如圖，根據平行線的性質和角平分線的定義易證得∠C＝∠CAD，所以＝，則＋＝＋，故＝.
方法點撥：在同一個圓中，能將一個角從一個地方轉移到另一個地方的方法有：(1)利用平行線的同位角及內錯角；(2)同弧所對的圓周角；(3)等弧所對的圓周角；(4)等量加(減)等量和(差)相等．21世紀教育網版權所有
1．如圖所示，A、B、C三點均在⊙O上，則圖中圓周角有A
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
(2016·重慶中考)如圖，OA，OB是⊙O的半徑，點C在⊙O上，連接AC，BC，若∠AOB＝120°，則∠ACB＝________度．21教育網
3．如圖，△ABC的三個頂點均在⊙O上，∠OAB＝20°，則∠C的度數為______.
4．如圖，點E是的中點，點A在⊙O上，AE交BC于D.
求證：BE2＝AE·DE.
參考答案:
要點歸納
知識要點：圓上　相交　ACB　一半　　相等　相等　∠2　∠2 ∠3　無數　相等　相等　互補　互補www.21-cn-jy.com
典例導學
例1　25
例2　證明：∵AB∥CE，∴∠ACE＝∠BAC.又∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴∠C＝∠CAD，∴AE＝，∴＋＝＋，∴＝，∴AD＝CE.
當堂檢測
1．A　2.60　3.70°
4．證明：∵點E是的中點，即＝，∴∠BAE＝∠CBE.∵∠E＝∠E，∴△ABE∽△BDE，∴BE∶AE＝DE∶BE，∴BE2＝AE·DE.21cnjy.com
第2課時　圓周角定理的推論2與圓內接四邊形
知識要點　圓周角定理推論2與圓內接四邊形
內容
幾何語言
圖例
圓周角定理推論2
直徑所對的圓周角是________；________的圓周角所對的弦是直徑.
AB是直徑?∠C＝________.
圓內接四邊形、四邊形的外接圓的概念
一個四邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫作________四邊形，這個圓叫作這個四邊形的________
四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形，⊙O為四邊形ABCD的外接圓.
圓內接四邊形性質
圓內接四邊形的對角________
∠A＋∠C＝________°，∠B＋∠D＝________°.
解題策略
(1)利用圓周角的推論2作輔助線：有直徑通常作直徑所對的________角；有90°的圓周角，通常過圓周角的一個端點作________，以構造________三角形．
(2)圓內接四邊形的一個________角等于它的內對角．如圖，∠DCE＝________.
(教材P57習題T9變式)如圖，AB是半圓O的直徑，C，D是半圓O上的兩點，且OD∥BC，OD與AC交于點E.21世紀教育網版權所有
(1)若∠B＝70°，求∠CAD的度數；
(2)若AB＝4，AC＝3，求DE的長．
分析：(1)根據圓周角定理可得∠ACB＝90°，則∠CAB的度數即可求得．由OD∥BC可知∠AOD＝∠B＝70°.在等腰△AOD中，根據等邊對等角求得∠DAO的度數，則∠CAD即可求得；(2)易證OE是△ABC的中位線，利用中位線定理求得OE的長，可求得DE的長．
方法點撥：根據直徑所對的圓周角是直角及由圓的半徑構成的等腰三角形，得到角之間的關系，在求圓中的角度時，這兩點經常被用到．21cnjy.com
(教材P57習題T10變式)如圖，兩個等圓⊙O1和⊙O2相交于A，B兩點，經過點A的直線與兩圓分別交于點C，點D，經過點B的直線與兩圓分別交于點E，點F，若CD∥EF.求證：www.21-cn-jy.com
四邊形EFDC是平行四邊形；
(2)CE＝.
分析：(1)已知CD∥EF，需證CE∥DF；連接AB.由圓內接四邊形的性質可得∠BAD＝∠E，∠BAD＋∠F＝180°，可證得∠E＋∠F＝180°，即CE∥DF，由此得證；(2)由四邊形CEFD是平行四邊形得CE＝DF.再由⊙O1和⊙O2是兩個等圓即可得證．
方法點撥：由“圓內接四邊形對角互補”可以得出：圓內接四邊形的一個外角等于它的內對角，從而實現圓內的角轉移到圓外，使等角從位置上發生變化．
1．如圖，BC是⊙O的直徑，點A是⊙O上異于B，C的一點，則∠A的度數為(　　)
A．60° B．70° C．80° D．90°
　　　　
2．如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，已知∠ADC＝140°，則∠AOC的大小是(　　)
A．80° B．100° C．60° D．40°
3．如圖，△ABC中，∠C＝25°，∠B＝85°，過點A，B的圓與邊AC、BC分別交于點E、D，則∠EDC＝________°.21教育網
4．如圖，已知△ABC中，AB＝AC，AB是⊙O的直徑，⊙O交底邊BC于點D，交AC于點E，連接DE.求證：BD＝DE＝DC.21·cn·jy·com
參考答案:
要點歸納
直角　90°　90°　90° 圓內接　外接圓　互補　180　180　圓周　直徑　直角　外　∠BAD2·1·c·n·j·y
典例導學
例1　解：(1)∵AB是半圓O的直徑，∴∠ACB＝90°.又∵OD∥BC，∴∠AOD＝∠B＝70°，∠CAB＝90°－∠B＝90°－70°＝20°.∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO＝＝＝55°，∴∠CAD＝∠DAO－∠CAB＝55°－20°＝35°；【來源：21·世紀·教育·網】
(2)在Rt△ABC中，BC＝＝＝.∵OE⊥AC，∴AE＝EC.∵OA＝OB，∴OE＝BC＝.又∵OD＝AB＝2，∴DE＝OD－OE＝2－.21·世紀*教育網
例2　證明：(1)連接AB，∵四邊形ABEC是⊙O1的內接四邊形，∴∠E＋∠CAB＝180°.又∵∠CAB＋∠BAD＝180°，∴∠BAD＝∠E.∵四邊形ADFB是⊙O2的內接四邊形，∴∠BAD＋∠F＝180°，∴∠E＋∠F＝180°，∴CE∥DF.∵CD∥EF，∴四邊形EFDC是平行四邊形；
(2)由(1)得：四邊形EFDC是平行四邊形，∴CE＝DF，又∵⊙O1和⊙O2是等圓，∴＝.
當堂檢測
1．D　2.A　3.70
4．證明：連接AD.∵AB是直徑，∴AD⊥BC.∵AB＝AC，∴BD＝DC，∠BAD＝∠CAD，∴＝，∴BD＝DE＝DC.www-2-1-cnjy-com

*2.3　垂徑定理
知識要點　垂徑定理
內容
幾何語言
圖例
垂徑定理
垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.
如圖，∵MN是直徑，OD⊥AB，∴AD＝________；＝________；＝________.
解題策略
(1)涉及弦、弦到圓心的距離求長度：弦長a，弦到圓心的距離為d，半徑r及弓形高h(弦所對的弧的中點到弦的距離)，它們之間的關系是r2＝d2＋，r＝d＋h.注意有時還需作輔助線解決，一般是過圓點向弦作垂線或連接半徑(如圖中連接OB或OA)構造直角三角形．
(2)圓的兩條平行弦所夾的弧________.
(教材P60習題T1變式)如圖，在⊙O中，半徑OD垂直于弦AB，垂足為C，OD＝13cm，AB＝24cm，則CD＝______.21cnjy.com
分析：由垂徑定理得AC＝AB＝12cm.連接OA，由半徑相等，得OA＝OD＝13cm.在Rt△AOC中，利用勾股定理可求OC的長，最后用CD＝OD－OC即可求出CD的長．
方法點撥：解題的方法是作輔助線構造直角三角形，運用勾股定理、垂徑定理解答．
　 如圖是一個隧道的橫截面，若它的形狀是以O為圓心的圓的一部分，路面AB＝12米，凈高CD＝9米，則此圓的半徑OA為 ( )
A．6米 　B.米 C．7米 D.米
分析：設⊙O的半徑為r米，則OA＝r米，OD＝(9－r)米．∵AB＝12米，CD⊥AB，∴AD＝AB＝×12＝6(米)．在Rt△AOD中，由勾股定理得OA2＝AD2＋OD2，即可得到關于r的方程，解出方程即可求出⊙O的半徑長．21·cn·jy·com
方法點撥：構造直角三角形，結合垂徑定理和勾股定理，可以解決計算弦長、半徑、弦到圓心的距離、同心圓的相關線段等問題．www.21-cn-jy.com
1．如圖，DC是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點F，連接BC、BD，則下列結論錯誤的是(　　)
A．AF＝BF B．OF＝CF
C.＝ D．∠DBC＝90°
　
2．如圖，在⊙O中，AB為弦，OC⊥AB，垂足為C，若AO＝5cm，OC＝3cm，則弦AB的長為______cm.21世紀教育網版權所有
3．如圖所示，是一根水平放置的圓柱形輸水管道的橫截面，其中有水部分水面寬0.8m，最深處水深0.2m，則此輸水管道的直徑是________m.21教育網
參考答案:
要點歸納
知識要點：平分　平分　DB　　　
相等
典例導學
例1　8
例2　B
當堂檢測
1．B　2.8　3.1

2．4　過不共線三點作圓
知識要點1　圓的確定
(1)經過不在同一直線上的三個點確定________個圓．
(2)經過不在同一直線上的三個點作圓的方法：①連接各點，作出兩條所連線段的垂直平分線，其交點即為圓心；②以圓心到任意一點的長為半徑畫圓即可．21世紀教育網版權所有
知識要點2　三角形的外接圓
文字敘述
幾何語言
圖例
三角形的
外接圓
經過三角形各________的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫作這個三角形的________.
如圖，⊙O是△ABC的________.
圓的內接
三角形
一個三角形的三個頂點都在一個圓上，這個三角形叫作這個圓的________三角形.
如圖，△ABC是⊙O的________.
外心的
性質
三角形的外心到三角形的三個頂點的距離________．即三角形的外心是它的三條邊的________的交點.
如圖，OA＝______＝______.
解題策略
直角三角形的外心在斜邊的________，直角三角形的外接圓的半徑等于斜邊的________.
(教材P63習題T2變式)如圖，已知等腰三角形ABC.
(1)用直尺和圓規作△ABC的外接圓；
(2)設△ABC的外接圓的圓心為O，若∠BOC＝128°，求∠BAC的度數．
分析：(1)作出AB，AC的垂直平分線，兩垂直平分線的交點就是圓心，以交點為圓心，交點到三角形的頂點的長度為半徑畫圓可得△ABC的外接圓；(2)作出劣弧BC所對的圓周角，易得該圓周角的度數，則∠BAC是該圓周角的補角．21cnjy.com
方法點撥：作任意兩條邊的垂直平分線，找出三角形外心作出三角形的外接圓．善于利用圓的內接四邊形進行對角的轉換及計算．21·cn·jy·com
(教材P63習題T4變式)如圖，已知AD既是△ABC的中線，又是角平分線，請判斷：
(1)△ABC的形狀；
(2)AD是否過△ABC外接圓的圓心O，并證明你的結論．
分析：(1)過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，根據HL定理可得出△BDE≌△CDF，進而得出結論；(2)根據等腰三角形三線合一的性質可知AD⊥BC，再由BD＝CD，可知AD過圓心O，故可得出結論．www.21-cn-jy.com
方法點撥：根據等腰三角形三線合一的性質，結合三角形的外接圓與外心的知識綜合解題．
1．如圖，一只花貓發現一只老鼠溜進了一個內部連通的鼠洞，鼠洞只有三個出口A，B，C，要想同時顧及這三個出口以防老鼠出洞，這只花貓最好蹲守在(　　)
A．△ABC的三邊高線的交點P處
B．△ABC的三條角平分線的交點P處
C．△ABC的三邊中線的交點P處
D．△ABC的三邊中垂線的交點P處
2．Rt△ABC中兩條直角邊分別為6cm，8cm，則外接圓的半徑為________．
3．如圖，將△ABC放在每個小正方形的邊長為1的網格中，點A、B、C均落在格點上，用一個圓面去覆蓋△ABC，能夠完全覆蓋這個三角形的最小圓面的半徑是________．
4．如圖，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24cm，O到BC的距離是5cm，求△ABC的外接圓的半徑．21教育網
參考答案:
要點歸納
知識要點1　一
知識要點2　頂點　外心　外接圓　內接　內接三角形 相等　垂直平分線　OB　OC　中點　一半
典例導學
例1　解：(1)如圖①所示．
(2)如圖②，在優弧BC上任取一點D，連接BD，CD，∵∠BOC＝128°，∴∠BDC＝∠BOC＝64°，∴∠BAC＝180°－∠BDC＝116°.2·1·c·n·j·y
例2　解：(1)△ABC是等腰三角形．理由如下：過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F.∵AD是角平分線，∴DE＝DF.又∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD.在Rt△BDE與Rt△CDF中，∴△BDE≌△CDF(HL)，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形；【來源：21·世紀·教育·網】
(2)AD過△ABC外接圓的圓心O.理由如下：∵AB＝AC，AD是角平分線，∴AD⊥BC.又∵BD＝CD，∴AD過圓心O.21·世紀*教育網
當堂檢測
1．D　2.5cm　3.
4.連接OB，過點O作OD⊥BC于D，則OD＝5cm，BD＝BC＝12cm.在Rt△OBD中，OB＝＝＝13(cm)．即△ABC的外接圓的半徑為13cm.
2．5　直線與圓的位置關系
2．5.1　直線與圓的位置關系
知識要點　直線與圓的位置關系
位置關系
相交
相切
相離
定義
如果直線與圓有________個不同的公共點，這時直線與圓的位置關系叫做相交，這條直線叫做圓的________線.
如果直線與圓只有________個公共點，這時直線與圓的位置關系叫做相切，這條直線叫做圓的________線，這個公共點叫做________.
如果直線與圓________公共點，這時直線與圓的位置關系叫做相離.
圖形
公共點個數
________個
________個
________個
數量關系
d________r
d________r
d________r
易錯提醒
直線與圓的位置關系判定：①從直線與圓的交點________去判定；②從__________與________的大小關系判定.
分類討論思想在圓中的運用：由于圓是軸對稱圖形和中心對稱圖形，所以關于圓的位置或計算題中常常出現分類討論多解的情況．如將直線l從圓外向圓平移，則圓心O到直線l的距離等于某個固定數值的有兩種情形(l2和l3)，同樣與圓相切也有兩種情形(l1和l4).
(教材P75習題T1變式)已知⊙O的半徑為3，M為直線AB上一點，若MO＝3，則直線AB與⊙O的位置關系為D21cnjy.com
A．相切 B．相交
C．相切或相離 D．相切或相交
分析：∵垂線段最短，∴圓心O到直線AB的距離小于等于3，∴直線AB與⊙O的關系不是唯一確定的．
方法點撥：判斷直線與圓的位置關系，必須明確圓心到直線的距離．特別注意：這里的3不一定是圓心到直線的距離．21·cn·jy·com
(教材P65例1變式)如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，以C為圓心，r為半徑的圓與AB是怎樣的位置關系？www.21-cn-jy.com
(1)r＝4cm；(2)r＝4.8cm；(3)r＝6cm.
分析：求出Rt△ABC斜邊上的高，與半徑r比較，得到⊙C與AB的位置關系．
方法點撥：比較圓心到直線的距離與半徑的大小是確定直線與圓的位置關系常用的方法．
1．若⊙O的半徑為6，圓心O到直線l的距離為5，則直線l與⊙O的位置關系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相離 D．無法確定
2．已知OA平分∠BOC，P是OA上任意一點，如果以P為圓心的圓與OC相離，那么⊙P與OB的位置關系是(　　)2·1·c·n·j·y
A．相離 B．相切
C．相交 D．不能確定
3．已知⊙O的直徑等于12cm，圓心O到直線l的距離為5cm，則直線l與⊙O的交點個數為________．【來源：21·世紀·教育·網】
4．⊙O的半徑為R，點O到直線l的距離為d，R，d是方程x2－4x＋m＝0的兩根，當直線l與⊙O相切時，m的值為________．21·世紀*教育網
5．如圖，兩個同心圓，大圓半徑為5，小圓半徑為3，若大圓的弦AB與小圓相交，則弦AB的取值范圍是____________．21世紀教育網版權所有
6．在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，⊙A的半徑為7，判斷⊙A與直線BC的位置關系，并說明理由．www-2-1-cnjy-com
參考答案:
要點歸納
知識要點：兩　割　一　切　切點　沒有　2　1　0　<　＝　>　個數　d　r
典例導學
例1　D
例2　解：作CD⊥AB于點D，在Rt△ABC中，AB＝＝10cm.利用面積法，BC·AC＝·AB·CD，可得CD＝4.8cm.21教育網
(1)當r＝4cm時，CD>r，此時⊙O與AB相離；
(2)當r＝4.8cm時，CD＝r，此時⊙O與AB相切；
(3)當r＝6cm時，CD當堂檢測
1．A　2.A　3.2　4.4　5.86．解：⊙A與直線BC相交．理由如下：如圖，過點A作AD⊥BC，垂足為點D.∵AB＝AC，BC＝16，∴BD＝BC＝×16＝8.在Rt△ABC中，AB＝10，BD＝8，∴AD＝＝＝6.∵⊙O的半徑為7，∴AD＜r，∴⊙A與直線BC相交．
2．5.2　圓的切線
第1課時　切線的判定
知識要點　切線的判定
內容
幾何語言
圖例
切線的判
定定理
經過半徑________并且________于這條半徑的直線是圓的切線.
∵OA是半徑，l⊥OA于點A，∴直線l是⊙O的切線.
切線判定
的方法
定義法：到圓心的距離等于圓的半徑的直線是圓的切線.
(2)判定定理：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
解題
策略
切線判定中作輔助線的方法：證明切線時，一般分兩種情況：①切點已知，連半徑，證________；②切點未知，作垂直，證________.
(教材P67例2變式)如圖，D為⊙O上一點，點C在直徑BA的延長線上，且∠CDA＝∠CBD.
(1)求證：CD是⊙O的切線；
(2)若BC＝6，tan∠CDA＝，求CD的長．
分析：(1)連接OD，證明∠CDO＝90°即可；(2)證明△CAD∽△CDB，由對應邊成比例可求得CD的長．21·cn·jy·com
方法點撥：當直線與圓的交點已知時，要證明直線與圓相切，只要連接這點與半徑，證明連線與已知直線垂直即可．21世紀教育網版權所有
如圖，O為正方形ABCD的對角線AC上一點，以O為圓心，OA的長為半徑的⊙O與BC相切于點M.求證：CD與⊙O相切．21教育網
分析：連接OM，過點O作ON⊥CD于點N，用正方形的性質得出AC平分∠BCD，再利用角平分線的性質得出OM＝ON即可．21cnjy.com
方法點撥：要證明直線與圓相切，如果直線與圓的公共點沒有確定，則應過圓心作直線的垂線，證明圓心到這條直線的距離等于半徑．2·1·c·n·j·y
1．下列說法中，不正確的是(　　)
A．與圓只有一個交點的直線是圓的切線
B．經過半徑的外端，且垂直于這條半徑的 直線是圓的切線
C．與圓心的距離等于這個圓的半徑的直線是圓的切線
D．垂直于半徑的直線是圓的切線
2．如圖，點A、B、D在⊙O上，OD的延長線交直線BC于點C，且∠A＝25°，∠OCB＝40°，則∠DOB＝50°，所以∠OBC＝90°，所以直線BC與⊙O的位置關系為相切．
　　　
如圖，已知點A是⊙O上一點，半徑OC的延長線與過點A的直線交于點B，OC＝BC，AC＝OB，則AB________(填“是”或“不是”)⊙O的切線．www.21-cn-jy.com
4．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，過點D作DE⊥AC于點E.求證：DE是⊙O的切線．【來源：21·世紀·教育·網】
參考答案:
要點歸納
知識要點：外端　垂直　垂直　半徑
典例導學
例1　 (1)證明：連接OD, ∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠BDO.∵∠CDA＝∠CBD，∴∠CDA＝∠ODB.∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，即∠ADO＋∠ODB＝90°，∴∠ADO＋∠CDA＝90°，即∠CDO＝90°，∴OD⊥CD.又∵CD經過半徑的外端，∴CD是⊙O的切線；
(2)解：∵∠CDA＝∠OBD，∴tan∠CDA＝tan∠ABD＝.在Rt△ABD中，tan∠ABD＝＝.∵∠C＝∠C，∠CDA＝∠CBD，∴△CAD∽△CDB，∴＝＝，∴CD＝×6＝4.
例2　證明：連接OM，過點O作ON⊥CD于點N，∵⊙O與BC相切于點M，∴OM⊥BC.又∵ON⊥CD，O為正方形ABCD對角線AC上一點，∴OM＝ON，∴CD與⊙O相切．
當堂檢測
1．D　2.50°　90°　相切　3.是
4．證明：連接OD.∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB.∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC.又DE⊥AC，∴∠ODE＝∠DEC＝90°，即DE⊥OD.∴DE是⊙O的切線．
第2課時　切線的性質
知識要點　切線的性質
內容
幾何語言
圖例
切線的
性質
圓的切線________于過切點的半徑.
由直線l與⊙O相切于點A，可知l________OA.
解題
策略
由切線的性質可以得到：①經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點；②經過切點且垂直于切線的直線必過圓心.
題目中若給出圓的切線，常連接過切點的半徑，則半徑垂直于切線.
(3)經過直徑兩端點的切線互相________.
如圖，⊙O的直徑AB垂直弦CD于E，過點C的切線CF交AB的延長線于F，連接CO并延長交AD于G，且CG⊥AD.求證：△CEF≌△DEA.21教育網
分析：由CF是⊙O的切線，易得CG⊥CF，證得CF∥AD，得出∠ECF＝∠EDA，∠F＝∠A，根據垂徑定理得出CE＝DE，然后根據AAS即可證得△CEF≌△DEA.
方法點撥：運用切線的性質進行證明和計算時，一般連接切點與圓心，根據切線的性質轉化已知條件，構造出等量關系求解．21·cn·jy·com
(教材P75習題T2變式)如圖，AC是⊙O的直徑，OB是⊙O的半徑，PA切⊙O于點A，PB與AC的延長線交于點M，∠COB＝∠APB.21世紀教育網版權所有
(1)求證：PB是⊙O的切線；
(2)當OB＝3，PA＝PB＝6時，求MB，MC的長．
分析：(1)根據切線的性質，可得∠MAP＝90°，根據直角三角形的性質，可得∠P＋M＝90°，根據∠COB＝∠APB，可得∠M＋∠MOB＝90°，即∠MBO＝90°.根據切線的判定，可得答案；(2)根據相似三角形的判定與性質，可得＝＝，通過解方程組，可得答案．2·1·c·n·j·y
方法點撥：本題考查了切線的判定與性質，(1)利用切線的判定與性質，直角三角形的判定與性質，余角的性質；(2)利用相似三角形的判定與性質，解方程組．
1.如圖，已知AB是⊙O的直徑，PB是⊙O的切線，則AB____BP.若AB＝3cm，PB＝4cm，則PA＝______.【來源：21·世紀·教育·網】
2．如圖所示，AO是△ABC的中線，AB切⊙O于D，要使⊙O與AC邊相切，應增加的條件是___________.21·世紀*教育網
　　　
3．如圖所示，CA為⊙O的切線，切點為A，點B在⊙O上，如果∠CAB＝55°，那么∠AOB等于(　　)www-2-1-cnjy-com
A．120° B．110° C．90° D．55°
4．如圖，P是⊙O外一點，PA是⊙O的切線，PO＝26cm，PA＝24cm，則⊙O的周長為C
A．18πcm B．16πcm
C．20πcm D．24πcm
如圖，△ABD是⊙O的內接三角形，E是弦BD的中點，點C是⊙O外一點且∠DBC＝∠A，連接OE并延長與圓相交于點F，與BC相交于點C.21cnjy.com
(1)求證：BC是⊙O的切線；
(2)若⊙O的半徑為6，BC＝8，求弦BD 的長．
參考答案:
要點歸納
知識要點：垂直　垂直　平行
典例導學
例1　證明：∵CF是⊙O的切線，∴CG⊥CF.又∵CG⊥AD，∴CF∥AD，∴∠ECF＝∠EDA，∠F＝∠A.又∵AB⊥CD，∴CE＝DE.在△CEF和△DEA中，∴△CEF≌△DEA．www.21-cn-jy.com
例2　(1)證明：∵PA切⊙O于點A，∴∠MAP＝90°，∴∠P＋∠M＝90°.∵∠COB＝∠APB，∴∠M＋∠MOB＝90°，∴∠MBO＝90°，即OB⊥PB.∵PB經過半徑的外端，∴PB是⊙O的切線；2-1-c-n-j-y
(2)解：∵∠COB＝∠APB，∠OBM＝∠PAM，∴△OBM∽△PAM，∴＝＝.∵AM＝MC＋AC＝MC＋2OB＝MC＋6，OM＝MC＋OC＝MC＋OB＝MC＋3，PM＝MB＋BP＝MB＋6，∴＝＝＝①，＝＝②，聯立①②得解得21*cnjy*com
當堂檢測
1．⊥　5cm
2．AB＝AC(答案不唯一)　3.B　4.C
5．(1)證明：連接OB，如圖所示．∵E是弦BD的中點，∴BE＝DE，OE⊥BD，＝＝，∴∠BOE＝∠A，∠OBE＋∠BOE＝90°.∵∠DBC＝∠A，∴∠BOE＝∠DBC，∴∠OBE＋∠DBC＝90°，∴∠OBC＝90°，即BC⊥OB，∴BC是⊙O的切線；
(2)解：∵OB＝6，BC＝8，BC⊥OB，∴OC＝＝10.∵△OBC的面積＝OC·BE＝OB·BC，∴BE＝＝＝4.8，∴BD＝2BE＝9.6，即弦BD的長為9.6.

*2.5.3　切線長定理
知識要點　切線長定理
文字敘述
幾何表示
圖形
切線長
概念
經過圓外一點作圓的切線，這點和________之間的線段的長，叫作這點到圓的切線長.
線段______、______的長度是點P到⊙O的切線長.
切線長
定理
過圓外一點所畫的圓的兩條切線長________，圓心和這一點的連線________兩條切線的夾角.
PA＝________,∠APO＝________＝∠APB
解題
策略
由切線長定理可得到的結論：如圖，從該圖上還可以得到很多結論：
如①PO⊥AB；②AC＝BC；③PA⊥OA，PB⊥OB；④∠AOP＝________等.
(2)切線長定理是證明線段相等、角相等、弧相等、線段成比例、線段垂直等的重要依據，并且常與直角三角形、等腰三角形的相聯系.
　 如圖，從⊙O外一點P引圓的兩條切線PA、PB，切點分別是A、B，如果∠APB＝60°，線段PA＝10，那么弦AB的長是(　　)21教育網
A．10 B．12 C．5 D．10
分析：∵PA、PB都是⊙O的切線，∴PA＝PB.∵∠APB＝60°，∴△PAB是等邊三角形，∴AB＝PA＝10.故選A.21cnjy.com
方法點撥：切線長定理是判斷線段相等的主要依據，在圓中經常用到．
(教材P76習題T11變式)如圖，直線AB、BC、CD分別與⊙O相切于點E、F、G，且AB∥CD，OB＝6cm，OC＝8cm.求：21·cn·jy·com
(1)∠BOC的度數；
(2)BE＋CG的長；
(3)⊙O的半徑．
分析：(1)根據切線長定理得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，再根據平行線的性質得∠GCF＋∠EBF＝180°，則有∠OBC＋∠OCB＝90°，進而可求得∠BOC；(2)由勾股定理可求得BC的長，進而由切線長定理即可得到BE＋CG的長；(3)連接OF，由切線的性質可知OF⊥BC，再由三角形面積公式即可求得OF的長．21世紀教育網版權所有
方法點撥：過圓外一點所引的兩條切線的長度相等，在解題時常結合角平分線的性質、三角形全等、解直角三角形等．www.21-cn-jy.com
1．如圖，PA、PB是⊙O的切線，切點為A、B，若OA＝1，PA＝，則∠AOB的度數為(　　)
A．60° B．90°
C．120° D．無法確定
　　　
2．(教材P72練習T1變式)如圖，圓外切四邊形ABCD中AB＝8，CD＝5，則四邊形的周長為________．2·1·c·n·j·y
參考答案:
要點歸納
知識要點：切點　AP　BP　相等　平分　PB　∠BPO　∠BOP
典例導學
例1　A
例2　解：(1)根據切線長定理得BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG.∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°，∴∠OBE＋∠OCF＝(∠ABC＋∠BCD)＝90°，∴∠BOC＝90°；【來源：21·世紀·教育·網】
(2)∵OB＝6cm，OC＝8cm，∴由勾股定理得BC＝＝10cm，∴BE＋CG＝BF＋FC＝BC＝10cm.21·世紀*教育網
(3)連接OF，∵OF⊥BC，∴OF＝＝4.8cm，即⊙O的半徑為4.8cm.
當堂檢測
1．C　2.26
2．5.4　三角形的內切圓
知識要點1　三角形的內切圓及作法
文字敘述
圖例
有關
概念
三角形的內切圓：與三角形各邊都________的圓.
(2)圓的外切三角形：三角形的三邊都與一個圓相切，這個三角形叫作圓的外切三角形.
作法
作△ABC的∠ABC、∠ACB的________，設交點為I，以點I為圓心，點I到三角形任一條邊的________為半徑作圓，則⊙I就是該三角形的內切圓.
知識要點2　三角形內心的定義及性質
內容
定義
三角形的內心；三角形內切圓的圓心.
(2)三角形的內心是這個三角形的三條____________的交點.
性質
三角形的內心到三角形三邊的距離________．如上圖，ID＝IE＝IF.
(2)三角形的內心與三角形頂點的連線________這個角．如上圖，BE為∠ABC的平分線.
解題
策略
內切圓半徑與三角形邊的關系：
(1)任意三角形的內切圓(如圖①)，設三角形的周長為C，則S△ABC＝Cr.
(2)直角三角形的內切圓(如圖②)
①*切線長定理推導：由圖可得四邊形ODCE為正方形，∴OD＝OE＝CD＝CE＝r，∴BD＝a－r，AE＝b－r，又BF＝BD＝a－r，∴AF＝AB－BF＝c－(a－r)＝c－a＋r.所以由AF＝AE，有c－a＋r＝b－r，可得r＝(a＋b－c)；②面積推導：S△ABC＝ab＝(a＋b＋c)r，可得r＝.這兩種結論可在做選擇題和填空題時直接應用.
　 如圖，Rt△ABC的內切圓⊙O與兩直角邊AB、BC分別相切于點D、E，過劣弧(不包括端點D、E)上任一點P作⊙O的切線MN與AB、BC分別交于點M、N.若⊙O的半徑為r，則Rt△MBN的周長為(　　)21世紀教育網版權所有
A．r B.r C．2r D.r
分析：連接OD，OE，∵⊙O是Rt△ABC的內切圓，∴OD⊥AB，OE⊥BC.又∵MD，MP都是⊙O的切線，且D、P是切點，∴MD＝MP，同理可得NP＝NE，∴CRt△MBN＝MB＋BN＋NM＝MB＋BN＋NP＋PM＝MB＋MD＋BN＋NE＝BD＋BE＝2r.故選C.
(教材P74例6變式)如圖，⊙O是△ABC的內切圓，切點分別為D、E、F，∠B＝60°，∠C＝70°，求∠EDF的度數．21教育網
分析：連接OE，OF.由三角形內角和定理可求得∠A＝50°，由切線的性質可知∠OFA＝90°，∠OEA＝90°.根據四邊形內角和為360°得到∠A＋∠EOF＝180°，故可求得∠EOF＝130°.由圓周角定理可求∠EDF.www.21-cn-jy.com
方法點撥：解決本題的關鍵是利用三角形內切圓的性質，求出∠EOF的度數．
如圖，已知E是△ABC的內心，∠A的平分線交BC于點F，且與△ABC的外接圓相交于點D.
(1)求證：BD＝ED；
(2)若AD＝8cm，DF∶FA＝1∶3.求DE的長．
分析：(1)求證BD＝ED，可利用等角對等邊證明．只要證明∠DBE＝∠DEB即可；
(2)要求DE的長，可轉化為求BD的長．利用△BDF∽△ADB，用比例式即可求解．
方法點撥：(1)充分利用內心的定義以及三角形的外角、同弧所對的圓周角來證明角相等，最后利用等角對等邊證明線段相等；(2)用相似三角形得比例式，由比例式求解．
1．如圖，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，O是△ABC的內心，∠BOC＝___度．
　　　　
2.如圖，⊙O是邊長為2的等邊△ABC的內切圓，則⊙O的半徑為________．
3．已知，在△ABC中，內切圓I和邊BC、CA、AB分別切于點D、E、F.
(1)若∠A＝60°，求∠FDE的度數；
(2)若∠A＝130°，求∠FDE的度數；
(3)你能猜想出∠FDE與∠A有什么數量關系嗎？
參考答案:
要點歸納
知識要點1：相切　角平分線　距離
知識要點2：角平分線　相等　平分
典例導學
例1　C
例2　解：連接OE，OF.∵∠B＝60°，∠C＝70°，∴∠A＝180°－60°－70°＝50°.∵AB是⊙O的切線，∴∠OFA＝90°.同理∠OEA＝90°，∴∠A＋∠EOF＝180°，∴∠EOF＝130°，∴∠EDF＝65°.21cnjy.com
例3　(1)證明：∵E是△ABC的內心，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD.又∵∠CBD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CBD.∴∠CBE＋∠CBD＝∠ABE＋∠BAD.即∠DBE＝∠DEB，∴BD＝ED；21·cn·jy·com
(2)解：∵AD＝8cm，DF∶FA＝1∶3，∴DF＝AD＝×8＝2(cm)．∵∠CBD＝∠BAD，∠D＝∠D，∴△BDF∽△ADB，∴＝.∴BD2＝AD·DF＝8×2＝16(cm2)，∴BD＝4cm，又∵BD＝DE，∴DE＝4cm.2·1·c·n·j·y
當堂檢測
1．115　2.
3．解：(1)∠FDE＝60°；(2)∠FDE＝25°；
(3)∠A＋2∠FDE＝180°.
2．6　弧長與扇形的面積
第1課時　弧　長
知識要點　弧長
文字敘述
圖例
弧長公式
半徑為r的圓中，n°的圓心角所對的弧長l為l＝________.
解題策略
在弧長公式中，已知l，n，r中的任意兩個量，就可以求出第三個量.
(2)如果沒有明確說明，弧的長度一般用含有π的代數式表示.
　　 如圖，PA切⊙O于點A，PB切⊙O于點B，如果∠APB＝60°，⊙O的半徑是3，則劣弧的長為_________.21世紀教育網版權所有
分析：連接OA，OB，則OA⊥PA，OB⊥PB.在四邊形APBO中，求出∠AOB的度數，然后直接利用公式l＝即可求出的長．21教育網
方法點撥：半徑為r的圓中，n°的圓心角所對的弧長為l＝，要求出弧長,關鍵要弄清公式中各項字母的含義．2·1·c·n·j·y
(教材P78例2變式)如圖，Rt△ABC的邊BC位于直線l上，AC＝，∠ACB＝90°，∠A＝30°.若Rt△ABC由現在的位置向右無滑動地翻轉，當點A第3次落
在直線l上時，點A所經過的路線的長為________(結果用含π的式子表示)．
分析：點A所經過的路線的長為三個半徑為2，圓心角為120°的扇形弧長與兩個半徑為，圓心角為90°的扇形弧長之和，利用弧長公式即可求得點A所經過的路線長．
方法點撥：此類翻轉求路線長的問題，通過歸納探究出這個點經過的路線情況，并以此推斷整個運動路徑，從而利用弧長公式求出運動的路線長．21·cn·jy·com
1．在半徑為6的⊙O中，60°的圓心角所對的弧長是(　　)
A．π B．2π
C．4π D．6π
2．如圖，點A、B、C在半徑為9的⊙O上，的長為2π，則∠ACB的度數是________．
3.如圖，以AB為直徑的⊙O與弦CD相交于點E，且AC＝2，AE＝，CE＝1.則的長是________．21cnjy.com
4．如圖，一根繩子與半徑為30cm的滑輪的接觸部分是，繩子AC和BD所在的直線成30°的角．請你測算一下接觸部分的長．【來源：21·世紀·教育·網】
參考答案:
要點歸納
知識要點：
典例導學
例1　2π
例2　(4＋)π
當堂檢測
1．B　2.20°　3.π
4．解：連接OC、OD，由題可知OC⊥AC，BD⊥OD.又AC、BD夾角為30°， 所以∠COD＝150°，所以的長＝＝25π(cm)．www.21-cn-jy.com
第2課時　扇形面積
知識要點　扇形面積
文字敘述
圖例
扇形
(1)定義：圓的一條弧和經過這條弧的端點的兩條半徑所圍成的圖形叫作扇形．如圖，陰影部分為扇形，記作扇形OAB.
(2)面積：S扇形＝________(扇形圓心角為n°，半徑為r)或S扇形＝________(扇形弧長為l，半徑為r).
解題
策略
如果把扇形的弧長看成一個三角形的“底”，把扇形的半徑看成“高”，那么扇形的面積公式與三角形的面積公式相似.
2.求陰影面積常用的方法：①公式法(扇形或三角形)；②等積法；③和差法；④割補法.
幾種常見
陰影部分
面積的
求法
　　　　　
(AB∥DE）
S陰影＝S扇形AOB－S△AOB S陰影＝S扇形AOB＋S△AOB S陰影＝S扇形DOE
(教材P80例4變式)如圖，扇形AOB的圓心角為45°，半徑長為，BC⊥OA于點C，求圖中陰影部分的面積(結果保留π)．21世紀教育網版權所有
分析：先求出扇形AOB的面積，再求出△OBC的面積，兩者相減即為陰影部分的面積．
方法點撥：關鍵是從圖中看出陰影部分的面積是扇形的面積減去直角三角形的面積．
如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，∠CDB＝30°，OC＝2，求陰影部分圖形的面積(結果保留π)．21教育網
分析：根據垂徑定理可得CE＝DE，∠CEO＝∠DEB＝90°，然后根據∠CDB＝30°，得出∠COB＝60°，繼而證得△OCE≌△BDE，把陰影部分的面積轉化為扇形的面積計算即可．
方法點撥：不規則圖形面積的求法，通過圖形轉化為規則圖形(三角形、直角三角形、扇形、圓、半圓)面積的和、差、倍、分計算．21cnjy.com
如圖，一個圓心角為90°的扇形，半徑OA＝2，那么圖中陰影部分的面積為π－2(結果保留π)．
2．已知扇形的圓心角為40°，這個扇形的弧長是π，那么此扇形的面積是________．
參考答案:
要點歸納
知識要點：　lr
典例導學
例1　解：∵∠AOB＝45°，BC⊥OA，∴△OCB為等腰直角三角形，OC＝CB.∵半徑長為，∴OC＝BC＝1，∴S△OCB＝×1×1＝，S扇形OAB＝＝，∴S陰影部分＝S扇形OAB－S△OCB＝－.21·cn·jy·com
例2　解：∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，∴CE＝DE，∠CEO＝∠DEB＝90°.∵∠CDB＝30°，∴∠COB＝60°，∠OCE＝30°＝∠CDB.在△OCE和△BDE中，∵∠OCE＝∠BDE，CE＝DE，∠OEC＝∠BED，∴△OCE≌△BDE，∴S陰影＝S扇形OCB＝＝π.
當堂檢測
1．π－2　2.4π

2．7　正多邊形與圓
知識要點　正多邊形與圓
文字敘述
圖例
概念
各邊________，各角也________的多邊形叫做正多邊形.
正多邊
形與圓
將一個圓n(n≥3)等份，依次連接各等分點所得的多邊形是這個圓的________正多邊形；這個圓是這個正多邊形的________，正多邊形的外接圓的圓心叫作正多邊形的中心．如圖，正六邊形ABCDEF是⊙O的________正六邊形，⊙O是正六邊形ABCDEF的________.
正多邊
形的性
質
正多邊形都是________圖形，一個正n邊形共有________條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的________；當邊數n為偶數時，正n邊形也是________對稱圖形，它的對稱中心就是這個正n邊形的________.
解題
策略
正n邊形的各頂點到其中心的距離R和其中心到各邊的距離r和邊長a之間的關系：如圖，在Rt△OAM中，OA2＝OM2＋AM2，即R2＝r2＋()2.
若正六邊形的邊長為a，則其外接圓半徑與內切圓半徑的比為（ ）
A．2∶1 B．2∶
C.∶1 D．3∶
分析：如圖，∵正六邊形的邊長為a，∴正六邊形的半徑為a，則外接圓的半徑為a，內切圓的半徑是正六邊形的中心到各邊的距離．在等邊△AOB中，OG⊥AB，則AG
＝AO.在Rt△AOG中，可求出OG的長，OA∶OG的值為所求．
方法點撥：常見正多邊形的邊長與半徑的關系：正六邊形的邊長等于外接圓半徑，正三角形的邊長等于其外接圓半徑的倍，正方形的邊長等于其外接圓半徑的倍．
(教材P86習題T2變式)已知正六邊形ABCDEF的外接圓半徑是R，求正六邊形的邊長a和面積S.21世紀教育網版權所有
分析：連接OA、OB，過O作OH⊥AB，再由正六邊形的性質得AH＝R，據此可求出a及OH，從而可求S.21cnjy.com
方法點撥：本題考查的是正六邊形的性質，解答此題的關鍵是熟知正六邊形的邊長等于半徑．
參考答案:
要點歸納
知識要點：相等　相等　內接　外接圓　
內接　外接圓　軸對稱　n　中心　中心 中心
典例導學
例1　B
例2　解：連接OA、OB，過O作OH⊥AB，則∠AOH＝×＝30°，∴AH＝R，∴a＝2AH＝R.由勾股定理可得OH2＝R2－(R)2，∴OH＝R，∴S＝·AB·OH×6＝·R·R·6＝R2.21教育網

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