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課件52張PPT。小學課堂教學如何凸現數學思想方法一、問題提出的背景
二、數學思想方法的簡介
三、如何在課堂教學中凸顯數學思想方法
四、案例分析一、問題提出的背景 美國把“學會數學思想方法”作為培養“有數學素養”的社會成員五項標志性的條件之一。 “新課程標準”中指出通過義務教育階段的數學學習，使學生能夠獲得適應未來社會生活和進一步發展所必須的重要數學知識以及基本的數學思想方法和必要的應用技能。 一、問題提出的背景二、數學思想方法的簡介 數學思想，是指人們對數學理論與內容的本質認識，它直接支配著數學的實踐活動。
數學方法，是指某一數學活動過程的途徑、程序、手段，它具有過程性，層次性和可操作性等特點。 數學思想和數學方法既有區別又有密切聯系。數學思想既有認識論方面的內容，如數學的理論和知識；又有方法論方面的內容，如處理各種問題的意識和策略。數學方法主要是方法論方面的內容，如表示、處理各種問題的手段和途徑。數學思想的理論和抽象程度要高一些，而數學方法的實踐性更強一些。人們實現數學思想往往要靠一定的數學方法；而人們選擇數學方法，又要以一定的數學思想為依據。因此，二者是有密切聯系的。我們把二者合稱為數學思想方法。數學思想是數學的靈魂。那么，要想學好數學、用好數學，就要深入到數學的“靈魂深處”。 數學的基本思想主要是指：
數學抽象思想;
數學推理思想;
數學建模思想。二、數學思想方法的簡介 人類通過數學抽象，從客觀世界中得到數學的概念和法則，建立了數學學科。 通過數學推理，進一步得到大量結論，數學科學得以發展。
通過數學建模，把數學應用的客觀世界中，產生了巨大的效益，又反過來促進數學科學的反展。數學抽象思想分類的思想集合的思想數形結合的思想變中有不變的思想符號化的思想對稱的思想對應的思想特殊與一般的思想數學推理思想歸納的思想演繹的思想公理化思想轉換化歸的思想聯想類比的思想代換的思想逐步逼近的思想有限與無限的思想數學建模思想簡化的思想量化的思想函數的思想方程的思想優化的思想統計的思想隨機的思想一、符號化思想1. 符號化思想概念。
數學符號是數學的語言，數學世界是一個符號化的世界，數學作為人們進行表示、計算、推理和解決問題的工具，符號起到了非常重要的作用；因為數學有了符號，才使得數學具有簡明、抽象、清晰、準確等特點，同時也促進了數學的普及和發展；國際通用的數學符號的使用，使數學成為國際化的語言。符號化思想是一般化的思想方法，具有普遍的意義。2. 如何理解符號化思想。
第一，能從具體情境中抽象出數量關系和變化規律，并用符號表示。這是一個從具體到抽象、從特殊到一般的探索和歸納的過程。
如在長方形上拼擺單位面積的小正方形，探索并歸納出長方形的面積公式，并用符號表示：S＝ab。這是一個符號化的過程，同時也是一個模型化的過程。 第二，理解符號所代表的數量關系和變化規律。這是一個從一般到特殊、從理論到實踐的過程。包括用關系式、表格和圖象等表示情境中數量間的關系。如假設一個正方形的邊長是a，那么4a就表示該正方形的周長，a2表示該正方形的面積。這同樣是一個符號化的過程，同時也是一個解釋和應用模型的過程。
第三，會進行符號間的轉換。數量間的關系一旦確定，便可以用數學符號表示出來，但數學符號不是唯一的，可以豐富多彩。如一輛汽車的行駛時速為定值80千米，那么該輛汽車行駛的路程和時間成正比，它們之間的數量關系既可以用表格的形式表示，也可以用公式s=80t表示，還可以用圖象表示。即這些符號是可以相互轉換的。 第四，能選擇適當的程序和方法解決用符號所表示的問題。這是指完成符號化后的下一步工作，就是進行數學的運算和推理。能夠進行正確的運算和推理是非常重要的數學基本功，也是非常重要的數學能力。3. 符號化思想的具體應用。
（1）數的表示、運算和關系。
數字0~9、+、－、×、÷、＝、>、<是比較早期的數學符號，便于人們計數和計算。是小學數學應用最廣泛的符號。
（2）代數思想。
　代數在早期的主要特征是以文字為主的演算，
到了16、17世紀數學家韋達、笛卡爾和萊布尼茲
等數學家逐步引進和完善了代數的符號體系。　①用字母表示數。
②用字母表示數量關系。
運算定律、公式、數量關系。
加法交換律:a+b=b+a
時間、速度和路程的關系:s=vt
　③用符號表示變化規律。
數列的變化規律:1,2,3,5,8,…
圖形的變化規律,小棒的根數：y=3x+1　4．符號化思想的教學。
符號化思想作為數學最基本的思想之一，數學課程標準把培養學生的符號意識作為必學的內容，并提出了具體要求，足以證明它的重要性。教師在日常教學中要給予足夠的重視，并落實到課堂教學目標中。學生只有理解和掌握了數學符號的內涵和思想，才有可能利用它們進行正確的運算、推理和解決問題。二、模型思想
1. 模型思想的概念。
　 數學模型是用數學語言概括地或近似地描述現實世界事物的特征、數量關系和空間形式的一種數學結構。從廣義角度講，數學的概念、定理、規律、法則、公式、性質、數量關系式、圖表、程序等都是數學模型。數學的模型思想是一般化的思想方法，數學模型的主要表現形式是數學符號表達式和圖表，因而它與符號化思想有很多相通之處，同樣具有普遍的意義。為了把數學模型與數學知識或是符號思想明顯地區分開來，主要從狹義的角度討論數學模型，即重點分析小學數學的應用及數學模型的構建。 2. 模型思想的重要意義。
數學模型是運用數學的語言和工具，對現實世界的一些信息進行適當的簡化，經過推理和運算，對相應的數據進行分析、預測、決策和控制，并且要經過實踐的檢驗。如果檢驗的結果是正確的，便可以指導我們的實踐。
《課標（2011版）》中明確提出了“初步形成模型思想”，并具體解釋為“模型思想的建立是幫助學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果、并討論結果的意義。這些內容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數學的興趣和應用意識”。 3. 模型思想的應用。
數的表示，自然數列：0,1,2,…用數軸表示數
用數字和圖形表示規律
數的運算a+b=c，c－a =b, c－b＝a，
a×b＝c(a≠0,b≠0)，c÷a=b, c÷b＝a
用字母表示運算定律，方程ax+b=c
數量關系：時間、速度和路程：s=vt
　　　　　數量、單價和總價：a=np
　　　　　正比例關系：y/x=k
　　　　　反比例關系：xy=k
用表格表示數量間的關系用圖象表示數量間的關系
用字母表示周長、面積和體積公式
用圖表示空間和平面結構
用統計圖表描述和分析各種信息
用分數表示可能性的大小。 4．模型思想的教學。
　模型思想與符號化思想都是經過抽象后用符號和圖表表達數量關系和空間形式，這是它們的共同之處；但是模型思想更加重視如何經過分析抽象建立模型，更加重視如何應用數學解決生活和科學研究中的各種問題。
　學生學習數學模型大概有兩種情況：第一種是基本模型的學習，即學習教材中以例題為代表的新知識，這個學習過程可能是一個探索的過程，也可能是一個接受學習的理解過程；第二種是利用基本模型去解決各種問題，即利用學習的基本知識解決教材中豐富多彩的習題以及各種課外問題。例1：
北師大版四下P85
字母表示數　例2：小明的家距離學校600米，每天上學從家步行10分鐘到學校。今天早晨出門2分鐘后發現忘記帶學具了，立即回家去取。他如果想按原來的時間趕到學校，他從回家再到學校，步行的速度應是多少？（取東西的時間忽略不計）
分析：
　(1) 本題是日常生活中常見的行程問題，問題是要求小明步行的速度，是關于時間、速度和路程的問題。
　(2) 這里需要明確所求的速度相對應的路程和時間是什么，因為取東西等時間忽略不計，因此剩余的時間就可以確定為步行的時間；路程是從家出來2分鐘后開始算，再回家的路程加上從家到學校的路程的和；時間是10分鐘減去2分鐘，只有8分鐘的時間了。
　(3) 根據基本的關系式s=vt，可先求出s＝600+（600÷10）×2＝720(米),　t＝10－2＝8(分鐘)。列式為：720＝8v。
　(4)v＝90，即小明步行的速度為90米／分鐘。
　從上面的解答過程來看，難點在于第二步中知道模型系統后相應的數量怎么準確地找出來，一定要注意題中對每一個量是怎樣敘述的，有什么特殊的要求，在認真讀題的基礎上準確地找出來或計算出來。　 建模過程包括以下3步：
1.從現實生活中或具體情境中抽象出數學問題。發現和提出問題是數學建模的起點。2.用數學符號表示數學問題中的數量關系和變化規律。在這一步中，學生通過觀察、分析、抽象、概括、選擇、判斷等數學活動，完成模型抽象，得到模型。這是建模的重要環節。3.通過模型去求結果，應用生活中問題解決，并用此結果解釋、討論它在現實中的意義。三、化歸思想
1. 化歸思想的概念。
　人們在面對數學問題，如果直接應用已有知識不能或不易解決該問題時，往往將需要解決的問題不斷轉化形式，把它歸結為能夠解決或比較容易解決的問題，最終使原問題得到解決，把這種思想方法稱為化歸（轉化）思想。
　從小學到中學，數學知識呈現一個由易到難、從簡到繁的過程；然而，人們在學習數學、理解和掌握數學的過程中，卻經常通過把陌生的知識轉化為熟悉的知識、把繁難的知識轉化為簡單的知識，從而逐步學會解決各種復雜的數學問題。因此，化歸既是一般化的數學思想方法，具有普遍的意義；同時，化歸思想也是攻克各種復雜問題的法寶之一，具有重要的意義和作用。2. 化歸所遵循的原則。
化歸思想的實質就是在已有的簡單的、具體的、基本的知識的基礎上，把未知化為已知、把復雜化為簡單、把一般化為特殊、把抽象化為具體、把非常規化為常規，從而解決各種問題。因此，應用化歸思想時要遵循以下幾個基本原則：
（1）數學化原則，即把生活中的問題轉化為數學問題，建立數學模型，從而應用數學知識找到解決問題的方法。
（2）熟悉化原則，即把陌生的問題轉化為熟悉的問題。
（3）簡單化原則，即把復雜的問題轉化為簡單的問題。
（4）直觀化原則，即把抽象的問題轉化為具體的問題。 3．解決問題中的化歸策略。
（1）化抽象問題為直觀問題。
從數的認識到計算，直觀操作幫助理解算理算法；
解決問題中畫線段圖表等幫助理解數量關系，進行推理；
用圖表進行推理；
函數圖像直觀地表示變量間的關系；
統計圖表直觀地表示數據。
案例：　 ＋ ＋ ＋ ＋ … ＝
分析：此問題通過觀察，可以發現一個規律：每一項
都是它前一項的 。但是對于小學和初中的學生來說，
還沒有學習等比數列求和公式。如果把一條線段看作1,
先取它的一半表示 ，再取余下的一半的一半表示 ,
這樣不斷地取下去，最終相當于取了整條線段。因此，
上式的結果等于1。（2）化繁為簡的策略。
有些數學問題比較復雜，直接解答過程會比較繁瑣，如果在結構和數量關系相似的情況下，從更加簡單的問題入手，找到解決問題的方法或建立模型，并進行適當檢驗，如果能夠證明這種方法或模型是正確的，那么該問題一般來說便得到解決。
案例：快速口算85×85＝，95×95＝，105×105＝
分析：仔細觀察可以看出，此類題有些特點，每個算式中的兩個因數相等，并且個位數都是5。不妨從簡單的數開始探索，如15×15＝225, 25×25＝625, 35×35＝1225。通過這幾個算式的因數與相應的積的特點，可以初步發現規律是：個位數是5的相等的兩個數的乘積分為左右兩部分：左邊為因數中5以外的數字乘比它大1的數，右邊為25（5乘5的積）。所以85×85＝7225，95×95＝9025，105×105＝11025，實際驗證也是如此。（3）化實際問題為特殊的數學問題。
數學來源于生活，應用于生活。與小學數學有關的生活中的實際問題，多數可以用常規的小學數學知識解決；但有些生活中的實際問題表面上看是一些常用的數量，似乎能用常規的數學模型解決問題。但真正深入分析數量關系時，可能由于條件不全面而無法建立模型。這時，就需要超越常規思維模式，從另外的角度進行分析，找到解決問題的方法。 例：李阿姨買了2千克蘋果和3千克香蕉用了11元，王阿姨買了同樣價格的1千克蘋果和2千克香蕉，用了6.5元。每千克蘋果和香蕉各多少錢?
分析：此題初看是關于單價、總價和數量的問題，但是，由于題中沒有告訴蘋果和香蕉各自的總價是多少，無法直接計算各自的單價。認真觀察，可以發現：題中分兩次給出了不同數量的蘋果和香蕉的總價，雖然題中有蘋果和香蕉各自的單價這兩個未知數，但這二者沒有直接的關系，如果用方程解決，也超出了一元一次方程的范圍。那么這樣的問題在小學的知識范圍內如何解決呢？利用二元一次方程組加減消元的思想，可以解決這類問題。不必列式推導，直接分析便可：1千克蘋果和2千克香蕉6.5元，那么可得出2千克蘋果和4千克香蕉13元；題中已知2千克蘋果和3千克香蕉11元。用13減去11得2，所以香蕉的單價是每千克2元。再通過計算得蘋果的單價是每千克2.5元。（4）化未知問題為已知問題。
　對于學生而言，學習的過程是一個不斷面對新知識的過程，有些新知識通過某些載體直接呈現，如面積和面積單位，通過一些物體或圖形直接引入概念；而有些新知識可以利用已有知識通過探索，把新知識轉化為舊知識進行學習。如平行四邊形面積公式的學習，通過割補平移，把平行四邊形轉化為長方形求面積。這種化未知為已知的策略，在數學學習中非常常見。 四、數形結合思想 1. 如何理解數形結合思想。
　 數學是研究現實世界的數量關系與空間形式的科學。數和形是客觀事物不可分離的兩個數學表象，兩者既是對立的又是統一的．數學家華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微．”數與形的對立統一主要表現在數與形的互相轉化和互相結合上。尤其是直角坐標系與幾何的結合，是數形結合的完美體現。小學數學階段主要是利用各種直觀手段理解和掌握知識、解決問題。四、數形結合思想 2. 數形結合思想的具體應用。
　 數形結合思想在數學中的應用大致可分為兩種情形：一是借助于數的精確性、程序性和可操作性來闡明形的某些屬性，可稱之為“以數解形”；二是借助形的幾何直觀性來闡明某些概念及數之間的關系，可稱之為 “以形助數”。 2. 數形結合思想的具體應用。
（1）數的表示和運算。
數和運算的實物化、
圖形化和操作化，便于
人們直觀理解數和計算。
擺小棒、畫圖形等。（２）解決問題中的形。
①畫線段圖表示數量關系。
　案例：上海版五上列方程解決問題
　上海浦東中銀大廈的總高度為258米，比上海國際飯店的3倍還高24米，上海國際飯店高多少米？上海國際飯店浦東中銀大廈？米258米24米設上海國際飯店的高度為x米，易于找等量關系和理解逆向思考的數量關系。②解決問題的直觀策略。③利用坐標系中的圖像直觀理解正比例關系。（3）統計中的圖形。
①各種統計圖表。（4）空間與圖形中的數。
①圖形的周長、面積
和體積公式。②圖形中邊之間的關系。
五、集合思想
一般地，把研究的對象稱為元素；把一些元素組成的總體， 稱為集合。
2. 集合理論是數學的理論基礎。
　如數的概念及運算，都可以從集合的角度來定義。
　自然數可以理解為一類可數等價集合的基數（元素的個數）。
　加法可以理解為兩個互不相交的集合的并集。
　函數就是在集合的基礎上定義的。3.集合思想的具體應用。
集合思想在小學數學的很多內容中進行了滲透。在數的概念方面，如自然數可以從對等集合基數（元素的個數）的角度來理解，再如在一年級通過兩組數量相等的實物建立一一對應，讓學生理解“同樣多”的概念，實際上就是兩個對等集合的元素之間建立一一對應；數的運算也可以從集合的角度來理解，如加法可以理解為兩個交集為空集的集合的并集，再如求兩數相差多少，通過把代表兩數的實物圖或直觀圖一對一地比較，來幫助學生理解用減法計算的道理；實際上就是把代表兩數的實物分別看作集合Ａ、Ｂ，通過把Ａ的所有元素與Ｂ的部分元素建立一一對應，然后轉化為求Ｂ與其子集（與Ａ等基）的差集的基數。此外，在小學數學中還經常用集合圖表示概念之間的關系，如把所有三角形作為一個整體，看作一個集合，記為Ａ；把銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形各自看作一個集合，分別記為Ｂ、Ｃ、Ｄ，這三個集合就是集合Ａ的三個互不相交的子集，Ｂ、Ｃ、Ｄ的并集就是Ａ。再如在學習公因數和公倍數時，都是通過把兩個數各自的因數和倍數分別用集合圖表示，再求兩個集合的交集，直觀地表示了公因數和公倍數的概念。三、如何在課堂教學中滲透數學思想方法概念形成過程滲透 結論推導的過程中滲透 規律揭示的過程中滲透 問題解決的過程中滲透復習總結中滲透 概念形成過程滲透 例如：某老師在教學自然數“1”的認識時，
教學片斷1:
師：電腦出示一幅情境圖“一位老師手里拿著一本書與一位新同學對話，校園里現有一面旗，一座教學樓，一個操場，天空有一只小鳥……”
問：同學們，你看到圖上畫的是什么？
生1：我看到了有老師、有同學，還有操場。
生2：我看到了教學樓和紅旗
生3：我看到了有紅旗，有一位同學在問“老師，您好！”
師：你真聰明，看到了有一位同學在問老師好，你們知道有幾位老師……？
生1：有一位老師，一位同學，一面紅旗。
生2：有一個操場，一座大樓……
師：不管是1位老師，一位同學，一個操場，一座大樓，它們數量都是1個，我們用數“1”來表示，板書“1”。概念形成過程滲透 教學片斷2:
師電腦演示：把一些蘋果一個一個地快速裝到一個籃子里。
師問：同學們，這是多少蘋果。
生1：有許多個蘋果。
生2：這里有一籃子蘋果。
師：把這許多個蘋果放到一個籃子里，我們可以說這里有1籃子蘋果。一個籃子里有許多個蘋果。教學片斷3:
你能用“1”說一句話嗎？
生1：我有一支鉛筆。
生2：我家養了一只小狗。
生3：我愛有一盆雞蛋。
生4：我媽媽買了一筐梨子……結論推導的過程中滲透 例如：某老師在教學“平行四邊形面積”時的教學片斷：
①師：你們知道了長方形、正方形的面積計算公式，你們能自己想辦法推導出平行四邊形的面積公式嗎？
學生：各自思考、猜測、剪拼、測量。
②師：哪個小組上臺說一說你們的方法？
組1：我們把平行四邊形放到方格紙上，用數方格的方法知道了問題的答案。
組2：我們把平行四邊形通過剪拼的方法變成了長方形。（邊演示，邊驗證給大家看。）
組3：我們把平行四邊形的兩個相鄰邊相乘……
學生通過討論，組3的方法是錯誤的，組2的方法比較好，組1的方法帶有局限性。
③師：底乘高是不是任何一個平行四邊形的面積計算方法呢？
學生進一步探究，進而同學們又交流了各自想法、做法。規律揭示的過程中滲透例如：某老師在一節計算教學中出了這樣的一些題目：
96×230　　　27×890　　 960×230???????? 890×270
960×23????? 89×27　　　9600×230 　　?? 2700×89　　　　
師：同學們，今天我們來一次比賽，請你們算出各自的得數，看誰算得又對又快，算完后就馬上舉手，并把你的算法介紹給大家。
結果，有的學生很快算完，有的學生只算兩道就到時間了。
師：你是怎樣算的？
生1 ：我先算出96×23　和２７×８９的積，其余的題就看因數后面一共有幾個零，在積的末尾就添加幾個0，就可以了
師：你是怎樣做的？
生2：我是……
師：你為什么算得慢，能找到原因嗎？下課后，把你的心得寫一篇數學作文好嗎？謝謝傾聽

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