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三角形三邊關系定理在初中數學中的應用
三角形是最簡單的多邊形，是研究和學習幾何的基礎，而三角形三邊關系定理是研究三角形的基礎，可見三角形三邊關系定理的重要之處，筆者針對三角形三邊關系定理在初中數學中的應用做一一的總結，希望能夠給學習這個定理的人有一定的幫助。
定理及其推論
定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊；推論：三角形任意兩邊之差小于第三邊。定理分析：無論是定理還是推論都有“任意”二字，所以定理和推論都包含三項內容，用a，b，c表示三角形的三邊，則定理可以表示為：a+b>c,a+c>b,b+c>a;推論則表示為：a-bb），應用時只需抓住兩條邊來驗證第三邊即可。具體的應用參考下面的例題。21教育網
三：定理的應用
判斷三條線段是否可以構成三角形
例題1 下列幾組線段中，不能構成三角形的是：（ ）
A.3，4，5 B.2，4，6 C.5，6，8 D.7,10,15
解法分析： 下面我們以A選項為列來詳細說明定理的使用，首先我們任意的取出兩條線段，不妨我們取3和4.然后根據定理我們做出4-3例題2 以4cm,8cm,10cm,12cm四根木條中的三根組成三角形，可以構成的三角形的個數是：
（ ）
A．1 B. 2 C. 3 D. 4
解法分析：四根木條選3根有四種情況：4cm,8cm,10cm;4cm,8cm,12cm;4cm,10cm,12cm;8cm,10cm,12cm.由三角形三邊關系定理知以12cm，8cm，4cm不能構成三角形，其它三種情況均符合題意，因此能構成三個三角形，故選擇C。www.21-cn-jy.com
說明：實際上判斷能否構成三角形的條件和根據已知兩邊判斷第三邊的取值范圍是一樣的，因此在這里就不一一敘述了。【來源：21·世紀·教育·網】
判斷三點是否共線
三角形三邊關系定理的主要內容是描述構成三角形的條件，那么如果不能構成三角形會是情形呢？其中就包括三點共線的情況，當a-bb）或c=a+b時，a,b,c三條線段共線。21·世紀*教育網
例題3 已知A，B，C三點，且AB=3，BC＝4，AC＝7.判斷這三點是否在一條直線上？
解法分析：根據題意顯然有3+4=7，所以這三點共線。需要說明的是a-b=c和c=a+b本質上是一樣的，因為3＋4＝7可以表示為3＝7－4 .21*cnjy*com
與三角形周長相關，尤其是等腰三角形周長。
例題4 等腰三角形△ABC兩邊的長分別是7和4，求三角形的周長為（ ）
A.15 B. 25 C.11 D.15或25
解法分析：因為是等腰三角形，所以首先要判斷7和4哪個是腰？哪個是底，因此要進行分類討論，把所以的可能都列舉出來：7、7、4和7、4、4，然后根據三角形的三邊關系定理來驗證，結果兩種情況都符合，故答案為D。【來源：21cnj*y.co*m】
例題5 等腰△ABC兩邊的長分別是一元二次方程x2-6x+8=0的兩根，則這個等腰三角形的周長是：（ ）【出處：21教育名師】
A. 8 B. 10 C.8或10 D. 6
解法分析：解法同例題4，不同的是兩種組合分別為4、4、2和4、2、2，符合條件的只有4、4、2，故答案為B。需要說明的是因為關于周長的問題不僅僅限于等腰三角形，但由于等腰三角形具有典型性，因此在這里舉例說明。【版權所有：21教育】
證明線段的不等關系
例題6 如圖1，在△ABC中，D是BC邊上的任意一點，求證：AB+BC+AC>2AD。
證明：
在△ABD和△ACD中，∵AB+BD>AD,AC+CD>AD，∴AB+BC+AC>2AD.
變式：如圖1，在△ABC中，D是BC邊上的中點，求證：AB +AC>2AD。
證明：延長AD到E點，使得AD＝AE，連結BE和CE，如圖2，因為AD和BC互相平分，所以四邊形ABCD是平行四邊形，因此AC=BE。21cnjy.com
在△ABE中，AB+BE>AE，又∵BE=AC，AE=2AD，∴AB+AC>2AD。
例題7 如圖，已知A、B兩個村在河的同側，要在河邊建一個水站向兩個村供水，為了使水站到兩村距離之和最小，問水站應該建在哪里？21·cn·jy·com
解法分析：做A點關于直線的對稱點C，連結AB與直線的交點即為水站的位置。如果水站建在D處，因為AD=CD,CD+BD>BC，所以AD＋BD>BC。www-2-1-cnjy-com
5、判斷兩個圓的位置關系（創新應用）
上述的幾種情況是在初中數學中常見的三角形三邊關系定理的應用，在筆者的教學過程中，發現如果使用這個定理來判定兩圓的位置關系十分的簡潔和實用，在這里與大家一起分享，希望對大家能有所啟發。我們都知道兩圓的位置關系有6種，主要是根據兩圓半徑r1，r2和圓心距d三者之間的關系，如何把它們和三角形的三邊關系聯系起來呢？我是這樣做得，如圖3，以兩圓相交為例。當兩圓相交時，這三條線段剛好構成一個三角，顯然滿足三角形三邊關系定理，即r2-r1r1). 而當兩圓相切時，恰好對應等號成立時，如圖2所示。為了使應用的更加方便，我們可以用數軸來表示兩圓的位置關系，如圖4。
在判斷兩圓的位置關系時，只需抓住數軸上的兩點即可，然后看圓心距在數軸上位置就可以一目了然的判斷出兩圓的位置關系。具體的使用參照下面例題。2-1-c-n-j-y
例題8 已知兩圓的半徑分別為3和4，圓心距取下列何值時兩圓相交（ ）
A 5 B 6 C 7 D 8
解析：套用三角形三邊關系定理，有4－3< d<4+3,可知圓心距在1～7之間的時候為相交，所以答案為B。2·1·c·n·j·y
例題9 已知兩圓相切，其中一個圓的半徑為5，圓心距為8，求另外一個圓的半徑（ ）
A 3 B 7 C 13 D 3或13
解析：兩圓相切對應的恰好是三點共線的情況，即等號成立的時候，所以答案為D。

三角形三邊關系定理的巧用
　　三角形三邊關系的定理“三角形兩邊之和大于第三邊”即對于△ABC，其三邊為a，b，c．根據定理應有a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a．如果我們要確定三條線段能否組成三角形，必須滿足a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a．三者缺一不可，一定不能僅僅根據其中“任意”兩邊之和大于第三邊就斷定該三條邊組成三角形，但是如果把三條線段長分別代入以上三個不等式，既顯得麻煩，又比較費時間，這個定理的應用有一定技巧，今介紹給初學幾何的學生，希望能有幫助．21教育網
　　怎樣應用三角形三邊關系定理呢？
　　1、如果已知c是a、b、c三線段中最大的線段，那么只要滿足a+b＞c就可以斷定三線段能構成三角形，而不必再考慮a+c＞b和b+c＞a了．21·cn·jy·com
　　例1下列有三組線段，判定哪組的三線段構成三角形？
　　(1)a=3，b=8，c=4．(2)a=5，b=6．c=11．(3)a=10，b=5，c=6．
　　解(1)因為三線段中b最大，且a+c=3+4=7＜8=b所以該三線段a，b，c不能構成三角形．
　　(2)因為三線段c最大，且a+ b= 11=c所以這三線段a．b，c不能構成三角形．
　　(3)因為三角形中a最大，且b+c=11＞10=a所以這三線段a，b，c能構成三角形．
　　=____．
　　分析：求值式需要先研究被開方式的底數和絕對值內的式子的正、負情況，再去掉根號和絕對值符號，就可求出結果．www.21-cn-jy.com
　　解：∵a、b、c是△ABC的三邊，由三角形三條邊的關系，有
a＜b+c，b＜c+a，c＜a+b，
　　即a-b-c＜0，b-c-a＜0，c-a-b＜0．
　　
　　｜b-c-a｜=-(b-c-a)，
　　｜c-a-b｜=-(c-a-b)．
　　∴求值式=[-(a-b-c)]+[-(b-c-a)]+[-(c-a-b)]=a+b+c．
　　2、在等腰三角形中，應考慮三邊的特殊性，要區別腰與底的關系，在已知兩邊求三角形的周長時要討論解的情況．21cnjy.com
　　例3一個等腰三角形的兩條邊長分別是10cm和5cm，求這個三角形的周長．
　　分析：在給出的條件中，沒有確定等腰三角形的腰和底，所以10cm長的邊既可能是底，也可能是腰，于是本題有兩解．2·1·c·n·j·y
　　解(1)當腰長10cm時，則底長5cm時，等腰三角形的周長是25cm．
　　(2)當底長10cm時，則腰長5cm，然而兩腰之和等于底邊(5+5=10)，所以此三角形不存在．【來源：21·世紀·教育·網】
　　答：這個三角形的周長是25cm．
　　3、若三線段能構成三角形且已知其中兩線段的長．求第三線段的取值范圍時，要把三邊關系定理與其推論(三角形兩邊的差小于第三邊)同時運用．21世紀教育網版權所有
　　例4已知三角形的兩邊長為 8cm，20cm，求第三邊長x的取值范圍？
　　解：根據三角形三邊關系定理及推論得：
20-8＜x＜20+8
12＜x＜28
　　答：第三邊長x的取值范圍在12cm到28cm之間(不包括12cm和28cm)．
　　　
　　例5已知如圖：D、E是△ABC內兩點．
　　求證 AB+AC＞BD+DE+EC．
　　證明：把線段DE向兩邊延長交AB于F點，交AC于G點．
　　根據三角形兩邊之和大于第三邊得
　　AF+AG＞FG即AF+AG＞FD+DE+EG，
　　又FB+FD＞BD，EG+GC＞EC
　　∴AF+AG+FB+FD+EG+GC＞FD+DE+EG+BD+EC
　　又∵AF+FB=AB，AG+GC=AC，
　　∴AB+AC+ED+EG＞FD+DE+EG+BD+EC，
　　即AB+AC＞BD+DE+EC．
　　練習：
　　
　　(答：2(a+b+c))
三角形內角和定理的幾種證明方法
三角形內角和定理? 三角形三個內角的和等干180°
已知：如圖已知△ABC
求證：∠A+∠B+∠C=180°。
證法一:作BC的延長線CD，過點C作CE∥BA，則∠1=∠A， ∠2=∠B 21教育網
又∵∠1+∠2+∠ACB＝180°? ∴∠A+∠B+∠ACB＝180°
證法二:過點C作DE∥AB，則∠1＝∠B，∠2＝∠A
又∵∠1+∠ACB+∠2＝180°∴∠A+∠ACB+∠B＝180°
證法三:在BC上任取一點D，作DE∥BA交AC于E，DF∥CA交AB于F，則有∠2＝∠B，∠3＝∠C,∠1＝∠4,∠4＝∠A21世紀教育網版權所有
∴∠1＝∠A 又∵∠1+∠2+∠3＝180°
∴∠A+∠B+∠C＝180°
證法四:作BC的延長線CD，在△ABC的外部以CA為一邊，CE為另一邊畫
∠1＝∠A，于是CE∥BA,∴∠B＝∠2
又∵∠1+∠2+∠ACB＝180°
∴∠A+∠B+∠ACB=180°
證法五: 過點C作CD∥BA，則∠1＝∠A
∵CD∥BA
∴∠1+∠ACB+∠B＝180° ∴∠A+∠ACB+∠B＝180°

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