資源簡介

對稱軸的歷史故事
瑞士數學家歐拉早年曾受過良好的神學教育，成為數學家后在俄國宮廷供職。
有一次，俄國女皇邀請法國哲學家狄德羅訪問她的宮廷。狄德羅試圖通過使朝臣改信無神論來證明他是值得被邀請的。女皇厭倦了，她命令歐拉去讓這位哲學家閉嘴。于是，狄德羅被告知，一個有學問的數學家用代數證明了上帝的存在，要是他想聽的話，這位數學家將當著所有朝臣的面給出這個證明。狄德羅高興地接受了挑戰。21教育網
第二天，在宮廷上，歐拉朝狄德羅走去，用一種非常肯定的聲調一本正經地說：“先生，，因此上帝存在。請回答！”對狄德羅來說，這聽起來好像有點道理，他困惑得不知說什么好。周圍的人報以縱聲大笑，使這個可憐的人覺得受了羞辱。他請求女皇答應他立即返回法國，女皇神態自若地答應了。就這樣，一個偉大的數學家用欺騙的手段“戰勝”了一個偉大的哲學家。21cnjy.com
拉普拉斯和拉格朗日是19世紀初法國的兩位數學家。拉普拉斯在數學上十分偉大，在政治上卻是一個十足的小人，每次政權更迭，他都能夠見風使舵，毫無政治操守可言。拉普拉斯曾把他的巨著《天體力學》獻給拿破侖。拿破侖想惹惱拉普拉斯，責備他犯了一個明顯的疏忽：“你寫了一本關于世界體系的書，卻一次也沒有提到宇宙的創造者——上帝。”21世紀教育網版權所有
拉普拉斯反駁說：“陛下，我不需要這樣一個假設。”
當拿破侖向拉格朗日復述這句話時，拉格朗日說：“啊，但那是一個很好的假設，它說明了許多問題。”
兩個神童19世紀初，在大西洋兩岸出現了兩個神童：一個是英國少年哈密頓，另一個是美國孩子科爾伯恩哈密頓的天才表現在語言學上，他8歲時就已經掌握了英文、拉丁文、希臘文和希伯萊文；12歲時已熟練地掌握了波斯語、阿拉伯語、馬來語和孟加拉語，只是由于沒有教科書，他才沒有學習漢語。科爾伯恩則在數學上表現出神奇的天才，小時候，有人問他4294967297是否是素數時，他立刻回答不是，因為它有641作為除數。類似的例子多得不勝枚舉，但他不能解釋他得出正確結論的過程。21·cn·jy·com
人們把兩個神童帶到一起，這次會面是奇妙的，現在已經無法確知他們交談了什么，但結果卻是完全出人意料的：科爾伯恩的數學天賦完全“移植”給了哈密頓；哈密頓放棄了語言學，投身數學，成為愛爾蘭歷史上最偉大的數學家。 至于科爾伯恩，他的天才漸漸消失了。www.21-cn-jy.com
數學家之死挪威數學家阿貝爾22歲的時候就對數學的發展做出了重大的貢獻，但并不為當時的數學界所接受。他過著窮困潦倒的生活，這嚴重地影響了他的健康，他得了肺結核，這在當時是絕癥。在最后的幾個星期，他一直在考慮他的未婚姐的未來。他寫信給他最好的朋友基爾豪：“她并不美麗，有著一頭紅發和雀斑，但她是一個可愛的女子。”雖然基爾豪和肯普從未見過面，但阿貝爾希望他們兩個能夠結婚。2·1·c·n·j·y
肯普小姐照料阿貝爾度過了生命的最后時刻。在葬禮上，她與專程趕來的基爾豪相遇了。基爾豪幫助她克服了悲傷，他們相愛并結了婚。正如阿貝爾所希望的那樣，基爾豪和肯普婚后十分幸福，他們經常到阿貝爾墓前去懷念他。隨著歲月的流逝，他們發現越來越多的人從各地趕來，為阿貝爾在數學上的貢獻向他表達他們遲到的敬意，而他們只是這一朝圣隊伍中的一對普通的朝圣者。
1832年5月29日，法國年輕氣盛的伽羅瓦為了所謂的“愛情與榮譽”打算和另外一個人決斗。他知道對手的槍法很好，自己獲勝的希望很小，很可能會死去。他問自己，如何度過這最后的夜晚？在這之前，他曾寫過兩篇數學論文，但都被權威輕蔑地拒絕了：一次是被偉大的數學家柯西；另一次是被神圣的法蘭西科學院他頭腦中的東西是有價值的。整個晚上，他把飛逝的時間用來焦躁地一氣寫出他在科學上的遺言。在死亡之前盡快地寫，把他豐富的思想中那些偉大的東西盡量寫出來。他不時中斷，在紙邊空白處寫上“我沒有時間，我沒有時間”，然后又接著寫下一個極其潦草的大綱。【來源：21·世紀·教育·網】
他在天亮之前那最后幾個小時寫出的東西，一勞永逸地為一個折磨了數學家們幾個世紀的問題找到了真正的答案，并且開創了數學的一個極為重要的分支——群論。21·世紀*教育網
第二天上午，在決斗場上，他被打穿了腸子。死之前，他對在他身邊哭泣的弟弟說：“不要哭，我需要足夠的勇氣在20歲的時候死去。”他被埋葬在公墓的普通壕溝內，所以今天他的墳墓已無蹤跡可尋。他不朽的紀念碑是他的著作，由兩篇被拒絕的論文和他在死前那個不眠之夜寫下的潦草手稿組成。
數學家的問題費馬是17世紀法國圖盧茲議會的議員，一個誠實而勤奮的人，同時也是歷史上最杰出的數學業余愛好者。在其一生中，他給后代留下了大量極其美妙的定理；同時，由于一時的疏忽，也向后世的數學家們提出了嚴峻的挑戰。www-2-1-cnjy-com
費馬有一個習慣，他在讀書的時候喜歡把思考的結果簡略。有一次，他在閱讀時寫下了這樣的話：“……將一個高于2次的冪分為兩個同次的冪，這是不可能的。關于此，我確信已發現一種美妙的證法，可惜這里空白的地方太小，寫不下。”這個定理現在被命名為“費馬大定理”，即：不可能有滿足xn＋yn=zn這就是費馬對后世的挑戰。為了尋找這個定理的證明，后世無數的數學家發起了一次又一次的沖鋒，但都敗下陣來。1908年，一位德國富翁曾經懸賞10萬馬克的巨款，獎勵第一個對“費馬大定理”完全證明的人。自此定理提出后，數學家們奮斗了300多年，還是沒有證出來。但這個定理肯定存在，費馬知道它。
在數學上，“費馬大定理”已成為一座比珠穆朗瑪峰更高的山峰，人類的數學智慧只有一次達到過這樣的高度，從那以后，再也沒有達到過。
5.4 《利用軸對稱進行設計》拓展資源
一、閱讀資料
《藝術作品中的對稱》
許多著名畫家在作品中運用簡單的圖形創造出了奇妙的韻意。法國著名畫家V·瓦薩雷利于1969年創作出了名畫《委加·派爾》，畫中僅僅用了圓形圖案，就形成了一幅動態的軸對稱圖形！21世紀教育網版權所有
在從古至今的藝術創作中，不僅畫家大量運用了對稱，許多別的藝術家也經常運用對稱的手法。如雕刻家威廉斯多佛1971年在加蓬《非洲人的設計》中創作的“木制衛兵雕像”就是典型的雕刻藝術中的對稱。21教育網
二、拓展練習
練習1：分別以虛線為對稱軸畫出下列各圖的另一半，并說明完成后的圖形可能代表什么含義。
練習2：利用一條線段，一個圓，一個正三角形設計一個軸對稱圖案，并闡明設計意圖。
跳舞的女孩 路燈 交通標識
練習3：下圖是由四個小正方形組成的L形圖案，請你再添加一個小正方形使它們能組成一個軸對稱圖形。(給出三種不同的作法)
奇妙的對稱
我們生活在一個充滿對稱的世界里：一個雪花晶體是對稱的，一只蝴蝶的雙翼是對稱的，一朵梅花的花瓣是對稱的，一個酒瓶是對稱的，英文字母“A”呈左右兩邊對稱，漢字“中”的對稱性更強，你上下左右顛倒，它都是一樣的；而“○”則是所有對稱之最，因為你無論怎樣旋轉它，“○”總是“○”——這是人造的對稱。此外，還有一種被物理學家稱之為動態的對稱，如在微觀世界里，粒子的正負電子交換是對稱的，質子與中子處于某種動態的對稱中。
為什么自然界也如此偏愛對稱？又是誰設計了這眾多的高度完美的對稱？科學家們對這一自然之謎提供的一個簡單解釋是：也許由大量同一的“零件”構成的。大自然本身是在宇宙的“生產線”上“大批量”生產出來的，為了“制造”的簡捷和方便，也許宇宙也遵循某種“最優化的原則”。為什么會如此？這本身乃是一個更大的謎。21世紀教育網版權所有
一些科學家認為，包括我們人類在內的宇宙有著深層的數字結構，遵循著某種我們還難以理解的對稱的原則，古希臘哲人柏拉圖曾說：“上帝是一個幾何學家。”量子力學的先驅之一保爾·狄拉克也說：“上帝自然是一個高明的數學家，它運用高深的數字原則來建造宇宙，而且比我們人類造得更好。”而對于這一切我們了解得又是多么的有限！21教育網
宇宙充滿了對稱，宇宙同時也充滿了不對稱或被打破了的對稱。液態水分子有一種球性的對稱，這是水之所以能流動的奧秘所在，但當水受冷結冰時，這種完美的對稱就被破壞，而轉變成一種低層次的如雪花晶體般的六邊形的新的對稱。21cnjy.com
現代宇宙學已告訴我們，我們的宇宙始于150億年前的一次大爆炸，在大爆炸不可思議的一瞬，宇宙是一個能量極高的球形對稱物，隨著爆炸后物質的不斷擴展和溫度的慢慢降低，宇宙的這種原始的對稱被破壞，并開始在新的層次上形成某些新的對稱，如星系的螺旋形對稱及行星本身的球形的對稱。這些星系聚集成如同氣泡一樣的簇叢，圍繞著一個難以捉模的可怕的空洞。這種由原始的對稱的宇宙演變成巨大的不對稱的宇宙的原因仍是科學家們激烈爭論的一個問題。
同樣，大自然中的對稱也以多種多樣的方式被打破，例如豹、狗、貓身上的斑點與花紋并不嚴格對稱，比目魚的兩個眼睛長在一邊，而我們人類的心臟位于胸腔的左邊，也將外部形體的對稱打破。21·cn·jy·com
除了這種形體位置的不對稱外，還有一種有趣的時間上的不對稱，如大多數鳥飛行時都是同時拍打雙翅的，但燕子和蝙蝠卻是奇怪地交替著拍打雙翅。
這種對稱與不對稱的奇妙，變換成了新崛起的混沌學研究的一個課題。在混沌學中，一個極小的能量波動都能以極快的速度成倍地放大。譬如，甚至在南美圭亞那雨林中的一只蝴蝶的拍翅與北美堪薩斯州的一陣旋風也可能有某種復雜的因果關系，而這則是任何一個氣象學家都難以預知的。混沌學研究的對象也許可以這樣來形容：在無風的天氣里，從一只點燃的雪茄上飄起的輕煙能直線地升起，然后這種對稱慢慢地被輕微的空氣運動打破，逐漸消解為混亂的越來越薄的煙霧。混沌學就是研究這種數字和物理世界中的對稱結構是如何走向混沌的。
奇妙的對稱美
北京紫禁城內的古建筑群非常注重對稱美。通過紫禁城的核心位置，貫穿著一條中軸線：從外城永定門開始，經過內城正陽門，然后進入宮廷廣場的大明門（清朝改為“大清門”，辛亥革命后又改為“中華門”），穿過廣場，便是皇城上的承天門（即現在的“天安門”），承天門內有端門，端門以內迎面而來的才是紫禁城正面的午門，又叫五鳳樓。在這條中軸線的東西兩段，對稱排列著內外兩城最重要的建筑群，東面是天壇，西面是山川壇（后改稱“先農壇”），以及太廟和社稷壇（即如今的“勞動人民文化宮”和“中山公園”）。進入午門之后，所有建筑物都采用了更加嚴格的對稱排列形式。其中，只有代表皇權統治中心的前朝三大殿——太和殿、中和殿、保和殿，及內廷后三宮——乾清宮、交泰殿、坤寧宮，才端端正正地布置在正中央，且每座大殿上的蟠龍寶座，都坐落在中軸線上。21教育網
對稱也是藝術家們創造藝術作品的重要準則。像中國古代的近體詩中的對仗、民間常用的對聯等，都有一種內在的對稱關系。對稱還是自然界的一種普遍現象，不少植物、動物都有自己的對稱形式。比如，人體就是以鼻尖、肚臍眼的連線為對稱軸的對稱形體，眼、耳、鼻、手、腳都是對稱生長的。眼睛的對稱使人觀看物體能夠更加準確；雙耳的對稱能使所聽到的聲音具有較強的立體感，以確定聲源的位置；雙手、雙腳的對稱能保持人體的平衡。www-2-1-cnjy-com
生活中的對稱美也彼彼皆是，鬧鐘、飛機、電扇、屋架等的功能和屬性完全不同，但是它們的形狀態卻有一個共同特征——對稱。人們把鬧鐘、飛機、電扇制造成對稱形式，不僅為了美觀，而且還有一定的科學道理：鬧鐘的對稱保證了走時的均勻性，飛機的對稱使其能夠在空中保持平衡。2-1-c-n-j-y
無論是藝術家的創造，還是日常生活中圖案的設計，都有對稱的身影。初步掌握對稱的奧妙，不僅可以幫助我們發現一些圖形的特征，還可以使我們感受到自然界的美與和諧，并能根據自己的設想創造出對稱的作品，裝點我們美麗的生活。21*cnjy*com
只要你細心觀察，就不難發現：對稱就在我們身邊。
數學美的和諧之對稱美??
對稱美是一個廣闊的主題，在藝術和自然兩方面都意義重大。數學則是它根本。美和對稱緊密相連。
雖然數學沒有明顯地提到善和美，但善和美也不能和數學完全分離。因為美的主要形式就是秩序、勻稱和確定性，這些正是數學所研究的原則。
在數學中，對稱的概念略有拓廣（常把某些具有關聯或對立的概念視為對稱），這樣對稱美便成了數學美中的一個重要組成部分，同時也為人們研究數學提供了某些啟示。“對稱”實在是一件不容易發生的事，因為自然界的現象，人類覺得它有對稱，一方面是很自然的，一方面以要追求它的準確性。自然是否呈現“對稱”曾被歷史上的哲學家們長期地爭論過。【來源：21cnj*y.co*m】
對稱的概念源于數學（更確切地講是歐幾里得幾何）。對稱在天文學（甚至自然界）上的研究，則始于兩千多年前的古希臘人。古希臘人十分留意各種“對稱”現象，以至他們竟創立了一種學說，認為世界一切規律都是從對稱來的，他們覺得最對稱的東西是圓，所以他們把天文學中的天體的運行軌道畫成圓，后來圓上加圓，這一來就發展為希臘后來的天文學。
自然似乎巧妙地利用了對稱規律的簡單的數學表示，數學推理的內在的優美和出色的完善，以及由此而來的用數學推理去揭示物理學理論的復雜性和深度，是鼓舞物理學家的豐富源泉，人們期望自然界具有人們所希望的規律性。
“對稱”在數學上的表現是普遍的：軸對稱、中心對稱、對稱多項式等，從奇偶性上或可分解性上區分數也可以視為對稱，從運算關系角度看互逆運算也可看為對稱關系，“共軛”概念也蘊含著“對稱”性，“對偶”關系也可視為“對稱”的一種形式。自然對數的產生也是因為受到常用對數的真數與對數的增長不對稱（勻稱）性的啟發而產生的。【出處：21教育名師】
笛沙格（Desargues）定理和它的對偶情形（1825年，葛爾剛J.D.Gergonne）笛沙格（Desargues）定理笛沙格（Desargues）定理的對偶如果兩個三角形，連接其對應頂點的直線過同一點，則對應邊相交的三個點在同一直線上。如果兩個三角形，連接其對應頂邊的點在同一條直線上，則其對應頂點的三條連線過同一點。帕斯卡（Pascal）定理及其對偶化（施坦納J.Steiner）帕斯卡（Pascal）定理帕斯卡（Pascal）定理的對偶在點圓錐曲線上取六個點A、B、C、D、E、F，若A、B連線與D、E連線交于一點P，B、C連線與E、F連線交于一點Q，C、D連線與F、A連線交于一點R，則P、Q、R三點在同一直線l上。在線圓錐曲線上取六條直線a、b、c、d、e、f，若a、b交點與d、e交點連線為p，b、c交點與e、f交點連線為q，c、d交點與f、a交點連線為r，則p、q、r三線過同一點L。
對稱是數學們長期追求的目標，甚至有時把它作為一種尺度。數學中不少概念與運算，都是由人們對于“對稱”問題的探討派生出來的。數學中的對稱美除了作為數學自身的屬性外，也可以看成啟迪人們思維、研究問題的方法。?在其它科學領域很多科學家也是因為堅信宇宙美具有對稱性這一特點，作出了許多劃時代意義的科學發現。在“五維空間”中存在著我們的宇宙和另外一個“隱藏”的宇宙（對稱的宇宙），這個新理論是由美國普林斯頓大學、賓西法尼亞大學和英國劍橋大學的物理學家共同提出的，他們認為：我們的宇宙和一個“隱藏”的宇宙共同“鑲嵌”在“五維空間”中，在我們的宇宙早期，這兩個宇宙發生了一次碰撞，相撞產生的能量生成了我們宇宙中的物質和能量。
數學模型的對稱之美
在數學中，對稱活躍地存在于各種模型里。線性函數、基本初等函數、平面及立體幾何……對稱的圖形中，又可以演繹出軸對稱和中心對稱兩大類。在代數中，函數以其實用的功能與奇妙的變換為人們所熟悉和喜愛，其中一個很重要的原因，是它的對稱性。在線性代數的矩陣中，對稱引導著問題的解決方向。從自然界象出來的數學，更是賴對稱以存在的。21世紀教育網版權所有
關鍵詞：對稱 ;平面及立體幾何 ;線性函數 ;基本函數 ;數學公式
?如我們所知，在自然界中，對稱作為一種物態的表現形式，可以說無處不在。蝴蝶美麗的雙翼，各類獸、禽的五官肢體，甚至皮毛的紋理，都蘊含著對稱的因素。同樣的，在數學中，對稱亦然活躍地存在于各種模型里。線性函數、基本初等函數、平面及立體幾何……無處難覓其蹤影。在這里，我愿以己之拙筆，表達出對于這種存在于數學中的對稱之美的感悟和體會。21·cn·jy·com
在二維的空間內，我們可以信手勾勒出很多別致的圖形，或對稱，或不對稱。對稱的圖形中，又可以演繹出軸對稱和中心對稱兩大類。軸對稱，顧名思義，即以一條直線為軸，兩側圖形相同，一側的圖形沿軸線翻轉，與另一側的圖形完全重合。典型如矩形，等腰三角形。再看中心對稱，以一點為中心，將一圖形繞其旋轉180°得另一圖形，那么兩圖形即關于這一點成中心對稱。典型如平行四邊形。同時屬于軸對稱和中心對稱的圖形，如正方形、圓形、菱形，給人以地納方圓的大氣之感；而只屬于其中一種的對稱圖形，三角形、矩形、平行四邊形，卻顯得簡單而靈動。這些不同類型的基本圖形的組合，便可以融匯厚重與靈活于一體，帶給我們視覺上的享受。www.21-cn-jy.com
進一步來看，在立體幾何圖形中，對稱更是屢見不鮮。敦實的立方體、圓柱體，圓潤光滑的球體，活潑有生機的錐體……無一不深刻地體現著對稱的美麗。還有許多組合體，如圓錐和圓柱的組合體，給人以無限遐思想象的空間。
在代數中，函數以其實用的功能與奇妙的變換為人們所熟悉和喜愛。其中一個很重要的原因，卻常常很難為人所察覺，便是它的對稱性。如幾個基本函數：??? y=x，y=xa，y=sinx,y=cosx，圖像關于原點或y軸對稱。再如y=logax(a>o),隨著a的取值從（0，1）變到（1，∞），在圖像上形成了關于x軸的對稱；y=ax,隨著a的取值從（0，1）變到（1，∞），形成關于y軸對稱的圖像。更加清晰的是反函數，一對互為反函數的函數圖像關于y=x對稱,如y=logax(a>0,x>0)和y=ax(a>0)。由于其易于被駕馭和應用的對稱性，函數被廣泛應用于生產和生活的各個領域——如企業、公司的商務統計，對于產品的市場反饋調查，精密儀器的制造，甚至于個人的家庭理財，都可以見到函數的身影。
在線性代數的矩陣中，對稱更是樂此不疲地出現，引導著問題的解決方向。為人們所喜愛的三階單位矩陣，以主對角線為軸，兩側成對稱。如果求所給矩陣的逆，依然要用到單位矩陣。如求一矩陣的逆，先將其擴充為原矩陣和其單位矩陣的合矩陣，通過一系列的變換后，成為單位矩陣在前、新矩陣在后的合矩陣，新矩陣即為所求矩陣。不難發現，這一過程包含著對稱的形式——擴充后的矩陣與求解后的矩陣，單位矩陣的位置正好相反。在三階行列式的計算中，運用克拉默法則，從左上開始，沿對角線相乘得a,第一行第二列、第二行第三列、第三行第一列的數相乘的b,第二行第一列、第三行第二列、第一行第三列的數相乘得c,用a+b+c,再減去與之關于中心數相對稱的各項數乘，便求得行列式值。足見，對稱之美整齊而有章法。2·1·c·n·j·y
在一些為我們所熟悉的公式中，對稱也不厭其煩地活躍著。簡單如我們最初所學的a+b=b+a,（a+b）c=a/b+a/c,復雜如后來變化的（a+b）2=a2+2ab+b2,(a-b)(a+b)=a2-b2.藏在每個公式中，不易察覺，卻能深刻地感受到它的存在。【版權所有：21教育】
蝴蝶少了一只翅膀的會人感到難過，數學中如果少了對稱，就會枯燥而乏味，令人迷茫而不知其所云爾爾，失去探究的樂趣。當然，這是永遠不會出現的，因為對稱已經深深地根植于大千世界，從自然界被抽象出來的數學，更是賴對稱以存在的。21教育名師原創作品
對稱的形象，像花一樣灑遍數學的沃土，在充斥著拉丁字母、阿拉伯數字、希臘運算符的天地中，散發著獨特的香氣。我們在尋找著一種超越數學本身邏輯性，來解釋不變的定律的同時，也體會到了對稱作為一種物質存在形式的獨特魅力。21*cnjy*com
這就是對稱所詮釋的數學之美。
奇妙的對稱圖
這幾天，懶羊羊發現美羊羊畫出的圖形都是一連串的，非常的漂亮，也非常的羨慕，羨慕美羊羊的心靈手巧。
今天特地來向美羊羊討教畫相同圖的畫法。美羊羊知道了懶羊羊來意以后，隨手拿了一張紙，對折了一下，用彩筆靠近折痕邊慢慢畫著，接著用剪刀沿著畫的痕跡，剪著剪著，一個漂亮的星星出現在懶羊羊面前。
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 “太神奇了。”懶羊羊驚嘆道，“你剛才就只畫了半邊，剪下來的就是整個星星了呀！”
“這種沿著中間的這道折痕正好左右兩邊完全重合的圖形，我們把它叫做軸對稱圖形。這條折痕所在的直線就是這個星星圖的對稱軸。”美羊羊看著滿臉驚喜的懶羊羊說，“你給我半個星星，我不對折，還也能把它的另一半也畫出來呢!”
“那要是能掌握這樣的本領，那可以真是太牛了！你畫給看看！”懶羊羊越來越佩服美羊羊了。
“為了方便畫圖，我首先把這半個星星的放在一個方格圖中。”美羊羊迅速在一張白紙上畫出了方格圖和半個星星，見圖1。21cnjy.com
“先找到星星的關鍵點，以這個A點為例（圖2）。這個點在這個對稱軸的左邊，距離對稱軸只有一個格子的距離。那么我就在對稱軸的右邊，距離一格的地方也點上一個點。這個點就是剛才這個A點的對稱點（圖3）。”美羊羊非常有耐心地向懶羊羊講述著過程，“剩下的點，你能找到嗎？”美羊羊給懶羊羊出難題了。【來源：21·世紀·教育·網】
“沒有問題，你看我的。”懶羊羊不假思索地說。
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懶羊羊嘴里嘀咕著：“先找到這個關鍵點，然后數出這個關鍵點到對稱軸的距離，接著在對稱軸的另一邊同樣的位置數出同樣的距離，就找到這個關鍵點的對稱點了。”很快懶羊羊就找到了所有關鍵點的對稱點，按照原來圖，連接起所有的對稱點，一個漂亮的星星圖躍然紙上（圖4）。21·世紀*教育網

“你真是太棒了！”美羊羊沖著懶羊羊豎起了大拇指。
“都是你的方法好！”懶羊羊不好意思的笑了起來，臉上還帶著一些自豪。
數學中的對稱美
對稱性是數學美的最重要的特征。 幾何中的軸對稱、中心對稱，代數中的許多運用都能給人以美感。發掘學生對數學的審美能力，這對引發學生的數學興趣和學習上都有很大的幫助。許多數學教師在教學中關注怎樣利用數學中的對稱美,提高學生學習數學的興趣,提高解題的能力。我認為,數學教師在教學中,更要注意引導學生利用對稱美提出問題,進行數學創新。這樣做,有利于學生跳出題海,掌握學習的主動權。一 ：代數中的對稱美：常出現在規律運算、數列運算、函數運算中例如1： “回文數”是一種數字，也是一種對稱數。如:98789，這個數字正讀是98789，倒讀也是98789，正讀倒讀一樣，所以這個數字就是回文數。計算111111111×111111111的值解：我們最常見的一組算式：1×1=1???????????????????????? 11×11=12111×111=12321??????????????????1111×1111=1234321從上述計算中得出對稱規律可得：111111111×111111111=12345678987654321例如2、計算 ：1 + 2 + 3 +┅ + 100引導學生利用數學對稱美來解。解：設????x = 1 + 2 + 3 + ┅ + 100????????①倒過來x = 100 + 99 + ┅ + 1???????? ②① + ② 得??2x = 101 × 100????????∴?? x = 5050即：1 + 2 + 3 + ┅ + 100 = 5050例如3、已知正比例函數 與反比例函數 的一個交點是（2，3），則另一個交點是（?? ，??）.分析：因為正比例函數 與反比例函數 都是關于原點中心對稱圖形，從而它們的交點也是關于原點中心對稱。所以另一個交點是（ －2，－3??）.例如4、 如圖，請寫出△ABC中各頂點的坐標．在同一坐標系中畫出直線m：x=-1，并作出△ABC關于直線m對稱的△A′B′C′．若P（a，b）是△ABC中AC邊上一點，請表示其在△A′B′C′中對應點的坐標．???????????????????? ????分析：直線m：x=-1表示直線m上任意一點的橫坐標都等于-1，因此過點（-1，0）作y軸的平行線即直線m．畫出直線m后，再作點A、C關于直線m的對稱點A′、C′，而點B在直線m上，則其關于直線m對稱的點B′就是點B本身．????解：（1）△ABC中各頂點的坐標分別是A（1，4）、B（-1，1）、C（2，-1）????（2）如右圖，過點（-1，0）作y軸的平行線m，即直線x=-1．????（3）如右圖，分別作點A、B、C關于直線m對稱的點A′（-3，4）、B′（-1，1）、C′（-4，-1），并對順次連接A′、B′、C′三點，則△A′B′C′即為所求．????（4）觀察發現三組對稱點的縱坐標沒有變化．而橫坐標都可以表示為2×（-1）減去對應點的橫坐標．所以點P的對應點的坐標為（-2-a，b）。????注意：2×（-1）中的-1即對稱軸x=-1．若對稱軸不是x=-1，而是y=2，相信聰明的你是一定能作出對稱的三角形的，也一定能發現其中坐標變化的規律．二、幾何中的對稱美：“對稱”在數學上的表現則是普遍的，幾何上平面的情形有直線對稱（軸對稱）和點對稱（中心對稱），空間的情形除了直線和點對稱外，還有平面對稱。正偶邊形既是中心對稱圖形又是軸對稱， 正奇邊形不是中心對稱圖形但是軸對稱。比如正方形既是軸對稱圖形（以過對邊中點的直線為軸），以是中心對稱圖形（對角線的交點為對稱中心），圓也是。??例如1：在銳角∠AOB內有一定點P，試在OA、OB上確定兩點C、D，使△PCD的周長最短．????分析：△PCD的周長等于PC+CD+PD，要使△PCD的周長最短，根據兩點之間線段最短，只需使得PC+CD+PD的大小等于某兩點之間的距離，于是考慮作點P關于直線OA和OB的對稱點E、F，則△PCD的周長等于線段EF的長．作法：如圖．①作點P關于直線OA的對稱點E；②作點P關于直線OB的對稱點F；③連接EF分別交OA、OB于點C、D．則C、D就是所要求作的點．????證明：連接PC、PD，則PC=EC，PD=FD．????在OA上任取異于點C的一點H，連接HE、HP、HD，則HE=HP．∵△PHD的周長=HP+HD+PD=HE+HD+DF>ED+DF=EF而△PCD的周長=PC+CD+PD=EC+CD+DF=EF∴△PCD的周長最短．例如2：作圖設計，村莊A、B位于不平行的兩條小河的兩側，若要在兩條小河上各架設一座與河岸垂直的橋，并要使A到B的路程最近，問橋應架在何處？解：此題看來很復雜，但利用對稱的原理來稍做改變，問題就可以迎刃而解了．設河岸為L1、L2、L3、L4，L1//L2，L3//L4，作AA1⊥L1，BB1⊥L3，使AA1的長為L1與L2之間的距離．連接A1B1交L2于A2，交L3于B2，則A2、B2就是加橋的地址，再從A2、B2出發作兩座橋．對稱美在數學解題中有重要的應用,在解題過程中注意到對稱性,則可以以簡馭繁,化難為易,提高解題效率,達到事半功倍的效果. 21世紀教育網版權所有

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