資源簡介

專題講座
小學數學“分數、小數和百分數”的教學研究與案例評析
一、《課標》中分數、小數、百分數內容的理解
分數、小數的認識分散安排在兩個學段，第一學段是分數和小數的初步認識；第二學段是認識分數和小數概念。百分數的認識安排在第二學段。《標準》中與分數、小數和百分數的認識有關的內容要求如下：
第一學段：能結合具體情境初步認識小數和分數，能讀、寫小數和分數。能結合具體情境比較兩個一位小數的大小，能比較兩個同分母分數的大小。
第二學段：結合具體情境，理解小數和分數的意義 , 理解百分數的意義（參見例一）；會進行小數、分數和百分數的轉化（不包括將循環小數化為分數）。能比較小數的大小和分數的大小。
分數、小數是數的概念的一次重要擴展，與學習整數相比，學生對于分數、小數的學習要困難得多。分數、小數無論在意義、書寫形式、計數單位、計算法則等方面，還是在學生的生活經驗等方面，都與自然數有較大不同。分數、小數的學習重點在于，結合學生的生活經驗，初步理解分數和小數意義，能夠認、讀、寫小數和分數。
分數與小數的共同點都是有理數，并且本質上小數是特殊的十進制分數。分數有兩個含意，一是表示部分與整體的關系，是一個比率，比如，把一個月餅等分為 5 份，那么其中的一份是 1/5 ，兩份是 2/5 。分數還是一種無量綱的數，也就是說，無論是一塊小月餅還是一個大蛋糕，如果分五份的話，那么每一份都是 1/5 ，與整體本身的大小無關。應當注意到的是，通過等分得到分數單位：前面所述的 1/5 就是分數單位，而 2/5 表示的是兩個分數單位： 2/5 = 2 × 1/5 =1/5 + 1/5 。分數的另一個含意是表示一個具體的量，如 1/3 米， 1/3 千克等。分數大多數情況下是用來表示一個比率，因此，分數的第一種表示在實際教學應當成為重點。小數表示的是具體的數量，和整數一樣是數量的抽象。
在分數的意義中，分數單位很重要。利用分數單位，容易得到同分母分數的加法： 1/5 + 2/5 = 3/5 。這個運算表示的是：一個分數單位加上二個分數單位等于三個分數單位。對于分母不同的分數的大小比較以及加法運算，必須對原有的分數單位進一步等分。比如，對分了 5 份的月餅的每份再二等分，得到的新單位是原來整體的 1/10 ，即 1/5 × 1/2 = 1/10 。原來單位與新單位的關系是 1/5 = 2/10 ；進一步，原來單位的兩份等價于新單位的四份： 2/5 = 2 × 1/5 = 2 × 2/10 = 4/10 。正是因為這個原因，才有通常所說的分數的性質：分數的分子和分母同時擴大或者縮小相同倍數，分數大小不變；分母不同的分數的大小比較可以化為分母相同的分數比較，進而得到一般的異分母分數的加法運算法則。
小數的表征形式與整數相似，都是十進制。如果以個位為基礎，向左擴展就是十位、百位、千位；如果向右擴展就是十分之一位（十分位），百分之一位（百分位）等。從這個意義上說，對小數的理解比對分數的理解更容易一些。
百分數是特殊的分數，其數量上的意義與分數完全相同。由于百分數在實際應用中的特殊性，因此，將百分數作為一個專門的內容學習。所以學習百分數的重點在于應用，用百分數表示現實生活中的實際問題。
小數和分數的學習分為兩個學段，第一學段是小數和分數的初步認識，第二學段是小數的意義和分數的意義的理解。兩個學段的重點不同，呈現的方式和學習的方式也應當有區別。第一學段的初步認識在于從實際情境中具體的了解小數和分數，重在現實情境的選擇和運用。如小數的認識一般從物品的標價引入。以元為單位， 3.5 元就表示 3 元 5 角。分數的初步認識是從分物體出發，把一個餅、一個蘋果平均分成 5 份，一份就是它的 1/5 。第一學段的初步認識可以先認識分數，再認識小數。知道 1/10 ，再理解 0.1 就更容易一些。而在第二學段也可以先認識小數的意義，再認識分數的意義。因為，接下來的運算問題，小數要比分數容易，小數的運算過程與整數基本相同，分數的計算要復雜得多。
在學習了小數、分數和百分數之后，應當使學生了解它們之間的關系。可以通過具體的問題幫助學生了解分數、小數和百分數的含義，以及它們的聯系。
例一：說明 ， 0.25 和 25% 的含義。 (《標準》例 25)
在這個例子中，使學生了解，分數、小數和百分數都是有理數的常用表示方法，但含義是有所不同的。真分數通常表示部分與整體的關系，如全班同學人數的 ；小數通常表示具體的數量，如一支鉛筆 0.25 元；百分數是同分母（統一標準）的比值，便于比較，如去年比前年增長 21% ，今年比去年增長 25% 。希望學生能夠理解它們的含義，在生活中能夠合理使用。
二、核心內容的深層理解與教學策略
（一）分數的意義
德國數學家克羅內克有一句名言：“上帝創造了自然數，其余都是人造的。”第一個“人為”的數是正分數。 早在人類文化發展的初期，由于進行測量和均分的需要，人們引入并使用了分數。在拉丁文里，“分數”一詞源于 frangere ，是打破、斷裂的意思，因此分數也曾被人叫做“破碎的數”。在數的歷史上，分數幾乎與自然數同樣古老，在各個民族最古老的文獻里，都能找到有關分數的記載，然而，分數在數學中傳播并獲得自己的地位卻用了幾千年的時間。
問題 1 ：小學階段分數擴充緣于什么需要？分數的作用是什么？分數的無量綱性的意義是什么？
分數的擴充一般由兩種需要： 一是分東西的過程中 ，需要對一個物體進行切割與分配時，整體中的“部分”無法用自然數來表示，就需要有刻畫“部分”的方式方法； 二是計算過程中，“2÷3= ？”無法用自然數表示計算的得數，就需要有刻畫這類除法運算結構的方式方法。
分數的兩個作用： 一個是作為有理數出現的一種數 ，作為運算中出現的一種數，它能和其他的數一樣參加運算。 另一個作用是以比例的形式出現的數 。最重要的分數是真分數，它代表一件事物的一部分，其本質在于它的無量綱量性。比如：盤子大小的 1/2 代表的實際意義，與足球場大小的 1/2 代表的實際意義是不盡相同的，但在討論分數時是等價的。
關于分數的無量綱性：“量綱”一詞來源于物理，比較通俗地解釋是：基本物理量的度量單位，例如長短、體積、質量、時間等等的單位。這些單位反映物理現象或物理量的度量，叫做“量綱”。無量綱就是沒有單位的量。通常是比值或者概率。分數的本質在于它的無量綱性，即用分數表示部分與整體的關系時，不需要考慮物體的形狀、大小，只看把這個物體或整體平均分成了幾份，要表示這樣的幾份，分母、分子就對應的是幾。
分數的無量綱性的意義在于，能夠把事物的許多不可比的狀態變成可比的狀態。例如：一個小國家的老百姓的生活質量和富有程度，與一個大國家的老百姓的生活質量和富有程度，在很多情況下并不是可比的，但是，一旦轉換成人均 GDP ，得到了 GDP 指數，或者得到恩格爾系數就可以進行相互之間的比較了。通常用百分數來表示這種增長率：增長率 =[ （今年 GDP– 去年 GDP ） / 去年 GDP]×100% 。
問題 2 ：分數的意義可以從哪些基本維度理解？
北京教育學院的張丹老師對分數從兩個基本維度和四個具體方面進行了解釋，這對我們理解分數有很大的啟發。兩個維度一個是比，一個是數。四個具體方面是比率、度量、運作、商。具體來說：
1. 比率：是指部分與整體的關系和部分與部分的關系。
其中部分與整體的關系更多地體現在真分數的含義中。例如一個圓平均分成 4 份，每一份是整體的 1/4 。又如，一個長方形面積是整個長方形的 1/3 ，整體圖形的面積應該是多少？顯然，整體圖形的面積應該是這樣的三份。這里的 1/4 和 1/3 所反映的就是取的份數與整體份數之間的關系。
部分與部分之間的關系更多地表現為是一種“記號”。例如小紅有 5 個蘋果，小麗有 3 個蘋果，小紅的蘋果是小麗的 5/3 倍。對比率維度的理解，可以幫助學生完成對分數的基本性質以及通分、約分等相關知識的正確認識。
2．度量：指的是可以將分數理解為分數單位的累積。例如 3/4 里面有 3 個 1/4 ，就是用分數 1/4 作為單位度量 3 次的結果。“數起源于數，量起源于量。”自然數主要用于數個數，即離散量的個數。當測量連續量（如物體的長度）時，先需要選定度量單位，數被測物體中包含多少個度量單位，不能數盡，為了得到更準確的值，把原來的度量單位分割為更小的度量單位（平均分為 10 等份，以其中一份作為新的度量單位）
3．運作：主要指的是將對分數的認識轉化為一個運算的過程。例如，想知道 6 張紙的 2/3 是多少張紙，學生將理解為整體 6 張紙的 2/3 ，即將 6 張紙這個整體平均分成 3 份，取其中的 2 份，列出算式就是 6÷3×2 ，也就是 6×2/3 。
4．商：這個維度主要是指分數轉化為除法之后運算的結果，它使學生對于分數的認識由“過程”凝聚到“對象”，即分數也是一個數，也可以和其他數一樣進行運算。
問題 3 ：學生理解分數可以借助哪些模型？
1. 分數的面積模型：用面積的“部分 —— 整體”表示分數。兒童最早是通過部分 —— 整體來認識分數的，因此在教材中分數概念的引入是通過平均分某個正方形或者圓，取其中的一份或幾份（涂上陰影）認識分數的，這些直觀模型即為分數的面積模型。對于分數的面積模型，在學習過程中學生經常遇到一些困難，如：
(1) 能否認識到圖形“面積相等”的必要性，即整體 1 是否一樣大；
(2) 是否習慣于圖形語言到符號語言表達的轉換；
(3) 理解大于整體 1 的分數；
(4) 從表示多于一個單位的圖形中確定誰作為單位 1 。
2. 分數的集合模型：用集合的“子集 —— 全集”來表示分數。分數集合模型的核心是把多個看作整體 1 ，分數集合的優點是有利于用比較抽象的數值形式表示比與百分比。分數的集合模型的缺點是容易對假分數產生誤解，這與面積模型的問題完全一樣：誰作為整體 1 ，這既是認識分數的一個核心，同時也是一個難點。 J·Martin 總結出整體“1” 可以分為以下六種情況（以 1/5 為例）：
(1) 1 個物體，例如一個圓形，平均分為 5 份，取其中的 1 份；
(2) 5 個物體，例如 5 塊糖，其中的 1 塊占 5 塊的 1/5 ；
(3) 5 個以上但是 5 的倍數，例如 15 塊糖，平均分為 5 份，取其中的 1 份；
(4) 比 1 多但比 5 少，例如 2 塊巧克力作為整體；
(5) 比 5 個多不能被 5 整除，例如 7 根香蕉作為整體；
(6) 一個單獨物體的一部分的五分之一，例如，一米的四分之三的五分之一。
以上六種情況不可能讓學生同時學習，但學生逐步地經歷這些情境對學習分數是非常必要的，特別是前三種情境；第四和第五種情境對于學生進一步理解分數與除法的關系非常必要；情境六則是學生很好地理解分數乘分數的模型。
3. 分數的數線模型：是用數線上的點表示分數。分數的數線模型與分數的面積模型相聯系：一個分數可以表示單位面積的一部分，也可以表示單位長度的一部分，前者 2 維，后者 1 維是線性的，是用點來刻畫分數。
4. 分數與除法 比的關系：對分數的另一種理解是把分數與除法聯系起來，分數是除法的運算結果。分數與除法的互相轉化有重要作用：把分數化為小數或百分數。
問題 4 ：分數意義的教學策略有哪些？
1. 分數的初步認識引入可以從以下方面考慮：
（ 1 ）從平均分東西中，由分得的結果是整數，過渡到分得的結果是分數。
（ 2 ）從除法運算入手，當商不能用整數表示時，就引入分數表示兩個數相除的商。
（ 3 ）從測量入手，得不到整數結果，可以用分數表示。
（ 4 ）在分數概念教學中，不但要強調“平均分”，還要強調它是一個“數”。
（ 5 ）在解決“用分數表示圖形的大小”時，要讓學生掌握解這類題的思維過程。
引入分數的情境應該讓學生體會到分數產生的必要性。既然分數是人們要進行測量和均分才產生的，它的呈現應使人們解決這些問題。那么，我們教學的時候，可以遵循分數產生的歷史，設計一個一定要用分數解決問題的情境，讓學生感到，分數的出現在情理之中，學這個知識很有用，這樣才能夠引起學生的充分注意，引發學生的學習興趣。
下面是三位特級教師上分數初步認識的案例：
例二：分數的初步認識情境 1
從孩子們熟悉的生活中單刀直入開始了知識的學習。“有 4 個桃子，平均分 2 個人，每人得到幾個？”“啪 —— 啪”學生用兩下整齊的掌聲回答了問題。“有 2 個桃子，平均分 2 個人，每人得到幾個？”“啪。”“只有一個桃子，平均分 2 個人，每人得到幾個？”同學們你看看我，我看看你，面面相覷。突然有幾個同學用右手尖點了一下右手心，“半個”；還有的同學兩手心相對并不合上，表示“半個”。
吳老師繼續說：“對，半個。半個該怎么寫呢？小朋友們，能用你喜歡的方法來表示一個桃子的一半嗎？”吳老師認真地看著同學們的板書，孩子們用不同的方式表示著自己心中的“一半”。接著，吳老師請這些同學一一介紹自己的表示方法，解釋每種表示方法的含義。
吳老師不緊不慢地說：“小朋友們，你們用自己喜歡的方式表示了桃子的一半，說明你們很有辦法。不過，我向大家介紹一種更科學、更簡便的表示方法。當把一個桃子平均分成兩份，表示這樣的一份時，可以像這位同學一樣用這個數 1/2 來表示。”她邊說邊走到黑板前，用紅粉筆框住了 1/2 。“你們知道這個數叫什么名字嗎？”同學們不敢肯定地回答：“分數。”吳老師邊出課題邊肯定大家的答案：“對啦，叫做分數。”接著，吳老師又一次回到 1/2 前，給同學們引薦這位數的大家族中的新朋友 ---“分數”。孩子們在吳老師的帶領下自然而然地進入了新知識的學習。
例三：分數的初步認識情境 2
A. 看連環畫聽故事
老師：喜歡聽故事嗎？那我們一起來聽有關大頭兒子的故事吧！
天熱了，小頭爸爸到商場買涼席。到了賣涼席墊的柜臺，他遇到麻煩了 …… 于是給他的大頭兒子打電話。
小頭爸爸：我忘了量床的長了，你找把尺子量一量床有多長。
大頭兒子：噢！
旁白：大頭兒子在家里找來找去，就是沒找到一把尺子，怎么辦呢？ ( 停 3—5 秒 ) 突然他想了個好主意。
大頭兒子：爸爸，你今天打領帶了嗎？小頭爸爸：打領帶？哦，真是個聰明的大頭，快量吧！
旁白：大頭兒子拿來一根爸爸的領帶。他用領帶一量，嘿！巧啦，床正好是兩個領帶長。
大頭兒子：爸爸，床是兩個領帶長。
小頭爸爸：兒子真有辦法！我知道了。噯，兒子再量一下沙發的長吧！
旁白：大頭兒子再用這根領帶去量沙發。唉，沙發沒有一個領帶長。怎么辦呢？大頭兒子把領帶對折來量。唉，沙發又比對折后的長一些。大頭兒子再想辦法，他將領帶對折再對折。一量，巧啦，沙發正好有 3 個這么長。大頭兒子真高興啊！可是，他也碰到難題了。
大頭兒子： ( 自言自語地 ) 床是 2 個領帶長，現在我怎么跟爸爸說沙發是多少個領帶長呢？
B. 幫助解疑
大頭兒子：“怎么跟爸爸說這個沙發有多少個領帶長呢？”
你有辦法表示出這樣 4 份中的 3 份嗎？
學生在紙上創作，教師巡視，指名展示。
C. 揭示分數
老師：小朋友很會動腦筋，用自己喜歡的方式表示出這樣 4 份中的 3 份。你認為哪個最好？你想知道大人們是怎樣表示的嗎？嗯，與這位同學想的一樣。 ( 紅筆框 ) 你知道這樣的數叫什么？ ( 板書：分數 )
老師： 3/4 是什么意思呢？任選一張你喜歡的紙片，想辦法表示出 3/4 的意思。可以折一折，也可以畫一畫。
學生用不同的方法表示了 3/4 。
老師板書：平均分，分 4 份，取 3 份 ……
例四：分數的初步認識情境 3
師： 1×2 和 2×1 這兩個算式都是用 1 和 2 組成的乘法算式，請你用 1 和 2 這兩個數組成盡可能多的加法、減法、乘法、除法算式（能寫幾個就寫幾個）。
學生聽清要求后，開始動筆書寫，教師巡視，不一會，學生自信地舉起了一雙雙小手。
生 A ： 1×2 ＝ 2 、 2×1 ＝ 2 、 1 ＋ 2 ＝ 3 、 2 ＋ 1 ＝ 3 、 2÷1 ＝ 2 、 2 － 1 ＝ 1 。
生 B ：我補充，從大姐姐的書上看到過倒過來寫“1 － 2”的算式，可是等于多少，我看不懂。
學生 B 的語調由自信漸趨信心不足，并抓耳撓腮起來。這時，還有幾個學生迫不及待地把手高舉過頭，唯恐老師沒注意。
生 C ：爸爸教過我 1 － 2 ＝－ 1 。
生 D ：我還有補充， 2÷1 倒過來可以寫出 1÷2 的除法算式。
師：你們知道的真多！ 1 減 2 的確等于負 1 ，今天這節課我們不研究 1 － 2 ，我們來研究 1÷2= ？
師：根據除法的意義，想想 1÷2 是什么意思？
學生愕然，有的緊鎖眉頭，有的搖頭，教師用親切的目光掃視著學生；學生用期盼的目光凝視著老師。
師：想知道吧！我們還是從除法的意義開始吧！
教師引導學生回顧并板書了“被除數 ÷ 除數 = 商”后，緊接著先后出示了“4÷2= 2”、“2÷2= 1”讓學生分別說出了“平均分”的具體意義。
師： 1÷2= ？表示什么？
生 E ：把 1 個蘋果平均分成 2 份，每份是半個。
生 F ：把 1 塊餅平均分成 2 份，每份是半塊。
生 G ：把 1 個東西平均分成 2 份，每份是 2 份里的 1 份，也就是 1÷2 。
師：半個東西原來是指把一個東西平均分成 2 份，是一個分數，它是 1÷2 的商。
師追問：如果把 1 看成是一張紙的話， 1÷2= 表示什么？
2. 分數的再認識，重點要讓學生理解單位“1”的含義，可以從以下考慮：
（ 1 ）先復習由一個圖形組成的單位“1”，然后把這個圖形平均分若干份，讓學生直觀地認識到，分成的若干份可以合成一個整體，形成單位“1”的概念。
（ 2 ）聯系學生的生活實際，先說一說“多”和“1” ，再引出單位“1”的含義。如：大家來說“多”和“1” ——4 個人組成 1 個小組； 6 個小方塊組成 1 個整體； 13 億人組成 1 個國家； 30 個人組成 1 個班級； 50 朵花裝滿 1 只花籃； 48 個班級組成 1 個學校； 12 個三角形組成 1 個整體； ……
（二）小數的意義
1. 小數的產生
16 世紀荷蘭的數學家、物理學家同時也是一位軍人的斯蒂文最早發明小數，當時是為了便于計算復雜的利息問題。斯蒂文發現，當利率都是以 10 、 100 、 1000 等作為分母時，按照復利計算的利息問題將變得簡單，其結果都是以分母是 10 、 100 、 1000 等的分數表示，但還是不太便于比較大小和計算。于是他發現用“小數”（當時的小數書寫形式不是現在的樣子，沒有小數點）表示非常方便，于是創造出“十進小數”，進行小數的四則計算非常簡單，類似于自然數的四則計算。從其發生的本源來看，小數是基于十進分數而創造出來的，是“原創的”。實際上，人為的“約定”、“規定”就是人的一種創造，是一種新的頓悟與發現。
18 世紀人們才建立起穩定的十進位小數表達形式，這比微積分的出現還要晚 100 多年。建立小數的概念，一方面是為了現實世界中數量表達的需要，比如： 6 元 7 角 5 分就可以表示為 6.75 元；另一方面是為了數學本身的需要，主要是為了表示無理數。比如：雖然人們很早就知道 和 ，但無法進行這兩個無理數的加法運算。如果借助小數，就可以把這兩個無理數分別表示為：
=1.4142135… 和 =1.7320508… ，
這樣，于是就可以進行加法運算了：
+ = 1.4142135… + 1.7320508…=3.1462643… 。
小數是一種特殊的分數，但是又獨立于分數，小數是十進制記數向相反方向延伸的結果。無限循環小數使得我們不得不正面處理無限，向無限進軍。
小數產生的兩個前提：一是十進制記數法的使用；二是分數概念的完善。
小數產生的兩個動因：一是十進制計數法擴展完善的需要；二是分數書寫形式的優化改進。
小數的出現標志著十進制記數法從整數擴展到了分數，使分數與整數在形式上獲得了統一。我們現在的小數定義就是根據這種形式變換過程來定義的，將十進分數改寫成不帶分母形式的數就叫做小數。 （ 英文 a decimal fraction ； a decimal figure ； a decimal ）
小數的出現，是基于十進制表示數量的需要。人們在度量物體的過程中，總是把人容易感知、觸及的量作為合適的單位，如一尺、一斤、一元等，然后依十進制發展出大數目的位值系統。然而社會生活往往還需要比單位 1 更小的計量，于是有了尺以下的寸、分；斤以下的兩、錢；元以下的角、分。按照十進制的要求，產生 10 寸為一尺， 10 兩為一斤， 10 角為 1 元的設置。這是十進制記數的制度，沿著相反方向延伸。小數產生的本原在于計量的需要，并非分數概念的附庸。
2. 小數的教學策略
生活中的小數的經驗遠比分數要多。貨幣中的元、角、分，長度度量中的米、分米、厘米都是實際使用的小數。所以學習小數具有充分的實踐基礎。小數的認識在教學中應注意以下幾個方面：
(1) 引導學生經歷小數形成的過程，整體感悟小數與整數、分數之間的內在聯系，感悟小數的各個數位及其含義。
(2) 引導學生對小數進行分類和根據數位順序表進行小數的讀寫。
(3) 引導學生了解小數在生活中的意義和作用，理解小數的不同組成。
(4) 引導學生對整數和小數基本概念的梳理，使學生形成對數概念認知的結構化，同時也為后續的學習奠定基礎。
小數的教學具體可以從以下幾個方面進行把握：
(1) 基于學生的生活經驗學習小數，在具體的“量”中理解小數的現實意義。這里具體的量主要指錢數、長度，可以從“生活中的小數（價錢）”引入，理解用小數表示的價錢是什么意思，通過呈現小數在生活中的應用場景讓學生感受到小數是一個生活中常見的“數”，進而以“米制系統”為直觀模型認識一位小數就是十分之幾的分數、二位小數就是百分之幾的分數，認識小數數位上的數字的“分數意義”以及“現實意義”。在此基礎上，再用整數、分數、小數表示“錢數”，進一步讓學生認識到“同一個量，既可以用自然數表示，也可以用小數、分數表示”。其難點是當兩位小數中十分位、百分位是“0”時如何用小數表示現實的量。
(2) 利用學生的舊知經驗引導探索發現小數的意義。小數的本質意義不是十進分數的另一種寫法，而是基于“十進制計數法”的拓展。因此，教師要創作一個素材，讓學生把小數和十進分數聯系起來，而且是能形象地看到這種聯系的現象，那么學生就能自主發現小數的意義了。比如有的老師做了這樣的設計：長度是 10 厘米的長方形紙條，當把紙條看做 1 元時，讓學生表示出 0.3 元，借用了學生的已知經驗 1 元 =10 角來進行分數、小數的聯系。這樣的設計利用了學生的已知經驗來探索，變抽象的數學概念為直觀的數學模型，讓學生經歷這個“再創造”的過程，遠比告知學生“十分之幾就可以記作零點幾”更有價值，學生從這一探索中發現的不僅是小數，而是研究小數的方法和意義。
(3) 利用學生的實際經驗突破混小數的認識。認識混小數要突破學生總認為小數是比 1 小的數的錯誤思維定勢。如：有的老師利用了學生已知的量身高的經驗理解幾點幾。先出示一個嬰兒的身高，用 1 米去量足夠了，然后再量三年級同學的身高，當 1 米量三年級同學的身高不夠時怎么辦？學生自然而然想到了再接一段，再接的那段是 0.3 米，然后 1 米和 0.3 米合起來是 1.3 米，這一教學環節很好地溝通了純小數和混小數的聯系，讓學生從實際生活經驗中輕松地理解了混小數的意義。
(4) 用可視化的“形”認識抽象的“數”。教學不應停留在教師直接的講解和“告訴”，而應讓學生充分展開探索過程，借助于直觀圖示的形象支撐，建立起了一位小數的“直觀模型”（長方形等分、涂色）。然后將一位小數（純小數、混小數）的認識拓展到“米制系統”，進而再在半抽象、半形象的“數軸”上認識小數（從“米尺”到“數軸”的抽象過程非常巧妙）。從借助“面積模型”、“線段圖模型”到“數軸”來認識小數，所用的工具從直觀形象到半抽象半形象，符合學生的認知特點，有助于學生數學學習過程的順利展開與實施。其實更為重要的是，恰當地運用這些直觀模型為學生理解和運用“數形結合”思想積累了數學活動經驗。
（三）百分數的認識
百分數在形式上不同于分數，但是，它們都是從分數中分離出來的。分數中分離出十進分數，將其改寫成不帶分母形式的數（按計數原則進行計數）就是小數；分數中分離出分母是 100 （ ）的分數，將其改寫成帶有（類似于）百分號（ % ）形式的數就是百分數（十分數、百分數、千分數、萬分數、 …… ）。
百分數有兩種不同的定義：
1. 分母是 100 的分數叫做百分數。這種定義著眼于形式，把百分數作為分數的一種特殊形式。
2. 表示一個數（比較數）是另一個數（標準數）的百分之幾的數叫做百分數。這種定義著眼于應用，用來表示兩個數的比。所以百分數又叫百分比或百分率。百分數通常不寫成分數形式，而采用符號“ ％ ”來表示，叫做百分號。
百分數與分數的區別：
1. 意義不同，百分數只表示兩個數的倍比關系，不能帶單位名稱；分數既可以表示具體的數，又可以表示兩個數的關系，表示具體數時可帶單位名稱。
2. 百分數的分子可以是整數，也可以是小數；而分數的分子不能是小數只是除 0 以外的自然數；百分數不可以約分，而分數一般通過約分化成最簡分數。
3. 任何一個百分數都可以寫成分母是 100 的分數，而分母是 100 的分數并不都具有百分數的意義。
4. 應用范圍的不同，百分數在生產和生活中，常用于調查、統計、分析和比較，而分數常常在計算、測量中的不到整數結果時使用。
百分數一般有三種情況：
1. 可以大于 100% ，如：增長率、增產率等。
2. 只能 100% 以下，如：出油率、出面粉率等。
3. 最大只能 100% ，如：正確率，合格率。

展開更多......

收起↑