資源簡介

李善蘭（-），晚清中國杰出的數學家，在西方傳教士的幫助下，翻譯了大量科學著作，如《幾何原本》后九卷、《代數學》等．不僅向中國學者介紹了西方數學知識，還創立了許多型概念、新名詞、新符號，如代數學、方程式、函數、微分等．除翻譯西方名著外，李善蘭也有多種自己的著作，如《方圓闡幽》、《對數探源》、《弧矢啟密》等，為中國數學的發展作出了卓越的貢獻．
7．怎樣設元
解讀課標
荷蘭著名數學教育家弗賴登塔爾說：“與其說學習數學，倒不如說學習“數學化”方程就是將眾多實際問題“數學化”的一個重要模型．
在運用一元一次方程解決實際問題的過程中，設立未知數是首要環節，不同的設法列出的方程有的簡單，有的復雜，故在設未知數時需有所選擇，設元的基本方法有：
1．直接設元
即問什么設什么．
2．間接設元
即所設的不是所求的，需要將要求的量以外的其他量設為未知數，便于找出符合題意的等量關系．
3．輔助設元
有些應用題隱含一些未知的常量，若不指明這些量的存在，則難求其解，故需把這些未知的常量設出未知數，作為橋梁幫助分析．
4．整體設元
若在未知數的某一部分存在一個整體關系，可設這一部分為一個未知數，從而減少設元的個數．
問題解決
例1
如圖，是一塊在電腦屏幕上出現的矩形色塊圖，由個不同顏色的正方形組成，已知中間最小的一個正方形的邊長為，那么這個長方形色塊圖的面積為_____________．
試一試
要求長方形的面積需求出各正方形的邊長，為便于求出長方形長與寬，故不宜直接設元，由于個正方形邊長有一定的依存關系，所以，可以從間接設某個正方形邊長入手．
例2
植樹節時，某班平均每人植樹棵．如果只由女同學完成，每人應植樹棵；如果只由男同學完成，每人應植樹（
）棵．
A．
B．
C．
D．
試一試
略
例3
某音樂廳月初決定在暑假期間舉辦學生專場音樂會，入場券分為團體票和零售票，其中團體票占總票數的，若提前購票，則給予不同程度的優惠，在五月份內，團體票每張元，共售出團體票數的；零售票每張元，共售出零售票數的一半，如果在六月份內，團體票按每張元出售，并計劃在六月份內售出全部余票，那么零售票應按每張多少元定價才能使這兩個月的票款收入持平？
試一試票款與票數、票價有關，既要用字母表示六月份零售價，又要用字母表示總票數．
例4
某開發商進行商鋪促銷，廣告上寫著如下條款：
投資者購買商鋪后，必須由開發商代為租賃年，年期滿后由開發商以比原商鋪標價高的價格進行回購，投資者可在以下兩種購鋪方案中作出選擇：
方案一：投資者按商鋪標價一次性付清鋪款，每年可獲得的租金為商鋪標價的．
方案二：投資者按商鋪標價的八五折一次性付清鋪款，年后每年可獲得的租金為商鋪標價的，但要繳納租金的作為管理費用．
（1）請問：投資者選擇哪種購鋪方案，年后所獲得的投資收益率更高？為什么？
（注：）
（2）對同一標價的商鋪，甲選擇了購鋪方案一，乙選擇了購鋪方案二，那么年后兩人獲得的收益將相差萬元．問：甲、乙兩人各投資了多少萬元？
試一試
在閱讀理解的基礎上通過設元解決問題．
例5
某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊，排隊的人數按一定的速度增加．如果開放一個檢票口，則要分鐘檢票口前的隊伍才消失；如果同時開放兩個檢票口，則分鐘隊伍就消失．設檢票的速度是一定的，問同時開放三個檢票口，隊伍要幾分鐘就消失？
分析與解
未知量有以下幾個：檢票開始時，等候檢票的隊伍人數；每個檢票口每分鐘檢票的人數；隊伍每分鐘增加的人數，只有指明這些量，才能表示等量關系．
設檢票開始時，等候檢票的隊伍有人，每個檢票口每分鐘檢票人，隊伍每分鐘增加人，則
，，消去，得，．
故同時開放三個檢票口，等候檢票的隊伍消失的時間是：
（分鐘）．
紀念大師
例6
瑞士數學家歐拉（．，-）是歷史上最多產的數學家，據統計他一共寫了本（篇）書籍和論文．著名數學家拉普拉斯說過：“讀讀歐拉，他是我們所有人的導師．”是啊，歐拉在數學上的貢獻實在太多了，即使在初等數學中也到處可見他的身影，下面問題是歐拉的數學名著《代數基礎》中的一個問題．
有一位父親，臨終時囑咐他的兒子這樣分他的財產：第一個兒子分得克朗和剩下財產的十分之一；第二個兒子分得克朗和剩下財產的十分之一；第三個兒子分得克朗和剩下財產的十分之一……按這種方式一直分下去，最后每一個兒子所得財產一樣多．問這位父親共有幾個兒子？每個兒子分得多少財產？這位父親共留下多少財產？
分析
根據設未知數和思路的不同，可得多種解法．
解法1
設有個兒子，則最后一個兒子分得克朗，倒數第二個兒子先得到克朗，又得到“余下的”，即留給最后一個兒子的是余下的，故這個“余下的”也是最后一個兒子錢數的．由最后兩個兒子分得錢數相等，得方程，
解得
．
所以這位父親共有個兒子，每人分得財產（克朗），留下（克朗）財產．
解法2
設每個孩子分得的財產是，總的財產是，則根據題意，
第一個孩子分得的財產是：，
第二個孩子分得的財產是：，
第三個孩子分得的財產是：，
依此類推，可以看出，老大與老二（老二與老三，老三與老四等都一樣）的差額是．
根據題意，這個差數應當是，于是得出一元一次方程：．
解之，得，于是．經過驗證，每個孩子確實都分得元，即第二、三、四……個方程都滿足（個）．
所以這位父親有個孩子，他共有財產克朗，每人分到克朗．
數學沖浪
知識技能廣場
1．古希臘數學家帕普斯是丟番圖最得意的一個學生，有一天他向老師請教一個問題：有個數，把其中每個相加，其和分別為，，，，則這四個數分別是____________．
2．一個六位數的倍等于，則這個六位數等于_____________．
3．個人圍成一個圓圈做游戲，游戲的規則是：每個人心里都想好一個數，并把自己想好的數如實地告訴與他相鄰的兩個人，然后每個人將與他相鄰的兩個人告訴他的數的平均數報出來，若報出來的數如圖所示，則報的人心里想的數是______________．
4．學友書店推出售書優惠方案：①一次性購書不超過元，不享受優惠；②一次性購書超過元但不超過元，一律打九折；③一次性購書超過元，一律打八折．如果小明一次性購書付款元，那么小明所購書的原價一定為（
）元．
A．
B．
C．或
D．或
5．一件服裝標價元，若以折銷售，仍可獲利，則這件服裝的進價是（
）．
A．元
B．元
C．元
D．元
6．某種產品是由種原料千克、種原料千克混合而成，其中種原料每千克元，種原料每千克元，后來調價，種原料價格上漲，種原料價格減少，經核算產品價格可保持不變，則的值是（
）．
A．
B．
C．
D．
7．陳老師為學校購買運動會的獎品后，回學校向后勤處王老師交賬說：“我買了兩種書，共本，單價分別為元和元，買書前我領了元，現在還余元．”王老師算了一下，說：“你肯定搞錯了．”
（1）王老師為什么說他搞錯了？試用方程的知識給予解釋；
（2）陳老師連忙拿出購物發票，發現的確弄錯了，因為他還買了一個筆記本，但筆記本的單價已模糊不清，只能辨認出應為小于的整數，筆記本的單價可能為多少元？
8．燃蠟時間問題（英國）
在倫敦的一個大霧天，一家商店的店主叫店員點燃兩支長度相同的蠟燭，這兩支蠟燭的一支可維持個小時，另一支可維持小時．霧散后，店主來吹蠟燭，發現其中一支剩下的長度是另一支剩下長度的倍，問蠟燭點燃了多長時間？
9．體育文化用品商店購進籃球和排球共個，進價和售價如下表，全部銷售完后共獲利潤元．
籃球
排球
進價/（元/個）
售價/（元/個）
（1）購進籃球和排球各多少個？
（2）銷售個排球的利潤與銷售幾個籃球的利潤相等？
思維方法天地
10．某班全體學生進行了一次籃球投籃練習，每人投球個，每投進一個球得分，得分的部分情況如表所示：
得分
…
人數
…
已知該班學生中，至少得分的人的平均得分為分，得分不到分的人的平均得分為分，那么該班學生有_____________人．
11．一輪船從甲地到乙地順流行駛需小時，從乙地到甲地逆流行駛需小時，有一木筏由甲地漂流至乙地，需___________小時．
12．下邊算式中，每個漢字代表個數字，不同的漢字代表不同的數字，已知“神”，那么被乘數是___________．
13．從兩塊分別重千克和千克且含銅的百分比不同的合金上各切下重量相等的一塊，再把切下的每一塊與另一塊切后剩余的部分合在一起，熔煉后兩者含銅的百分比恰好相等，則切下的一塊重量是（
）．
A．千克
B．千克
C．千克
D．千克
14．某校初一、初二兩個年級學生的人數相同，初三年級的學生人數是初二年級學生人數的，已知初一年級的男生人數與初二年級的女生人數相同，初三年級男生人數占三個年級男生人數的，那么三個年級女生人數占三個年級學生人數的比是（
）
A．
B．
C．
D．
15．某商品原價為元，春節促銷，降低，如果節后恢復到原價，則應將現售價提高（
）
A．
B．
C．
D．
16．將下表的方格中的個方格填入不同的數字，使得每行、每列、每條對角線上的個數宇之和都相等．問：表中左上角的數字是多少？
17．某通訊公司推出了移動電話的兩種計費方式（詳情見下表）．
月使用費/元
主叫限定時間/分
主叫超時費/（元/分）
被叫
方式一
免費
方式二
免費
溫馨提示：若選用方式一，每月固定交費元，當主動打出電話月累計時間不超過分，不再額外交費；當超過分，超過部分每分加收元．
設一個月內使用移動電話主叫的時間為分（為正整數），請根據表中提供的信息回答下列問題：
（1）用含有的式填寫下表：
方式一計費/元
方式二計費/元
（2）當為何值時，兩種計費方式的費用相等；
（3）當時，你認為選用哪種計費方式省錢（直接寫出結果即可）．
18．為了改善城鄉人民生產、生活環境，我市投入大量資金，治理竹皮河污染，在城郊建立了一個綜合性污水處理廠．設庫池中存有待處理的污水噸，又從城區流入庫池的污水按每小時噸的固定流量增加．如果同時開動臺機組需小時處理完污水，同時開動臺機組需工小時處理完污水．若要求在小時內將污水處理完畢，那么要同時開動多少臺機組？
應用探究樂園
19．某農民在農貿市場賣雞．甲先買了總數的一半又半只，然后乙買了剩下的一半又半只，最后丙買了剩下的一半又半只，恰好買完．問該農民一共賣了多少只雞？
20．如圖，長方形、、的長與寬的比相同，長方形與的面積比是，長方形的周長是，求長方形的面積．
7．怎樣設元
問題解決
例1
設、的邊長為，則、、的邊長分別為，，，由題意得：，解得．
例2
B設男、女同學分別有、人，則，，則只由男同學完成每人應植樹．
例3
設總票數為張，六月份零售票應按每張元定價，由題意得，解得（元）．
例4
（1）設商鋪標價為萬元，則按方案一購買，則可獲投資收益，
投資收益率為．
按方案二購買，則可獲投資利益．
投資收益率為．
投資者選擇方案二所獲得的投資收益率更高．
（2）設甲投資了萬元，由題意得，解得，
甲投資了萬元，乙投資了萬元．
數學沖浪
1．，，，設四個數的和為
2．
3．
提示：設報的人心里想的數是，報的人心里想的數應是．于是，報的人心里想的數是，報的人心里想的數是，報的人心里想的數是，報的人心里想的數是，由，得．
4．C
5．A
6．C
7．（1）設單價為元的課外書為本，由，得（不合題意），所以陳老師肯定搞錯了．
（2）設單價為元的課外書為本，筆記本的單價為元，則，即，應被整除，，，，，經討論或．
8．設蠟燭點燃了小時，蠟燭的長度為厘米，由，得小時．
9．（1）個，個
（2）個
10．
設共有人，由，得．
11．
12．
設“神舟五號”，“飛天”，則，，，故，，為自然數，，得，從而，．
13．B
設切下的每一塊合金重克，千克、千克的合金含銅的百分比分別為、，則，整理得．故．
14．C
設初一年級學生人數為，男生人數為，可求得初三年級男生人數為，所求比為：．
15．C
16．
17．（1）當時，方式一：；當時，方式一：；方式二：．
（2）當時，，
當兩種計費方式的費用相等時，的值在取得．
列方程，解得．
當主叫時間為分鐘，兩種計費方式的費用相等．
（3）方式二．
18．設臺機組每小時處理污水噸，要在小時內處理污水，需開臺機組，則由①、②得．代入③，得．
19．設該農民一共賣了只雞，則，解得．
20．設，，則，，可得，，，由，得，長方形的面積為．
7．怎樣設元
問題解決
例1
設、的邊長為，則、、的邊長分別為，，，由題意得：，解得．
例2
B設男、女同學分別有、人，則，，則只由男同學完成每人應植樹．
例3
設總票數為張，六月份零售票應按每張元定價，由題意得，解得（元）．
例4
（1）設商鋪標價為萬元，則按方案一購買，則可獲投資收益，
投資收益率為．
按方案二購買，則可獲投資利益．
投資收益率為．
投資者選擇方案二所獲得的投資收益率更高．
（2）設甲投資了萬元，由題意得，解得，
甲投資了萬元，乙投資了萬元．
數學沖浪
1．，，，設四個數的和為
2．
3．
提示：設報的人心里想的數是，報的人心里想的數應是．于是，報的人心里想的數是，報的人心里想的數是，報的人心里想的數是，報的人心里想的數是，由，得．
4．C
5．A
6．C
7．（1）設單價為元的課外書為本，由，得（不合題意），所以陳老師肯定搞錯了．
（2）設單價為元的課外書為本，筆記本的單價為元，則，即，應被整除，，，，，經討論或．
8．設蠟燭點燃了小時，蠟燭的長度為厘米，由，得小時．
9．（1）個，個
（2）個
10．
設共有人，由，得．
11．
12．
設“神舟五號”，“飛天”，則，，，故，，為自然數，，得，從而，．
13．B
設切下的每一塊合金重克，千克、千克的合金含銅的百分比分別為、，則，整理得．故．
14．C
設初一年級學生人數為，男生人數為，可求得初三年級男生人數為，所求比為：．
15．C
16．
17．（1）當時，方式一：；當時，方式一：；方式二：．
（2）當時，，
當兩種計費方式的費用相等時，的值在取得．
列方程，解得．
當主叫時間為分鐘，兩種計費方式的費用相等．
（3）方式二．
18．設臺機組每小時處理污水噸，要在小時內處理污水，需開臺機組，則由①、②得．代入③，得．
19．設該農民一共賣了只雞，則，解得．
20．設，，則，，可得，，，由，得，長方形的面積為．商高是公元前世紀的中國數學家，當時中國正在處于奴隸制社會的西周時期，數學研究還處于非常初級的階段．商高最大的成就是在世界上第一個提出了勾股定理，在我國最早的一部數學著作《周髀算經》中記錄著商高和周公的一段對話．商高：“故折矩，勾廣三，股修四，經隅五．”即當直角三角形的兩直角邊分別為和時，直角三角形的斜邊就是，勾股定理在西方被叫做畢達哥拉斯定理，是古希臘數學家畢達哥拉斯在公元前世紀發現的．
9．絕對值與方程
解讀課標
絕對值是數學中活性較高的一個概念，當這一概念與其他概念結合就生成許多新的問題，如絕對值方程、絕對值不等式、絕對值函數等．
絕對值符號中含有未知數的方程叫絕對值方程，解絕對值方程的基本方法是：去掉絕對值符號，把絕對值方程轉化為一般的方程求解．其基本類型有：
1．最簡絕對值方程
形如是最簡單的絕對值方程，可化為兩個一元一次方程與．
2．含多重或多個絕對值符號的復雜絕對值方程
這類方程常通過分類討論法、絕對值幾何意義轉化為最簡絕對值方程和一般方程而求解．
問題解決
例1
方程的解是________．
試一試
原方程變形為，再把此方程化為一般方程求解．
例2
若關于的方程無解，只有一個解，有兩個解，則，，的大小關系為（
）．
A．
B．
C．
D．
試一試
從方程有解的條件入手．
例3
解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）．
試一試對于（1），從內向外，運用絕對值定義、性質簡化方程；對于（2）、（3）運用零點分段討論法去掉絕對值方程；需要注意的是，方程（3）利用絕對值幾何意義可獲得簡解．
例4
如圖，數軸上有、兩點，分別對應的數為、，已知與互為相反數．點為數軸上一動點，其對應的數為．
（1）若點到點、點的距離相等，求點對應的數．
（2）數軸上是否存在點，使點到點、點的距離之和為？若存在，請求出的值；若不存在，說明理由；
（3）當點以每分鐘個單位長度的速度從點向左運動時，點以每分鐘個單位長度的速度向左運動，點以每分鐘個單位長度的速度向左運動，問幾分鐘時點到點、點的距離相等？
試一試
由絕對值的幾何意義建立關于的絕對值方程．
例5
討論關于的方程的解的情況．
分析與解
與方程中常數、有依存關系，這種關系決定了方程解的情況．
故尋求這種關系是解本例的關鍵，利用分類討論法或借助數軸是尋求這種關系的重要方法與工具．
數軸上表示數的點到數軸上表示數和的點的距離和的最小值為，由此可得原方程的解的情況是：
（1）當時，原方程有兩解；
（2）當時，原方程有無數解；
（3）當時，原方程無解．
數學沖浪
知識技能廣場
1．若是方程的解，則_______；又若當時，則方程的解是_____．
2．方程的解是_______；_______是方程的解；解方程，得_______．
3．如果，那么的值為________．
4．已知關于的方程的解滿足，則的值為（
）．
A．或
B．或
C．或
D．或
5．若，則等于（
）．
A．或
B．或
C．或
D．或
6．方程的解的個數為（
）
A．個
B．個
C．無數個
D．不確定
7．解下列方程
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
8．求關于的方程的所有解的和．
9．解方程．
10．已知、、、都是整數，且，則_______．
11．若、都滿足條件，且，則的取值范圍是_______．
12．滿足方程的所有的和為________．
13．若關于的方程有三個整數解，則的值為（
）
A．
B．
C．
D．
14．方程的整數解的個數有（
）
A．
B．
C．
D．
15．若是方程的解，則等于（
）
A．
B．
C．
D．
16．解下列方程
（1）；
（2）．
17．當滿足什么條件時，關于的方程有一解？有無數多個解？無解？
應用探究樂園
18．如圖，若點在數軸上對應的數為，點在數軸上對應的數為，且，滿足．
（l）求線段的長；
（2）點在數軸上對應的數為，且是方程的解，在數軸上是否存在點，使得 若存在，求出點對應的數；若不存在，說明理由；
（3）在（1）、（2）的條件下，點，，開始在數軸上運動，若點以每秒個單位長度的速度向左運動，同時，點和點分剮以每秒個單位長度和個單位長度的速度向右運動，假設秒鐘過后，若點與點之間的距離表示為，點與點之間的距離表示為．請問：的值是否隨著時間的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其常數值．
19．已知，求的最大值和最小值．
微探究
從三階幻方談起
相傳大禹在治洛水的時候，洛水神龜獻給大禹一本洛書，書中有如圖所示的一幅奇怪的圖，這幅圖用今天的數學符號翻譯出來，就是一個階幻方，也就是在的方陣中填入，其中每行、每列和兩條對角線上數字和都相等．
現在人們已給出一般三階幻方的定義：在的方陣圖中，每行、每列、每條對角線上個數的和都相等，就稱它為三階幻方．
可以證明三階幻方以下基本性質：
（1）在的方格中填入個不同的數，使得各行各列及兩條對角線上個數的和都相等，且為，若最中間數為，則．
（2）在三階幻方中，每個數都加上一個相同的數，仍是一個三階幻方．
（3）在三階幻方中，每個數都乘以一個相同的數，仍是一個三階幻方．
解三階幻方問題，常需恰當引元，運用三階幻方定義、性質，整體核算等方法求解．
例1
如圖①，有個方格，要求在每個方格填入不同的數，使得每行、每列、每條對角線上三個數之和都相等．問：圖中左上角的數是多少？
試一試
雖然問題要求的只是左上角的數，但是問題的條件還與其他的數相關．故為充分運用已知條件，需引入不同的字母表示數（如圖②）．
例2
如圖，在的方格表中填入九個不同的正整數：，，，，，，，和．使得各行、各列所填的三個數的和都相等，請確定的值，并給出一種填數法．
試一試
如下頁圖，引入不同字母表示數，表中各行、各列三數的和都是相等的正整數，即為正整數，又，從估計和的最小值入手．
整體核算法
整體核算法即將問題中的一些對象看作一個整體，觀察、分析問題中的題設與結論之間的整體特征和結構，從整體上計算、推理．
例3
如圖①，、、、、、、、、分別代表，，，，，，，，中某一個數，不同字母代表不同的數，使每個小圓內個數的和都相等，那么的值是多少？
分析與解
設這個相等的和是，現將這個小圓中個數求和，可得：
，故．
先從所在的小圓看，至少是，最多只能是，再從所在的小圓看，最多只能是，由于，所以必須，，由此可以求得圖②．
對照圖①與圖②中各數的位置，可看到．
當然也可以有另一解法．
將含、含、含、含、含與含的個小圓內個數求和，可得：
，即
，所以．
練一練
1．將到這個自然數填入圖中的個圓圈中，每個數只能用一次，且使每一條直線上的三個數的和相同，則中間的圓圈中的數是_______，對應的每一條直線上的個數的和是_______．
2．請構造“幻角”，將這個整數填入圖中的小三角形內（和已填好），使圖中每個大三角形內四數之和都等于．
3．請將，，，，，，，，，這個數分別填入圖中方陣的個空格，使行、列、條對角線上的個數的和都是．
4．如圖，、、、、、均為有理數，圖中各行各列及兩條對角線上的和都相等，求的值．
5．如圖是一個的幻方，當空格填上適當的數后，每行、每列以及對角線上的和都是相等的，求的值．
6．圖中顯示的填數“魔方”只填了一部分，將下列個數：，，，，，，，，填入方格中，使得所有行、列及對角線上各數相乘的積相等，求的值．
7．幻方第一人
幻方，相傳最早見于我國的“洛書”，如圖①，洛書中行、列以及條對角線上的點數之和都等于，是一種“階幻方”（如圖②）．我國南宋數學家楊輝是對幻方從數學角度進行系統研究的第一人，他在《續古摘奇算法》一書中給出從階到階的幻方，并對一些低階幻方介紹了構造方法，其中運用了
對稱思想．例如，用，，，…，構造階幻方的方法是：先將，，，…，依次排成圖③，然后以外四角對換，即與對換，與對換，再以內四角對換……請你在圖④中填寫用這種“對換”方法得出的階幻方．
8．把數字，，，…，分別填入圖中的個圈內，要求三角形和三角形的每條邊上三個圈內數字之和都等于．
（1）給出一種符合要求的填法；
（2）共有多少種不同填法？證明你的結論．
微探究
商品的利潤
商品的利潤涉及商品進價、售價、利潤、利潤率、打折銷售等名詞術語，理解相關概念并熟悉它們之間的關系是解這類問題的基礎．
（1）；
（2）利潤=售價-進價；
（3）售價=進價+利潤=進價×（利潤率）．
例1
一家商店將某件商品按成本價提高后，標價為元，又以折出售，則售出這件商品可獲利潤_______元．
試一試
從求出成本價切入．
例2
某商店出售某種商品每件可獲利元，利潤率為．若這種商品的進價提高，而商店將這種商品的售價提高到每件仍可獲利元，則提價后的利潤率為（
）．
A．
B．
C．
D．
試一試
利用獲利不變建立方程．
例3
某房地產開發商開發一套房子的成本隨著物價上漲比原來增加了，為了賺錢，開發商把售價提高了倍，利潤率比原來增加了，求開發商原來的利潤率．
試一試
因售價=成本×（利潤率），故還需設出成本．
例4
某超市對顧客實行優惠購物，規定如下：
（1）若一次購物少于元，則不予優惠；
（2）若一次購物滿元，但不超過元，按標價給予九折優惠；
（3）若一次購物超過元，其中元部分給予九折優惠，超過元部分給予折優惠．
小明兩次去該超市購物，分別付款元與元．現在小亮決定一次去購買小明分兩次購買的同樣多的物品，他需付款多少？
分析與解
第一次付款元，可能是所購物品的實價，未享受優惠；也可能是按九折優惠后所付的款，故應分兩種情況加以討論．
情形l
當元為購物不打折付的錢時，所購物品的原價為元，又，其中元為購物元打九折付的錢，元為購物打八折付的錢，（元）．
因此，元所購物品的原價為（元），于是購買小明花（元）所購的全部物品，小亮一次性購買應付（元）．
情形2
當元為購物打九折付的錢時，所購物品的原價為（元）．
仿情形1的討論，購（元）物品一次性付款應為（元）．
練一練
1．某商品的進價為元，售價為元，則該商品的利潤率可表示為_______．
2．某商店老板將一件進價為元的商品先提價，再打八折賣出，則賣出這件商品所獲利潤為
_______元．
3．某商場推出全場打八折的優惠活動，持貴賓卡可在八折基礎上繼續打折，小明媽媽持貴賓卡買了標價為元的商品，共帶省元，則用貴賓卡又享受了_______折優惠．
4．某商品的價格標簽已丟失，售貨員只知道“它的進價為元，打七折售出后，仍可獲利”，你認為售貨員應標在標簽上的價格為________．
5．一商場對某款羊毛衫進行換季打折銷售，若這款羊毛衫每件按原銷售價的八折銷售，售價為元，則這款羊毛衫每件的原銷售價為_______元．
6．甲用元購買了一些股票，隨即他將這些股票轉賣給乙，獲利．而后乙又將這些股票反賣給甲，但乙損失了，最后甲按乙賣給甲的價格的九折將這些股票賣給了乙．若上述股票交易中的其他費用忽略不計，則甲（
）．
A．盈虧平衡
B．盈利元
C．盈利元
D．虧損元
7．年爆發的世界金融危機，是自世紀年代以來世界最嚴重的一場金融危機，受金融危機的影響，某商品原價為元，連續兩次降價后售價為元，下列所列方程正確的是（
）．
A．
B．
C．
D．
8．某商店出售某種商品每件可獲利元，利潤率為．若這種商品的進價提高，而商店將這種商品的售價提高到每件仍可獲利元，則提價后的利潤率為（
）．
A．
B．
C．
D．
9．某種商品的進價為元，出售標價為元，后來由于該商品積壓，商店準備打折銷售，但要保證利潤率不低于，則最多可打（
）．
A．新
B．折
C．折
D．折
10．某商場對顧客實行優惠，規定：
①如一次購物不超過元，則不予折扣；
②如一次購物超過元但不超過元，按標價給予九折優惠；
③如一次購物超過元，則其中元按第②條給予優惠，超過元的部分則給予八折優惠．
某人兩次去購物，分別付款元和元，如果他只去一次購買同樣的商品，則應付款是（
）．
A．元
B．元
C．元
D．元
11．某商場用元購進、兩種新型節能臺燈共盞，這兩種臺燈的進價、標價如下表所示：
類別價格
型
型
進價（元/盞）
標價（元/盞）
（1）這兩種臺燈各購進多少盞？
（2）若型臺燈按標價的九折出售，型臺燈按標價的八折出售，那么這批臺燈全部售完后，商場共獲利多少元？
12．某公司銷售、、三種產品，在去年的銷售中，高新產品的銷售金額占總銷售金額的．由于受國際金融危機的影響，今年、兩種產品的銷售金額都將比去年減少，因而高新產品是今年銷售的重點．若要使今年的總銷售金額與去年持平，問：今年高新產品的銷售金額應比去年增加多少？
13．某大型超市元旦假期舉行促銷活動，規定一次購物不超過元的不給優惠，超過元而不超過元時，按該次購物全額折優惠，超過元的其中元仍按折優惠，超過部分按折優惠．小美兩次購物分別用了元和元，現小麗決定一次購買小美分兩次購買的同樣的物品，那么小麗應該付款多少元？
微探究
多變的行程問題
行程問題按運動方向可分為相遇問題、追及問題；按運動路線可分為直線形問題、環形問題等．相遇問題、追及問題是最基本的類型，它們的特點與常用的等量關系如下：
1．相遇問題
其特點是：兩人（或物）從兩地沿同一路線相向而行，而最終相遇．一般地，甲行的路程+乙行的路程=兩地之間的距離．
2．追及問題
其特點是：兩人（或物）沿同一路線、同一方向運動，由于位置或者出發時間不同，造成一前一后，又因為速度的差異使得后者最終能追及前者，一般地，快者行的路程-慢者行的路程=兩地之間的距離．
例1
（1）在公路上，汽車、、分別以、、的速度勻速行駛，從甲站開往乙站，同時，、從乙站開往甲站．在與相遇小時后又與相遇，則甲、乙兩站相距_____．
（2）小王沿街勻速行走，他發現每隔從背后駛過一輛路公交車；每隔迎面駛來一輛路公交車．假設每輛路公交車行駛速度相同，而且路總站每隔固定時間發一輛車，那么，發車的間隔時間為_______．
試一試
對于（2），“背后駛過與迎面駛來”，其實質就是追及與相遇，距離是同向行駛的相鄰兩車的間距．
例2
（1）一艘輪船從港到港順水航行，需小時，從港到港逆水需小時，若在靜水條件下，從港到港需（
）小時．
A．
B．
C．
D．
（2）甲、乙兩動點分別從正方形的頂點、同時沿正方形的邊開始移動．甲點依順時針方向環行，乙點依逆時針方向環行，若乙的速度是甲的速度的倍，則它們第次相遇在邊（
）．
A．上
B．上
C．上
D．上
試一試
對于（2），設正方形邊長為，甲的速度為，相遇時甲行的路程為，利用“相遇時甲、乙兩動點運動時間相等”建立方程，把用的代數式表示．
例3
有甲、乙兩輛小汽車模型，在一個環形軌道上勻速行駛，甲的速度大于乙．如果它們從同一點同時出發沿相反方向行駛，那么每隔分鐘相遇一次．現在，它們從同一點同時出發，沿相同方向行駛，當甲第一次追上乙時，乙已經行駛了圈，此時它們行駛了多少分鐘？
試一試
當甲追上乙時，甲行駛了多少圈？由此可導出甲、乙的速度之比．
例4
甲、乙二人分別從、兩地同時出發，在距離地千米處相遇，相遇后兩人又繼續按原方向、原速度前進，當他們分別到達地、地后，又在距地千米處相遇，求、兩地相距多少千米？
解法一
第一次相遇時，甲、乙兩人所走的路程之和，正是、兩地相距的路程，即當甲、乙合走完、間的全部路程時，乙走了千米，第二次相遇時，兩人合走的路程恰為兩地間距離的倍（如圖，圖中實線表示甲所走路程，虛線表示乙所走路線），因此，這時乙走的路程應為（千米）．
考慮到乙從地走到后又返回了千米，所以、兩地間的距離為（千米）．
解法二
甲、乙兩人同時動身，相向而行，到相遇時兩人所走時間相等，又因為兩人都做勻速運動，應有：兩人速度之比等于他們所走路程之比，且相同時間走過的路程亦成正比例．
到第一次相遇，甲走了（全程）千米，乙走了千米；
到第二次相遇，甲走了（全程）千米，乙走了（全程）千米．
設全程為，易得到下列方程，
解得，（舍去），
所以、兩地相距千米．
解法三
設全程為千米，甲、乙兩人速度分別為，．則
，①÷②得，
解得或（舍去）．
乘車方案
例5
老師帶著兩名學生到離學校千米遠的博物館參觀，老師乘一輛摩托車，速度為千米／時，這輛摩托車后座可帶乘一名學生，帶人速度為千米／時，學生步行的速度為千米／時，請你設計一種方案，使師生三人同時出發后到達博物館的時間都不超過個小時．
分析
若能使人車同時到達目的地，則時間最短，而要實現“同時到達”，必須“機會均等”，即兩名同學平等享受交通工具，各自乘車的路程相等，步行的路程也相等，這是設計方案的關鍵．
解
要使師生三人都到達博物館的時間盡可能短，可設計如下方案：
設學生為甲、乙二人．乙先步行！，老師帶甲乘摩托車行駛一定路程后，讓甲步行，老師返回接乙，然后老師搭乘乙，與步行的甲同時到達博物館．
如圖，設老師帶甲乘摩托車行駛了千米，用了小時，比乙多行了（千米）．這時老師讓甲步行前進，而自己返、回接已，遇到乙時，用了（小時）．乙遇到老師時，已經步行了（千米），離博物館還有（千米）．要使師生三人能同時到達博物館，甲、乙二人搭乘摩托車的路程應相同，則有，解得．即甲先乘摩托車千米，用時小時，再步行千米，用時小時，共計小時．
因此，上述方案可使師生三人同時出發后都到達博物館的時間不超過個小時．
另解：設乙先步行的時間為小時，步行的路程為，則（千米），此時老師帶甲走的路程為（千米），老師返回接乙走的路程為．故有，解得，甲乘車的時間為（小時），故甲從學校到博物館共用（小時）．
練一練
1．甲、乙兩人從兩地同時出發，若相向而行，則小時相遇；若同向而行，則小時甲追及乙，那么甲、乙兩人的速度之比為_______．
2．一輪船從甲地到乙地順流行駛需小時，從乙地到甲地逆流行駛需小時，有一木筏由甲地漂流至乙地，需_______小時．
3．甲、乙兩列客車的長分別為和，它們相向行駛在平行的軌道上．已知甲車上某乘客測得乙車在他窗口外經過的時間為秒，那么，乙車上的乘客看見甲車在他窗口外經過的時間是______．
4．甲、乙分別自、兩地同時相向步行，小時后中途相遇，相遇后，甲、乙步行速度都提高了千米／時，當甲到達地后立刻按原路向地返行，當乙到達地后也立刻按原路向地返行．甲、乙兩人在第一次相遇后小時分又再次相遇，則、兩地的距離是_______千米．
5．甲、乙兩人沿同一路線騎車（勻速）從到，甲需要分鐘，乙需要分鐘．如果乙比甲早出發分鐘，則甲出發后經______分鐘可以追上乙．
6．甲、乙、丙三人一起進行百米賽跑（假定三人均為勻速直線運動），如果當甲到達終點時，乙距終點還有米，丙距終點還有米，那么當乙到達終點時，丙距終點還有______米．
7．小李騎自行車從地到地，小明騎自行車從地到地，兩人都勻速前進．已知兩人在上午時同時出發，到上午時，兩人還相距千米，到中午時，兩人又相距千米，求、兩地間的路程．
8．目前自駕游已成為人們出游的重要方式．“五一”節，林老師駕轎車從舟山出發，上高速公路途經舟山跨海大橋和杭州灣跨海大橋到嘉興下高速，其間用了小時；返回時平均速度提高了千米／時，比去時少用了半小時回到舟山．
（1）求舟山與嘉興兩地間的高速公路路程；
（2）兩座跨海大橋的長度及過橋費見下表：
大橋名稱
舟山跨海大橋
杭州灣跨海大橋
大橋長度
千米
千米
過橋費
元
元
據浙江省交通部門規定：轎車的高速公路通行費（元）的計算方法為：，其中（元／千米）為高速公路里程費，（千米）為高速公路里程（不包括跨海大橋長），（元）為跨海大橋過橋費，若林老師從舟山到嘉興所花的高速公路通行費為元，求轎車的高速公路里程費．
9．鐵路旁的一條平行小路上有一行人與一騎車人同時向東行進，行人速度為千米／時，騎車人的速度為千米／時，如果有一列火車從他們背后開過來，它通過行人用了秒，通過騎車人用了秒．問這列火車的車身長為多少米？
10．如圖，甲、乙兩人分別在、兩地同時相向而行，于處相遇后，甲繼續向地行走，乙則休息了分鐘，再繼續向地行走．甲和乙到達和后立即折返，仍在處相遇．已知甲每分鐘行走米，乙每分鐘行走米，則和兩地相距多少米？
11．某單位有人要到千米外的某地參觀，因為步行時速只有千米，為了使他們上午到達，配備了一輛最多載人名、時速千米的大客車．于是早晨時整出發，若人員上下車的時間不計，試擬一個運行方案，說明步車如何安排，才能使全體人員在最短時間內全部到達目的地，并求該地的時刻，畫出汽車往返的運行圖．
12．、、三輛車在同一條直路上同向行駛，某一時刻，在前，在后，在、正中間．分鐘后，追上；又過了分鐘，追上．問再過多少分鐘，追上
9．絕對值與方程
問題解決
例1
由，得或，所以或．經檢驗知時，
方程左右兩邊不等，故舍去．從而原方程的解為．
例2
A
，，，由題意得，，，從而，．
例3
（1）或．原方程化為或，即或．
（2）當時，原方程化為，得．
當時，原方程化為，得．
當時，原方程化為，得．
綜上知原方程的解為，，．
（3）由絕對值的幾何意義得原方程的解為．
例4
（1）；（2）存在，或（3）或
數學沖浪
1．；或
2．或；；或
3．
4．A
5．D
6．C
7．（1）或；（2）；（3）或；（4）或．
8．，，，得，，，，故．
9．當，原方程無解；當時，原方程有兩解：或；當時，原方程化為，此時原方程有四解：；當時，原方程化為，此時原方程有三解：或或；
當時，原方程有兩解：．
10．或
，又、都是整數，得，，．
當，則，即矛盾；若，令，滿足題意；若，令，滿足題意．
11．
12．
13．C
14．B
由數軸知，且為偶數
15．D
16．（1）或
可以得到；
（2）．
17．由絕對值幾何意義知：當時，方程有一解；當時，方程有無窮多個解，當或時，方程無解．
18．（1），，；（2）存在點，點對應的數為或；（3），為常數．
19．，同理，，得．
當且僅當，，時，上面各式等號成立．
又，
由
得①+②③，，因此，的最大值為，最小值為．
從三階幻方談起（微探究）
例l
由已知條件得：，這樣前面兩個式子之和等于后面的兩個式子之和，即，，得．
例2
與的最小值是，所以，即．而為整數，且是不同于，，，，，，，的正整數，故．
練一練
1．，，；，，
設中間的圓圈中的數是，同一直線上的個數的和是，則，．
2．如圖
3．如圖：
4．由條件得：，，．上述三式相加有，故．
5．如圖，由及，得，，從而（注：這個幻方是可以完成的，如第行為，，；第行為，，；第行為，，）．
6．這個數的積為，所以每行、每列、每條對角線上三個數字積為，得，，，、、、分別為、、、中的某個數，推得．
7．略
8．（1）略
（2）顯然有
①
圖中六條邊，每條邊上三個圈中之數的和為，得．
②
②-①，得．
③
把、、每一邊上三圈中之數的和相加，得．
④
聯立③、④解得，，進而．
在中三個數之和為的僅有，，，所以在、、三處圈內，只能填，，三個數，共有種不同填法．顯然，當這三個圈中之數一旦確定，根據題目要求，其余六個圈內之數也隧之確定，從而得到結論，共有種不同的填法．
商品的利潤（微探究）
例l
設成本為，則，得，所求利潤為（元）．
例2
C
設原進價為元，提價后的利潤率為，則，解得．
例3
設原來的利潤率是，原來的成本是，則，解
得，即原來的利潤率是．
練一練
1．
2．
3．九
4．
5．
6．B
7．B
8．C
設提價后的利潤率為，則，解得．
9．B
10．C
提示：，沒有經過打折；，且大于，所以這是經過折后的價格；合在一起是，按照③，可得應付款為（元）．
11．（1）型臺燈購進盞，型臺燈購進盞；
（2）這批臺燈全部售完后，商場共獲利元．
12．設去年總銷售金額為，則高新產品的銷售金額為，、的原銷售金額為，今年的銷售金額為，設高新產品的增長率為，由．得．
13．注意到，
設小美第二次購物的原價為元，則，解得．
（1）若小美第一次購物沒有優惠，第二次購物原價超過元，則小麗應付（元）．
（2）若小美第一次購物原價超過元，第二次購物原價超過元，則第一次購物原價為（元），則小麗應付（元）．
多變的行程問題（微探究）
例1
（1）
設甲、乙兩站相距千米，則，解得．
（2）
設路公交車的速度是，小王行走的速度是，同向行駛的相鄰兩車的間距為．
則，解得，即．
例2
（1）C
設船在靜水中的速度為，水流速度為，則
，解得，．
（2）A
設正方形邊長為，第次相遇共行了，設甲的路程為，甲的速度為，則，解得．
．
例3
設環形跑道長為，甲和乙的速度分別是，．
因為當甲、乙同時同地同向出發，甲首次追上乙時，乙行駛了圈，所以當甲追上乙時，甲行駛了圈．這說明，代入到中，得，即，于是所求時間為（分鐘）．
練一練
1．
2．
3．
先求出甲、乙兩車速度和為（米／秒）
4．
設、兩地相距，甲、乙兩人速度和為，則
，解得．
5．
6．
設甲跑全程需時，則，，，又設乙跑完全程需時，則，
，此時丙離終點為．
7．設、兩地間的路程為千米，由，得（千米）．
8．（1）千米；（2）元／千米．
9．設火車的速度為米／秒，則，解得，從而火車的車身長為（米）．
10．，設，，從而（米），由，得，故、兩地距離是（米）．
11．如圖所示，設第①組先乘車的路程為，后步行的路程為，則第②組應為先步行，然后乘車，再步行；第③組為先步行，再乘車到達目的地．
設第②組步行所需時間為小時，則（千米），則車送第①組及返回接第②組的時間和也為小時，行駛的路程為2千米，此時，．
由，解得（小時），所以（千米），于是第①組乘車時間為（小時），步行時間為（小時）．第①組到達目的地（即全程）所需時間為：（小時），即時分到達．
12．設開始時與，的距離均為，，，的速度分別為，，，從開始到追上需要分鐘．則由題意得
由①、②得，，
兩式相減，得，即，
代入③式得．
由，得．
因此，再過（分鐘），追上．5．整式的加減
解讀課標
代數式是用加、減、乘、除等運算符號把數或表示數的字母連接而成的式子，是后續學習中進行運算、解決問題的基礎．
在代數式中，我們把那些含相同的字母，并且相同字母的次數也分別相同的單項式看作一類——稱為同類項，一個多項式中的同類項可以合聚在一起——稱為合并同類項，整式的加減就是合并同類項．
代數式的化簡求值是代數式研究的一個重要課題，解這類問題的基本方法有：
將字母的值代入或字母間的關系整體代人，而關鍵是對代數式進行恰當變形，其中去括號、添括號能改變代數式的結構，是變形求解的常用工具．
問題解決
例1甲、乙、丙三家超市為了促銷一種定價為元的商品，甲超市連續兩次降價；乙超市一次性降價；丙超市第一次降價，第二次降價，此時顧客要購買這種商品，最劃算的超市是____．
試一試用的式子分別表示三家超市降價后的價格．
例2下列四個數中可以寫成個連續自然數之和的是（
）
A．
B．
C．
D．
試一試用字母表示數，從揭示個連續自然數之和的規律人手．
例3已知關于的二次多項式，當時的值為，求當時該多項式的值．
試一試設法求出、的值，解題的突破口是根據多項式降冪排列、多項式次數等概念隱含的關于、的等式．
例4有這樣的兩位數，交換該數數碼所得到的兩位數與原數的和是一個完全平方數．例如，就是這樣的兩位數，因為，請你找出所有這樣的兩位數．
試一試設原數為，發現的特點是解本例的出發點．
例5如圖，是用棋子擺成盼圖案，擺第個圖案需要枚棋子，擺第個圖案需要枚棋子，擺第個圖案需要枚棋子，按照這樣的方式擺下去，則擺第個圖案需要______枚棋子，擺第個圖案需要____枚棋子．
解法一
列表填數，觀察數值，體會從特殊到一般的數學思想．
圖形序號
棋子總數
；
；
猜想，
再將代入該代數式得．
解法二數形結合，分解圖形，感悟從部分研究整體的思想．
問題中“按照這樣的方式擺下去”，何種方式并沒有明確的界定，我們可以有不同的理解，如從平行四邊形角度看，把圖形分成三個平行四邊形．
如圖，圖的序列號：，，，，，…
圖中的點的數目：，，，，，
；
；
；
；
；
猜想
整體思考
整體思考是將問題看成一個完整的整體，從大處著眼，由整體入手，突出對問題的整體結構的分析與改造，從整體上把握問題的特征和解題方向，
例6（1）已知當時，的值為，則當時，的值為___
（2）把四張形狀大小完全相同的小長方形卡片(如圖1)不重疊地放在一個底面為長方形（長為，寬為）的盒子底部（如圖2），盒子底面未被卡片覆蓋的部分用陰影表示，則圖②中兩塊陰影部分的周長和是（
）
A．
B．
C．
D．
（3）記，令，稱為，，，這列數的“理想數”，已知，，，的“理想數”為，求，，，…，的理想數
試一試整體思考具體體現為：整體觀察、整體變形、整體代入．對子（1），能求出、的值嗎？對于（2），為表示圖②中相關量，還需知道什么？對于（3），從理解“理想數”的意義人手，導出與，，，的關系，要求的是的值．
數學沖浪
知識技能廣場
1．（1）若與的和是單項式，則______．
（2）有一組單項式：，，，，…請觀察它們的構成規律，用你發現的規律寫出個單項式為_______．
2．（1）如圖，每個正方形點陣均被一直線分成兩個三角形點陣，根據圖中提供的信息，用
含的等式表示第個正方形點陣中的規律是_______．
（2）如圖是由形狀相同的正六邊形和正三角形鑲嵌而成的一組有規律的圖案，則第個圖案中陰影小三角形的個數是______（用含的代數式表示）．
3．數學翻譯
牛頓是舉世聞名的偉大數學家、物理學家，他創立了微積分（另一個創立者是萊布尼茨）、經典力學，在代數學、光學、天文學等方面也作出了重要貢獻．牛頓用數學的語言、方法描述和研究自然規律，他嘔心瀝血寫成的光輝著作《自然哲學的數學原理》，照亮了人類科學文明的大道．
牛頓在他的《普遍的算術》一書中寫道：“要解答一個含有數量間的抽象關系的問題，只要把題目由日常的語言譯成代數的語言就行了．”下表是由牛頓給出，的個例子改寫、簡化而成的，請將表的空白補上（不必求出問題的最后答案）．
日常語言
代數語言
一個商人有一筆錢
第一年他花去了鎊
補進去余額的
第二年他又花去了鎊
又補進去余額的
結果他的錢數正好是原來的錢數
4．（1）已知，則的值是______．
（2）若、互為倒數，則的值為________．
5．小王第一周每小時工資為元，工作小時．第二周每小時工資增加，工作總時間減少，則第二周工資總額與第一周工資總額相比（
）
A．增加
B．減少
C．減少
D．不變
6．已知有理數、、在數軸上的位置如圖
所示，且，則代數式的值為（
）
A．
B．
C．
D．
7．如果，那么代數式的值為（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知多項式的和等于，則這個多項式是（
）
A．
B．
C．
D．
9．已知多項式．
（1）若多項式的值與字母的取值無關，求、的值_____；
（2）在（l）的條件下，求多項式的值；
（3）在（1）的條件下，求
10．如圖所示，年數學家莫倫發現了世界上第一個完美長方形，它恰能被分割成個大小不同的正方形．如果圖中標注的①、②正方形邊長分別是，，那么你能計算出其他個正方形的邊長嗎？
思維方法天地
11．已知多項式是二次多項式，則=_______．
12．已知，，當時，恒成立，則的值為______．
13．（1）若，則的值等于_______．
（2）已知，，，則的值為______．
14．如圖是在正方形網格中按規律填成的陰影，根據此規律，則第個圖中陰影部分小正方形的個數是________．
15．當時，代數式的值為，那么，代數式=（
）
A．
B．
C．
D．
16．關于的正整數的三次冪可“分裂”成若干個連續奇數的和，如，，，若分裂后，其中有一個奇數是，則的值是（
）
A．
B．
C．
D．
17．有甲、乙兩種糖果，原價分別為每千克元和元．根據柜臺組調查，將兩種糖果按甲種糖果千克與乙種糖果千克的比例混合，取得了較好的銷售效果．現在糖果價格有了調整：甲種糖果單價上漲，乙種糖果單價下跌，但按原比例混合的糖果單價恰好不變，那么等于（
）
A．
B．
C．
D．
18．若一個兩位數恰等于它的各位數字之和的倍，則這個兩位數稱為“巧數”，則不是“巧數”的兩位數的個數是（
）
A．
B．
C．
D
19．有一張紙，第次把它分割成片，第次把其中的片分割成片，以后每一次都把前面所得的其中一片分割成片，如此進行下去，試問：
（1）經次分割后，共得到多少張紙片？
（2）經次分割后，共得到多少張紙片？
（3）能否經若干次分割后共得到張紙片？為什么？
20．已知：是最小的正整數且、、滿足，試回答問題．
（1）求，，的值；
（2）、、所對應的點分別為、、，點為一動點，其對應的數為，點在到之間運動時（即時），請化簡式子：；
（3）在（1）、（2）的條件下，點、、開始在數軸上運動，若點以每秒個單位長度的速度向左運動，同時，點和點分別以每秒個單位長度和個單位長度的速度向右運動，假設秒鐘過后，若點與點之間的距離表示為，點與點之間的距離表示為．請問：的值是否隨著時間的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其值．
應用探究樂園
21．
一條公交線路上從起點到終點有個站，一輛公交車從起點站出發，前站上車人，前站下車人．問從前站上車而在終點站下車的乘客有多少人？
22．在一次游戲中，魔術師請一個人隨意想一個三位數（、、依次是這個數的百位、十位、個位數字），并請這個人算出個數，、、與的和，把告訴魔術師，于是魔術師就可以說出這個人所想的數．
現在設，請你當魔術師，求出數來．
自然數的排序
把自然數，，，…，按一定的方式排列順序，可得到形式特異、內涵豐富的排序問題，融知識性與趣味性于一體．
解這類問題的關鍵是：通過觀察能發現排序后的數陣中的規律，如行或列中數的規律、特殊位置數的規律等．
例1
將正整數按如圖所示的規律排列下去，若用有序數對表示第排、第個數，比如表示的數是，則表示的數是______．
第排
第排
第排
第排
分析與解弄清題意是前提，找準規律是關鍵，正確表達尤重要，對于本例，最明顯也對解題最有指導價值的規律是：第排有個數，要求只需知道它是這個數中的第個數即可．
前6排共有個數，即第排最后一個數是，故表示的數是．
例2
正整數按如圖所示的規律排列，請寫出第二十行第二十一列的數字：
第一列
第二列
第三列
第四列
第五列
第一行
第二行
第三行
第四行
第五行
試一試這個自然數表的特點可從以下方面觀察：第行的第一個數，第一行第個數，每行或每列數的增減性．
例3
將正偶數按下表排列列．
第一列
第二列
第三列
第四列
第五列
第一行
第二行
第三行
根據上面排規律，則應在（
）
A．第行，第列
B．第行，第列
C．第行，第列
D．第行，第列
試一試注意到每一行排個數，奇數行空第一列，偶數行空第五列，只要計算出是第幾個數即可．
例4
將自然數按如圖所示的順序排列，在這樣的排列下，數字排在第二行第一列，排在第三行
第三列．問：排在第幾行第幾列？
試一試從斜行方向上看，奇數斜行中的數由下向上遞增，偶數斜行中的數由上向下遞增．
例5
將正整數從開始按如圖所示的規律排成一個數陣，其中，在第一個拐彎處，在第二個拐彎處，在第三個拐彎處，在第四個拐彎處……問：在第個拐彎處的數是多少．
試一試用表示第次拐彎時所對應的數，從尋求與之間的關系入手．
練一練
1．已知一列數：，，，，，，，…將這列數排成下列形式：
第1行
第2行
第3行
第4行
第5行
按照上述規律排下去，那么第行從左邊數第個數等于______．
2．將正奇數按下表排列：
第列
第列
第列
第列
第列
第行
第行
第行
第行
根據表中的排列規律，數應排在第______行，第_____列
3．自然數，，，，按下表規律排列：橫排為行，記數據，，，的那一行為第一行，依次記下面的各行分別是行，第行，．試問位于該表的第_____行，并對應于“啟智杯競賽有趣”中的漢字：_______．
啟
智
杯
竟
賽
有
趣
4．小王在做數學題時，發現下面有趣的結果：
由上，我們可知第行的最后一個數是______．
5．奇數寶塔
東方傳統建筑中的塔，千姿百態，造型各異，數學中的寶塔更是千變萬化、不計其數．
從開始的奇數，按照規律排成下面形式的寶塔：
第幾行
行中各數的和
觀察行中各數的規律：
前行的各數之和；
前行的各數之和；
前行的各數之和；
前行的各數之和；
因此，可推知前行的各數之和________；
根據以上規律，猜想：=________．
6．如圖，數表是由從開始的連續自然數組成，觀察規律并完成各題的解答．
（1）表中第行的最后一個數是____，它是自然數______的平方，第行共有____
個數．
（2）用含的代數式表示：第行的第一個數是______，最后一個數是____，第行共有______個數．
（3）求第行各數之和．
7．自然數按右表的規律排列：
（1）求上起第十行、左起第十三列的數；
（2）數應在上起第幾行、左起第幾列？
5．整式的加減
問題解決
例1
乙
例2A設自然數從開始，這個連續自然數的和為
例3
原多項式整理得
由題意得
從而，
例4
因而是的倍數，即，且是完全平方數，
由于，，得，，
從而．推得這樣的兩位數有個：，，，，，，，．
例6（1）由條件得，原式；
（2）設小長方形的長為，寬為
∴上面的陰影周長為：，下面的陰影周長為：
∴總周長為：
又∵
∴
故選B
（3）由定義得
即
又
故，，，……，的“理想數”
為
數學沖浪
1．（1）
（2）
2．（1）
（2）
3．（1）
（2）
4．（1）；
（2）
5．B
6．A
7．C
8．A
9．（1），；
（2）原式
（3）原式
10．③的邊長為①、②邊長之和：；
⑨的邊長為③、②邊長之和：；
⑧的邊長為⑨、②邊長之和：；
⑦的邊長為⑧的邊長加上②與①邊長之差：；
⑥的邊長為⑦的邊長減去①邊長：；
④的邊長為⑥的邊長減去①與③邊長這客：
；
⑤的邊長為④、⑥邊長之和：
；
⑩的邊長為⑤、④邊長之和：
11．由條件可得
且
12．代入化簡得
13．（1）（2）
14．
15．C
16．C
分裂后的第一個數是，共有個奇數，由
，得
17．D
18．C
（個）
19．（1）共得到張紙片；
（2）經次分割，共得到張紙片．
（3）若能分得張紙片，則，，無整數解，所以不可能經若干次分割后得到張紙片．
20．（1），，
（2）原式
（3），，
，不隨時間的改變而改變
21．設前站上車的乘客數量依次為，，，，，，人，
從第站到第站下車的乘客數量依次為，，，，，，人，
則
又，，
即，
22．將也加到和上，由于、、在每一位上都恰好出現兩次，
所以①
從而，
于是
因為，，
，．
其中只有滿足要求，即能使①成立，故．
自然數的排序
例2第行第一列數字為，第列數字為，
故第二十行第二十一列的數字為
例3C由，得，又
例4第斜行中共有個連續的自然數，其中最大的數是，
第斜行的最大數是，
第斜行的最大數是，
因此，位于第斜行．
又第斜行中的數是由下向上遞增的，左邊第一個數是，
則是位于第斜行的由下向上數第個位置的數，
換數成原圖中行和列是第行、第列．
例5，，，，，，，，……，
又，，，……即后一拐彎數=前一拐彎數+后一拐彎次數．
故
故第個拐彎處的數是．
練一練
1．提示：前行的數的個數和為，
故第行數為，，，，，，……
2．，參見例
3．；杯被除得商（為奇數），余數
4．第行的最后一個數是
5．；
6．（1）；；
（2）；；
（3）設第行各數之和為，
則
7．提示：經觀察可得這個自然表的排列特點：①第一列的每一個數都是完全平方數，
并且恰好等于它所在行數的平方，即第行的第一個數為；
②第一行第個數是；
③第行中從第一個數至第個數依次遞減；
④第列中從第一個數至第個數次遞增．
這樣可求：（1）上起第十行，左起第十三列的數應是第十三列的第個數，
即
（2）數滿足關系式
即在左起十二列，上起第六行的位置
供應站的最佳位置的確定
例1即在數軸上找出表示的點，使它到表示，，，各點距離之和最小，
當時，原式的值最小，最小值是：
例2∵
∴
得，
故的最大值為，最小值為．
練一練
1．放、（含、）之間任一處
2．
3．，由條件得，原式
4．D只要，，中至少有一個成立，則，
這與條件矛盾，從而得，，，，，
或，，
5．B各線段間的距離如圖．首先排除選擇點和，然后比較點和點．
6．A原式
該式子可以看成數軸上的某點到，，，各個點的距離乘以相應系數后積的和．
因為
，所以該點在和之間時，和最小．
7．（1）；（2）提示：當時，
原式有最小值，這個最小值為：
8．最大值為，最小值為
乘方美談
練一練
1．略
2．（1）、的個位數字分別與、的個位數字相同
（2）
3．
4．
5．（1）
（2）
（3）
6．C
7．A
8．C
9．B
10．B
11．（1）提示：
（2）
12．（1）因為，，
所以與的個位數字分別與、的個位數字相同，
即，，從而的個位數字為，
因此，是的位數．
（2）一定是的倍數，原式
每個括號里的數都能被整除，所以全式也能被整除．
13．設金片數為時的移動次數為，，完成片金片的轉移總共需要的時間為（億年），而太陽系的壽命是億~億年，等到那時宇宙早已毀滅．8．情境應用題
徐光啟（-），字子先．少時聰敏好學，活潑嬌鍵，據傳“章句、帖括、聲律、書法均臻佳妙”．徐光啟融會中西文化，在天文、數學、農學、軍事等方面有突出成就．年徐光啟與意大利傳教士利瑪竇共同翻譯《幾何原本》，引入歐幾里得幾何學，這是徐光啟在數學方面的最大貢獻．他在翻譯中創造的點、線、面、平行線、直角、銳角等名詞一直沿用至今．
解讀課標
情境應用題是以一段生活實際情形、一個故事或一場趣味游戲，寓數學問題、數學思想和方法于情境中的應用題．趣味性、益智性是情境應用題的顯著特點，情境應用題以其生動有趣的情節吸引人們，使人們產生強烈的探索和研究欲望．
信息的冗余性和開放性是情境應用題的另一特點，了解相關常識、理解相關詞語的含義、熟悉基本關系式是解這類問題的基礎；解這類問題的關鍵是：在閱讀理解的基礎上，根據需要取舍信息，從不同的思維角度提出問題、分析問題，恰當地應用和理解數學知識，歷經重要的有價值的數學思維活動過程．
問題解決
例1
小明在超市幫媽媽買回一袋紙杯，他把紙杯整齊地疊放在一起，如圖所示．若小明把個紙杯整齊疊放在一起時，它的高度約是_____________．
試一試
個紙杯整齊疊放在一起時的高度與哪些量相關？
例2
甲、乙、丙三人進行乒乓球比賽，規則是：兩人比賽，另一人當裁判，輸者將在下一局中擔任裁判，每一局比賽沒有平局，已知甲、乙各比賽了局，丙當了次裁判．問第二局的輸者是（
）
A．甲
B．乙
C．丙
D．不能確定
試一試
從求出總共賽的局數入手．
例3
有一個只允許單向通過的窄道口（如圖），通常情況下，每分鐘可以通過人，一天，王老師到達道口時，發現由于擁擠，每分鐘只能個人通過道口，此時，自己前面還有人等待通過（假定先到的先過，王老師過道口的時間忽略不計），通過道口后，還需分鐘到達學校．
（1）此時，若繞道而行，要分鐘到達學校，從節省時間考慮，王老師應選擇繞道去學校，還是選擇通過擁擠的道口去學校？
（2）若在王老師等人維持秩序下，幾分鐘后，秩序恢復正常（維持秩序期間，每分鐘仍有人通過道口），結果王老師比擁擠的情況下提前了分鐘通過道口，問維持秩序的時間是多少？
試一試
對于（2）有不同的解法，可利用王老師通過道口的時間比較建立方程，亦可應用王老師前面的人數是個常量來布列方程．
例4
某商店月日舉行促銷優惠活動，當天到該商店購買商品有兩種方案，方案一：用元購買會員卡成為會員后，憑會員卡購買商店內任何商品，一律按商品價格的折優惠；方案二：若不購買會員卡，則購買商店內任何商品一律按商品價格的折優惠，已知小敏月日前不是該商店的會員．
（1）若小敏不購買會員卡，所購買商品的價格為元時，實際應支付多少元？
（2）請幫小敏算一算，所購買商品的價格在什么范圍時，采用方案一更合算？
試一試
對于（2），先求出兩種方案付款相等時的價格．
物盡其用
例5
自行車輪胎，安裝在后輪上，只能行駛就要報廢，安裝在前輪上，則行駛才報廢．為使一對輪胎能在行駛盡可能多的路后才報廢，在自行車行駛一定路程后，就將前后輪胎調整，這樣安裝在自行車上的一對輪胎最多可行駛多少千米？
解法一：列方程求解
設自行車行駛了后，互換前、后輪胎再行駛，致使兩只輪胎同時報廢．因此，前輪胎還可行駛，后輪胎還可行駛．當前后輪胎互換后，還可行駛，并有．
解此方程，有，解得．這就是說，當自行車行使了后，互換前后輪胎，這樣還可行駛，所以最多可行駛．
解法二
類似工程問題解法
設安裝在自行車上的一對輪胎最多可行駛，根據題意，自行車每行駛，前輪胎將磨損，后輪胎將磨損，當兩個輪胎磨損之和為單位“”時，前后輪胎互換，當兩個輪胎磨損之和為單位“”時，兩個輪胎同時報廢，即行駛路最多．由此可得方程：，解得．即自行車最多可行駛．
例6
十一屆全國人大常委會第二十次會議審議的《個人所得稅法修正案草案》（簡稱《個稅法草案》），擬將現行個人所得稅的起征點由每月元提高到元，并將級超額累進稅率修改為級，兩種征稅方法的～級稅率情況見下表：
稅級
現行征稅方法
草案征稅方法
月應納稅額
稅率
速算扣除數
月應納稅額
稅率
速算扣除數
注：“月應納稅額”為個人每月收入中超出起征點應該納稅部分的金額．
“速算扣除數”是為了快捷簡便計算個人所得稅而設定的一個數．
例如：按現行個人所得稅法的規定，某人今年月的應納稅額為元，他應繳稅款可以用下面兩種方法之一來計算：
方法一：按~級超額累進稅率計算，即（元）；
方法二：用“月應納稅額適用稅率速算扣除數”計算，即（元）．
（1）請把表中空缺的“速算扣除數”填寫完整．
（2）甲今年月繳了個人所得稅元，若按“個稅法草案”計算，則他應繳稅款多少元？
（3）乙今年月繳了個人所得稅三千多元，若按“個稅法草案”計算，他應繳納的稅款恰好不變，那么，乙今年月所繳稅款的具體數額為多少元？
分析與解
在讀懂材料并理解題意的基礎上，先分別求出甲、乙兩人的月應納稅所得額．
（1）；
（2）設甲的月應納稅所得額為元，由，得．若按《個稅法草案》計算，則他應繳稅款為（元）．
（3）設乙的月應納稅所得額為元，由，得，乙今年月所繳稅款為（元）．
數學沖浪
知識技能廣場
1．如圖，兩根鐵棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的長度是它的，另一根露出水面的長度是它的，兩根鐵棒長度之和為，此時木桶中水的深度是__________．
2．王會計在結賬時發現現金少了元，查賬后得知是一筆支出款的小數點看錯了一位，王會計查出這筆看錯了的支出款實際是___________元．
3．烏鴉喝水新編
請根據圖中信息，列出求大量筒水高的方程__________________．
4．有一旅客攜帶千克行李從某機場乘飛機返回綿陽，按民航規定：旅客最多可免費攜帶千克行李，超重部分每千克按飛機票價格的購行李票，已知該旅客現已購行李票元，則他的飛機票價為（
）．
A．元
B．元
C．元
D．元
5．如果將甲杯中水量的倒入乙杯（未滿）后，甲杯中水量比乙杯中水量少，那么倒水前甲杯中水量（
）
A．比乙杯中水量多
B．比乙杯中水量多
C．與乙杯中水量相等
D．可能少于乙杯中水量
6．有一列數，，，，…，，，其中，，，，，…，當時，的值等于（
）
A．
B．
C．
D．
7．七年級（2）班的一個綜合實踐活動小組去、兩個超市調查年和年“五一”節期間的銷售情況，下圖是調查后小敏與其他兩位同學交流的情況．根據他們的對話，請你分別求出、兩個超市今年“五一”節期間的銷售額．
8．足球比賽的記分規則為：勝一場得分，平一場得分，輸一場得分，一支足球隊在某個賽季中共需比賽場，現已比賽了場，輸了場，得分．
請問：（1）前場比賽中，這支球隊共勝了多少場？
（2）這支球隊打滿場比賽，最高能得多少分？
（3）通過對比賽情況的分析，這支球隊打滿場比賽，得分不低于分，就可達到預期的目標，請你分析一下，在后面的場比賽中，這支球隊至少要勝幾場，才能達到預期目標？
9．小華寫信給老家的爺爺，問候“八一”建軍節．折疊長方形信紙裝入標準信封時發現：若將信紙如圖①連續兩次對折后，沿著信封口邊線裝入時，寬綽有；若將信紙如圖②三等分折疊后，同樣方法裝入時；寬綽．試求信紙的紙長和信封的口寬．
思維方法天地
10．今年月日起，國家實施了中央財政補貼條例，支持高效節能電器的推廣使用，某款定速空調在條例實施后，每購買一臺，客戶可獲財政補貼元，若同樣用萬元所購買的此款空調臺數．條例實施后比實施前多，則條例實施前此款空調的售價為____________元．
11．甲、乙兩個打字員，甲每頁打字，乙每頁打字，已知甲完成頁，乙恰能完成頁，若甲打完頁后，乙開始打字，則當甲、乙打的字數相等時，乙打了_________頁．
12．水池有兩個進水管和及一個排水管．，兩管單獨將空水池注滿水分別需要小時、小時，現在水池中有點兒水，若管單獨進水，而管同時排水，則需小時將水池中的水放完；若，兩管一起進水，管同時排水，則小時可將水池中的水放完．若不開進水管，只開排水管，則需____分鐘可以將水池中的水放完．
13．一個有彈性的球從點落下到地面，彈起后，到點后又落到高厘米的平臺上，再彈起到點，然后，又落到地面（如圖）．每次彈起的高度都是落下高度的，已知點離地面比點離地面高出厘米，那么點離地面的高度是__________厘米．
14．為了鼓勵市民節約用水，某市居民生活用水按階梯式水價計費，下表是該市居民“一戶一表”生活用水階梯式計費價格表的部分信息：
自來水銷售價格
污水處理價格
每戶每月用水量
單價：元/噸
單價：元/噸
噸及以下
超過噸但不超過噸的部分
超過噸的部分
說明：①每戶產生的污水量等于該戶自來水用水量；②水費自來水費用污水處理費．
已知小王家年月份用水噸，交水費元；月份用水噸，交水費元．
（1）求，的值；
（2）隨著夏天的到來，用水量將增加，為了節省開支，小王計劃把月份的水費控制在不超過家庭收入的．若小王的月收入為元，則小王家月份最多能用水多少噸？
15．年月日，四川汶川發生了里氏級大地震，給當地人民造成了巨大的損失，“一方有難，八方支援”，我市錦華中學全體師生枳極捐款，其中九年級的個班學生的捐款金額如下表：
吳老師統計時不小心把墨水滴到了其中兩個班級的捐款金額上，但他知道下面三條信息：
信息一：這三個班的捐款總金額是元；
信息二：（）班的捐款金額比（）班的捐款金額多元；
信息三：（）班學生平均每人捐款的金額大于元，小于元．
請根據以上信息，幫助吳老師解決下列問題：
（1）求出（）班與（）班的捐款金額各是多少元；
（2）求出（）班的學生人數．
應用探究樂園
16．如圖，一個的方格網，按如下規律在每個格內都填有一個數：同一行中右格中的數與緊鄰其左格中的數的差是定值，同一列中上格中的數與緊鄰其下格中的數的差也是定值．請根據圖中已填好的數，按這個規律將第三行填滿．
17．密碼的使用對現代社會是極其重要的．有一種密碼的明文（真實文），其中的字母按計算機鍵盤順序與個自然數，，，…，，對應（見下表），設明文的任一字母對應的自然數為，通過某種規定的對應運算把轉化成對應的自然數，對應的字母為密文，
例如，有一種譯碼方法按照以下變換實現：
，其中是被除所得的余數與之和．
則時，，即明文譯為密文；時，，即明文譯為密文．
現有某種變換，將明文字母對應的自然數變換為密文字母相應的自然數，為．被除所得余數與之和（，）．
已知運用此變換，明文譯為密文，則密文（“啟”的漢語拼音）的明文是字母_________．
8．情境應用題
問題解決
例1
設疊放時每增加一個紙杯高度增加，由
得，從而．
例2
C
提示：設總共賽了局，則有，則，說明甲、乙、丙三人總共賽了局，而丙當了次裁判，說明丙賽了兩局，則丙和甲，丙和乙各賽一局，那么甲和乙同時賽了局．甲和乙同賽不可能出現在任何相鄰的兩局中，則甲、乙兩人同時比賽在第、、局中，第局丙當裁判，則第局中丙輸了．
例3
（1），王老師應選擇繞道而行去學校．
（2）設維持秩序時間為，則，解得（分）．
例4
（1）元
（2）當所購商品的價格高于時，選方案一更合算．
數學沖浪
1．
2．
3．
4．B
5．B
6．D
7．設去年超市銷售額為萬元，則超市銷售萬元，由題意得：，解得，．則今年超市銷售額為萬元，超市為萬元．
8．（1）設這傘球隊勝場，則平了場，由題意得：，解得．
（2）打滿場比賽最高能得（分）．
（3）由題意知，以后的場比賽中，只要得分不低于分即可，故勝不少于場，一定能達到預期目標，而勝場、平場，正好達到預期目標，即在以后的比賽中這個球隊至少要勝場．
9．；
10．
設條例實施前空調的售價為元．則．
11．乙每打頁比甲多打字，乙打頁相當于甲打頁，乙比甲快頁，設當甲、乙打的字數相同時，乙打了頁，由，得．
12．
設水池原來有水，由，得．只開排水管，將水池中的水放完需要的時間為（小時）（分鐘）．
13．
設點離地面，則．
14．（1），
（2）最多用水噸
15．（1）元，元
（2）人或人
16．設第行第列的數為，并令，則，，，，，得，于是，，，，．
17．
由于和對應的數字分別為和，按照明密文變換的規則可知：被除所得余數與之和為，所以，．因此該變換將明文字母對應的自然數變換為密文字母相應的自然數的規則是：為被除所得余數與之和．
因為密文對應于，設其明文對應的數字為，則滿足被除所得余數為，，對應的字母為．
因為密文對應于，設其明文對應的數字為，則滿足被除所得余數為，即被整除，得，對應的字母為．
因此，密文對應的明文是．4．信息技術中的數學問題
解讀課標
伴隨著計算機和網絡技術的迅猛發展，人類社會已步入信息時代，并將邁人后信息化時代：IT技術、賽伯空間、數字化技術、智能通訊等信息技術徹底改變著我們的生活方式與思維方式．
計算器、計算機正深刻影響著數學學習內容和方式，現代信息技術是學習數學和解決問題的有力工具．近年出現的以信息技術為背景的問題是中考競賽試卷一道靚麗的風景，這類問題將信息技術與數學知識有機融合和滲透，構思巧妙、立意新穎，其內容涉及計算機常識（數制、字節等）、計算機的數據輸出、計算機中的數據處理、計算機運算程序、網絡與通訊等．
解決這類問題的關鍵是找到數學知識與其內在的聯系，將其轉化為數學問題．
問題解決
例1給出下列程序，且已知當輸入的值為時，輸出值為；輸入的值為時，輸出值為，則當輸入的值為時，輸出值為________．
試一試把程序流程圖用代數式表示，由條件先求出、的值．
例2計算機利用的是二進制數，它共有兩個數碼、，將一個十進制數轉化為二進制數，只需把該數寫成若干個數的和，依次寫出或即可，如．
為二進制下的位數，則十進制數是二進制下的(
)．
A．位數
B．位數
C位數
D．位數
試一試本例滲透了計算機的基本知識——“二進制計算”，無論何種進制的數都可表示為與數位上的數字、進制值有關聯的和的形式．
例3一條信息可通過如圖所示的網絡線由上（點）往下向各站點傳送．例如信息到點可由經的站點送達，也可由經的站點送達，共有兩條途徑傳送，那么信息由點到達的不同途徑共有多少條．
試一試在閱讀理解的基礎上，畫出路線示意圖，窮舉得出結論．
例4你覺得手機很神奇嗎？它能在瞬間清晰地傳遞聲音、文字、圖像等信號，據說以后還能發送味道、觸覺信息呢！這里都有手機中電腦芯片的功勞．其實，這些信號在電腦芯片中都是以二進制數的形式給出的．每個二進制數都由和構成，電腦芯片上電子元件的“開”、“關”分別代表“”和“”．一組電子元件的“開”“關”狀態就表示相應的二進制數，例如“開”“開”“關”表示“”，
如圖，電腦芯片的某段電路上分布著一組電子元件（假設它們首尾不相連），且相鄰的兩個元件不能同時是關的．（以下各小題要求寫出解答過程）
（1）若此電路上有個元件，則這個元件所有不同的“開”“關”狀態共有多少種？（請一一列出）
（2）若用表示電路上只電子元件所有不同的“開”“關”狀態數，試探索、、之間的關系式（不要求論證）；
（3）試用（2）中探索出的遞推關系式，計算的值．
試一試對于（l），通過窮舉，得出答案值；對于（2），從特例入手，歸納出相應關系式．
例5先閱讀下面的材料，再解答后面各題．
現代社會對保密要求越來越高，密碼正在成為人們生活的一部分．有一種密碼的明文（真實文）按計算機鍵盤字母排列分解，其中、、、、、這個字母依次對應、、、、、這個正整數（見下表）：
給出一個變換公式：
將明文轉換成密文，如：
，即變為；
，即變為．
將密文轉換成明文，如：
，即變為；
，即變為．
（1）按上述方法將明文譯為密文；
（2）若按上述方法將明文譯成的密文為，請找出它的明文．
試一試對于（1），由明文選擇變換公式，求得相應整數，推出密文；對于（2），逆用變換公式，即由導出值，推出明文，解題的關鍵是確定變換公式中的取值范圍．
電話號碼的破譯
例6同學們看電影、看電視時，經常遇到破譯密碼的故事情節，在軍事上、商業上，為了保密，都采用密碼．破譯密碼需要有解密的“鑰匙”，下面我們也來破譯一個電話號碼：一名間諜在他所追蹤的人撥打電話時（話機是撥盤式的，如圖，話機上的數字排列順序是，，，，，，，，，，圖中畫出了撥數字時相應的小孔轉過的路線），隨著撥號盤轉回的聲音，用鉛筆以同樣的速度在紙上畫線，他畫出的條線如下：
他很快就知道了那人撥的電話號碼，這個號碼是多少？
分析與解從電話撥盤上可以看出，撥時，畫出的線段最短，撥時，畫出的線段最長，由于畫線速度相同，所以，每個數字所對應的線段應比它下一個數所對應的線段增加一個固定的長度．間諜所畫下的這條線段的長度互不相等，所表示的個數字當然也不一樣，在這個數字的個數字中至少有個數字是相鄰的（想一想為什么），因此，長度最接近的兩條線段的長度差，就一定是上面所談到的那個固定長度．
通過對這條線段進行度量，可以發現第一條線段與第二條線段最為接近，它們相差厘米（相當于個格子的寬度）．由于最長的線段與最短的線段相差厘米（相當于個格子的寬度），因此可以斷定最長的線段代表數字，而最短的線段則代表．
第一條線段比第三條線段長厘米，因此第一條線段代表，同樣可推知第六條線段代表，第四條線段代表，第二條線段代表，所以這個電話號碼是．
數學沖浪
知識技能廣場
1．二進制數為法國數學家萊布尼茲所創，例如二進制數表示十進制數，即相當于十進制數，試將二進制數化為十進制數_________．二進制數是現代計算機理論的基礎．
2．如圖，是一個簡單的數值運算程序，當輸入的值為時，則輸出的數值為_______．
3．老師設計了一個計算程序，輸入和輸出的數據如下表：
輸入數據
輸出數據
那么，當輸入數據是時，輸出的數據是________．
4．在計算器上按照下面的程序進行操作：
下表中的與分別是輸入的個數及相應的計算結果：
上面操作程序中所按的第三個鍵和第四個鍵應是
．
5．在計算機程序中，二叉樹是一種表示數據結構的方法．如圖，一層二叉樹的結點總數為，二層二叉樹的結點總數為，三層二叉樹的結點總數為照此規律，七層二叉樹的結點總數為（
）．
A．
B．
C．
D．
6．如圖所示的運算程序中，若開始輸入的值為，我們發現第一次輸出的結果為，第二次輸出的結果為，則第次輸出的結果為（
）．
A．
B．
C．
D．
7．計算機是將信息換成二進制數進行處理的，二進制即“逢進”，如表示二進制數，將它轉換成十進制形式是，那么將二進制數轉換成十進制形式是數（
）．
A．
B．
C．
D．
8．按下列程序計算，把答案寫在表格內：
（1）填寫表格：
輸入
輸出答案
（2）請將題中計算程序用代數式表達出來，并給予化簡．
9．密碼在通信安全技術、國防軍事中扮演著重要角色，下面道算式，乍看真是莫名其妙！
①；②；③；④；⑤；⑥．
當你知道這只是密碼算式，各個密碼數字各自對應另二個不同數字時，算式就合理了．
請根據算式，寫出表中密碼所對應的數字．
密碼
對應數字
10．為確保信息安全，信息需加密傳輸，發送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知有一種密碼，將英文個小寫字母，，，，依次對應，，，，，這個自然數（見表格）．當明文中的字母對應的序號為時，將除以后所得的余數作為密文中的字母對應的序號，例如明文對應密文．
字母
序號
字母
序號
按上述規定，將明文“”譯成密文．
思維方法天地
11．我們知道在十進制加法中，逢十進一，如，也可寫成；在四進制加法中，逢四進一，如，那么在進制中有等式，則______．
12．某綜合性大學擬建校園局域網絡，將大學本部和所屬專業學院、、、、、之間用網線連接起來．經過測算，網線費用如圖所示（單位：萬元），每個數字表示對應網線（線段）的費用，實際建網時，部分網線可以省略不建，但本部
及所屬專業學院之間可以傳遞信息，那么建網所需的最少網線費用為_______萬元．
13．計算機中的堆棧是一些連續的存儲單元，在每個堆棧中數據的存入、取出，按照“先進后出”的原則．如圖堆棧（l）的個連續存儲單元已依次存人數據，，取出數據的順序是，；堆棧（2）的個連續存儲單元已依次存人數據，，，取出數據的順序則是，，．現在要從這兩個堆棧中取出這個數據（每次取出個數據），則不同順序的取法的種數有（
）．
A．種
B．種
C．種
D．種
14．如圖，小圓圈表示網絡的結點，結點之間的連線表示它們之間有網線相連，連線標注的數字表示該網線單位時間內可以通過的最大信息量．現從結點向結點傳遞信息，信息可以分開沿不同的路線同時傳遞，由單位時間內傳遞的最大信息量為（
）
A．
B．
C．
D．
15．寫出一個四位數，它的各個數位上的數字都不相等（如），用這個四位數各個數位上的數字組成一個最大的數和一個最小的數，并用最大數減去最小數，得到一個新的四位數，對于新得到的四位數，重復上面過程，又得到一個新的四位數，一直重復下去，你發現了什么？請你用計算器，幫助你進行探索．
16．某人租用一輛汽車由城前往城，沿途可能經過的城幣以及通過網城市之間所需的時間（單位：小時）如圖所示．若汽車行駛的平均速度為千米／時，而汽車每行駛千米需要的平均費用為元，試指出此人從城出發到城的最短路線，并求出所需費用最少為多少元？
17．按下面的程序計算，若開始輸入的值為正數，最后輸出的結果為，那么滿足條件的的不同值最多有多少個？
18．在密碼學中，你直接可以看到的內容為明碼，對明碼進行某種處理后得到的內容為密碼，對于英文，人們將個字母按順序分別為對應整數到，現有個字母構成的密碼單詞，記個字母對應的數字分別為，，，，已知整數，，，，除以的余數分別是，，，，請你通過推理計算破譯此密碼，寫出這個單詞，并寫出此單詞的漢語詞意．
4信息技術的數學問題
問題解決
例1由條件得
得，
故當時
例2
B
例3畫出路線圖：
故有條不同途徑．
例4（1）“”表示開，“”表示關，則所有不同的“開”“關”的狀態可表示為：
（全開）
，，，
（三開一關）
，，
（兩開兩關）
共有種
（2）由，，，
歸納出
（3）
例5（1）將明文NET轉換成密文
即密文為
（2）將密文轉換成明文
即密文DWN的明文為FYC
數學沖浪
1．
2．
3．
4．“”、“”
5．C
6．B
經若干次輸出后結果反復循環
7．B
8．（1）略；（2）
9．
密碼
原數
10．m對應的數學是，
除以的余數仍然是，因此對應的字母是w；
a對應的數字是，，除以的余數仍然是，因此對應的字母是k；
t對應的數字是，，除以的余數是，因此對應的字母是d；
……所以maths譯成密文后是wkdrc．
11．
12．最省路線圖
故最少網線費用為（萬元）
13．C
14．B
15．最終總能出現這個四位數
16．從城出發到城的路線有如下兩類：（1）從城出發到達城，經過城，因從城到城所需最短時間為小時，從城到城所需最短時間為小時，故此類路線所需最短時間為小時；
（2）從城出發到達城，不經過城，這時從城到城，必定經過、、城或、、城，所需時間至少為小時．
綜上，從城到達城所需的最短時間為小時，所走的路線為，所需的費用最少為（元）
17．由得
由，得；
由，得．
故的不同值最多有個．
18．在的整數中，只有滿足
得，又除以的余數為，而除以余數為，
而除以的余數為，得，對應，，，的字母分別是h，o，p，e，故密碼單詞為hope（希望）．秦九韶（-），字道古，南宋時期著名數學家，《數學九章》是他的代表著作，他對“大衍求一術”（整數論中的一次同余組解法）和“正負開方術”（高次方程的數值解法）的研究，取得卓越的成果，前者被稱為“中國剩余定理”，后者被稱為“秦九韶程序”．美國科學史家薩頓說：“秦九韶是他那個民族，那個時代，并且確實也是所有時代最偉大的數學家之一．”
6．一元一次方程
解讀課標
方程是刻畫現實世界的有效數學模型．一元一次方程是方程中最簡單、最基礎的部分，是后續學習高次方程的基礎．其基本內容包括：解方程、方程的解及其討論．
去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為得方程的解，這是解一元一次方程的一般步驟．在解一元一次方程時，既要能按部就班（嚴格按步驟）解方程，又要能隨機應變（打亂步驟）解方程．
代解是處理方程的解的基本方法．當方程中的系數是用字母表示時，這樣的方程稱為含字母系數的方程，含字母系數的方程總能化為的形式．方程的解由、的取值范圍確定，具體情形如下：
1．當時，原方程有唯一解；
2．當且時，原方程有無數個解；
3．當且時，原方程無解．
問題解決
例1
若以為未知數的方程與的解相同，則_______．
試一試
由“解相同”建立關于的方程．
例2
若為整數，則使得方程的解也是整數的值有（
）．
A．個
B．個
C．個
D．個
試一試
把用含的式子表示，結合整除的知識確定值的個數．
例3
解下列方程．
（1）；
（2）；
（3）．
試一試
解方程的目的是通過變形把方程化為的形式，既可嚴格按步驟解方程，又可隨機應變解方程．仔細觀察方程的特點，靈活運用相關知識，簡化解方程的過程．
例4
（1）解下列關于的方程：
①；
②
③
（2）為何值時，方程有無數多個解？無解？
試一試
對于（1），把方程化為一般形式后，再對每個方程中字母系數可能取值的情況進行討論；對于（2），化簡原方程，利用方程各種解的情形所應滿足的條件建立的關系式．
例5
（1）在日歷中（如圖），任意圈出一豎列上相鄰的三個數，設中間的一個為，則用含的代數式表示這三個數（從小到大排列）分別是_____________．
（2）現將連續自然數至按圖中的方式排成一個長方形陣列，用一個正方形框出個數（如圖）．
①圖中框出的這個數的和是___________；
②在右圖中，要使一個正方形框出的個數之和分別等于，，是否可能？若不可能，試說明理由，若有可能，請求出該正方形框出的個數中的最小數和最大數．
試一試
對于（2）中②，引入未知數，建立關于這個未知數的一元一次方程，將問題轉化為討論方程是否存在正整數解．
丟番圖的墓志銘
例6
丟番圖，古希臘數學家，大約生活在公元世紀，被譽為“代數學的鼻祖”．他死后，其墓志銘很特別，碑文是這樣的：
過路的人！
這兒埋葬著丟番圖．
請計算下列數目，
便可知他一生度過了多少個寒暑，
他一生的六分之一是幸福的童年，
十二分之一是無憂無慮的少年，
再過七分之一的生命旅程，
他建立了幸福的家庭，
五年后兒子出生，
不幸兒子競先于父親四年而終，
年齡不過父親享年的一半，
晚年喪子老人真可憐，
悲痛之中度過了風燭殘年，
請你算一算，丟番圖活到鄉少歲才和死神見面？
解法一
代數解法
設丟番圖活了歲，由題意得
，
解得．
解法二
算術解法
從上式所列的方程中我們可以看出，丟番圖的年齡是和的倍數，也是和的倍數（因為年齡總是整數）．故他的年齡是、、、的公倍數，而、、、的公倍數，即是與的公倍數．我們可以先求與的最小公倍數．因為與互質，所以它們的最小公倍數應為，其他大于的公倍數是不合乎常理的，如，而的是，歲就不再是童年，所以也不合題意，其他更大的公倍數就更不可能了，故丟番圖的年齡為歲．
數學沖浪
1．算籌方程
“方程”二字最早見于我國《九章算術》這部數學經典著作中，該書的第八章名“方程”．在《九章算術》中的算籌都是豎排的，為了看圖方便，我們把它改為橫排．
如圖，各行從左到右列出算籌數分別表示未知數，的系數與相應的常數項，如：
表示方程，
表示方程，
表示方程______________，
表示方程_____________．
2．（1）對于任意有理數、、、，規定了一種運算，如，那么當時，_______________
（2）當______，________時，方程有唯一解；當_______，______時，方程無解；當________，_______時，方程有無窮多個解．
3．已知關于的方程有整數解，那么滿足條件的所有整數_________．
4．已知關于的方程與方程的解相同，則方程的解為_________．
5．已知關于的方程的解滿足，則的值為（
）
A．
B．
C．或
D．或
6．若關于的一元一次方程的解是，則的值是（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知關于的方程無解，則是（
）
A．正數
B．非正數
C．負數
D．非負數
8．關于的方程的解為正整數，則的值為（
）
A．
B．
C．或
D．或
9．解下列關于的方程
（1）
（2）
（3）
（4）
10．已知關于的方程，問當取何值時（1）方程無解；
（2）方程有無窮多解．
11．已知關于的方程的解是，其中且，求代數式的值．
思維方法天地
12．如果，那么______________．
13．如下表，從左到右在每個小格子中都填入一個整數，使得其中任意三個相鄰格子中所填整數之和都相等，則第個格子中的數為_______________．
…
14．已知，，其中，那么_________．
15．若，則方程的解是（
）
A．
B．
C．
D．
16．下圖是學校化學實驗室用于放試管的木架，在每層長的木條上鉆有個圓孔，每個圓孔的直徑均為．兩端與圓孔邊緣及任何相鄰兩孔邊緣之間的距離都相等并設為，則為（
）
A．
B．
C．
D．
17．若方程無解，則（
）
A．
B．
C．
D．
18．甲隊原有人，現調出人到乙隊，調出人數后，甲隊人數是乙隊人數的（是不等于的正整數）倍還多人．問乙隊原有多少人？
19．將自然數至按圖中的方式排列：
如圖，用一個長方形框出個數（行列），已知這個數的和為，求這個數中最小的數．
應用探究樂園
20．解方程（1）；
（2）．
21．用同樣大小的黑色棋子按如圖所示的規律擺放：
（1）第個圖形有多少顆黑色棋子？
（2）第幾個圖形有顆黑色棋子？請說明理由．
6．一元一次方程
問題解決
例1
例2
D
為整數，又，可取，,,,,,，共個值，相應的值也有個．
例3
（1）視為整體，先去括號得；
（2）運用分數性質將小數化為整數，得；
（3）先去括號得．
例4
（1）①；
②當時，方程有唯一解；當時，原方程無解；
③原方程化為，當時，原方程有唯一解；當，時，原方程有無數個解；當，時，原方程無解．
（2）原方程化為
①當，即時，原方程有無數個解；
②當，即時，原方程無解．
例5
（1），，．
（2）①經觀察不難發現，在這個方框里的每兩個關于中心對稱的數之和都等于，如與，與，與都是成中心對稱的，于是易算出這個數之和為．
②設框出的個數中最小的一個數為，則這個數組成的正方形方框如下圖所示．因為方框中每兩個關于正方形的中心對稱的數之和都等于，所以這個數之和為．
當時，．
當時，．
為自然數，不合題意．
即框出的個數之和不可能等于．
由長方形陣列的排法可知，只可能在，，，列，即被除的余數只可能是，，，．因為，所以，這個數之和等于是可能的，這時，方框中最小的數是，最大的數是．
數學沖浪
1．；
2．（1）
（2）略
3．、、、
，，或
4．
5．D
6．B
7．B
8．D
9．（1）；
（2）；
（3）當時，方程有唯一解；當時，方程無解；
（4）當時，方程有唯一解；當且時，方程有無數個解；當且時，方程無解．
10．原方程化為
（1）當時，方程無解；
（2）當時，方程有無數個解．
11．
12．
13．
可推得，，，填入整數后的排列是，，，，，…
14．
設，，．得
15．C
16．A
17．C
18．設乙隊原有人，則，得，因必須為正整數，且，所以也是正整數，只能取，，，只有當時，．
19．
20．（1）原方程化為，即，得．
（2），故．
21．（1）
第個圖形有顆黑色棋子數與代數
劉徽（生于公元年左右），是中國數學史上偉大的數學家，在世界數學史上也占有杰出的地位，他的杰作《九章算術注》和《海島算經》是我國最寶貴的數學遺產．劉徽鉆研學術嚴謹、求實，講究“析理以辭，解體用圖”，他善于啟發，主張“告往而知來，舉一隅而三隅反”．
1．數形結合話數軸
解讀課標
1．數形結合話數軸
數學是研究“數”和“形”的一門學科，從古希臘時期起，人們就已試圖把它們統一起來．
在日常生活中我們通常對有形的東西認識比較快，而對抽象的東西認識比較慢，這正是現階段數學學習的特點，以形助數是數學學習的一個重要方法．
運用數形結合思想解題的關鍵是建立數與形之間的聯系，現階段數軸是數形聯系的有力工具，主要反映在：
1．利用數軸形象地表示有理數；
2．利用數軸直觀地解釋相反數；
3．利用數軸解決與絕對值有關的問題；
4．利用數軸比較有理數的大小．
問題
例1（1）已知、為有理數，且，，，將四個數、、、按由小到大的順序排列是_________．
（2）已知數軸上有、兩點，、之間的距離為，點與原點的距離為，那么點對應的數是__________．
試一試
對于（1），賦值或借助數軸比較大小；對于（2）確定、兩點在數軸上的位置，充分考慮、兩點的多種位置關系．
例2
如圖，數軸上標出若干個點，每相鄰兩點相距個單位，點、、、對應的數分別是整數、、、，且，那么數軸的原點應是（
）
A．點
B．點
C．點
D．點
試一試從尋找與的另一關系式入手．
例3
已知兩數、，如果比大，試判斷與的大小．
試一試
因、符號未定，故比大有多種情形，借助數軸可直觀全面比較與的大小．
例4
電子跳蚤落在數軸上的某點，第一步從向左跳個單位到，第一步由向右跳個單位到，第三步由向左跳個單位到，第四步由向右跳個單位到，……，按以上規律跳了步時，電子跳蚤落在數軸上的點所表示的數恰是，試求電子跳蚤的初始位置點所表示的數．
試一試
設點表示的數為，把、、…、點所表示的數用的式子表示．
例5
已知數軸上的點和點之間的距離為個單位長度，點在原點的左邊，距離原點個單位長度，點在原點的右邊．
（1）求、兩點所對應的數．
（2）數軸上點以每秒個單位長度出發向左運動，同時點以每秒個單位長度的速度向左運動，在點處追上了點，求點對應的數．
（3）已知在數軸上點從點出發向右運動，速度為每秒個單位長度，同時點從點出發向右運動，速度為每秒個單位長度，設線段的中點為（為原點)，在運動的過程中線段的值是否變化？若不變，求其值；若變化，請說明理由．
分析與解
對于（3），設點運動時間為秒，把用的式子表示．
（1）、兩點所對應的數分別為，；
（2）點對應的數為；
（3），（為什么？），則，即的值不變．
生活啟示
例6
李老師從油條的制作中受到啟發，設計了一個數學問題．如圖，在數軸上截取從原點到的對應點的線段，對折后（點與點重合），固定左端向右均勻地拉成個單位長度的線段，這一過程稱為一次操作（例如，在第一次操作后，原線段上的，均變成；變成；等等）．那么在線段上（除點、點外）的點中，在第二次操作后，求恰好被拉到與重合的點所對應的數字之和．
分析
捕捉問題所蘊含的信息，閱讀理解“一次操作”的意義：將線段沿中點翻折，中點左側的點不動，中點右側的點翻折到左側的對應位置上，由原來的一個等分點變為兩個等分點．
解：原圖
對折后
拉長后
對折后
拉長后
故在第二次操作后，恰好被拉到與重合的點所對應的數字之和是．
數學沖浪
知識技能廣場
1．數軸上有、兩點，若點對應的數是，且、兩點的距離為，則點對應的數是______．
2．電影《哈利·波特》中，小哈利·波特穿墻進入“站臺”的鏡頭（如示意圖中的站臺），構思奇妙，能給觀眾留下深刻的印象，若、站臺分別位于，處，，則站臺用類似電影中的方法可稱為“_________站臺”．
3．已知點、、在數軸上，點表示的數為，，，那么點表示的數是_______．
4．如圖所示，按下列方法將數軸的正半軸繞在一個圓（該圓周長為個單位長，且在圓周的三等分點處分別標上了數字、、）上：先讓原點與圓周上數字所對應的點重合，再將正半軸按順時針方向繞在該圓周上，使數軸上、、、、…所對應的點分別與圓周上、、、所對應的點重合．這樣，正半軸上的整數就與圓周上的數字建立了一種對應關系．
（1）圓周上的數字與數軸上的數對應，則________；
（2）數軸上的一個整數點剛剛繞過圓周圈（為正整數）后，并落在圓周上數字所對應的位置，這個整數是________（用含的代數式表示）．
5．有理數、在數軸上的位置如圖所示：，則下列各式正確的是（）
A．
B．
C．
D．
6．文具店、書店、玩具店依次坐落在一條東西走向的大街上，文具店在書店西米，玩具店位于書店東米處，小明以書店沿街向東走了米，接著又向東走了米，此時小明的位置在（
）
A．文具店
B．玩具店
C．文具店西邊米
D．玩具店東米
7．將一刻度尺如圖所示放在數軸上（數軸的單位長度是），刻度尺上的“”、“”分別對應數軸上的和，則（
）
A．
B．
C．
D．
8．在數軸上任取一條長度為的線段，則此線段在這條數軸上最多能蓋住的整數點的個數是（
）
A．
B．
C．
D．
9．一個跳蚤在一條直線上，從點開始，第次向右跳個單位，緊接著第次向左跳個單位，第次向右跳個單位，第次向左跳個單位……依此規律跳下去，當它跳第次落下時，求落點處離點的距離（用單位表示）．
10．已知數軸上有、兩點，、之間的距離為，點與原點的距離為，求所有滿足條件的點與原點的距離的和．
思維方法天地
11．在數軸上，點、分別表示和，則線段的中點所表示的數是______．
12．在數軸上，表示數的點與表示數的點關于原點對稱，則的值為_______．
13．數形相伴
（1）如圖所示，點、所代表的數分別為，，在數軸上畫出與、兩點的距離和為的點（并標上字母）．
（2）若數軸上點、所代表的數分別為、，則、兩點之間的距離可表示為，那么，當時，________；當時，數所對應的點在數軸上的位置是在________．
14．點、分別是數、在數軸上對應的點，使線段沿數軸向右移動為，且線段的中點對應的數是，則點對應的數是_______，點移動的距離是________．
15．點、、、…、（為正整數）都在數軸上，點在原點的左邊，且，點在點的右邊，且；點在點的左邊，且，點在點的右邊，且，……，依照上述規律，點、所表示的數分別為（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
16．如圖：，數軸上標出若干個點，每相鄰兩點相距個
單位，點、、、對應的數分別是整數、、、，且，那么數軸的原點對應點是（
）
A．點
B．點
C．點
D．點
17．有理數、、在數軸上的位置如圖，式子化簡結果為（
）
A．
B．
C．
D．
18．不相等的有理數、、在數軸上對應點分別為、、，若，那么點（
）
A．在、點右邊
B．在、點左邊
C．在、點之間
D．以上均有可能
19．在數軸上，點與點的距離是點與所對應點之間的距離的倍，那么點表示的數是多少？
20．已知數軸上有、、三點，分別代表、、，兩只電子螞蟻甲、乙分別從、兩點同時相向而行，甲的速度為個單位／秒．
（1）問多少秒后甲到、、的距離和為個單位？
（2）若乙的速度為個單位／秒，兩只電子螞蟻甲、乙分別從、兩點同時相向而行，問甲、乙在數軸上的哪個點相遇？
（3）在（1）、（2）的條件下，當甲到、、的距離和為個單位時，甲調頭返回，問甲、乙還能在數軸上相遇嗎？若能，求出相遇點；若不能，請說明理由．
應用探究樂園
21．操作與探究
對數軸上的點進行如下操作：先把點表示的數乘以，再把所得數對應的點向右平移個單位，得到點的對應點．
點，在數軸上，對線段上的每個點進行上述操作后得到線段，其中，點，的對應點分別為，．如圖所示，若點表示的數是，則點表示的數是_______；若點表示的數是，則點表示的數是________；已知線段上的點經過上述操作后得到的對應點與點重合，則點表示的數是__________．
22．一動點從數軸上的原點出發，沿數軸的正方向以每前進個單位、后退個單位的程序運動，已知點每秒前進或后退個單位，設表示第秒點在數軸上的位置所對應的數（如，，），求所對應的數．
1．數形結合話數軸
問題解決
例1
（1）
（2）或或或
例2
B
由圖知，又，得．
例3
當點在原點的右邊時，，則；當點在原點的左邊時，，則；當點、分別在原點的右、左兩側時，，這時無法比較與的大小關系；當點正好在原點位置時，，則；當點正好在原點位置時，，則．
例4
設點表示的有理數為，則、、…、點所表示的有理數分別為，，，…，，由題意得．
數學沖浪
1．或
2．
3．或
4．（1）；（2）
5．A
6．A
7．C
8．C
9．，落點處與點距離為個單位長．
10．
11．
中點所表示的數是
12．
13．（1）如圖所示，點、兩點即為所求．
（2）或；點的左邊或點的右邊．
14．；
長為，對應數為，點移動的距離為．
15．C
16．C
17．C
18．C
19．
與
20．（1）設秒后甲到、、距離和為
．
①當甲在、之間時
，得．
②當甲在、之間時
，得，即秒或秒后．
（2）設秒后相遇
．
，即在處相遇．
（3）①設甲向走秒后掉頭返回秒與乙相遇
，解得．
∴．
②設甲向走秒后掉頭返回秒與乙相遇
，解得．
∴不合題意，舍去．即甲、乙能在所表示的點處相遇．
21．；；．設點表示的數為，則點表示的數為，由得．
22．因，，故所對應的數為．祖沖之，中國古代著名的數學家和天文學家，于公元年出生于建康（今江蘇南京），祖沖之從小就對天文、數學知識產生濃厚的興趣，“專攻數術，搜煉古今”，他在數學方面的成就，首推圓周率的計算，計算圓周率精確到小數點以后位，是當時世界上最杰出的成就；在天文學方面，他編寫了新的歷法——大明歷，這是當時最好的一部歷法．
2．聚焦絕對值
解讀課標
絕對值是數學中的一個基本概念，這一概念是學習相反數、有理數運算、算術根的基礎；絕對值又是數學中的一個重要概念，絕對值與其他知識融合形成絕對值方程、絕對值不等式、絕對值函數等，在代數式化簡求值、解方程、解不等式等方面有廣泛的應用．理解、掌握絕對值應注意以下幾個方面：
1．脫去絕對值符號是解絕對值問題的切入點
脫去絕對值符號常用到相關法則、分類討論、數形結合等知識方法．
2．恰當地運用絕對值的幾何意義
從數軸上看表示數的點到原點的距離；表示數、數的兩點間的距離．
3．靈活運用絕對值的基本性質
①；②；③；④．
問題解決
例1
已知，其中，，那么的最小值為_______．
試一試結合已知條件判斷每一個絕對值符號內式子的正負性，再去掉絕對值符號．
例2
式子的所有可能的值有（
）．
A．個
B．個
C．個
D．無數個
試一試
根據、的符號所有可能情況，去掉絕對值符號，這是解本例的關鍵．
例3
（1）已知，求的值．
（2）設、、為整數，且，求的值．
試一試
對于（1），由非負數的性質先導出、的值；對于（2），寫成兩個非負整數的和的形式又有幾種可能？這是解（2）的突破口．
例4
閱讀下列材料并解決有關問題：
我們知道，現在我們可以用這一結論來化簡含有絕對值的代數式，如化簡代數式時，可令和，分別求得，（稱，分別為與的零點值）．在有理數范圍內，零點值和可將全體有理數分成不重復且不遺漏的如下3種情況：
（1）；（2）；（3）．從而化簡代數式可分以下3種情況：
（1）當時，原式；
（2）當時，原式；
（3）當時，原式．
綜上討論，原式，
通過以上閱讀，請你解決以下問題：
（1）分別求出和的零點值；
（2）化簡代數式．
試一試
在閱讀理解的基礎上化簡求值．
例5
（1）當取何值時，有最小值？這個最小值是多少？
（2）當取何值時，有最大值？這個最大值是多少？
（3）求的最小值．
（4）求的最小值．
分析
對于（3）、（4）可先運用零點分段討論法去掉絕對值符號，再求最小值；也可利用絕對值的幾何意義，即在數軸上找一表示的點，使之到表示、的點（或表示、、的點）的距離和最小．
解
（1）當時，原式有最小值，最小值為．
（2）當時，原式有最大值，最大值為．
（3）當時，原式有最小值，最小值為．
（4）當時，原式有最小值，最小值為．
對于（3），給出另一種解法：
當時，原式，最小值為；
當時，原式，最小值為；
當時，原式，最小值為．
綜上所述，原式有最小值等于．
以退求講
例6
少年科技組制成一臺單項功能計算器，對任意兩個整數只能完成求差后再取絕對值的運算，其運算過程足：輸入第一個整數，只顯示不運算，接著再輸入整數后則顯示的結果，此后每輸入一個整數都是與前次顯示的結果進行求差取絕對值的運算，現小明將從到這個整數隨意地一個一個地輸入，全部輸入完畢之后顯示的最后結果設為，試求出的最大值，并說明理由．
分析
先考慮輸入個數較少的情形，并結合奇偶分析調整估值，一步步求出的最大值．
解
由于輸入的數都是非負數，當，時，不超過、中最大的數，對，，，則不超過、、中最大的數，設小明輸入這個數的次序是，，…，．相當于計算：，因此的值．
另外從運算奇偶性分析，、為整數，與奇偶性相同，因此與的奇偶性相同．
但偶數，于是斷定．我們證明可以取到．
對，，，，按如下次序：，
，對于，，，…均成立．
因此，可按上述辦法依次輸入最后顯示結果為，而后，故的最大值為．
數學沖浪
知識技能廣場
1．數在數軸上的位置如圖所示，且，則______．
2．已知，，且，那么_______．
3．化簡________．
4．已知有理數、、在數軸上的對應位置如圖所示：，化簡后的結果是________．
5．已知整數，，，，…滿足下列條件：，，，，…，依次類推，則的值為（
）．
A．
B．
C．
D．
6．已知，化簡所得的結果是（
）
A．
B．
C．
D．
7．若是有理數，則一定是（
）．
A．零
B．非負數
C．正數
D．負數
8．有理數、、的大小關系如圖：，則下列式子中一定成立的
是（
）
A．
B．
C．
D．
9．化簡
（1）；
（2）．
10．閱讀下面材料并回答問題．
點、在數軸上分別表示實數、，、兩點之間的距離表示為．
當、兩點中有一點在原點時，不妨設點在原點，如圖①，；當、兩點都不在原點時，（1）如圖②，點、都在原點的右邊，；
（2）如圖③，點、都在原點的左邊，；
（3）如圖④，點、在原點的兩邊，．
綜上，數軸上、兩點之間的距離．
請回答：
①數軸上表示和的兩點之間的距離是_______，數軸上表示和的兩點之間的距離是_______，數軸上表示和的兩點之間的距離是________；
②數軸上表示和的兩點和之間的距離是__________，如果，那么為_________；
③當代數式取最小值時，相應的的取值范圍是_________．
思維方法天地
11．已知，，，且，那么_________．
12．在數軸上，點表示的數是，點表示的數是，且、兩點的距離為，則______．
13．已知，，那么_________．
14．（1）的最小值為________．
（2）的最小值為________．
15．有理數、在數軸上對應的位置如圖所示：，則代數式的值為（
）
A．
B．
C．
D．
16．若，則的值為（
）
A．
B．
C．
D．
17．如圖，已知數軸上點、、所對應的數、、都不為，且是的中點．如果，那么原點的位置在（
）
A．線段上
B．線段的延長線上
C．線段上
D．線段的延長線上
18．設，則的最小值為（
）
A．
B．
C．
D．
19．已知點在數軸上對應的數為，點對應的數為，且，、之間的距離記作．
（1）求線段的長；
（2）設點在數軸上對應的數為，當時，求的值；
（3）點在的左側，、分別是、的中點，當點在的左側移動時，式子的值是否發生改變？若不變，請求其值；若發生變化，請說明理由．
20．已知，且、、都不等于，求的所有可能值．
應用探究樂園
21．絕對值性質
（1）設、為有理數，比較與的大小．
（2）已知、、、是有理數，，，且，求的值．
22．已知數軸上兩點、對應的數分別為，，點為數軸上一動點，其對應的數為．
（1）若點到點、點的距離相等，求點對應的數．
（2）數軸上是否存在點，使點到點、點的距離之和為？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．
（3）當點以每分鐘個單位長的速度從點向左運動時，點以每分鐘個單位長的速度向左運動，點以每分鐘個單位長的速度向左運動，問它們同時出發，幾分鐘后點到點、點的距離相等？
2．聚焦絕對值
問題解決
例l
，當時，的值最小為．
例2
A
分，；，；，；，四種情況討論．
例3
（1）由，，得，．
原式．
（2）因、、為整數，且，
故與一個為，一個為，從而所以，原式．
例4
（1）分別令和，分別求得和，
和的零點值分別為和．
（2）當時，原式；當時，原式；當時，原式．
綜上討論，原式
數學沖浪
1．
2．或
3．
4．
5．B
，，，，，，，對應的數分別為，，，，，，，．
6．A
7．B
8．C
9．（1）原式
（2）原式
10．①，；
②；或
③
11．或
12．
13．
分，同號、，異號兩種情形討論
14．（1）
（2）
15．D
16．C
17．A
提示：
原式化為
18．B
19．
（1）；（2）；（3），值不變．
20．或或
21．（1），當且僅當、同號或、至少有一為時等號成立．
（2）因，，故，又因為，所以，，故原式．
22．（1）；（2）或；（3）未追上時，；追上時，．楊輝，中國南宋時期杰出的數學家，大約于世紀中葉至末葉生活在錢塘（今杭州）一帶．他一生著作很多，著名的數學書共種卷．大家熟悉的“楊輝三角”數表就在他年所著的《詳解九章算術》一書里記載著，他在《續古摘奇算法》中介紹了各種形式的“縱橫圖”及有關的構造方法．
3．有理數的運算
有理數及其運算是整個數與代數的基礎，有關式的所有運算都是建立在數的運算基礎上．深刻理解有理數相關概念，掌握一定的有理數運算技能是數與代數學習的基礎．
有理數的運算不同于算術數的運算：這是因為有理數的運算每一步要確定符號，有理數的運算很多是字母運算，也就是常說的符號演算．
運算能力是運算技能與推理能力的結合．這就要求我們既能正確地算出結果，又善于觀察問題的結構特點，選擇合理的運算路徑，提高運算的速度．有理數運算常用的技巧與方法有：
利用運算律；以符代數；恰當分組；裂項相消；分解相約；錯位相減等．
問題解決
例1
（1）已知，記，，…，，則通過計算推測的表達式________．（用含的代數式表示）
（2）若、是互為相反數，、是互為倒數，的絕對值等于，則的值是____．
試一試
對于（2），運用相關概念的特征解題．
例2
已知整數、、、滿足，且，那么等于（
）．
A．
B．
C．
D．
試一試
解題的關鍵是把表示成個不同整數的積的形式．
例3
計算
（1）；
（2）；
（3）．
試一試
對于（1），設原式，將各括號反序相加；對于（2），若計算每個分母值，則易掩蓋問題的實質，不妨先從考察一般情形入手；對于（3），視除數為一整體，從尋找被除數與除數的關系入手，
例4
在數學活動中，小明為了求的值（結果用表示），設計了如圖所示的幾何圖形．
（1）請你用這個幾何圖形求的值；
（2）請你用圖②，再設計一個能求的值的幾何圖形．
試一試
求原式的值有不同的解題方法，而剖分圖形面積是構造圖形的關鍵．
例5
在，，…，前面任意添上正號和負號，求其非負和的最小值．
分析與解
首先確定非負代數和的最小值的下限，然后通過構造法證明這個下限可以達到即可．整數的和差仍是整數，而最小的非負整數是．代數和的最小值能是嗎？能是嗎？由于任意添“+”號或“-”號，形式多樣，因此，不可能一一嘗試再作解答，從奇數、偶數的性質入手．
因與的奇偶性相同，故所求代數和的奇偶性與的奇偶性相同，即為奇數．因此，所求非負代數和不會小于．
又，
所求非負代數和的最小值為．
類比
類比是一種推理方法，根據兩種事物在某些特征上的相似，作出它們在其他特征上也可能相似的結論．
觸類旁通，即用類比的方法提出問題及尋求解決問題的途徑和方法．
例6觀察下面的計算過程
．
問：（1）從上面的解題方法中，你發現了什么？用字母表示這一規律．
（2）“學問”，既要學會解答，又要學會發問．愛因斯坦曾說：。提出問題比解決問題更重要”．
請用類比的方法盡可能多地提出類似的問題．
分析與解
（1）．
（2）從連續自然數到連續偶數，從個到個，從分數到整數，類比可提出下列計算問題：
①；
②；
③；
④．
數學沖浪
知識技能廣場
1．如圖，每一個小方格的面積為，則可根據面積計算得到如下算式：________．（用表示，是正整數）．
2．某數學活動小組的位同學站成一列做報數游戲，規則是：從前面第一位同學開始，每位同學依次報自己順序數的倒數加，第位同學報，第位同學報，第位同學報，這樣得到的個數的積為_________．
3．計算：
（1）_________．
（2）_______．
4．“數21世紀教育網子”高斯從小就善于觀察和思考，在他讀小學時就能在課堂上快速地計算出，今天我們可以將高斯的做法歸納如下：
①
②
①+②有，．
請類比以上做法，回答下列問題：
若為正整數，，則_______．
5．設，在代數式，，，，，，中負數的個數是（
）
A．
B．
C．
D．
6．我國郵政國內外埠郵寄印刷品郵資標準如下：克以內元，每增加克（不足克按克計）元．某人從成都郵寄一本書到上海，書的質量為克，則他應付郵資（
）元．
A．
B．
C．
D．
7．為了求的值，可令，則，因此，所以．仿照上面推理計算出的值是（
）．
A．
B．
C．
D．
8．下面是按一定規律排列的一列數：
第個數：；
第個數：；
第個數：；
……
第個數：．
那么，在第個數、第個數、第個數、第個數中，最大的數是（
）
A．第個數
B．第個數
C．第個數
D．第個數
9．觀察圖形，解答問題：
（1）按下表已填寫的形式填寫表中的空格：
圖①
圖②
圖③
三個角上三個數的積
三個角上三個數的和
積與和的商
（2）請用你發現的規律求出圖④中的數和圖⑤中的數．
10．觀察下列等式：
第個等式：；
第個等式：；
第個等式：；
第個等式：；
……
請解答下列問題：
（1）按以上規律列出第個等式：_______=_______；
（2）用含的代數式表示第個等式：_______=________（為正整數）；
（3）求的值．
思維方法天地
11．計算：
（1）______．
（2）_______．
（3）_________．
12．設三個互不相等的有理數，既可分別表示為，，的形式，又可分別表示為，，的形式，則_______．
13．已知，則________．
14．已知、、滿足且，則代數式的值是______．
15．的值是（
）
A．
B．
C．
D．
16．如果個不同的正整數、、、滿足，那么等于（
）
A．
B．
C．
D．
E．
17．如果，那么的值為（
）
A．
B．
C．
D．不確定
18．觀察下列各式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
……
請你根據觀察得到的規律判斷下列各式正確的是（
）
A．
B．
C．
D．
19．觀察下面的等式：
，；
，；
，；
，．
（1）小明歸納上面各式得出一個猜想：“兩個有理數的積等于這兩個有理數的和”，小明的猜想正確嗎？為什么？
（2）請你觀察上面各式的結構特點，歸納出一個猜想，并證明你的猜想．
20．同學們，我們曾經研究過的正方形網格，得到了網格中正方形的總數的表達式為．但為時，應如何計算正方形的具體個數呢？下面我們就一起來研究并解決這個問題．首先，通過探究我們已經知道
時，我們可以這樣做：
（1）觀察并猜想：
，
，
；
……
（2）歸納結論：
=（________）+（___________）
=________+_________
；
（3）實踐應用：
通過以上探究過程，我們就可以算出當為時，正方形網格中正方形的總個數是________．
應用探究樂園
21．我國著名數學家華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休”．數學中，數和形是兩個最主要的研究對象，它們之間有著十分密切的聯系，在一定條件下，數和形之間可以相互轉化，相互滲透．數形結合的基本思想，就是在研究問題的過程中，注意把數和形結合起來考察，斟酌問題的具體情形，把圖形性質的問題轉化為數量關系問題，或者把數量關系的問題轉化為圖形性質的問題，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，化難為易，獲得簡便易行的成功方案．
例如，求的值，其中是正整數．
對于這個求和問題，如果采用純代數的方法（首尾兩頭加），問題雖然可以解決，但在求和過程中，需對的奇偶性進行討論．
如果采用數形結合的方法，即用圖形的性質來說明數量關系的事實，那就非常的直觀，現利用圖形的性質來求的值，方案如下：如圖，斜線左邊的三角形圖案是由上到下每層依次分別為，，，…，個小圓圈排列組成的，而組成整個三角形小圓圈的個數恰為所求式子的值．為求式子的值，現把左邊三角形倒放于斜線右邊，與原三角形組成一個平行四邊形．此時，組成平行四邊形的小圓圈共有行，每行有個小圓圈，所以組成平行四邊形小圓圈的總個數為個，因此，組成一個三角形小圓圈的個數為，即．
（1）仿照上述數形結合的思想方法；設計相關圖形，求的值，其中是正整數．（要求：畫出圖形，并利用圖形作必要的推理說明）
（2）試設計另外一種圖形，求的值，其中是正整數．（要求：畫出圖形，并利用圖形作必要的推理說明）
22．在“”的小方格中填上“+”、“-”號，如果可以使其代數和為，就稱數是“可被表出的數”（如是可被表出的數，這是因為是的一種可被表出的方法）．
（1）求證：是可被表出的數，而是不可被表出的數；
（2）求可被表出的不同方法的種數．
3．有理數的運算
問題解決
例1
（1）
（2）
例2
D
，，，，．
例3
（1）
設原式，又，兩式相加得，所以；
（2）
；
（3）
原式，其中．
例4
（1）原式；（2）略．
數學沖浪
1．
2．
3．（1）；（2）
4．
由，得
5．B
6．A
7．D
8．A
提示：第個數為，把第、、、個數分別求出．
9．（1）略
（2）圖④：，，；
圖⑤：，解得．
10．（1）；（2）；（3）原式
11．（1）；（2）；（3）
12．
這兩個三數組在適當的順序下對應相等，于是可以斷定，與中有一個為，與中有一個為，可推得，．
13．
14．
15．B
16．E
17．A
18．C
19．（1）小明的猜想顯然是不正確的，易舉出反例，如．
（2）將第一組等式變形為，，得出如下猜想：“若是正整數，則”．
證明：左邊右邊．
20．（1）；；；
（2）；；
；；；
（3）．
21．原式，構造平行四邊形或正方形．
22．（1），無論怎樣填“”、“”號，代數好一定是奇數，又，故是可被表出的數，而是不可被表出的數．
（2）設填“”號的數字和為，填“”號的數字和為，則，又，解得，，因，，故填“”號的數字至少有個至多有個，由此知填“”號的數之和為，只要計算出從到中選出若干個其和為的數字的不同方法，就得到可表出的不同方法，經討論知有種．

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