資源簡介

高斯，德國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和物理學(xué)家，有“數(shù)21世紀(jì)教育網(wǎng)子”之稱，高斯的成就遍及數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域，在數(shù)論、非歐幾何、重變函數(shù)論、橢圓函數(shù)論等方面均有開創(chuàng)性貢獻(xiàn)，他十分注重?cái)?shù)學(xué)的應(yīng)用，并且在對天文學(xué)、大地測量學(xué)和磁學(xué)的研究中也偏重于用數(shù)學(xué)方法
19．乘法公式
解讀課標(biāo)
多項(xiàng)式的形式是多種多樣的，兩個有一定關(guān)聯(lián)的特殊多項(xiàng)式相乘，結(jié)果常常簡潔而優(yōu)美．
乘法公式是多項(xiàng)式相乘得出的既有特殊性又有實(shí)用性的具體結(jié)論，學(xué)習(xí)乘法公式應(yīng)注意：
1．理解公式，掌握公式的結(jié)構(gòu)特征；
2．了解公式的變形與發(fā)展；
3．靈活運(yùn)用公式，既能正用、又能逆用，而且還能適當(dāng)變形或重新組合，綜合運(yùn)用公式；
4．把握公式的幾何意義，領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合的思想．
問題解決
例1如果正整數(shù)，滿足方程，則這樣的正整數(shù)對的個數(shù)是______．
試一試，以的奇偶性相同，這個十分簡單的結(jié)論是解本例的基礎(chǔ)．
例2已知、、滿足，，則的值等于（ ）
A． B． C． D．
試一試 由條件等式聯(lián)想到完全平方式，解題的切入點(diǎn)是整體考慮．
例3計(jì)算
（1）
（2）
（3）
試一試對于（1），通過對待求式恰當(dāng)變形，使之符合平方差公式的結(jié)構(gòu)特征；
對于（2），用字母表示數(shù)，將數(shù)值計(jì)算轉(zhuǎn)化為式的計(jì)算．
例4老師在黑板上寫出三個算式，，，王華接著又寫了兩個具有同樣規(guī)律的算式：，
（1）請你再寫出兩具有上述規(guī)律的版式；
（2）用文字寫出上述算式反映的規(guī)律；
（3）證明這個規(guī)律的正確性．
試一試 由特殊到一般，用字母表示算式反映的規(guī)律并證明．
例5（1）已知，求的值．
（2），，，
任意挑選另外兩個類似、的數(shù)，使它們能表示成兩個平方數(shù)的和，把這兩個數(shù)相乘，乘積仍然是兩個平方數(shù)的和嗎？你能說出其中的道理嗎？
分析 對于（1），由平方和聯(lián)想到完全平方公式及其逆用，利用配方求出，，，的值：對于（2），從試驗(yàn)入手，然后給出一般情形的證明．
解（1）由條件得，，，，原式．
（2）一般地，設(shè)，，
則
或
智慧數(shù)
例6整數(shù)問題常是饒有興趣又發(fā)人思考的，若對整數(shù)作一些特殊的規(guī)定，就會得到一些特殊定義下的新數(shù)，并由此產(chǎn)生令人思考的問題，
我們規(guī)定：若一個自然數(shù)能表示成兩個非零自然數(shù)的平方差，則把這個自然數(shù)稱為“智慧數(shù)”，如，則稱為智慧數(shù)．
請判斷：在自然數(shù)列中，從數(shù)起，第個智慧是哪個數(shù)？
分析與解 要確定第個智慧數(shù)，應(yīng)先找到智慧數(shù)的特征及分布規(guī)律．
因?yàn)椋@然，每個大于，并且是的倍數(shù)的數(shù)也是智慧數(shù)．由此可知，被除的偶數(shù)都不是智慧數(shù)．
所以，自然數(shù)列中最小的智慧數(shù)是，第個智慧數(shù)是，從起，依次是，，；，，；，，；，，；…即按個奇數(shù)，一個的倍數(shù)，三個一組地依次排列下去．根據(jù)這個結(jié)論，我們?nèi)菀字溃阂驗(yàn)椋缘趥€智慧數(shù)是，故第個智慧數(shù)是．
數(shù)學(xué)沖浪
知識技能廣場
1．若，則代數(shù)式的值為．
2．已知，，則=______．
3．已知，則=______．
4．已知，則的值為_______．
5．已知以、、、滿足，，則的值為______．
6．如圖，從邊長為的正方形內(nèi)去掉一個邊長為的小正方形，然后將剩余部分剪拼成一個長方形，上述操作所能驗(yàn)證的等式是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，，，則代數(shù)式的值是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
9．若、為有理數(shù)，且，則=（ ）
A． B． C． D．
10．在，，，這四個數(shù)中，不能表示為兩個整數(shù)平萬的數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
11．計(jì)算
（1）
（2）
（3）
12． 一個自然數(shù)減去后是一個完全平方數(shù)，這個自然數(shù)加上后仍是一個完全平方數(shù)，試求這個自然數(shù)．
思維方法天地
13．已知，那么=_____．
14．已知，，則=______．
15．楊輝三角是一個由數(shù)字排列成昀三角形數(shù)表，一般形式如圖所示，其中每一橫行都表示（此處，，，，，，）的展開式中的系數(shù)，楊輝三角最本質(zhì)的特征是，它的兩條斜邊都是由數(shù)字組成的，而其余的數(shù)則是等于它“肩”上的兩個數(shù)之和．






上圖的構(gòu)成規(guī)律你看懂了嗎？
請你直接寫出______．
楊輝三角還有另一個特征
（1）從第二行到第五行，每一行數(shù)字組成的數(shù)（如第三行為）都是上一行的數(shù)與______積．
（2）由此你可寫出=______．
（3）由第_____行可寫出=______．
16．如果，且，則的值是（ ）
A． B． C． D．
17．如果，，那么的值為（ ）
A． B． C． D．
18．把表示成兩個整數(shù)的平方差的形式，則不同的表示法有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
19．如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“神秘?cái)?shù)”，如，，，因此，，這三個數(shù)都是神秘?cái)?shù)．
（1）和這兩個數(shù)是神秘?cái)?shù)嗎？為什么？
（2）設(shè)兩個連續(xù)偶數(shù)為和（其中取非負(fù)整數(shù)），由這兩個連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的神秘?cái)?shù)是的倍數(shù)嗎？為什么？
（3）兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差（取正值）是神秘?cái)?shù)嗎？為什么？
20．已知，
（1）求的值；
（2）求的值．
應(yīng)用探究樂園
21．（1）證明：奇數(shù)的平方被除余．
（2）請你進(jìn)一步證明：不能表示為個奇數(shù)的平方之和．
22．某校舉行春季運(yùn)動會時(shí)，由若干名同學(xué)組成一個列的長方形隊(duì)列．如果原隊(duì)列中增人，就能組成一個正方形隊(duì)列；如果原隊(duì)列中減少人，也能組成一個正方形隊(duì)列．問原長方形隊(duì)列有多少名同學(xué)？

19乘法公式
問題解決
例1 對，且與的奇偶性相同，得
，，
則，
例2B三等式相加得：
，，
例3（1）原式
（2）設(shè)，則原式
（3）原式
例4（1）略
（2）規(guī)律：任意兩個奇數(shù)的平方差等于的倍數(shù)
（3）設(shè)、為整數(shù)，
當(dāng)、同奇或同偶，是的倍數(shù)，當(dāng)、一奇一偶，是的倍數(shù)．
數(shù)學(xué)沖浪
1． 2．
3．由條件得 4．
5．原式
6．A
7．B原式
8．C
9．B
10．C 形如或的數(shù)為“智慧數(shù)”
11．（1）；（2）；（3）
12．設(shè)這個自然為，由題意得②-①
得，即
從而，解得
故
13． 原式
14． 把代入
得，，
，，
15．略（1）
（2）（3）；
16．B 由，
得，從而
17．C
，
18．C 提示：有個正因數(shù)，分別是，，，，和，
因此對應(yīng)的方程組為：
故共有組不同的表示
19．（1），
故和都是神秘?cái)?shù)．
（2），為的倍數(shù)．
（3）神秘?cái)?shù)是的倍數(shù)，但一定不是的倍數(shù)，但，
故兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差不是神秘?cái)?shù)
20．（1），
得
（2）由，
得，即
得
又，平方得
故
21．（1）
，故奇數(shù)的平方被除余
（2）假設(shè)可以表示為個奇數(shù)的平方之和，也就是．（其中，，……，是奇數(shù)）
等式左邊被除余，而被除余，矛盾．故不能表示為個奇數(shù)的平方之和．
22．設(shè)，、均為正整數(shù)，且，①-②
得
，都是的倍數(shù)，則、能被整除，、均能被整除，
得或
∴或
，或
空間與圖形
歐拉，是世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)家之一，他不但在數(shù)學(xué)上作出了偉大貢獻(xiàn)，而且把數(shù)學(xué)成功地應(yīng)用到其他領(lǐng)域，在數(shù)論中，歐拉首選引進(jìn)了歐拉函數(shù)，用多種方法證明了費(fèi)用小定理，對著名的哥尼斯堡大橋問題的解答開創(chuàng)了圖論的研究，此外，歐拉還在物理、天文、建筑以及音樂、哲學(xué)等方面取得了輝煌的成就．
20．豐富的圖形世界
解讀課標(biāo)
20世紀(jì)初，偉大的法國建筑家列·柯爾伯齊曾說：“我想，到目前為止，我們從沒有生活在這樣的幾何時(shí)期，周圍的一切都是幾何學(xué)．”
生活中蘊(yùn)含著豐富的幾何圖形，圓的月亮，平的湖面，直的樹干，造型奇特的建筑，不斷移動、反轉(zhuǎn)、放大縮小的電視畫面……圖形有的是立體的，有的是平面的，立體圖形與平面圖形之間的聯(lián)系，從以方面得以體現(xiàn)：
1．立體圖形的展開與折疊；
2．從各個角度觀察立體圖形；
3．用平面去截立體圖形．
觀察歸納、操作實(shí)驗(yàn)、展開想象、推理論證是探索圖形世界的基本方法．
問題解決
例1 如圖是一個正方體表面展開圖，如果正方體相對的面上標(biāo)注的值相等那么_____．
試一試展開與折疊是兩個步驟相反的過程，從折疊還原成正方體人手．
例2如圖，是由一些完全相同的小立方塊搭成的幾何體的三種視圖，那么搭成這個幾何體所用的小立方塊的個數(shù)是（ ）
A．個 B個 C．個 D．個
試一試根據(jù)三視圖和幾何體的關(guān)系。分別確定該幾何體的列數(shù)和每一列的層數(shù)．
例3 由一些大小相同的小正方體組成的簡單幾何體的主視圖和俯視圖如圖．
（1）請你畫出這個幾何體的一種左視圖；
（2）若組成這個幾何體的小正方體的塊數(shù)為，求的值．
試一試本例可以在“腦子”中想象完成，也可以用實(shí)物擺一擺，從操作實(shí)驗(yàn)人手，從俯視圖可推斷左視圖只能有兩列，由主視圖分析出俯視圖每一列小正方形的塊數(shù)情況是解本例的關(guān)鍵，而有序思考、分類討論，則可避免重復(fù)與遺漏．
例4如圖是由若干個正方體形狀木塊堆成的，平放于桌面上，其中，上面正方體的下底面四個頂點(diǎn)恰是下面相鄰正方體的上底面各邊的中點(diǎn)，如果最下面的正方體的棱長為，且這些正方體露在外面的面積和超過，那么正方體的個數(shù)至少是多少？按此規(guī)律堆下去，這些正方體露在外面的面積和的最大值是多少？
試一試所有正方體側(cè)面面積和再加上所有正方體上面露出的面積和，就是需求的面積．從簡單人手，歸納規(guī)律．
例5要把一個正方體分割成個小正方體（小正方體大小可以不等），畫圖表示．
分析與解本例是一道圖形分割問題，解答本例需要較強(qiáng)的空間想象能力和推理論證能力，需要把圖形性質(zhì)與計(jì)算恰當(dāng)結(jié)合．
為方便起見，設(shè)正方體的棱長為個單位，首先不能切出棱長為的立方體，否則不可能分割成個小正方體．
設(shè)切出棱長為的正方體有個，棱長為的正方體有個，如果能切出個棱長為的正方體，則有，解之得，不合題意，所以切不出棱長為的正方體．
設(shè)切出棱長為的正方體有個，棱長為的正方體有個，棱長為的正方體有個，
，解得，，，故可分割棱長分別為、、的正方體各有個、個、個，分法如圖所示．
歐拉公式
例6建立模型
世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉證明了簡單多面體中頂點(diǎn)數(shù)（）、面數(shù)（）、棱數(shù)（）之間存在的一個有趣的關(guān)系式，被稱為歐拉公式，請你觀察下列幾種簡單多面體模型，解答下列問題．
（1）根據(jù)上面多面體模型，完成表格中的空格
多面體
頂點(diǎn)數(shù)（）
面數(shù)（）
棱數(shù)（）
四面體
長方體
正八面體
正十二面體
你發(fā)現(xiàn)頂點(diǎn)數(shù)（）、面數(shù)（）、棱數(shù)（）之間存在的關(guān)系式是_____．
（2）一個多面體的面數(shù)比頂點(diǎn)數(shù)大，且有條棱，則這個多面體的面數(shù)是_____．
（3）某個玻璃飾品的外形是簡單多面體，它的外表面是由三角形和八邊形兩種多邊形拼接而成，且有個頂點(diǎn)，每個頂點(diǎn)處都有條棱，設(shè)該多面體外表面三角形的個數(shù)為個，八邊形的個數(shù)為個，求的值．
解（1）；；
（2）
（3）這個多面體的面數(shù)為，棱數(shù)為（條）
根據(jù)，可得，
∴．
模型應(yīng)用
如圖，有一種足球是由數(shù)塊黑白相間的牛皮縫制而成，黑皮為正五邊形，白皮為正六邊形，且邊長都相等，求正五邊形、正六邊形個數(shù)．
解 設(shè)足球表面的正五邊形有個，正六邊形有個。總面數(shù)為個，因?yàn)橐粭l棱連著兩個面，所以球表面的棱數(shù)為，又因?yàn)橐粋€頂點(diǎn)上有三條棱，一條棱上有兩個頂點(diǎn)，所以頂點(diǎn)數(shù)．
由歐拉公式得
解得
所以正五邊形只要個．
又根據(jù)每個正五邊形周圍連著個正六邊形，每個正六邊形又連著個正五邊形，所以六邊形個數(shù)，即需個正六邊形．
數(shù)學(xué)沖浪
知識技能廣場
1．如圖是正方體的展開圖，則原正方體相對兩個面上的數(shù)字之和的最小值是______．
2．由幾個相同昀小正方體搭成的幾何體的視圖如圖所示，則搭成這個幾何體的小正方體的個數(shù)是______．
3．一個長方體的左視圖、俯視圖及相關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示，則其主視圖的面積為_____．
4．如圖，下列幾何體是由棱長為的小立方體按一定規(guī)律在地面上擺成的，若將露出的表面都涂上顏色（底面不涂色），則第個幾何體中只有兩個面涂色的小立方體共有_____個．
5．一個畫家有個邊長為的正方體，他在地面上把它們擺成如圖的形式，然后他把露出的表面都涂上顏色，那么被涂顏色的總面積為（ ）

A． B． C． D．
6．一個幾何體由一些大小相同的小正方體組成，如圖是它的主視圖和俯視圖，那么組成該幾何體所需小正方體的個數(shù)最少為（ ）
A． B． C． D．
7．從棱長為的正方體毛坯的一角，挖去一個棱長為的小正方體，得到一個如圖所示的零件，則這個零件的表面積是（ ）
A． B． C． D．
8．我國古代數(shù)學(xué)家利用“牟合方蓋”（如圖甲）找到了球體體積的計(jì)算方法．“牟合方蓋”是由兩個圓柱分別從縱橫兩個方向嵌入一個正方體時(shí)兩圓柱公共部分形成的幾何體．圖乙所示的幾何體是可以形成“牟合方蓋”的一種模型，它的主視圖是（ ）

ABCD
9．個棱長為的正方體組成如圖的幾何體．
（1）該幾何體的體積是_____（立方單位），表面積是____（平方單位）；
（2）畫出該幾何體的主視圖和左視圖
10．用同樣大小的正方體木塊搭建的幾何體，從正面看到的平面圖形如圖1所示，從上面看到的平面圖形如圖2所示．
（1）如果搭建的幾何體由個小正方體木塊構(gòu)成，試畫出從左面看這個幾何體所得到的所有可能的平面圖形．
（2）這樣的幾何體最多可由幾塊小正方體構(gòu)成？并在所用木塊最多的情況下，畫出從左面看到的所有可能的平面圖形．
思維方法天地
11．如圖，是一個正方體表面展開圖，請?jiān)趫D中空格內(nèi)填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使這個正方體相對兩個面上標(biāo)注的數(shù)值相等．
12．如圖是由一些大小相同的小正方體組成的簡單幾何體的主視圖和俯視圖，若組
成這個幾何體的小正方體的塊數(shù)為．則的所有可能的值之和為______．
13．如圖是一個立方體的主視圖、左視圖和俯視圖，圖中單位為厘米，則立體圖形的體積為______立方厘米．
14．若干個正方體形狀的積木擺成如圖所示的塔形，平放于桌面上，上面正方體的下底四個頂點(diǎn)是下面相鄰正方體的上底各邊中點(diǎn)，最下面的正方體棱長為，如果塔形露在外面的面積超過，則正方體的個數(shù)至少是（ ）
A． B． C． D．
15．由若干個單位立方體組成一個較大的立方體，然后把這個大立方體的某些面涂上油漆，油漆干后，把大立方體拆開成單位立方體，發(fā)現(xiàn)有個單位立方體上任何一面都沒有漆，那么大立方體被涂過油漆的面數(shù)是（ ）
A． B． C． D
16．小明把棱長為的正方體分割成了個棱長為整數(shù)的小正方體，則其中棱長為的小正方體的個數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
17．墻角處有若干大小相同的小正方體堆成如圖所示的立體圖形，如果你打算搬走其中部分小正方體（不考慮操作技術(shù)的限制），但希望搬完后從正面、從上面、從右面用平行光線照射時(shí)，在墻面及地面上的影子不變，那么你最多可以搬走多少個小正方體？
18．一個長方體紙盒的長、寬、高分別、、厘米．如圖，將它展開成平面圖，那么這個平面圖的周長最小是多少厘術(shù)？最大是多少厘米？
應(yīng)用探究樂園
19．王老師將底面半徑為厘米、高為厘米的圓柱形容器中的果汁全部倒人如圖所示的杯子中，若杯口直徑為厘米，杯底直徑為厘米，杯高為厘米，杯身長厘米，問果汁可以倒?jié)M多少杯？
20． 一個邊長為厘米的正方體，它是由個邊長為厘米的小正方體組成的．為上底面的中心，如果挖去（如圖）的陰影部分為四棱錐，剩下的部分還包括多少個完整的棱長是厘米的小正方體？

20豐富的圖形世界
問題解決
例1，，
例2D
例3（1）左視圖有以下種情形：

（2），，，
例4；提示：最下面正方體個面的面積是，側(cè)面露出的面積和是，每相鄰兩個正方體中上面的個正方體每個面的面積都正好是其下面正方體個面面積的，所有正方體側(cè)面面積之和加上所有正方體的上面露出的面積和（正好是最下面正方體上底面的面積）即是這些正方體露在外面的面積和．如：
個正方體露出的面積和是
個正方體露出的面積和是
個正方體露出的面積和是
個正方體露出的面積和是
個正方體露出的面積和是
…故隨著小正方體木塊的增加，其外露的面積之和都不會超過．
數(shù)學(xué)沖浪
1． 2． 3．
4． 5．C
6．B 7．C 8．B
9．（1）；；（2）略
10．（1）
（2）11；
11．上空格填，下空格填
12． 13． 14．
15．D設(shè)大立方體的棱長為，，若，
即使個面都油漆過，未油漆的單位立方體也有個，
故或．除是已漆的單位立方體后，剩下未漆的構(gòu)成一個長方體，
設(shè)其長、寬、高分別為、、，，只能是，故．
16．C提示：若分割出棱長為的正方體，則棱長為的正方體只能有個，余下的均是棱長為的正方體，共個不滿足要求，設(shè)棱長為的正方體有個，棱長為的正方體有個，
則，得
17．有不同的拿法．為保證“影子不變”，可依如下原則操作：在每一行和每一列中，除保留一摞最高的不動以外，該行（列）的其余各摞都搬成只剩最下面的一個小正方體，如圖所示，個方格中的數(shù)字，表示行列共摞中在搬完以后最終留下的正方體個數(shù)．照這樣，各行可搬個數(shù)累計(jì)為，即最多可搬走個小正方體．
18．要使平面展開圖的周長最小，剪開的七條棱長就要盡量小，因此要先剪開四條高（因?yàn)樽钚。偌糸_一條長厘米的棱（否則，不能展開成平面圖），最后再剪開兩條寬厘米的棱（如圖中所表示的①～⑦這七條棱）．由此可得圖甲，這時(shí)最小周長是（厘米）．
要使平面展開圖的周長最大，剪開的七條棱長就要盡量大，因此要先剪開四條最長的棱（長），再剪開兩條次長的棱（寬），最后剪開一條最短的棱（高），即得圖乙，這時(shí)最大周長是（厘米）．
19．如圖，由題意知，，，，過點(diǎn)作垂直于于點(diǎn)，則，于是中．延長，交于，則由知，．
于是一個杯子的容積等于兩個圓錐的體積之差，即．
而大容器內(nèi)果汁的體積是，所以果汁可以倒?jié)M（杯）．
20．剩下的部分：從上往下，第一層有個；第二層有個；第三層有個；第四層、第五層有個，故共有個完整的棱長是厘米的小正方體．
歐幾里得，古希臘數(shù)學(xué)家．在流傳了幾千年的光輝著作《幾何原本》中，他用公理化方法將古希臘豐富的幾何學(xué)知識整理在嚴(yán)密的邏輯系統(tǒng)之中，使幾何學(xué)成為一門獨(dú)立的、演繹的科學(xué)，傳說托勒密王曾經(jīng)問他，除了他的《幾何原本》外還有沒有學(xué)習(xí)幾何的捷徑，他回答說：“幾何，無王者之道．”這句話成為千古流傳的名言．
21．線段、射線與直線
解讀課標(biāo)
意大利科學(xué)家伽利略曾說：“大自然用數(shù)學(xué)的語言講話，這個語言的字母是：圓、三角形以及其他各種數(shù)學(xué)形體．”
構(gòu)成平面圖形的基本元素是點(diǎn)和線．在幾何圖形中，點(diǎn)無大小，線無寬窄，它們都是抽象思維的產(chǎn)物．運(yùn)動成線，線運(yùn)動成面，面運(yùn)動成體．在線中，最簡單、最常見的就是線段、射線、直線，它們的概念、畫法、性質(zhì)不但是后續(xù)學(xué)習(xí)研究由線段組成的較復(fù)雜圖形的基礎(chǔ)，而且為現(xiàn)實(shí)問題的解決提供了有力的工具，使得許多問題的研究可以轉(zhuǎn)化為直觀、簡明的幾何圖形的研究．
觀察一操作一思考一交流一總結(jié)是學(xué)習(xí)平面圖形性質(zhì)的有效途徑，解與線段相關(guān)的問題時(shí)，常用到中點(diǎn)、代數(shù)化、窮舉、分類與討論等概念與方法．
問題解決
例1 已知一條直線上有、、三點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，，線段的中點(diǎn)為，，則線段的長為________．
試一試?yán)弥悬c(diǎn)表示相關(guān)線段，因未給出圖形，故應(yīng)考慮點(diǎn)位置的多種可能．
例2如圖，已知是線段上的一點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則等于（ ）
A． B． C． D．
試一試?yán)弥悬c(diǎn)，設(shè)法把、用含相同線段的代數(shù)式表示，
例3（1）在一條直線上有個點(diǎn)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有多少條？
（2）平面內(nèi)有條兩兩相交直線，這條直線最少有幾個交點(diǎn)？最多有幾個交點(diǎn)？
試一試從簡單情形入手，由簡到繁，歸納發(fā)現(xiàn)規(guī)律，或運(yùn)用“兩點(diǎn)確定一條線段（直線）”、“兩條直線相交有且只有一個交點(diǎn)”等幾何性質(zhì)作抽象分析，
例4 已知為線段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)．
（1）畫出相應(yīng)的圖形，并求出圖中線段的條數(shù)；
（2）若圖中所有線段的長度和為，求線段的長度；
（3）若為線段上的點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，，求線段的長度．
試一試對于（2），設(shè)，把其他線段長用的式子表示，通過列方程求
解：對于（3），把長用恰當(dāng)?shù)木€段和表示．
例5如圖，已知點(diǎn)、、是數(shù)軸上三點(diǎn)，為原點(diǎn)．點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為，，．
（1）求點(diǎn)、對應(yīng)的數(shù)；
（2）動點(diǎn)、同時(shí)從、出發(fā)，分別以每秒個單位和個單位的速度沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動．、為的中點(diǎn)，在上，且，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為．
①求點(diǎn)、對應(yīng)的數(shù)（用含的式子表示）；
②為何值時(shí)，．
分析 對于（2），把、進(jìn)一步用含的式子表示，建立的方程．
解 （1）、兩點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)分別為、．
（2）①，，為中點(diǎn)，，則，．
∴點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為，點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為．
②∵，，
∴
由
得
由
得
故當(dāng)秒或秒時(shí)
巧合還是必然
例6如圖，“回”字形的道路寬為米，整個“回”字形是一個長米、寬米的長方形場地，如果你沿著小路的中間從內(nèi)部出發(fā)走完這條小路，共走多少米？
分析與解 行走路線的總寬為，總長為，因此走完這條小路的總長為
細(xì)心的讀者會發(fā)現(xiàn)，正好是長方形場地長與寬的乘積，也就是說，走完這條小路的總長與這塊長方形場地面積的數(shù)值相等．
追問 上述關(guān)系是巧合還是必然？若是巧合，怎樣解釋這一現(xiàn)象；若是必然，又如何證明？
探究
（1）若路寬為米，走完這條小路共走多少米？
（2）若長方形的場地的長為，寬為，其中充滿寬為的小路，走完這條小路共走多少米？
數(shù)學(xué)沖浪
知識技能廣場
1．如圖，已知線段，延長到，使，為的中點(diǎn)，，那么的長為______．
2．已知點(diǎn)在直線上，且線段的長度為，線段的長度為，、分別為線段、的中點(diǎn)，則線段的長度為_________．
3．小宇同學(xué)在一次手工制作活動中，先把一張長方形紙片按如圖所示的方式進(jìn)行
折疊，使折痕的左側(cè)部分比右側(cè)部分短；展開后按圖的方式再折疊一次，使第二次折痕的左側(cè)部分比右側(cè)部分長，再展開后，在紙上形成的兩條折痕之間的距離是______
4．如圖，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，下列等式不正確的是（ ）
A． B． C． D．
5．如圖，點(diǎn)、、順次在直線上，是線段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)．若想求出的長度，則只需條件（ ）
A． B． C． D．
6．如圖，有、、三戶家用電路接人電表，相鄰電路的電線等距排列，則三戶所用電線（ ）
A．戶最長 B．戶最長 C．戶最長 D．三戶一樣長
7．已知線段，直線上有一點(diǎn)
（l）若，求的長；
（2）若是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，求的長．
8．（1）一條直線可以把平面分成兩個部分（或區(qū)域），如圖，兩條直線可以把平面分成幾個部分？三條直線可以把平面分成幾個部分？試畫圖說明．
（2）四條直線最多可以把平面分成幾個部分？試畫出示意圖，并說明這四條直線的位置關(guān)系．
（3）平面上有條直線，每兩條直線都恰好相交，且沒有三條直線交于一點(diǎn)，處于這種位置的條直線分一個平面所成的區(qū)域最多，記為，試研究與之間的關(guān)系．
思維方法天地
9．如圖，、、依次是上的三點(diǎn)，已知，，則圖中以、、、、這個點(diǎn)為端點(diǎn)的所有線段長度的和為_______．
10．平面上不重合的兩點(diǎn)確定一條直線，不同三點(diǎn)最多可確定條直線．若平面上不同的個點(diǎn)最多確定條直線，則的值為_______．
11．如圖，一根長為、寬的長方形紙條，將它按圖所示的過程折疊．為了美觀，希望折疊完成后紙條端到點(diǎn)的距離等于端到點(diǎn)的距離，則最初折疊時(shí)，的長應(yīng)為______．
12．某班名同學(xué)分別站在公路的、兩點(diǎn)處，、兩點(diǎn)相距米，處有人，處有人．要讓兩處的同學(xué)走到一起，并且使所有同學(xué)走的路程總和最小，那么集合地點(diǎn)應(yīng)選在（ ）
A．點(diǎn)處 B．線段的中點(diǎn)處
C．線段上，距點(diǎn)米處 D．線段上，距點(diǎn)米處
13．公園里準(zhǔn)備修條直的通道，并在通道交叉路口處設(shè)一個報(bào)亭，這樣的報(bào)亭最多設(shè)（ ）
A．個 B．個 C．個 D．個
14．線段上選取種點(diǎn)，第種是將等分的點(diǎn)；第種是將等分的點(diǎn)；第種是將等分的點(diǎn)，這些點(diǎn)連同線段的端點(diǎn)可組成線段的條數(shù)是（ ）
A． B． C D．
15．電子跳蚤游戲盤為．，，，如果電子跳蚤開始時(shí)在邊上點(diǎn)，。第一步跳蚤跳到邊上點(diǎn)，且；第二步跳蚤從跳到邊上點(diǎn)，且；第三步跳蚤從跳到邊上點(diǎn)，且……跳蚤按上述規(guī)則跳下去，第次落到，請計(jì)算與之間的距離．
16．在直線上，點(diǎn)在、兩點(diǎn)之間，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．若，且使關(guān)于的方程有無數(shù)個解．
（1）求線段的長；
（2）試說明線段的長與點(diǎn)在線段上的位置無關(guān)；
（3）如圖，若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段的延長線上，試說明的值不變．
17．切蛋糕
在小明歲的生日晚會上，一共有位客人到場，在他吹滅了生日蠟燭，準(zhǔn)備切蛋糕時(shí)，爸爸說：“小明，你能用最少的切割次數(shù)為我們在座的人每切一份蛋糕嗎？你切割次，最多能切得多少塊蛋糕？”
18．已知數(shù)軸上、兩點(diǎn)對應(yīng)數(shù)分別為和，為數(shù)軸上一動點(diǎn)，對應(yīng)數(shù)為．
（1）若為線段的三等分點(diǎn)，求點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)；
（2）數(shù)軸上是否存在點(diǎn)，使點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)距離和為？若存在，求出值；若不存在，請說明理由．
（3）若點(diǎn)、點(diǎn)和點(diǎn)（點(diǎn)在原點(diǎn))同時(shí)向左運(yùn)動，它們的速度分別為、、個長度單位／分，則第幾分鐘時(shí)，為的中點(diǎn)？

21．線段、射線與直線
問題解決
例1 或
例2B，
例3（1）；
（2）當(dāng)平面內(nèi)兩兩相交的條直線交于一點(diǎn)時(shí)，此時(shí)交點(diǎn)個數(shù)最少為個；為使平面內(nèi)兩兩相交的直線的交點(diǎn)個數(shù)最多，可使其任意兩線相交都產(chǎn)生一個新的交點(diǎn)，且任意三條直線都不過同一點(diǎn)，于是可得交點(diǎn)數(shù)最多為．
例 4（1）略
（2）
（3）
例6追問假定有這樣一條長方形的小路，寬，長，如圖①，沿著這條小路的中間行走，顯然行走路線的長為，這就說明行走路線的長與寬為的長方形小路的長是相等的．由于長方形場地充滿了寬的小路，這便啟發(fā)我們將長方形場地分割成條寬、長的小路，如圖②，于是這條小路的總長為．
探索
（1）；
（2）假定有這樣一條小路，長為，寬為．沿著這條小路的中間行走，顯然行走路線的長為．由于長為，寬為的長方形場地可以分割成條長為、寬為的長方形小路，可知這條小路的長為．
數(shù)學(xué)沖浪
1． 2．或 3． 4．D
5．A
6．D
7．（1）或
（2）
8．（1）如圖1，兩條直線因其位置不同，可以分別把平面分成個或個區(qū)域；
如圖2，三條直線因其位置關(guān)系的不同，可以分別把平面分成個、個和個區(qū)域．
（2）如圖3，四條直線最多可以把平面分成個區(qū)域，此時(shí)這四條直線位置關(guān)系是兩兩都相交，且無三線共點(diǎn)．
（3）平面上條直線兩兩相交，且沒有三條直線交于一點(diǎn)，把平面分成個區(qū)域，平面本身就是一個區(qū)域，當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，……由此可以歸納公式
9．其長度總和
10．平面上個不同點(diǎn)最多可確定條直線
11．設(shè)，則
12．A設(shè)集合地點(diǎn)在線段的處，距點(diǎn)米，則距點(diǎn)米，所走的路程總和為，當(dāng)時(shí)，總和最小為米．
13．B
14．C線段間出現(xiàn)個點(diǎn)，其中有個點(diǎn)是重復(fù)的，故線段間有個不同點(diǎn)．
15．因，根據(jù)題意：，；
，；
，；
，；
，；
，．
由此可見，點(diǎn)與點(diǎn)重合，又因?yàn)椋?br/>所以點(diǎn)與點(diǎn)重合，與之間的距離就是與之間的距離，即．
16．（1）
（2）
（3）
故
17．最少切次；最多切得，切得最多塊數(shù)為（為切割次數(shù)）
18．（1）或
（2）當(dāng)或時(shí)，
（3）設(shè)分鐘后，為的中點(diǎn)，、、運(yùn)動分鐘后對應(yīng)的數(shù)分別為，，．
由，得
畢達(dá)哥拉斯（約公元前——前），古希臘數(shù)學(xué)家．他既是哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、又是天文學(xué)家，創(chuàng)建了政治、宗教、數(shù)學(xué)合一的秘密學(xué)術(shù)團(tuán)體，這個團(tuán)體被后人稱為畢達(dá)哥拉斯學(xué)派．他提出了“萬物皆數(shù)”的著名論斷，被譽(yù)為西方理性數(shù)學(xué)的創(chuàng)始人．畢達(dá)哥拉斯定理（即勾股定理）是畢達(dá)哥拉斯的一大貢獻(xiàn)，他還首創(chuàng)地圓說，認(rèn)為日、月、星都是球體，懸浮在太空之中．
22．角
解讀課標(biāo)
角也是一種最基本的幾何圖形，它在現(xiàn)實(shí)生活中隨處可見．張開的剪刀、縱橫交錯的公路、鐘面上的時(shí)針和分針等都給我們以角的形象．
角既可以看作有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形，又可看作一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的圖形．
與角相關(guān)的知識有：
1．角平分線的概念；
2．角的分類；
3．互余、互補(bǔ)等數(shù)量關(guān)系角．
類似于解與線段相關(guān)的問題，解與角相關(guān)的問題時(shí)，往往用到相關(guān)概念、分類與討論、代數(shù)式的思想等知識方法．
問題解決
例1 把一張長方形紙條按圖中那樣折疊后，若得到，則_______．
試一試 折痕兩旁的部分能互相重合，即為平分線，這是解本例的關(guān)鍵．
例2 如圖，、、在一條直線上，，若，則圖中互余的角共有（ ）．
A．對 B．對 C．對 D．對
試一試 從互余的概念入手，應(yīng)注意等量代換，避免漏掉互余的角．
例3 如圖，已知，平分，且，求的度數(shù)．
試一試 設(shè)，建立方程，用代數(shù)方法計(jì)算．
例4 將一副三角板的兩三角板如圖放置，平分，平分．
（1）將三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（角的三角板不動），求的大小．
（2）若將角三角板換成一個任意銳角的紙板，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否變化？（直接寫出結(jié)論，不必說明理由）
試一試 三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過程中，有下列情形：與重合，在內(nèi)部，包含在內(nèi)部，故分類討論是解本例的關(guān)鍵．
例5 已知：是直線上的一點(diǎn)，是直角，平分．
（1）如圖①，若，求的度數(shù)；
（2）在圖①中，若，直接寫出的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；
（3）將圖①中的繞頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖②的位置．
①探究與的度數(shù)之間的關(guān)系；
②在的內(nèi)部有一條射線，滿足，試確定與的度數(shù)之間的關(guān)系，并說明理由．
分析與解 對于（3）②，為方便設(shè)，，將條件等式變形為只含，的等式．
（1）
（2）
（3）①．
②左邊，右邊，
即，得，
．
鐘表上的角度
例6 在時(shí)到時(shí)之間，鐘面上的時(shí)針與分針在什么時(shí)候成的角？試盡可能多地找出答案，又秒針與時(shí)針共有幾次成的角？
分析與解 直覺作答或近似估計(jì)，可得到一些答案，而通過方程可使我們找到問題全部的解．
而列方程解答，又有幾種不同的解題策略：
（1）分別對兩個整點(diǎn)之間的答案列出方程求解；
（2）在上述某礎(chǔ)上尋找規(guī)律求出全部解；
（3）將問題看成圓周追及問題．設(shè)分針的速度為每分鐘個單位長度，則時(shí)針的速度為，將時(shí)針、分針看成兩個不同速度的人在環(huán)形跑道上同時(shí)（從時(shí)開始）開始同向而行，要求使兩者相距個單位長度所用的時(shí)間．
設(shè)從時(shí)開始，過分鐘后分針與時(shí)針成的角，此時(shí)分針比時(shí)針多走了圈，則，或，
解得或．
分別令以，，，，…，，即得本題的所有個解（精確到秒）：
，，，，，，，，，，；，，，，，，，，，，．
在小時(shí)內(nèi)，秒針相對于時(shí)針走了圈，所以秒針與時(shí)針共有次成的角．
數(shù)學(xué)沖浪
知識技能廣場
1．一個角的余角比它的補(bǔ)角的還少，則這個角是________．
2．如圖，將一副三角板的直角頂點(diǎn)重合，擺放在桌面上．
（1）若，則________．
（2）若，則___________．
3．如圖，是鈍角，、、是三條射線，若，平分，平分，那么的度數(shù)是_________．
4．如圖，是直線上一點(diǎn)，，，平分，則圖中彼此互補(bǔ)的角有________對．
5．在時(shí)刻，時(shí)鐘上的時(shí)針與分針之間的夾角為（ ）．
A． B． C． D．
6．如圖所示的的方格表中，設(shè)，，，則（ ）．
A． B． C． D．
7．如圖，、、在一條直線上，是銳角，則的余角是（ ）．
A． B． C． D．
8．如圖，把一個長方形紙片沿折疊后，點(diǎn)、分別落在、的位置．若，則等于（ ）．
A． B． C． D．
9．如圖，已知、、為內(nèi)三條射線．
（1）圖中共有多少個角？
（2）若、、為四等分線，且圖中所有銳角的和為，求的度數(shù)；
（3）若，，求圖中所有銳角的和．
10．如圖，兩個形狀、大小完全相同的含有、的三角板如圖①放置，、與直線重合，且三角板，三角板均可以繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．
（1）試說明：；
（2）如圖②，若三角板的邊從處開始繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，平分，平分，求；
（3）如圖③，若三角板的邊從處開始繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為，同時(shí)三角板的邊從處開始繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為，在兩個三角形旋轉(zhuǎn)過程中（轉(zhuǎn)到與重合時(shí)，兩三角板都停止轉(zhuǎn)動），問的值是否變化？若不變，求出其值；若變化，說明理由．
思維方法天地
11．以的頂點(diǎn)為端點(diǎn)引射線，使，若，則的度數(shù)是__________．
12．在上午時(shí)分到時(shí)分之間，時(shí)針和分針成直角的時(shí)刻是________．
13．如圖，在的網(wǎng)格中標(biāo)出了和，則________．
14．如圖，，，那么不大于的角有________個，它們的度數(shù)之和是_______．
15．如圖，在一個正方體的個面上畫了兩條對角線，，那么這兩條對角線的夾角等于（ ）．
A． B． C． D．
16．如圖，直線、相交于點(diǎn)，于點(diǎn)，平分，，則下列結(jié)論中不正確的是（ ）．
A． B． C．與互為補(bǔ)角 D．的余角等于
17．如圖是一個的正方形，則圖中的和等于（ ）．
A． B． C． D．
18．如圖，、是的任意兩條射線，平分，平分，若，，則表示的式子是（ ）．
A． B． C． D．以上都不正確
19．如圖，在直線上取一點(diǎn)，在同側(cè)引射線、、、，使和互余，射線和分別平分和，試探究與的關(guān)系，并說明理由．
20．如圖①，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)．過點(diǎn)作射線，使，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，一邊在射線上，另一邊在直線的下方．
（1）將圖①中的三角板繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至圖②，使一邊在的內(nèi)部，且恰好平分．問：直線是否平分?請說明理由；
（2）將圖中的三角板繞點(diǎn)按每秒的速度逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，直線恰好平分，求的值；
（3）將圖①中的三角板繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至圖③的位置，使在的內(nèi)部．請?zhí)骄浚号c之間數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
應(yīng)用探究樂園
21．（1）時(shí)鐘在點(diǎn)分時(shí)，時(shí)針和分針的夾角是多少度？
（2）晚飯后，小明準(zhǔn)備外出散步，出發(fā)時(shí)看了一下鐘，時(shí)間是點(diǎn)多，時(shí)針與分針成角，散完步后回家，小明又看了一下鐘，還不到點(diǎn)，而時(shí)針與分針又恰好成角，問小明外出多少分鐘？
22．已知，是內(nèi)的一條射線，射線平分，射線平分．
（1）若（如圖①），求的度數(shù)；
（2）設(shè)，求的值．

角
問題解決
例1 ．
例2 B ，，．
例3 ，，，由，得，解得，故．
例4 （1）在旋轉(zhuǎn)的過程中，這一關(guān)系不變，從而． （2）略
數(shù)學(xué)沖浪
1． 2．（1）；（2） 3．
4． 5．B 6．B 7．C 8．C
9．（1）有個角；（2）；（3）．
10．（1）略
（2），設(shè)，．
（3）設(shè)運(yùn)動時(shí)間為秒，則，，，，．
，為定值．
11．若射線在的內(nèi)部，則；若射線在的外部，則．
12． 點(diǎn)分或點(diǎn)分 設(shè)點(diǎn)分以后，過分鐘，時(shí)針與分針的夾角為，由或得或．
13． 通過拼補(bǔ)計(jì)算
14． ； 15．A 16．D
17．D 沿作對折時(shí)，上、下圖形能夠重合，得．
18．A
19．，，，從而．
20．（1）平分； （2）或；（3）
21．（1）
（2）由題意得：，，
解得，，．
即小明出去了分鐘．
22．（1）
（2）如圖①，當(dāng)時(shí)，原式；
如圖②，當(dāng)時(shí)，原式．
阿基米德，公元前年出生在意大利西西里島的敘拉古，歲時(shí)在被稱為“智慧之都”的希臘中心亞歷山大城學(xué)習(xí)，他博閱群書，鉆研《幾何原本》．阿基米德通過大量實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)了杠桿原理，又用幾何演繹方法推出許多杠桿命題，并給出嚴(yán)格的證明，其中就有著名的“阿基米德原理”，阿基米德是兼數(shù)學(xué)家與力學(xué)家的偉大學(xué)者，享有“力學(xué)之父”的美稱。
23．相交線與平行線
解讀課標(biāo)
在我們生活中存在大量的圖形，它們?yōu)槿祟悗頍o窮無盡的直覺源泉，相交線與平行線隨處可見，它們構(gòu)成同一平面內(nèi)兩條直線的基本位置關(guān)系，它們的性質(zhì)和位置關(guān)系是認(rèn)識和學(xué)習(xí)其他圖形性質(zhì)的基礎(chǔ)．
相交線與平行線都與角相關(guān)：兩直線相交，對頂角相等；兩直線平行，同位角相等、內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)．
我們還可以用角之間的關(guān)系來判斷兩直線是否平行．
與平行線相關(guān)的問題一般都是平行線判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用，有以下兩方面應(yīng)用：
1．角的計(jì)算與證明；
2．兩直線位置關(guān)系的確定．
問題解決
例1 如圖，已知，，，則__________．
試一試 、、表面上看很難聯(lián)系起來，過點(diǎn)作，問題就迎刃而解了．
例2 如圖，，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，設(shè)與相等的角的個數(shù)為（不包括本身），與互補(bǔ)的角的個數(shù)為，若，則的值是（ ）．
A． B． C． D．
試一試 略
例3 如圖，已知，，求證：．
試一試 從角出發(fā)，導(dǎo)出兩直線的位置關(guān)系，再推出新的角的關(guān)系，新的兩直線的位置關(guān)系是解這類問題的基本思路．
例4 如圖，、是兩根釘在木板上的平行木條，將一根橡皮筋固定在、兩點(diǎn)，點(diǎn)是橡皮筋上一點(diǎn)，拽動點(diǎn)將橡皮筋拉緊后，請你探索、、之間具有怎樣的關(guān)系？并說明理由．
試一試 這是一道結(jié)論開放的探究性問題，由于點(diǎn)位置的不確定性，可引起對點(diǎn)不同位置的分類討論（如夾在、之間或之外、內(nèi)折或外折等），這是解本例的關(guān)鍵．
例5 平面上有條不同的直線，如果其中任何三條直線都不共點(diǎn)．
（1）你能畫出各直線之間的交點(diǎn)個數(shù)為的圖形嗎？其中分別為，，．
（2）請盡可能多地畫出各直線之間的交點(diǎn)個數(shù)不同的圖形，從中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？
分析與解 設(shè)條直線交點(diǎn)的個數(shù)為，則．（為什么？）
（1）如圖①，得到的交點(diǎn)個數(shù)為個；如圖②，得到的交點(diǎn)個數(shù)為個；如圖③、④，得到的交點(diǎn)個數(shù)分別為、．
（2）的大小直接取決于條直線中互相平行的直線的數(shù)量，因?yàn)闂l直線中可能有：
一組平行線（條；條；條；條；條；條）；
二組平行線（條，條；條，條；條，條；條，條；條，條；條，條）；
三組平行線（條，條，條；條，條，條）；
沒有平行線，
所以當(dāng)我們探求本題的完整的答案時(shí)，可以分為上述四種情況，分別加以研究．
實(shí)際上本題的答案共有個，即
，，，，，，，，，，，，，，，其中重復(fù)數(shù)字表示交點(diǎn)
個數(shù)相等但圖形不同的答案．
平移變換
例6 平面上有六條兩兩不平行的直線，試證：在所有的交角中，至少有一個角小于．
分析 把平面上的直線平行移動，則移動后的直線所成的角與移動前的直線所成的角是相等的，這樣，我們就可將所有的直線移動后，使它們相交于同一點(diǎn)，此時(shí)，情況就相對簡單得多．
證明 在平面上任取一點(diǎn)，過點(diǎn)分別作這條直線的平行線，，，，，，則由平行線的特性，知，，，，，之間互成的角與原來的條直線，，，，，之間互成的角相等．
現(xiàn)在我們考慮，，…，的情況，我們只考察與，與，…，與，與所成的角，由圖不難發(fā)現(xiàn)這個角成一個平角，即這個角的和為．
假設(shè)這個角沒有一個小于，則這個角都大于或等于，從而這個角的和至少為，這是不可能的，所以，這個角中至少有一個小于，不妨設(shè)與所成的角小于，則原來的直線與所成的角也必小于．
數(shù)學(xué)沖浪
知識技能廣場
1．如圖，用一吸管吸吮易拉罐內(nèi)的飲料時(shí)，吸管與易拉罐上部夾角，那么吸管與易拉罐下部夾角________度．
2．如圖，已知，，，則________．
3．將直尺與三角尺按如圖所示的方式疊放在一起，在圖中標(biāo)記的角中，與互余的角是_______．
4．如圖，，，則圖中與相等的角（不含）有______個；若，則________．
5．在、兩座工廠之間要修建一條筆直的公路，從地測得地的走向是南偏東，現(xiàn)、兩地要同時(shí)開工，若干天后，公路準(zhǔn)確對接，則地所修公路的走向應(yīng)該是（ ）．
A．北偏西 B．南偏東 C．西偏北 D．北偏西
6．如圖，直線，將含有角的三角板的直角頂點(diǎn)放在直線上，若，則的度數(shù)為（ ）．
A． B． C． D．
7．如圖，已知，那么（ ）．
A． B． C． D．
8．如圖，、是中邊上的任意兩點(diǎn)，，，則圖中相等的角共有（ ）．
A．對 B．對 C．對 D．對
9．如圖，已知，，求、、的度數(shù)．
10．如圖，已知，求證：．
思維方法天地
11．如圖，，長方形的頂點(diǎn)在直線上，則_________．
12．如圖，已知，，，則__________．
13．某人在練車場上練習(xí)駕駛汽車，兩次拐彎后的行駛方向與原來的方向相反，則這兩次拐彎的角度可能是________．①第一次向左拐，第二次向右拐；②第一次向右拐，第二次向左拐；③第一次向右拐，第二次向左拐；④第一次向左拐，第二次向左拐．
14．已知兩個角的兩邊分別平行，其中一個角為，則另一個角的度數(shù)為_________．
15．如圖，，則的度數(shù)等于（ ）．
A． B． C． D．
16．如圖，已知，平分，且，則與的關(guān)系是（ ）．
A． B． C． D．
17．探照燈、鍋形天線、汽車燈以及其他很多燈具都與拋物線形狀有關(guān)，如圖所示是一探照燈燈碗的縱剖面，從位于點(diǎn)的燈泡發(fā)出的兩束光線、經(jīng)燈碗反射后平行射出，如果圖中，，則的度數(shù)為（ ）．
A． B． C． D．
18．如圖，兩直線、平行，則（ ）．
A． B． C． D．
19．已知，．
（1）如圖①，當(dāng)平分時(shí)，求證：平分；
（2）如圖②，移動直角頂點(diǎn)，使，求證：．
20．如圖，已知，，求證：．
應(yīng)用探究樂園
21．（1）如圖①，，則_________．
如圖②，，則___________．
如圖③，，則___________．
如圖④，，則___________．
從上述結(jié)論中你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？請?jiān)趫D②，圖③，圖④中選一個證明你的結(jié)論．
（2）如圖⑤，，則______________．
（3）利用上述結(jié)論解決問題：如圖已知，和的平分線相交于，，求的度數(shù)．
22．實(shí)驗(yàn)證明，平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等．
（1）如圖，一束光線射到平面鏡上，被反射到平面鏡上，又被反射，若被反射出的光線與光線平行，且，則_________，________．
（2）在（1）中，若，則_______；若，則________；
（3）由（1）、（2），請你猜想：當(dāng)兩平面鏡、的夾角________時(shí)，可以使任何射到平面鏡上的光線，經(jīng)過平面鏡、的兩次反射后，入射光線與反射光線平行．請說明理由．

相交線與平行線
問題解決
例1 ，，，
例2 D
例3 先證，再證.
例4 如圖，可分別得到下列關(guān)系（證法同①）
①；②；
③；④
⑤；⑥.
數(shù)學(xué)沖浪
1. 2. 3.、、 4.； 5.A
6.A 7.A 8.D
9.，，
10.略 11. 12. 13.④ 14.或
15.D 16.D 17.B 18.D
19.（1）略；（2）證法較多，如過點(diǎn)作或作平分線等.
20.作，延長、交于點(diǎn)，則，因，故，即，.
21.（1），，，
（2）
（3）過點(diǎn)作，則.
則，又，得，故.
22.（1）；
（2）；
（3）證明略.
年，在喀山大學(xué)樹立起世界上第一個數(shù)學(xué)家的塑像，這位數(shù)學(xué)家就是俄國的偉大學(xué)者、非歐幾何的創(chuàng)始人之一羅巴切夫斯基（），他發(fā)現(xiàn)了一個邏輯完整性和嚴(yán)密性可以和歐幾里得幾何相媲美的新的幾何世界——非歐幾何．他為非歐幾何的存在和發(fā)展奮斗了多年，被譽(yù)為“幾何學(xué)中的哥白尼”．
24．認(rèn)識三角形
解讀課標(biāo)
從房屋的頂梁到自行車的三腳架，從起重機(jī)的三角形吊臂再到愛因妥芬（心電圖的發(fā)明者）三角形，生活中處處可看到三角形，三角形是最簡單、最基本的幾何圖形，它不僅是研究其他圖形的基礎(chǔ)，在解決實(shí)際問題中也有著廣泛的應(yīng)用．
認(rèn)識三角形，就是認(rèn)識三角形的概念及基本要素——邊與角，與邊與角相關(guān)的知識有：三角形三邊關(guān)系定理、三角形內(nèi)角和定理及推論，它們在線段、角度的計(jì)算，圖形的計(jì)數(shù)等方面有廣泛的應(yīng)用．
代數(shù)化及分類討論法是解與三角形基本要素相關(guān)問題的重要方法．代數(shù)化即用方程、不等式解邊與角的計(jì)算及簡單推理題，分類討論即按邊或角對三角形進(jìn)行分類．
問題解決
例1 在中，高和所在直線想交于點(diǎn)，若不是直角三角形，且，則_________度．
試一試 因三角形的高不一定在三角形內(nèi)部，這樣形狀應(yīng)分兩種情況討論．
例2 如圖，將紙片沿著折疊壓平，則（ ）．
A． B． C． D．
試一試 在折疊動態(tài)變化中，不變關(guān)系是，這是解本例的關(guān)鍵．
例3 （1）如圖①，于，平分，試探尋與、的關(guān)系．
（2）如圖②，若將點(diǎn)在上移動到，于，其他條件不變，那么與、是否還有（1）中的關(guān)系？說明理由．
（3）請你提出一個類似的問題．
試一試 對于（2），通過作輔助線，將問題轉(zhuǎn)化為（1）．
例4 如圖①，已知為軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，為軸正半軸上一點(diǎn)，，．
（1）求的面積；
（2）如圖②，若，作的平分線交于，交于，判斷與的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）如圖③，若，點(diǎn)在軸正半軸上運(yùn)動，的平分線交的延長線于點(diǎn)，在點(diǎn)的運(yùn)動過程中，的值是否變化？若不變，求出其值；若變化，請說明理由．
試一試 對于（3），能否用的式子表示？由數(shù)到形，分解出基本圖形是解題的關(guān)鍵．
例5 在三角形紙片內(nèi)有個點(diǎn)，連同三角形紙片的個頂點(diǎn)，共有個點(diǎn)，在這些點(diǎn)中，沒有三點(diǎn)在一條直線上．問：以這個點(diǎn)為頂點(diǎn)能把三角形紙片分割成多少個沒有重疊部分的小三角形？
解法一 我們不妨先退一步，考察三角形內(nèi)有一個點(diǎn)、兩個點(diǎn)、三個點(diǎn)…的簡單情形，有下表所示的關(guān)系：
三角形的點(diǎn)數(shù)
可連線得到小三角形的個數(shù)
…
…
不難發(fā)現(xiàn)，三角形內(nèi)有一個點(diǎn)時(shí)，連線可得到個小三角形，以后每增加一個點(diǎn)，這個點(diǎn)必落在已連好的某一個小三角形內(nèi)，它與該三角形的三個頂點(diǎn)可得到三個小三角形，從而增加了兩個小三角形，于是可以推出，當(dāng)三角形內(nèi)有個點(diǎn)時(shí)，連接可得到小三角形的個數(shù)為：（個）．
解法二 整體核算法．設(shè)連線后把原三角形分割成個小三角形，則它們的內(nèi)角和為，又因?yàn)樵切蝺?nèi)每一個點(diǎn)為小三角形頂點(diǎn)時(shí)，能為小三角形提供的內(nèi)角，個點(diǎn)共提供內(nèi)角，于是得方程，解得，即這個點(diǎn)能將原三角形紙片分割成個小三角形．
角平分線
角平分線是聯(lián)系角與角之間關(guān)系的紐帶，當(dāng)角平分線與三角形相遇可生成內(nèi)涵上有關(guān)聯(lián)性、解法上有共通性的組圖．
例6 （1）如圖①，已知中的兩內(nèi)角平分線交于點(diǎn)，兩外角平分線交于點(diǎn)，一內(nèi)角平分線與一外角平分線交于點(diǎn)．試分別探究、、與關(guān)系；
（2）如圖②，在凹四邊形中，已知與的平分線交于點(diǎn)，求證：．
分析與解 （1），，．
（2）凹四邊形形似“規(guī)形”，易證．
圖②可分解為兩個“規(guī)形”，
、分別平分、，
可設(shè)，．
由（1）得，①
，②
②-①得，
．
數(shù)學(xué)沖浪
知識技能廣場
1．一副三角板疊在一起如圖放置，最小銳角的頂點(diǎn)恰好放在等腰直角三角板的斜邊上，與交于點(diǎn)．若，則_________度．
2．一副三角板，如圖所示疊放在一起，則圖中的度數(shù)為_______．
3．如圖，中，，剪去后，得到四邊形，則_______．
4．如圖，在中，，的平分線與的平分線交于點(diǎn)，得；的平分線與的平分線相交于點(diǎn)，得；…，的平分線與的平分線相交于點(diǎn)，得，則________．
5．如圖，中，、、的外角分別記為、、．若，則（ ）．
A． B． C． D．
6．如圖，是中的平分線，是的鄰補(bǔ)角的平分線．若，，則（ ）．
A． B． C． D．
7．在等腰中，，一邊上的中線將這個三角形的周長分為和兩部分，則這個等腰三角形的底邊長為（ ）．
A． B． C．或 D．或
8．如圖，中，，，若，則等于（ ）．
A． B． C． D．
9．如圖，已知射線與射線互相垂直，、分別為、上一動點(diǎn)，、的平分線交于．問：、在、上運(yùn)動過程中，的度數(shù)是否改變？若不改變，求出其值；若改變，說明理由．
10．如圖①，已知中，，為邊上一點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，且．
（1）求證：，
（2）如圖②，若在的反向延長線上，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍成立？證明你的結(jié)論．
思維方法天地
11．在中，，高、交于，且不與、重合，則的度數(shù)為_______．
12．如圖，已知，，，平分，則_______．
13．如圖，平分交于，平分交于，與相交于，如果，，那么的度數(shù)為________．
14．如圖，已知中，，平分，、分別為的兩外角的平分線，給出下列結(jié)論：①；②；③．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）．
A． B． C． D．
15．如圖，，又的平分線與的平分線相交于點(diǎn)，則為（ ）．
A． B． C． D．
16．如圖，中，，，的平分線交于點(diǎn)，平分．給出下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論是（ ）．
A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
17．平面內(nèi)的四條線段、、、首尾順次連接，已知，．
（1）如圖①，若與的平分線交于點(diǎn)，求的值；
（2）如圖②，點(diǎn)在的延長線上，的平分線和的平分線交于點(diǎn)，求的值．
18．如圖，在中，平分交于，延長至，平分，且、的延長線交于點(diǎn)，若，．
（1）求證：；
（2）求的度數(shù)；
（3）若在圖中作與的平分線交于，作與的平分線交于，作與的平分線交于，依此類推，與的平分線交于，請用含有的式子表示的度數(shù)．
應(yīng)用探究樂園
19．把一副學(xué)生用三角板（、、和、、）如圖①放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在軸正半軸上，直角邊與軸重合，斜邊與軸重合，直角邊交軸于，斜邊交軸于，是中點(diǎn)，．
（1）把圖①中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度得圖②，此時(shí)的面積是，的面積是，分別求、、三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）如圖③，設(shè)的平分線和的平分線交于點(diǎn)，的平分線和的平分線交于點(diǎn)，當(dāng)繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動時(shí)，的值是否會改變，若改變，請說明理由，若不改變，請求出其值．
20．問題提出 以邊形的他個頂點(diǎn)和它內(nèi)部的個點(diǎn)，共個點(diǎn)作為頂點(diǎn)，可把原邊形分割成多少個互不重疊的小三角形？
問題探究 為了解決上面的問題，我們將采取一般問題特殊化的策略，先從簡單和具體的情形入手：
探究一：以的三個頂點(diǎn)和它內(nèi)部的個點(diǎn)，共個點(diǎn)為頂點(diǎn)，可把分割成多少個互不重疊的小三角形？
如圖①，顯然，此時(shí)可把分割成個互不重疊的小三角形．
探究二：以的三個頂點(diǎn)和它內(nèi)部的個點(diǎn)，，共個點(diǎn)為頂點(diǎn)，可把分割成多少個互不重疊的小三角形？
在探究一的基礎(chǔ)上，我們可看作在圖①的內(nèi)部，再添加個點(diǎn)，那么點(diǎn)的位置會有兩種情況：
一種情況，點(diǎn)在圖①分割成的某個小三角形內(nèi)部，不妨假設(shè)點(diǎn)在內(nèi)部，如圖②；
另一種情況，點(diǎn)在圖①分割成的小三角形的某條公共邊上，不妨假設(shè)點(diǎn)在上，如圖③．
顯然，不管哪種情況，都可把分割成個互不重疊的小三角形．
探究三：以的三個頂點(diǎn)和它內(nèi)部的個點(diǎn)，，共個點(diǎn)為頂點(diǎn)，可把分割成______個互不重疊的小三角形，并在圖④中畫出一種分割示意圖．
探究四：以的三個頂點(diǎn)和它內(nèi)部的個點(diǎn)，共個頂點(diǎn)，可把分割成______個互不重疊的小三角形．
探究拓展：以四邊形的個頂點(diǎn)和它內(nèi)部的個點(diǎn)，共個頂點(diǎn)，可把四邊形分割成_____個互不重疊的小三角形，
問題解決 以邊形的挖個頂點(diǎn)和它內(nèi)部的個點(diǎn)，共個頂點(diǎn)，可把分割成____個互不重疊的小三角形．
實(shí)際應(yīng)用 以八邊形的個頂點(diǎn)和它內(nèi)部的個點(diǎn)，共個頂點(diǎn)，可把八邊形分割成多少個互不重疊的小三角形？（要求列式計(jì)算）

24．認(rèn)識三角形
問題解決
例l 當(dāng)為銳角三角形時(shí)，；當(dāng)為鈍角三角形時(shí)，．
例2 B ，又，得，化簡得．
例3 （1）；
（2）過作于，則；
（3）略
例4 （1）
（2）可證明．
（3），可證明為定值．
數(shù)學(xué)沖浪
1． 2． 3． 4． 5．A 6．C 7．C 8．C
9．，為一定值．
10．（1）證明略；（2）（1）中的結(jié)論仍然成立
11．或
12．
13． 如圖，由對頂三角形性質(zhì)得，解得．
14． D 15． B 16．C
17．（1）可證明．
（2）可證明．
18．（1）略；
（2），代入（1）得；
（3）．
19．（1），，．
（2），，，故的值不會改變．
20．探究三：
分割示意圖：（答案不唯一）．
探究四：或
探究拓展：或
問題解決：或
實(shí)際應(yīng)用：把，代入上述代數(shù)式，得．
泰勒斯（公元前前），古希臘學(xué)者，西方理性數(shù)學(xué)的倡導(dǎo)者，素有“科學(xué)之父”的美稱．他不滿足于直觀的感性的特殊認(rèn)識，崇尚抽象的理性的一般的知識，發(fā)現(xiàn)了許多平面幾何定理，泰勒斯在天文學(xué)方面也有不同凡響的工作，相傳他曾測知公元前年月日的一次日全食，他不愧于其墓碑上鐫刻的頌詞：“他是一位圣賢，又是一位天文學(xué)家，在日月星辰的王國里，他頂天立地，萬古流芳．”
25．多邊形的邊與角
解讀課標(biāo)
大街上的人行道，裝修一新的居家，在許多地方，我們可以看到由各種形狀（呈多邊形）的地磚或瓷磚鋪成的漂亮的地面和墻面．
一般地，由條不在同一直線上的線段首尾順次連接組成的平面圖形稱為邊形，又稱多邊形．
邊、角、對角線是多邊形中最基本的概念．
多邊形的許多性質(zhì)常可以用三角形來說明、解決，連對角線或向外補(bǔ)形，是把多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決的基本策略．
多邊形的內(nèi)角和性質(zhì)反映出一定的規(guī)律性：隨的變化而變化，而多邊形的外角和性質(zhì)反映出更本質(zhì)的規(guī)律：外角和是的一個常數(shù)．把內(nèi)角問題轉(zhuǎn)化為外角問題，以靜制動是解多邊形相關(guān)問題的常用技巧．
問題解決
例1 如圖，__________．
試一試 運(yùn)用三角形外角的性質(zhì)，或連線運(yùn)用對頂三角形的性質(zhì)，把分散的角加以集中．
例2 凸多邊形恰好有三個內(nèi)角是鈍角，這樣的多邊形邊數(shù)的最大值是（ ）．
A． B． C． D．
試一試 把凸多邊形內(nèi)角問題轉(zhuǎn)化為外角問題．
例3 凸邊形除去一個內(nèi)角外，其余內(nèi)角和為，求的值．
試一試 設(shè)除去的角為，可建立關(guān)于，的不定方程；又，又可得到關(guān)于的不等式，故有兩種解題途徑，注意為自然數(shù)的隱含條件．
例4 如圖，四邊形中，已知，，于，于．證明：．
試一試 從四邊形內(nèi)角和入手．
角星
例5 （1）如圖①，任意畫一個五角星，求度數(shù)．
（2）如圖②，用“一筆畫”方法畫成的七角形，求度數(shù)．
（3）如圖③，用“一筆畫”方法畫成的角形，且是凸邊形，求度數(shù)．
分析 從特殊到一般，將所求的度數(shù)用相關(guān)三角形、凸多邊形內(nèi)角和的式子表示．
解 （1）
（2）
（3）（個三角形，，，…，，的內(nèi)角總和減去多邊形外角和的倍）．
完全多邊形
把平面上的一些點(diǎn)以及這些點(diǎn)中某些點(diǎn)之間連接的線段，稱為一個圖．如圖，這樣的圖有個點(diǎn)，每兩點(diǎn)之間都有一條線，稱為完全六邊形．一個完全邊形共有條連線．
例6 證明：任何個人中，必有個人互相認(rèn)識，或者有個人互相不認(rèn)識．
分析與解 借助圖表示這一抽象的思想．
用點(diǎn)，，…，代表個人，兩個人互相認(rèn)識則在對應(yīng)的兩點(diǎn)間連一條紅邊，否則連一條藍(lán)邊，問題轉(zhuǎn)化為圖中必有三邊同色的三角形．
考慮與條引線，因?yàn)橹蝗玖藘煞N顏色，由抽屜原理知必有條同色，不妨設(shè)，，同為紅色；若，，中有紅邊，則有紅色；若，，無紅邊，則為藍(lán)色三角形，無論哪種情況，圖中都有同色三角形．
數(shù)學(xué)沖浪
知識技能廣場
1．如圖，、、、是五邊形的個外角，若，則_______．
2．如圖①，將一塊正六邊形硬紙片做成一個底面仍是正六邊形且高相等的無蓋紙盒（側(cè)面均垂直于底面，如圖②），需在每一個頂點(diǎn)處剪去一個四邊形，如圖①中的四邊形，那么的度數(shù)為_______．
3．如圖，的度數(shù)為_____________．
4．用個全等的正八邊形進(jìn)行拼接，使相鄰的兩個正八邊形有一條公共邊，圍成一圈后中間形成一個正方形，如圖①，用個全等的正六邊形按這種方式拼接，如圖②，若圍成一圈后中間也形成一個正多邊形，則的值為___________．
5．將五邊形紙片按如圖所示的方式折疊，折痕為，點(diǎn)、分別落在、'上，已知，則等于（ ）．
A． B． C． D．
6．如圖，已知正五邊形中，，，則（ ）．
A． B． C． D．
7．一個凸多邊形的每一內(nèi)角都等于，那么，從這個多邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)的對角線的條數(shù)是（ ）．
A．條 B．條 C．條 D．條
8．一個凸邊形，除一個內(nèi)角外，其余個內(nèi)角的和是，則的值是（ ）．
A． B． C． D．不能確定
9．如圖，已知，，，，求的度數(shù)．
10．如圖，在四邊形中，，、分別平分和．求證：．
思維方法天地
11．從凸邊形的一個頂點(diǎn)引出的所有對甬線把這個凸邊形分成了個小三角形，若等于這個凸邊形對角線條數(shù)的，那么此邊形的內(nèi)角和為________．
12．一個多邊形截去一個（三角形狀的）角后，形成另一個多邊形，其內(nèi)角和是，則原多邊形是_________邊形．
13．如圖，設(shè)，則__________．
14．如圖，的度數(shù)為_________．
15．如圖，的度數(shù)等于（ ）．
A． B． C． D．
16．在一個多邊形中，除了兩個內(nèi)角外，其內(nèi)角之和為，則這個多邊形的邊數(shù)為（ ）．
A． B．或 C． D．或
17．有一個邊長為的正六邊形客廳，用邊長為的正三角形瓷磚鋪滿，則需要這種瓷磚（ ）．
A．塊 B．塊 C．塊 D．塊
18．一位模型賽車手遙控一輛賽車，先前進(jìn)一米，然后原地逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，被稱為一次操作，若次操作后發(fā)現(xiàn)賽車回到出發(fā)點(diǎn)，則角為（ ）．
A． B．或 C． D．或
19．如圖，在凸六邊形中，已知成立，試證明：該六邊形必有兩條對邊是平行的．
20．已知凸四邊形中，．
（1）如圖①，若平分，平分的鄰補(bǔ)角，判斷與的位置關(guān)系并證明；
（2）如圖②，若、分別平分、的鄰補(bǔ)角，判斷與的位置關(guān)系并證明．
應(yīng)用探究樂園
21．（1）如圖①，把等邊三角形的各邊三等分，分別以居中那條線段為一邊向外作等邊三角形，并去掉居中的那條線段，得到一個六角星，則這個六角星的邊數(shù)是_________；
（2）如圖②，在的網(wǎng)格中有一個正方形，把正方形的各邊三等分，分別以居中那條線段為一邊向外作正方形，并去掉居中的那條線段．請你把得到的圖形畫在圖③中，并寫出這個圖形的邊數(shù)；
（3）現(xiàn)有一個正五邊形，把正五邊形的各邊三等分，分別以居中那條線段為一邊向外作正五邊形，并去掉居中的那條線段，得到的圖形的邊數(shù)是多少？
22．平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系．
（1）如圖①，若，點(diǎn)在，外部，則有，又因?yàn)槭堑耐饨牵剩茫畬Ⅻc(diǎn)移到，內(nèi)部，如圖②，以上結(jié)論是否成立？若成立，說明理由；若不成立，則，，之間有何數(shù)量關(guān)系？請證明你的結(jié)論；
（2）如圖②中，將直線繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線于點(diǎn)，如圖③，則，，，之間有何數(shù)量關(guān)系？（不需證明）
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，求圖④中的度數(shù)．
微探究
平面鑲嵌
平面鑲嵌就是用同樣形狀的平面幾何圖形無縫隙又不重復(fù)地鋪滿整個平面．
我們研究的鑲嵌是：鑲嵌的正多邊形的邊長都相等，每個頂點(diǎn)都是同樣數(shù)目的一些同樣形式的多邊形的公共點(diǎn)．
鑲嵌的實(shí)質(zhì)在于，圍繞一點(diǎn)拼在一起的若干個多邊形的內(nèi)角加在一起恰為，鑲嵌圖案有下列多種方式：
1．任意三角形和任意四邊形都能鑲嵌；
2．用同一種正多邊形進(jìn)行鑲嵌；
3．用幾種正多邊形組合鑲嵌．
對于（2）、（3），可以證明：能鑲嵌整個平面的只有種．如圖：
例1 用三種邊長相等的正多邊形地磚鋪地，其頂點(diǎn)拼在一起，剛好能完全鋪滿地面，設(shè)正多邊形的邊數(shù)為、、，則的值為________．
試一試 從建立、、的等式入手．
例2 現(xiàn)有四種地面磚，它們的形狀分別是：正三角形、正方形、正六邊形、正八邊形，且它們的邊長都相等，同時(shí)選擇其中兩種地面磚密鋪地面，選擇的方式有（ ）．
A．種 B．種 C．種 D．種
試一試 假設(shè)選擇正三角形與正方形，設(shè)在一個頂點(diǎn)周圍有個正三角形，個正方形，則，即，將問題轉(zhuǎn)化為求不定方程正整數(shù)解，類似探討其他選擇方式．
例3 問題再現(xiàn)
現(xiàn)實(shí)生活中，鑲嵌圖案在地面、墻面乃至于服裝面料設(shè)計(jì)中隨處可見，對于單種多邊形的鑲嵌，主要研究了三角形、四邊形、正六邊形的鑲嵌問題，今天我們把正多邊形的鑲嵌作為研究問題的切入點(diǎn)，提出其中幾個問題，共同來探究．
我們知道，可以單獨(dú)用正三角形、正方形或正六邊形鑲嵌平面，如圖，用正方形鑲嵌平面，可以發(fā)現(xiàn)在一個頂點(diǎn)周圍圍繞著個正方形的內(nèi)角．
試想：如果用正六邊形來鑲嵌平面，在一個頂點(diǎn)周圍應(yīng)該圍繞著________個正六邊形的內(nèi)角．
問題提出
如果我們要同時(shí)用兩種不同的正多邊形鑲嵌平面，可能設(shè)計(jì)出幾種不同的組合方案？
問題解決
猜想1：是否可以同時(shí)用正方形、正八邊形兩種正多邊形組合進(jìn)行平面鑲嵌？
分析：我們可以將此問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決，從平面圖形的鑲嵌中可以發(fā)現(xiàn)，解決問題的關(guān)鍵在于分析能同時(shí)用于完整鑲嵌平面的兩種正多邊形的內(nèi)角特點(diǎn)．具體地說，就是在鑲嵌平面時(shí)，一個頂點(diǎn)周圍圍繞的各個正多邊形的內(nèi)角恰好拼成一個周角．
驗(yàn)證1：在鑲嵌平面時(shí)，設(shè)圍繞某一點(diǎn)有個正方形和個正八邊形的內(nèi)角可以拼成一個周角．根據(jù)題意，可得方程：
，整理得：，
我們可以找到唯一一組適合方程的正整數(shù)解為．
結(jié)論1：鑲嵌平面時(shí)，在一個頂點(diǎn)周圍圍繞著個正方形和個正八邊形的內(nèi)角可以拼成一個周角，所以同時(shí)用正方形和正八邊形兩種正多邊形組合可以進(jìn)行平面鑲嵌．
猜想2：是否可以同時(shí)用正三角形和正六邊形兩種正多邊形組合進(jìn)行平面鑲嵌？若能，請按照上述方法進(jìn)行驗(yàn)證，并寫出所有可能的方案；若不能，請說明理由．
驗(yàn)證2：_________________________________________
結(jié)論2：_________________________________________
上面，我們探究了同時(shí)用兩種不同的正多邊形組合鑲嵌平面的部分情況，僅僅得到了一部分組合方案，相信同學(xué)們用同樣的方法，一定會找到其他可能的組合方案．
問題拓展
請你依照上面的研究方式，探索出一個同時(shí)用三種不同的正多邊形組合進(jìn)行平面鑲嵌的方案，并寫出驗(yàn)證過程．
猜想3：_____________________________________
驗(yàn)證3：_____________________________________
結(jié)論3：_____________________________________
拼圖的背后
例4 同時(shí)用邊長相等的正三角形和正方形拼（無重疊無間隙）凸多邊形，能拼成怎樣的凸多邊形？
分析 要得到完整的解答，需將問題轉(zhuǎn)化為解方程組．
解 設(shè)可以拼成凸邊形，邊形的內(nèi)角只可能是，，，．并設(shè)其個數(shù)分別為，，，（，，，為大于等于零的整數(shù)）．
則
由②得 ③
①③得 ④
．
由此可見，拼得的多邊形最大邊數(shù)為．下面我們分情況一一探討．
（1）當(dāng)時(shí)，由，得，
．
這說明可以拼成十二邊形，且這十二邊形的每個內(nèi)角均為，如圖①．
（2），當(dāng)時(shí)，由，得，
．
這說明，可以拼成十一邊形，且這十一邊形中有一個內(nèi)角為，其余各內(nèi)角均為，如圖②．
（3）當(dāng)時(shí)，由，得，
．
這說明可以拼成十邊形，且這十邊形中有個內(nèi)角為，有個內(nèi)角為，如圖③．
（4）當(dāng)時(shí)，由，得，
．
這說明可以拼成九邊形，且這九邊形中有個內(nèi)角為，有個內(nèi)角為，如圖④．
同理，可以拼成八邊形、七邊形、六邊形、五邊形，分別如圖⑤、⑥、⑦、⑧．
練一練
1．用大小相同的正六邊形瓷磚按如圖所示的方式來鋪設(shè)廣場，中間的正六邊形瓷磚記為，定義為第一組；在它的周圍鋪上塊同樣大小的正六邊形瓷磚，定義為第二組；在第二組的外圍用同樣大小的正六邊形瓷磚來鋪滿，定義為第三組……按這種方式鋪下去，用現(xiàn)有的塊瓷磚最多能完整地鋪滿_______組，還剩_________塊瓷磚．
2．花團(tuán)錦簇
有一個正六邊形花壇，周圍用同樣規(guī)格的正三角形、正方形磚塊鋪路，按圖示方法從花壇向外鋪圈，共需磚_______塊，其中正三角形磚_______塊．若鋪圈，則共需磚_______塊．
3．有下列五種正多邊形地磚：①正三角形；②正方形；③正五邊形；④正六邊形；⑤正八邊形，現(xiàn)要用
同一種大小一樣、形狀相同的正多邊形地磚鋪設(shè)地面，其中能做到彼此之間不留空隙、不重疊地鋪設(shè)的地磚有（ ）．
A．種 B．種 C．種 D．種
4．如圖，一個正方形水池的四周恰好被個正邊形地板磚鋪滿，則等于（ ）．
A． B． C． D．
5．在日常生活中，觀察各種建筑物的地板，就能發(fā)現(xiàn)地板常用各種正多邊形地磚鋪砌成美麗的圖案．也就是說，使用給定的某些正多邊形，能夠拼成一個平面圖形，既不留下一絲空白，又不互相重疊（在幾何里叫做平面鑲嵌），這顯然與正多邊形的內(nèi)角大小有關(guān)，當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個周角（）時(shí)，就拼成了一個平面圖形．
（1）請根據(jù)下列圖形，填寫表中空格；
正多邊形邊數(shù)
…
正多邊形每個內(nèi)角的度數(shù)
…
（2）如果限于用一種正多邊形鑲嵌，哪幾種正多邊形能鑲嵌成一個平面圖形？
（3）從正三角形、正四邊形、正六邊形中選一種，再在其他正多邊形中選一種，請畫出用這兩種不同的正多邊形鑲嵌成的一個平面圖形（草圖）；并探索這兩種正多邊形共能鑲嵌成幾種不同的平面圖形？說明你的理由．
微探究
三角形三邊關(guān)系
三角形的三邊關(guān)系是三角形最基本的性質(zhì)，是解決三角形計(jì)數(shù)、研究線段不等關(guān)系、探討幾何最值等問題的基礎(chǔ)．
例1 不等邊三角形的兩條高的長度分別為和，若第三條高的長度也是整數(shù)，那么這條高的長度等于_________．
試一試 設(shè)的面積為、第三條高的長為，則三邊都可用的代數(shù)式表示，由三邊關(guān)系建立關(guān)于的不等式組．
例2 已知三角形的三邊、、的長都是整數(shù)，且，如果，則這樣的三角形共有（ ）．
A．個 B．個 C．個 D．個
試一試 的取值范圍是明確的，依三角形三邊關(guān)系，可確定的取值范圍，列表枚舉出所有的可能性．
例3 如圖，已知為內(nèi)任一點(diǎn)．
（1）與哪個大？證明你的結(jié)論；
（2）與哪個大？證明你的結(jié)論．
試一試 對于（2），解題的關(guān)鍵是先證明：， ，．
例4 現(xiàn)有長為的鐵絲，要截成小段，每段的長為不小于的整數(shù)．如果其中任意小段都不能拼成三角形，試求的最大值，此時(shí)有幾種方法將該鐵絲截成滿足條件的段？
試一試 因段之和為定值，故欲盡可能的大，必須每段的長度盡可能的小，這樣依題意可構(gòu)造一個數(shù)列．
整邊三角形
例5 將長度為的一根鉛絲折成各邊均為整數(shù)的三角形，記為三邊分別為，，且的一個三角形．
（1）試盡可能多地寫出滿足題意的；
（2）你能否提出一些進(jìn)一步的問題？
分析與解 （1）由題意可知，且，由此得，
即，，，，故滿足題意的共有如下組：
；；；；；；；；；；；．
（2）以下問題供參考：
①將長度為的線段折成各邊均為整數(shù)的三角形，求最大邊的邊長的取值范圍；
②將長度為的線段折成各邊均為整數(shù)的四邊形，可得多少個不同的四邊形？
練一練
1．現(xiàn)有、、、長的四根木棒，任取其中三根組成一個三角形，那么可以組成的三角形的個數(shù)是________________．
2．若三角形的周長是偶數(shù)，其中有兩邊的長是和，則這個三角形是________三角形（按邊分類）．
3．如圖，加油站和商店在馬路的同一側(cè)，到的距離大于到的距離，，一個行人在馬路上行走．問：當(dāng)?shù)降木嚯x與到的距離之差最大時(shí)，這個差等于_______米．
4．將長度為的細(xì)鐵絲折成邊長都是質(zhì)數(shù)（單位：厘米）的三角形，若這樣的三角形的三邊的長分別是、、，且滿足，則有________組解，所構(gòu)成的三角形都是_______三角形．
5．三角形的三邊長為，，，那么的取值范圍是（ ）．
A． B． C． D．
6．三角形三邊的長都是正整數(shù)，其中最長邊的長為，這樣的三角形有（ ）．
A．種 B．種 C．種 D．種
7．條長度均為整數(shù)的線段，，…，滿足，且這條線段中的任意三條都不能構(gòu)成三角形，若，，則（ ）．
A． B． C． D．
8．已知的兩條高線的長分別為、，若第三條高線的長也是整數(shù)，則第三條高線長的最大值為（ ）
A． B． C． D．
9．在平面內(nèi)，分別用根，根，根，…火柴首尾依次相接，能搭成什么形狀的三角形呢？通過嘗試，列表如下所示：
火柴數(shù)
…
示意圖
…
形狀
等邊三角形
等腰三角形
等邊三角形
…
問：（1）根火柴能搭成三角形嗎？
（2）根、根火柴能搭成幾種不同形狀的三角形？畫出它們的示意圖．
10．有長度分別為、、、、、、、、（單位：）的細(xì)木棒各根，利用它們（允許連接加長但不允許折斷）能夠圍成多少種周長不同的等邊三角形？
11．周長為，各邊長互不相等且都是整數(shù)的三角形共有多少個？

25．多邊形的邊與角
問題解決
例1 連，四邊形的內(nèi)角和．
例2 C 設(shè)凸多邊形的邊數(shù)為，個內(nèi)角中恰有三個是銳角，則其余個外角中將是鈍角或直角，而外角中鈍角或直角的個數(shù)不超過，即，解得．
例3 設(shè)除去的角為，則，得，，．
例4 ，又，故．
數(shù)學(xué)沖浪
1． 2． 3．
4． 得到的正多邊形的一個內(nèi)角為．
5．B 6．D 7．D 8．B 9．
10．，，又，得，故．
11． 12．十八邊形，或十九邊形或二十邊形
13． 14． 連 15．C
16．D 設(shè)這個多邊形為邊形（為正整數(shù)），由，得，或．
17．C 18．D 19．可以證明
20．（1）；（2）（證明略）
21．（1）；（2）這個圖形的邊數(shù)是（如圖所示）；（3）得到的圖形的邊數(shù)是．
22．（1）不成立，結(jié)論是．
（2）結(jié)論：．
（3）．
平面鑲嵌（微探究）
例1 依題意有：，化簡得．
例2 B 用兩種正多邊形密鋪地面的組合有：正三角形和正六邊形、正三角形和正方形、正方形和正八邊形，共種．
例3 問題再現(xiàn)：
驗(yàn)證2：在鑲嵌平面時(shí)，設(shè)圍繞某一點(diǎn)有個正三角形和個正六邊形的內(nèi)角可以拼成一個周角．
根據(jù)題意，可得方程：．
整理得：，可以找到兩組適合方程的正整數(shù)解為和．
結(jié)論2：鑲嵌平面時(shí)，在一個頂點(diǎn)周圍圍繞著個正三角形和個正六邊形的內(nèi)角或者圍繞著個正三角形和個正六邊形的內(nèi)角可以拼成一個周角，所以同時(shí)用正三角形和正六邊形兩種正多邊形組合可以進(jìn)行平面鑲嵌．
猜想3：是否可以同時(shí)用正三角形、正方形和正六邊形三種正多邊形組合進(jìn)行平面鑲嵌？
驗(yàn)證3：在鑲嵌平面時(shí)，設(shè)圍繞某一點(diǎn)有個正三角形、個正方形和個正六邊形的內(nèi)角可以拼成一個周角．根據(jù)題意，可得方程：，整理得：，可以找到唯一一組適合方程的正整數(shù)解為．
結(jié)論3：鑲嵌平面時(shí)，在一個頂點(diǎn)周圍圍繞著個正三角形、個正方形和個正六邊形的內(nèi)角可以拼成一個周角，所以同時(shí)用正三角形、正方形和正六邊形三種正多邊形組合可以進(jìn)行平面鑲嵌．
練一練
1．鋪滿組時(shí)，所用瓷磚總數(shù)為．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故最多能完整地鋪滿組，還剩（塊）瓷磚．
2． ；； 3． B
4． C 由，得．
5．（1）；；
（2）正三角形、正四邊形（或正方形）、正六邊形．
假定在接合處一共有塊正邊形地磚．由于正邊形的所有內(nèi)角都相等，則，即，因?yàn)檎麛?shù)，故，，，，得，或，由此可見，只有三種正多邊形的瓷磚，可以按要求鋪地，即正三角形、正方形和正六邊形．
（3）如：正方形和正八邊形，設(shè)在一個頂點(diǎn)周圍有個正方形的角，個正八邊形的角，那么，，應(yīng)是方程的整數(shù)解，即的整數(shù)解．
這個方程的整數(shù)解只有一組，符合條件的圖形只有一種．
三角形三邊關(guān)系（微探究）
例1 設(shè)長度為和的高分別是邊、上的，邊上的高為，的面積為，則，，，由，得，又為整數(shù)且為不等邊三角形，故．
例2 A分，，…，情形討論，又，列表如下：
不存在
，
，，
，，，
，，，，
，，，，，
例3 （1），，，相加得：．
（2）如圖，延長交于．
在中，①，
在中，②，
①+②，得
即，同理，．
相加得:，故．
例4 這些小段的長度只可能分別是，，，，，，，，，，，…但，．故的最大值為，共有以下種方式：
；；； ；； ；．
練一練
1． 2．等腰
3． ，當(dāng)、、在一條直線上時(shí)，等號成立．
4． 等腰 最長邊介于周長的和之間，故最長邊可取整數(shù)、、、，又三邊長都是質(zhì)數(shù)，則最長邊為，另兩邊的和為．其中符合條件的有，．
5．B 6．D
7．B 只有當(dāng)，，，，時(shí)，條線段中的任意三條都不能構(gòu)成三角形．
8．B 設(shè)第三條高線的長為，可得．
9．（1）不能搭成三角形
（2），，能搭成一個等腰三角形；，，；，，；，，各能搭成一個三角形，并且這個三角形分別是等腰三角形、直角三角形、等邊三角形，圖略．
10．因所有線段的和為，故最大的等邊三角形邊長為．依據(jù)邊長列表如下：
邊長
從表中可以看出，符合條件的三角形邊長最短為，最長為，都能找到適合的線段組合．故能夠圍成的周長不同的等邊三角形共有種．
，
，
，，，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
11．不妨設(shè)，則由得．因?yàn)檎麛?shù)，故，，，．當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，或，；當(dāng)時(shí)，，或，或，或，；當(dāng)時(shí)，，或，或，或，
或，．
海倫，古希臘數(shù)學(xué)家、測量學(xué)家和工程師，在數(shù)學(xué)史上，他以出色解決幾何測量問題而聞名．他提出了不少計(jì)算圖形面積和體積的精確或近似公式，其中包括著名的已知三角形三邊，求三角形面積的“海倫公式”．
26．圖形面積的計(jì)算
解讀課標(biāo)
面積是平面幾何中一個重要概念，計(jì)算圖形面積是平面幾何中最常見的基本問題之一，與面積相關(guān)的知識有：
1．常見圖形面積計(jì)算公式；
2．等底等高的兩個三角形面積相等；
3．等高（或等底）兩個三角形面積的比等于對應(yīng)底（或高）的比．
面積的計(jì)算主要是求一些非常規(guī)圖形的面積．非常規(guī)圖形面積的計(jì)算往往可轉(zhuǎn)化為常規(guī)圖形面積的計(jì)算，在轉(zhuǎn)化的過程中常用到恰當(dāng)連線、圖形割補(bǔ)、等積變形、代數(shù)化等知識方法．
熟悉以下基本圖形．
問題解決
例1 如圖，梯形被對角線分為個小三角形，和的面積分別為和，梯形的面積是__________．
隱含多對面積相等的三角形，要求梯形的面積需求出的，過線段的比把三角形面積聯(lián)系起來．
例2 如圖，正方形和的邊長分別為、，那么的面積的值（ ）．
A．只與的大小有關(guān) B．只與的大小有關(guān) C．與、的大小都有關(guān) D．與、的大小都無關(guān)
試一試 略
例3 如圖，三角形內(nèi)的線段、相交于點(diǎn)，已知，．設(shè)三角形、三角形、三角形和四邊形的面積分別為、、、．
（1）求的值；
（2）如果，求的值．
試一試 恰當(dāng)連線（如連），把線段比轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的三角形面積比．對于（2），設(shè)，利用三角形面積之間的關(guān)系建立方程．
例4 如圖，的面積為，、為的三等分點(diǎn)，、為的三等分點(diǎn)．
求：（1）四邊形的面積；
（2）四邊形的面積．
試一試 （1）連，設(shè)，，可建立關(guān)于，的方程組，解題的關(guān)鍵是把相關(guān)圖形的面積用，的代數(shù)式表示，并利用等分點(diǎn)導(dǎo)出隱含圖形的面積；（2）連，仿（1），先求出的面積，再得出面積，進(jìn)而可求四邊形的面積．
例5 如圖①，已知正方形的面積為，為的中點(diǎn)．求圖中陰影部分的面積．
解法1 如圖①，，為公共部分，所以，因?yàn)榕c的高相等（以為頂點(diǎn)作高），與的高相等（以為頂點(diǎn)作高），
所以，即，
解得，．
解法2 如圖②，連接，由正方形的對稱性得，
又，
所以．
解法3 如圖③，連接、，設(shè)、交于點(diǎn)，，
因?yàn)椋?br/>所以．
又，，
因?yàn)椋?br/>即，所以．
所以．
皮克公式
例6 用水平線和豎直線將平面分成若干個邊長為的小正方形格子，小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形叫格點(diǎn)多邊形．設(shè)格點(diǎn)多邊形的面積為，它各邊上格點(diǎn)的個數(shù)和為．
（1）上圖中的格點(diǎn)多邊形，其內(nèi)部都只有一個格點(diǎn)，它們的面積與各邊上格點(diǎn)的個數(shù)和的對應(yīng)關(guān)系如下表，請寫出與之間的關(guān)系式．答：____________________．
多邊形的序號
①
②
③
④
…
多邊形的面積
…
各邊上格點(diǎn)的個數(shù)和
…
（2）請你再畫出一些格點(diǎn)多邊形，使這些多邊形內(nèi)部都有而且只有個格點(diǎn)．此時(shí)所畫的各個多邊形的面積與它各邊上格點(diǎn)的個數(shù)和之間的關(guān)系式是：___________．
（3）請你繼續(xù)探索，當(dāng)格點(diǎn)多邊形內(nèi)部有且只有個格點(diǎn)時(shí)，猜想與有怎樣的關(guān)系？
試一試 本例是按多邊形內(nèi)部的點(diǎn)來分情況探究的．對于（3），可以研究當(dāng)多邊形內(nèi)部的點(diǎn)數(shù)為、、等的情況，從特殊到一般作出猜想．
數(shù)學(xué)沖浪
知識技能廣場
1．如圖，一個大正方形被條線段分割成個小正方形和個長方形，如果，，那么大正方形的面積_____________．
2．圖中最大正方形的邊長是，那么，陰影部分的總面積是__________．
3．如圖，將邊長為的等邊沿邊向右平移得，與交于點(diǎn)，則_____________．
4．把三張大小相同的正方形卡片，，疊放在一個底面為正方形的盒底上，底面未被卡片覆蓋的部分用陰影表示．若按圖①擺放時(shí)，陰影部分的面積為；若按圖②擺放時(shí)，陰影部分的面積為，則____________（填“”、“”或“”）．
5．如圖，在直角扇形中，分別以、為直徑作半圓，兩條半圓弧相交于點(diǎn)，整個圖形被分成、、、四部分，則與的大小關(guān)系是（ ）．
A． B． C． D．無法確定的
6．已知在正方形網(wǎng)格中，每個小方格都是邊長為的正方形，、兩點(diǎn)在小方格的頂點(diǎn)上，位置如圖所示，點(diǎn)也在小方格的頂點(diǎn)上，且以、、為頂點(diǎn)的三角形的面積為個平方單位，則點(diǎn)的個數(shù)為（ ）．
A．個 B．個 C．個 D．個
7．如圖，在長方形中，，、、在同一條直線上，則陰影部分的面積等于（ ）．
A． B． C． D．
8．如圖，凸四邊形中，對角線、相交于點(diǎn)，若三角形的面積是，三角形的面積是，三角形的面積是，則四邊形的面積是（ ）．
A． B． C． D．
9．如圖，正方形、正方形和正方形的位置如圖所示，點(diǎn)在線段上，已知正方形的邊長為，求的面積．
10．如圖，的邊，，點(diǎn)、在上，點(diǎn)、在上，，求和的長．
思維方法天地
11．如圖，若長方形、、的面積分別為、、，則陰影部分的面積是__________．
12．如圖，三角形的面積為，，是的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，那么四邊形的面積為______________．
13．如圖，長方形中，，，為的中點(diǎn)，在上取一點(diǎn)，使的面積等于，則_______________．
14．如圖，若為平行四邊形內(nèi)的一點(diǎn)，且，，則______________．
15．如圖，是平行四邊形，在上，在上，，則___________．
16．如圖，大圓中有個面積相等的小圓，已知小圓半徑為，大圓半徑等于小圓直徑，則空白部分的面積是__________（取）．
17．如圖，三角形的面積為，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連接并延長交于，連接并延長交于．求四邊形的面積．
18．如圖，中，，求的值．
應(yīng)用探究樂園
19．在如圖①至圖③中，的面積為．
探索
（1）如圖①，延長的邊到點(diǎn)，使，連接．若的面積為，則__________（用含的代數(shù)式表示）；
（2）如圖②，延長的邊到點(diǎn)，延長到點(diǎn)，使，，連接．若的面積為，則_________（用含的代數(shù)式表示），并寫出理由；
（3）在圖②的基礎(chǔ)上延長到點(diǎn)，使，連接、，得到（如圖③）．若陰影部分的面積為，則________（用含的代數(shù)式表示）．
發(fā)現(xiàn)
像上面那樣，將各邊均順次延長一倍，連接所得端點(diǎn)，得到（如圖③），此時(shí)，我們稱向外擴(kuò)展了一次，可以發(fā)現(xiàn)，擴(kuò)展一次后得到的的面積是原來面積的______倍．
應(yīng)用
去年在面積為的空地上栽種了某種花卉．今年準(zhǔn)備擴(kuò)大種植規(guī)模，把向外進(jìn)行兩次擴(kuò)展，第一次由擴(kuò)展成，第二次由擴(kuò)展成（如圖④）．求這兩次擴(kuò)展的區(qū)域（即陰影部分）面積共為多少？
20．如圖，紅黃綠三塊一樣大的正方形紙片放在一個正方形盒內(nèi)，它們之間互相重疊．已知露在外面的部分中，紅色的面積是，黃色的面積是，綠色的面積是，求正方形盒子的面積．

26．圖形面積的計(jì)算
問題解決
例1 ，，得．
例2 B 連，，．
例3 （1），，得．
（2）由，得，，連接，
設(shè)，則，
因．故，
解得，，所以．
例4 （1），①②，得，即．
（2）連，，設(shè)，，
則，，
則，解得，
故．
例6 （1）；（2）；（3）．
數(shù)學(xué)沖浪
1． 2． 3． 4． 5．B 6．D 7．B 8．B
9．
10．設(shè)，則，，
由，得，
，故，即，
同理，，，．
11． 連 12．
13． 設(shè)，則，由，得．
14． 設(shè)，，則．
15． 連，，則，，，，為中點(diǎn)，，，，．
16． 如圖，因?yàn)榕c、與、與、與、與、與部分的面積相等，所以空白部分的面積為半個大圓的面積，即（平方厘米）．
17． 設(shè)，，則，
，，．
由，得，即，解得．
同理有，，，由，得．
故．
18． 連，設(shè)，，，
則，解得，同理可得，又，得，
這樣，即．
19．探索：（1）；
（2）；理由：連接，，，，；
（3）；
發(fā)現(xiàn)：
應(yīng)用：拓展區(qū)域的面積：．
20． 移動黃塊到左邊緣，在移動的過程中，黃塊露出的部分減少多少，綠塊露出的部分就增加多少，即“黃+綠”不變．當(dāng)黃塊移動到靠左邊緣時(shí)，由于紅塊是正方形，大盒也是正方形，可得這時(shí)“黃”“綠”，易知此時(shí)“左上”“右下”“右上”“左下”，可得“右上”，所以“大盒”的面積．
陳景潤（），福建省福州市人，年畢業(yè)于廈門大學(xué)數(shù)學(xué)系，主要從事解析數(shù)論方面的研究．世紀(jì)年代以來對篩法及其有關(guān)重要問題作了深入研究，年月證明了命題“”，將多年來人們未能解決的哥德巴赫猜想的證明大大推進(jìn)了一步，這一結(jié)果被國際上譽(yù)為“陳式定理”．
27．圖形生長的奧秘
解讀課標(biāo)
從一個簡單的、基本的圖形開始，按照一定的規(guī)律，生長繁衍成復(fù)雜有趣而美麗的圖形，并探尋圖形的邊長、周長、面積的變化規(guī)律，這類圖形生長的問題是近年中考競賽的一個熱點(diǎn)問題．
以“點(diǎn)”的方式擴(kuò)散、以“面”的方式膨脹、以“體”的方式“堆砌”，是圖形生長的常見形式，解圖形生長問題的基本方法是：
（1）分析圖形生長的方式、規(guī)律；
（2）分析相關(guān)數(shù)量的特征，找尋相關(guān)數(shù)量與圖形序號的聯(lián)系，觀察發(fā)現(xiàn)，歸納猜想．
問題解決
例1 （1）觀察圖①至圖④中小圓圈的擺放規(guī)律，并按這樣的規(guī)律繼續(xù)擺放，記第個圖中小圓圈的個數(shù)為，則________．（用含的代數(shù)式表示）
（2）觀察下列圖形：
① ② ③ ④
根據(jù)圖①②③的規(guī)律，圖④中的三角形的個數(shù)為___________．
試一試 對于（2），從尋找第個圖與第個圖三角形個數(shù)的關(guān)系入手．
例2 （1）如圖是一個水平擺放的小正方體木塊，圖②③是用這樣的小正方形木塊疊放而成，按照這樣的規(guī)律，繼續(xù)疊放下去，至第七個疊放的圖形中，小正方體木塊總數(shù)是（ ）．
A． B． C． D．
（2）黑色等邊三角形與白色正六邊形的邊長相等，用它們鑲嵌圖案，方法如下：白色正方形分上下兩行，上面的一行的正六邊形個數(shù)比下面一行少一個，正六邊形之間的空隙用黑色的正三角形嵌滿，按第、、個圖案所示規(guī)律依次下去：
則第個圖案中，黑色正三角形和白色正六邊形的個數(shù)分別是（ ）．
A．， B．， C．， D．，
試一試 略．
例3 操作：
（1）如圖①，先畫一個等邊三角形，每邊長為；
（2）如圖②，在圖①中，每邊三等分中間的一份處再凸出一個等邊三角形；
（3）如圖③，在②的邊上，重復(fù)進(jìn)行三等分，中間的一份處凸出一個等邊三角形，按上述方法，就畫出一個美麗的雪花圖形．
探究：圖的周長是多少？
試一試 每“生長一次”，邊長變化的規(guī)律，以及每“生長一次”，新增三角形個數(shù)的規(guī)律，這是解本例的突破口．
例4 有一堆磚堆放如圖，第層有塊，第層有塊，第層有塊，……，如此繼續(xù)下去，第層有多少塊？第層有多少塊？這樣共層的磚堆總共有多少塊磚？
試一試 從第層起，每一層橫里比上一層多一塊，縱里也比上一層多一塊，這是解本例的關(guān)鍵，亦可從分析每層磚的數(shù)據(jù)特征入手．
例5 如圖的圖案均是用長度相同的火柴棍按一定的規(guī)律拼搭而成的：第個圖案需根火柴，第個圖案需根火柴，……，依此規(guī)律，第個圖案需多少根火柴？
分析 當(dāng)數(shù)據(jù)規(guī)律不明顯時(shí)，可從分析圖形構(gòu)成入手．為使圖形結(jié)構(gòu)清晰，可適當(dāng)改變圖形．
解 將圖中各個圖案右下角的一個正方形移除根火柴后得如下圖：
圖中第個圖案需要橫向火柴（根），縱向火柴（根），共需根火柴；
第個圖案需要橫向火柴（根），縱向火柴（根），共需根火柴；
第個圖案需要橫向火柴（根），縱向火柴（根），共需根火柴；
……
第個圖案需要橫向火柴的根數(shù)是，縱向火柴的根數(shù)也是，共需根火柴．
故拼搭圖中第個圖案需火柴（根）．
圖案設(shè)計(jì)
例6 如圖是一個由個相似的直角三角形組成的圖案，像商標(biāo)？像蝸牛？像臺風(fēng)眼？
由簡單的相似圖形出發(fā)，展開想象的翅膀，開發(fā)頭腦無盡的創(chuàng)意，你也能畫出更美的圖案．
下列圖案分別是由相似的正方形、正五邊形、正六邊形、圓組成的．
數(shù)學(xué)沖浪
知識技能廣場
1．觀察下列圖形，它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第個圖形共有_______枚五角星．
2．下列圖形都是由同樣大小的五角星按一定的規(guī)律組成，其中第①個圖形一共有個五角星，第②個圖形一共有個五角星，第③個圖形一共有個五角星，……，則第⑥個圖形中五角星的個數(shù)為_________．
3．如圖是用相同長度的小棒擺成的一組有規(guī)律的圖案，圖案（1）需要根小棒，圖案（2）需要根小棒，……，按此規(guī)律擺下去，第個圖案需要小棒________根（用含有的代數(shù)式表示）．
4．用正三角形和正六邊形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，即從第二個圖案開始，每個圖案都比上一個圖案多一個正六邊形和兩個正三角形，則第個圖案中正三角形的個數(shù)為________（用含的代數(shù)式表示）．
5．下列圖案是晉商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗紙上所貼的剪紙，則第個圖中所貼剪紙“○”的個數(shù)為_________．
6．如圖①是一塊瓷磚的圖案，用這種瓷磚來鋪設(shè)地面．如果鋪成一個的正方形圖案（如圖②），其中完整的圓共有個，如果鋪成一個的正方形圖案（如圖③），其中完整的圓共有個，如果鋪成一個的正方形圖案（如圖④），其中完整的圓共有個．若這樣鋪成一個的正方形圖案，則其中完整的圓共有________個．
7．觀察下表，填表格后再解決問題：
序號
…
圖形
…
……
●的個數(shù)
…
★的個數(shù)
…
（1）完成上表；
（2）試求第幾個圖形中的“●”的個數(shù)與“★”的個數(shù)相等．
8．已知一個面積為的等邊三角形，現(xiàn)將其各邊（為大于的整數(shù)）等分，并以相鄰等分點(diǎn)為頂點(diǎn)向外作小等邊三角形，如圖所示，當(dāng)時(shí)，共向外作出了多少個小等邊三角形？這些小等邊三角形的面積和為多少？（用含的式子表示）
9．某體育館用大小相同的長方形鑲嵌地面，第一次鋪塊，如圖①；第二次把第一次鋪的完全圍起來，如圖②；第三次把第二次鋪的完全圍起來，如圖③；……；依此方法，第次鋪完后，用字母表示第次鑲嵌所使用的木塊數(shù)為______________．
10．如圖是一個樹形圖的生長過程，依據(jù)圖中所示的生長規(guī)律，第行的實(shí)心圓點(diǎn)的個數(shù)等于_______．
11．在圖①中取陰影等邊三角形各邊的中點(diǎn)，連成一個等邊三角形，將其挖去，得到圖②；對圖②中的每個陰影等邊三角形各邊按照先前的做法，得到圖③；……；如此繼續(xù)，如果圖①的等邊三角形面積為，則第個圖形中所有陰影三角形面積的和為___________．
12．如圖，第（1）個多邊形由正三角形“擴(kuò)展”而來，邊數(shù)記為，第（2）個多邊形由正方形“擴(kuò)展”而來，邊數(shù)記為，……，依此類推，由正邊形“擴(kuò)展”而來的多邊形的邊數(shù)記為．
（1）求的值；
（2）當(dāng)?shù)慕Y(jié)果是時(shí)，求的值為_________．
13．用大小相同的正六邊形瓷磚按如圖所示的方式來鋪設(shè)廣場，中間的正六邊形瓷磚記為，定義為第一組；在它的周圍鋪上塊同樣大小的正六邊形瓷磚，定義為第二組；在第二組的外圍用同樣大小的正六邊形瓷磚來鋪滿，定義為第三組，……，按這種方式鋪下去，用現(xiàn)有的塊瓷磚最多能完整地鋪滿多少組？還剩幾塊瓷磚？
應(yīng)用探究樂園
14．在下圖中，每個正方形由邊長為的小正方形組成：
（1）觀察圖形，請?zhí)顚懴铝斜砀瘢?br/>正方形邊長
…
（奇數(shù)）
黑色小正方形個數(shù)
…
正方形邊長
…
（偶數(shù)）
黑色小正方形個數(shù)
…
（2）在邊長為的正方形中，設(shè)黑色小正方形的個數(shù)為，白色小正方形的個數(shù)為，問是否存在偶數(shù)，使？若存在，請寫出的值；若不存在，請說明理由．
15．將棱長為的正方體按如圖方式放置，求第個幾何體的表面積．

27．圖形生長的奧秘
問題解決
例1（1）
（2） 圖①有個，圖②有個，圖③有個，圖④有個．
例2（1）C ；
（2）D
例3 圖中每個小等邊三角形的邊長為，圖周長為．
例4 第層有塊，第層有塊，這樣的層磚堆共有
（塊）．
數(shù)學(xué)沖浪
1． 2． 3． 4．
5．（個） 6．（個）
7．（1）略；（2）由，得或（舍去）．
8．時(shí)，共向外作了個小等邊三角形，每個小等邊三角形的面積為，這些小等邊三角形的面積為．
9．
10． 各行的實(shí)心圓點(diǎn)數(shù)組成斐波那契數(shù)列
11．
12．（1），；（2）．
13．鋪滿組時(shí)，所用瓷磚總數(shù)為．
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故最多能完整地鋪滿組，還剩（塊）瓷磚．
14．（1）略；（2）為偶數(shù)時(shí)，，，由題意得，或（舍去）．故存在偶數(shù)，使得．
15．由圖呈現(xiàn)的規(guī)律知，第個幾何體有層，從上往下第層有個正方體，第層有個正方體，第層有個正方體，……，第層有個正方體，所以第個幾何體的表面積由以下三部分組成：
（1）俯視圖：邊長為厘米的正方形，面積為（平方厘米）．
（2）底面積：邊長為厘米的正方形，面積為平方厘米．
（3）側(cè)面積：四個形如
個正方形的金字塔三角形的面積和，即（平方厘米）．故第個幾何體的表面積為（平方厘米）．
28．實(shí)驗(yàn)與操作
解讀課標(biāo)
數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)指的是為了探究數(shù)學(xué)知識、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論或假設(shè)而進(jìn)行的某種操作、試驗(yàn)或思維活動．
數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是通過操作或借助計(jì)算機(jī)技術(shù)，從而獲得經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)而解決問題，構(gòu)建知識和促進(jìn)發(fā)展．
在一定的規(guī)則下進(jìn)行某種實(shí)驗(yàn)或操作，問是否或證明能夠達(dá)到一個預(yù)期的目的，這就是實(shí)驗(yàn)操作題．
數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)操作題常借助兩種手段完成：一是動手操作，運(yùn)用事物或教具進(jìn)行實(shí)驗(yàn)與操作；二是以計(jì)算機(jī)軟件的應(yīng)用為平臺，模擬實(shí)驗(yàn)，利用數(shù)學(xué)模型解決問題．這類問題強(qiáng)調(diào)手腦并用，注重在“做”的過程中體驗(yàn)問題情境和經(jīng)歷解決、研究問題的過程．
有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是單純地依賴模仿與記憶，動手實(shí)踐、自主探索是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方法．
解實(shí)驗(yàn)操作題的關(guān)鍵是：在實(shí)驗(yàn)與操作獲得直觀形象經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，能發(fā)現(xiàn)規(guī)律，或成功轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學(xué)問題．
問題解決
例1 循環(huán)往復(fù) 圖中的程序表示，輸入一個整數(shù)便會按程序進(jìn)行計(jì)算．
設(shè)輸入的值為，那么根據(jù)程序，第次計(jì)算的結(jié)果是；第次計(jì)算的結(jié)果是，……這樣下去第次計(jì)算的結(jié)果是__________，第次計(jì)算的結(jié)果是______________．
試一試 從具體的運(yùn)算中找規(guī)律．
例2 將一個正方形紙片依次按圖①、圖②方式對折，然后沿圖③中的虛線裁剪．最后將圖④的紙?jiān)僬归_鋪平，所看到的圖案是（ ）．

A B C D
試一試 既可以親自裁剪，又可以按照折紙的先后順序，逐步倒推．
例3 如圖，有一正方形，通過多次劃分，得到若干個正方形，具體操作如下：
第次把它等分成個小正方形，第次將上次分成小正方形的其中一個又等分成個小正方形……依此操作下去．
（1）請通過觀察和猜想，將第次、第次和第次劃分圖中得到的正方形總個數(shù)填入下表．
次數(shù)（）
…
正方形總個數(shù)（）
…
（2）請你推斷，按上述操作方法，能否得到個正方形？為什么？
試一試 略
例4 有枚硬幣，其中枚國徽朝上，枚國徽朝下．現(xiàn)在要求每一次翻轉(zhuǎn)其中任意枚，使它們的國徽朝向相反．問：能否經(jīng)過有限次翻轉(zhuǎn)后，使所有硬幣的國徽都朝上？給出你的結(jié)論，并給出證明．
試一試 國徽朝上朝下具有相反意義，將國徽朝上賦值“”，朝下賦值“”．這樣，若干枚國徽的朝向情況可用若干個數(shù)的乘積來表示，把一個實(shí)際操作題轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學(xué)問題．
例5 在方格紙中，以格點(diǎn)連線為邊作面積為的多邊形（含凹多邊形），請盡可能多地找出答案，在尋找答案的過程中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？
分析與解 若沒有規(guī)律性的認(rèn)識，則要無遺漏重復(fù)地找出全部解答是困難的．恰當(dāng)?shù)姆椒ㄊ牵哼x擇一些圖形作基本圖形，通過基本圖形的組合找出解答，可將下列個圖形作為基本圖形：

由此可得如下個解答，其中凸多邊形個，凹多邊形個：



俄羅斯方塊
例6 游戲機(jī)的“方塊”中共有下面種圖形，每種“方塊”都由個的小方格組成．現(xiàn)用這種圖形拼成一個的長方形（可以重復(fù)使用某些圖形）．問：最多可以用這種圖形中的幾種圖形？

分析與解 為了形象化地說明問題，對的長方形的個小方格黑白相間染色，除“品”字形必占個黑格個白格或個白格個黑格外，其余個方塊各占個黑格個白格．
用其中的種不同的圖形方塊可以拼成的長方形，方法很多，如圖①僅出示一種．
下面證明不能種圖形方塊都各用一次，將的長方形的個小方格黑白相間染色，則如圖②所示，黑、白格各個，若的長方形能用種不同的方塊拼成，則每個方塊用到一次且只用一次．其中“品”字形如圖③必占個黑格個白格或個白格個黑格，其余個方塊各占個黑格個白格．種不同的方塊占據(jù)的黑格總數(shù)、白格總數(shù)都是奇數(shù)個，不會等于．矛盾．因此，不存在種圖形方塊每個各用一次拼成的長方形的方法．
所出，要拼成的長方形，最多可以用這種圖形方塊中的種．

數(shù)學(xué)沖浪
知識技能廣場
1．樂在其中
七巧板的起源要追溯到我國先秦時(shí)期，古算書《周髀算經(jīng)》中即有正方形分割術(shù)，經(jīng)歷代演變而成“七巧圖”（又稱為“益智圖”和“智慧板”，如圖①）．世紀(jì)傳到國外，多稱其為“唐圖”（意為“來自中國的拼圖”），引起人們的極大興趣，歐美許多國家紛紛出版書籍予以介紹．

如果有一副七巧板的總面積是平方厘米，那么其中正方形的那一塊的面積是________平方厘米．
圖②“樂在其中”的每個字都是由一副七巧板擺拼所得，請?jiān)趫D中用線段畫出模塊之間的“拼縫”．
2．如圖，在的正方形網(wǎng)格中，已有兩個小正方形被涂黑，再將圖中其余小正方形任意涂黑一個，使整個圖案構(gòu)成一個軸對稱圖形的方法有________種．
3．如圖，將長度為，寬為的長方形的紙帶，折成如圖所示的圖形并在其一面著色，則著色部分的面積為___________．
4．定義一種對正整數(shù)的“”運(yùn)算：①當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為；②當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為（其中是使為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行．例如：取，則若，則第次“”運(yùn)算的結(jié)果是____________．
5．圖中的大正三角形是由個相同的小正三角形拼成的，將其部分涂黑，如圖①、②所示．
觀察圖①、圖②中涂黑部分構(gòu)成的圖案．它們具有如下特征：①都是軸對稱圖形，②涂黑部分都是三個小正三角形．
請?jiān)趫D③、圖④內(nèi)分別設(shè)計(jì)一個新圖案，使圖案具有上述兩個特征．
思維方法天地
6．折折剪剪
一張正方形紙片，通過兩次對折，然后按陰影部分進(jìn)行裁剪并展開，可以得到如圖（1）末的“蝴蝶結(jié)”：
請你仿圖①，將下面的正方形紙片經(jīng)過兩次對折后裁剪并展開，得到如圖②末的圖形，請畫出虛線和實(shí)線表示折疊過程，并用陰影表示剪去的部分．
7．把四個完全相同的空啤酒瓶放置在桌面上，使得四個啤酒瓶底中心的距離兩兩相等．請寫出擺法關(guān)鍵步驟（可畫圖輔助說明）：_________________________________________________________________________
8．方格紙上有個圖形，你能沿著格線把每一個圖形都分成完全相同的兩個部分嗎？
9．有依次排列的個數(shù)：，，．對任意相鄰的兩個數(shù)，都用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)，所得之差寫在這兩個數(shù)之間，可產(chǎn)生一個新數(shù)串：，，，，，這稱為第一次操作；做第二次同樣的操作后也可產(chǎn)生一個新數(shù)串：，，，，，，，，．繼續(xù)依次操作下去．問：從數(shù)串，，開始操作至第次以后所產(chǎn)生的那個新數(shù)串的所有數(shù)之和是多少？
10．有三堆石子的個數(shù)分別是，，，現(xiàn)在進(jìn)行如下的操作：每次從這三堆石子中的任意兩堆中各取出個石子，然后把這個石子都加到另一堆中去，試問能否經(jīng)過若干次這樣的操作后，使得：
（1）三堆石子的數(shù)分別是，，；
（2）三堆都是．
如能，請用最快的操作完成；不能，則說明理由[注：若從第一、二堆各取個到第三堆，可表示為等]．
11．如圖所示的展覽館有個陳列室，每兩個相鄰陳列室之間有門可通，其入口與出口位置如圖所示，現(xiàn)有人希望每個陳列室都能參觀，但只經(jīng)過每個展室一次，這可能嗎？如果可能，請為他設(shè)計(jì)一條參觀路線；如不可能，請說明理由．
應(yīng)用探究樂園
12．如圖是一張“”（表示邊長分別為和）的長方形，現(xiàn)要把它分成若干張邊長為整數(shù)的長方形（包括正方形）紙片，并要求分得的任何兩張紙片都不完全相同．
（1）能否分成張滿足上述條件的紙片？
（2）能否分成張滿足上述條件的紙片？
若能分，用“”的形式分別表示出各張紙片的邊長，并畫出分割的示意圖；若不能分，請說明理由．
13．圖形的操作過程
（本題中四個矩形的水平方向的邊長均為，豎直方向的邊長均為）
在圖①中，將線段向右平移個單位到，得到封閉圖形，（即陰影部分）；
在圖②中，將折線向右平移個單位到，得到封閉圖形（即陰影部分）．
（1）在圖③中，請你類似地畫一條有兩個折點(diǎn)的折線，同樣向右平移個單位，從而得到一個封閉圖形，并用斜線畫出陰影；
（2）請你分別寫出上述三個圖形中除去陰影部分后剩余部分的面積：
_________，__________，_____________；
（3）聯(lián)想與探索：
如圖④，在一塊矩形草地上，有一條彎曲的柏油小路（小路任何地方的水平寬度都是個單位），請你猜想空白部分表示的草地面積是多少？并說明你的猜想是正確的．
微探究
設(shè)而不求
字母示數(shù)是代數(shù)的一個重要特征，是由算術(shù)跨越到代數(shù)的橋梁，是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一個飛躍．
字母示數(shù)具有簡明性、一般性，在求代數(shù)式的值、形成公式、解應(yīng)用題等方面有廣泛的應(yīng)用．
為了溝通數(shù)量間的關(guān)系，或?qū)⒂行┎幻骼实年P(guān)系表示出來，我們需要設(shè)元，而所設(shè)的字母不能或不需要求出，這就是設(shè)而不求的基本涵義．
例1 老師報(bào)出一個位數(shù)，同學(xué)們將它的順序倒排后得到的位數(shù)減去原數(shù)，甲、乙、丙、丁的結(jié)果分別是，，，，老師判定個結(jié)果中只有個正確，答對的是________．
試一試 設(shè)原數(shù)為，化簡并判斷的特征．
例2 某大型超市從生產(chǎn)基地購進(jìn)一批水果，運(yùn)輸過程中質(zhì)量損失．假設(shè)不計(jì)超市其他費(fèi)用，如果超市要想獲得的利潤，那么這種水果的售價(jià)在進(jìn)價(jià)基礎(chǔ)上應(yīng)至少提高（ ）．
A． B． C． D．
試一試 若要表示利潤，則需指明質(zhì)量、進(jìn)價(jià)．
例3 某地區(qū)民用電，按白天時(shí)段和晚間時(shí)段規(guī)定了不同的單價(jià)．某戶月份白天時(shí)段用電量比晚間時(shí)段用電量多，月份白天時(shí)段用電量比月份白天時(shí)段用電量少，結(jié)果月份的用電量雖比月份的用電量多，但月份的電費(fèi)卻比月份的電費(fèi)少．求該地區(qū)晚間時(shí)段民用電的單價(jià)比白天時(shí)段的單價(jià)低的百分?jǐn)?shù)．
試一試 本例數(shù)量關(guān)系復(fù)雜，既涉及白天與晚間用電量的關(guān)系，不同月份用電量的關(guān)系，又關(guān)聯(lián)月份間的電費(fèi)，故要全面增設(shè)未知數(shù)．
例4 從兩個重量分別為千克和千克，且含銅的百分?jǐn)?shù)不同的合金上切下重量相等的兩塊，把所切下的每塊和另一塊剩余的合金放在一起，熔煉后兩個合金含銅的百分?jǐn)?shù)相等．求所切下的合金的重量是多少千克？
試一試 由于已知條件中涉及合金中含銅的百分?jǐn)?shù)，因此只有增設(shè)這兩個合金含銅的百分?jǐn)?shù)為參數(shù)或與合金含銅的百分?jǐn)?shù)有關(guān)的其他量為參數(shù)，才能充分利用已知，為列方程創(chuàng)造條件．
例5 能否找到個整數(shù)，使得這個整數(shù)沿圓周排成一圈后，任個相鄰數(shù)的和都等于？如果能，請舉一例；如果不能，請簡述理由．
分析 假設(shè)存在個整數(shù)，，，，，，排成一圈后，滿足題意，由此展開計(jì)算推理．若推得矛盾，則原假設(shè)不成立．
解 由題意得
……
將上述式相加，得，
，與為整數(shù)矛盾，故不存在滿足題設(shè)要求的個整數(shù)．
難解的結(jié)
英國劍橋大學(xué)有一位數(shù)學(xué)家（真名叫道奇遜），用劉易士·卡洛爾的筆名寫了不少非常有趣的科普讀物，其中有一本《亂紛紛的結(jié)》，書中的每一章都叫做“繩結(jié)”，意即這些問題像繩結(jié)一樣復(fù)雜難解，下面就是一個“繩結(jié)”的題目：
例6 兩個步行者正在急促地以每小時(shí)千米的速度向山下走去，一個年輕人像羚羊似的邊跳邊走，他的同伴吃力地跟在后面．年輕人說，只怪我們上山的時(shí)候走得太慢了，每小時(shí)只走千米．在平地的時(shí)候走得多快？他的同伴回答，在平路上每小時(shí)走千米．年輕人說，能趕得上回去吃夜飯嗎？同伴說，這要看我們了，我們點(diǎn)鐘出來，點(diǎn)鐘該我們回到旅館的時(shí)候了．今天可真走了不少路．年輕人說，到底走了多少路呢？同伴不耐煩地說，你自己去想吧，
題目就是這樣，似乎條件不充分，你能解開這個“結(jié)”嗎？
解 設(shè)旅行者一共走過的路程為千米，上坡（或下坡）走過的路程為千米．
整個行程分為四段：走平路、上坡、下坡、再走平路．
開始走平路所花的時(shí)間是小時(shí)，上坡所花的時(shí)間是小時(shí)，下坡所花的時(shí)間是小時(shí)，再走平路所花的時(shí)間是小時(shí)．
依題意可得方程：，
原方程化簡得，，
故他們一共走了千米．
練一練
1．已知，，則，，的平均數(shù)是_______________．
2．、兩校男生、女生人數(shù)的比分別為，，兩校合并后男生、女生人數(shù)的比是．若用一位整數(shù)的比近似表示合并前、兩校的人數(shù)的比，則這個近似比是_________．
3．甲、乙兩車從向行駛，甲比乙晚出發(fā)小時(shí)，開始時(shí)甲、乙的速度比是．甲出發(fā)小時(shí)后，速度提高倍，甲、乙兩車同時(shí)到達(dá)．則甲從到共走了_________小時(shí)．
4．某服裝廠生產(chǎn)某種定型冬裝，月份銷售每件冬裝的利潤是出廠價(jià)的（每件冬裝的利潤出廠價(jià)成本），月份將每件冬裝的出廠價(jià)調(diào)低（每件冬裝的成本不變），銷售件數(shù)比月份增加，那么該廠月份銷售這種冬裝的利潤總額比月份的利潤總額增長（ ）．
A． B． C． D．
5．甲、乙、丙、丁四人，每三個人的平均年齡加上余下一人的年齡分別為，，和，則這四人中最大年齡與最小年齡的差是（ ）．
A． B． C． D．
6．一輛汽車從地勻速駛往地，如果汽車行駛的速度增加，則所用的時(shí)間減少，則、的關(guān)系是（ ）．
A． B． C． D．
7．如圖數(shù)表各行、各列及兩條對角線之和彼此相等，設(shè)為．求證：
（1）；
（2）．
8．在一次數(shù)學(xué)競賽中，組委會決定用公司贊助的款購買一批獎品．若以臺計(jì)算器和本《數(shù)學(xué)競賽講座》書為一份獎品，則可買份獎品；若以臺計(jì)算器和本《數(shù)學(xué)競賽講座》書為一份獎品，則可買份獎品．問這筆錢全部用來購買計(jì)算器或《數(shù)學(xué)競賽講座》書，可各買多少？
9．甲、乙二人分別從、兩地出發(fā)，相向而行．若同時(shí)出發(fā)，經(jīng)分鐘相遇；若乙比甲提前分鐘出發(fā)，甲出發(fā)分鐘與乙相遇，求甲從地到地、乙從地到地各需多少分鐘？
10．在車站開始檢票時(shí)，有名旅客在候車室排隊(duì)等候檢票進(jìn)站，檢票開始后，仍有旅客繼續(xù)前來排隊(duì)等候檢票進(jìn)站，設(shè)旅客按固定的速度增加，檢票口檢票的速度也是固定的，若開放一個檢票口，則需分鐘才可將排隊(duì)等候檢票的旅客全部檢票完畢；若開放兩個檢票口，則只需分鐘便可將排隊(duì)等候檢票的旅客全部檢票完畢；現(xiàn)在要求在分鐘內(nèi)將排隊(duì)等候檢票的旅客全部檢票完畢，以使后來到站的旅客能隨到隨檢，問需要同時(shí)開放幾個檢票口？
微探究
借助圖形思考
數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)，數(shù)與形，以及數(shù)和形的關(guān)聯(lián)與轉(zhuǎn)化，這是數(shù)學(xué)研究的永恒主題．
當(dāng)代美國數(shù)學(xué)家斯蒂恩說：“如果一個特定的問題可以被轉(zhuǎn)化為一個圖形，那么思維就整體地把握了問題，并能創(chuàng)造性地思考問題．”
現(xiàn)階段借助圖形思考主要體現(xiàn)為：通過構(gòu)造圖形或拼圖解與數(shù)量關(guān)系相關(guān)聯(lián)的問題．
例1 、、、、、六個足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，當(dāng)比賽到某一天時(shí)，統(tǒng)計(jì)出、、、、五隊(duì)已分別比賽了、、、、場球，則還沒有與隊(duì)比賽的球隊(duì)是___________．
試一試 用算術(shù)或代數(shù)方法解，易陷入困境，用個點(diǎn)表示、、、、、這個足球隊(duì)，若兩隊(duì)已經(jīng)賽過一場，就在相應(yīng)的兩個點(diǎn)間連一條線，這樣用圖來輔助解題，形象而直觀．
例2 古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)．比如：他們研究過圖①中的，，，，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，故將其稱為三角形數(shù)，類似地，稱圖②中的，，，，…，這樣的數(shù)為正方形數(shù)，下列數(shù)中，既是三角形數(shù)，又是正方形數(shù)的是（ ）．
A． B． C． D．
試一試 分析三角形數(shù)、正方形數(shù)的特征，并用的代數(shù)式表示．
例3 有足夠長的長方形和正方形卡片，如下圖：
（1）如果選取的號、號、號卡片分別為張、張、張，可拼成一個長方形（不重疊無縫隙），請畫出這個長方形的草圖，并運(yùn)用拼圖前后面積之間的關(guān)系說明這個長方形的代數(shù)意義．
這個長方形的代數(shù)意義是________________________________________________________
（2）小明想用類似方法解釋多項(xiàng)式乘法，那么需要用號卡片______張，號卡片___________張．
試一試 為避免拼圖的盲目性，從整式的乘法入手．
眼見亦可為虛
例4 一只小漁船在海上遇到了臺風(fēng)，觸到礁石上，船身撞出了一個窟窿．如果不把它堵上，漁船就有沉沒的危險(xiǎn)．船中只有一塊邊長是的正方形木板，但是和船的窟窿相比，木板的面積少．怎么辦好呢？
正在焦急當(dāng)中，有一個船員用鋸把這塊正方形的木板裁開（如下圖），然后用膠粘接拼成了長方形木板．
從圖中的計(jì)算可知：原來的正方形木板的面積是，可是改成長方形以后木板的面積卻變成了，正好多出．船員趕緊把它堵在窟窿上，避免了漁船的沉沒．可是大家都感到驚奇的是，這是從哪里多出來的呢，你能告訴他們嗎？
試一試 略
橫看成嶺側(cè)成峰
例5 ．
下面的圖形，形象直觀驗(yàn)證了平方差公式：
柳卡趣題
例6 法國數(shù)學(xué)家柳卡·施斗姆生于瑞士，因數(shù)學(xué)上的成就，于年當(dāng)選為法國科學(xué)院院士，他對射影幾何與微分幾何研究都作出了重要貢獻(xiàn)，在某次國際科學(xué)會議期間，一次有許多著名數(shù)學(xué)家參加的晚宴上，他提出了如下的一個輪船問題，人們稱它為“柳卡趣題”．
每天中午有一艘輪船從法國巴黎的勒阿佛爾開往美國的紐約，且每天同一時(shí)間也有一艘輪船從紐約開往勒阿佛爾，輪船在途中需要七天七夜，假定所有輪船都以同一航線、同速勻速行駛，問某艘從勒阿佛爾開出的輪船，在到達(dá)紐約時(shí)，能遇到幾艘從紐約開來的輪船？
這個問題難倒了在場的所有數(shù)學(xué)家，連柳卡本人也沒有徹底解決．后來有一位數(shù)學(xué)家通過構(gòu)圖解法，才使問題最終得以解決．
解 用“時(shí)間—路程圖”解答．
從圖上可以很清楚地看到，某艘從勒阿佛爾開出的輪船，在中途可以遇到艘從紐約開來的輪船，加上開航時(shí)與到達(dá)時(shí)相遇的艘，因此一共遇到了艘從紐約開出的輪船．
練一練
1．如圖，甲類紙片是邊長為的正方形，乙類紙片是邊長為的正方形，丙類紙片是長、寬分別為和的長方形，現(xiàn)有甲類紙片張，乙類紙片張，則應(yīng)至少取丙類紙片_______張，才能用它們拼成一個新的正方形．
2．有若干張如圖①所示的正方形和長方形卡片，如果要拼一個長為，寬為的矩形，則需要類卡片___________張，類卡片_________張，類卡片________張，請你在圖②中的大矩形中畫出一種拼法．
3．小明在拼圖時(shí)，發(fā)現(xiàn)個一樣大小的長方形如圖①所示，恰好可以拼成一個大的長方形．
小紅看見了，說：“我來試一試，”結(jié)果七拼八湊，拼成如圖②那樣的正方形．
咳，怎么中間還留下了一個邊長為的正方形洞！
你能幫他們解開其中的奧秘嗎？
4．如圖①，現(xiàn)有、的正方形紙片和的矩形紙片各若干塊，試選用這些紙片（每種紙片至少用一次）在下面的虛線方框中拼成一個矩形（每兩個紙片之間既不重疊，也無空隙，拼出的圖中必須保留拼圖痕跡），使拼出的矩形面積為，并標(biāo)出此矩形的長和寬．
5．用新方法解釋舊模式常會推導(dǎo)絕妙的公式．請你依下列圖形直觀分別寫出相應(yīng)公式．
6．如圖，九塊大小不等的正方形紙片，，…，無重疊、無縫隙地鋪滿了一塊長方形，已知的邊長為，求其余各正方形的邊長．

28．實(shí)驗(yàn)與操作
問題解決
例1 ； 輸入，依次得到的結(jié)果為：，，，，，，，，，，，，，…顯然，除去前次的結(jié)果外，從第次的結(jié)果開始，每次一個循環(huán)，而余，故第次計(jì)算的結(jié)果為．
例2 D
例3 （1）當(dāng)時(shí)，；時(shí)，；……一般的．
（2）由，得，，因不是正整數(shù)，故按此要求操作不可能得到個正方形．
例4 用枚硬幣的朝向情況可用個數(shù)的乘積來表示．若這些數(shù)之積為（或），表明有奇數(shù)（或偶數(shù)枚硬幣朝下）．開始時(shí)，其乘積為．每次翻折枚硬幣，即每次改變個數(shù)的符號，其結(jié)果是個數(shù)之積仍為．經(jīng)過有限次翻轉(zhuǎn)后，這個結(jié)果總保持不變，即國徽朝下的硬幣數(shù)永遠(yuǎn)是奇數(shù)枚，故回答是否定的．
數(shù)學(xué)沖浪
1． 畫圖略
2．
3．
4．
5．略
6．
7．先將三個空啤酒瓶放置成底面中心成“正三角形”的位置，再將一個空啤酒瓶倒置放在這個三角形中心的位置，保持中心的位置不變，適當(dāng)移動三個底朝下的空啤酒瓶，放大或縮小“正三角形”，可使瓶底中心構(gòu)成四個邊長相等的“正三角形”如圖（答案不唯一）．
8．
9．一個依次排列的個數(shù)組成一個數(shù)串：，，，…，，依題設(shè)操作方法可得新增的數(shù)為：，，，…，，則新增數(shù)之和為：（※）
原數(shù)串為個數(shù)：，，．
第次操作后所得數(shù)串為：，，，，，根據(jù)（※）可知，新增項(xiàng)之和為：，第次操作后所得數(shù)串為：，，，，，，，，，根據(jù)（※）可知，新增項(xiàng)之和為，按這個規(guī)律下去，第次操作后所得新數(shù)串所有數(shù)的和為：．
10．（1）經(jīng)過次操作可達(dá)到要求：．
（2）不可能．因?yàn)槊看尾僮骱螅慷汛a數(shù)要么加，要么少，而，，被除余數(shù)分別為，，，經(jīng)過任何一次操作后余數(shù)分別是，，，不可能同時(shí)被整除．
11．不可能 我們設(shè)想個展室都依次相間地鋪上了兩種顏色的地毯，則參觀者無論怎樣走法，只能按白黑白黑白……的次序前進(jìn)．因此，不管參觀者怎樣走法，第次只能走到一間黑色地毯的展室，絕不可能走到鋪白色地毯的展室出口．
12．（1）把可分得的邊長為整數(shù)的長方形按面積從小到大排列，有，，，，，，，，，，，．若能分成張滿足條件的紙片，因?yàn)槠涿娣e之和應(yīng)為，所以滿足條件的有、、、、（如圖①）或、、、、（如圖②）
（2）若能分成張滿足條件的紙片，則其面積之和仍應(yīng)為，但上面排在前列的個長方形的面積之和為．所以分成張滿足條件的紙片是不可能的．
13．（1）略；（2）、、的結(jié)果都是；
（3）這是有關(guān)道路形狀及草地面積的研究題，其中包含閱讀、作圖、計(jì)算及猜想等步驟．關(guān)鍵是探索：當(dāng)?shù)缆酚晒P直到任意彎曲的變化中，矩形中空白部分（即草地）面積情況．
猜想：依據(jù)前面的計(jì)算，無論小路怎么彎曲，可以猜想草地的面積仍然是．方法是將“小路”沿左右兩個邊界剪去，將其中一側(cè)的草地平移一個單位向另一側(cè)草地靠攏，得到一個新的矩形．
此時(shí)，在新的矩形中，其縱向?qū)捜匀皇牵渌椒较虻拈L度變成了，所以草地面積是．
設(shè)而不求（微探究）
例1 乙 所得差是的倍數(shù)
例2 B 設(shè)水果質(zhì)量為，進(jìn)價(jià)為，售價(jià)在進(jìn)價(jià)的基礎(chǔ)上至少提高，則，解得．
例3 設(shè)白天的單價(jià)為元/度，晚間的單價(jià)比白天低的百分?jǐn)?shù)為，即晚間的單價(jià)為元/度，又設(shè)月份晚間用電量為度，則月份白天用電量為度，月份電費(fèi)為元，月份白天用電量為度，月份晚間用電量為度，月份電費(fèi)為．由題意得，，解得．
例4 設(shè)所切下的合金的重量為千克，重千克的合金的含銅百分?jǐn)?shù)為，重千克的合金的含銅百分?jǐn)?shù)為，于是有，
整理得．
因?yàn)椋裕虼耍此邢碌暮辖鹬厍Э耍?br/>練一練
1．
2．
3． 設(shè)甲出發(fā)小時(shí)后再用小時(shí)即可追上乙，甲原速為，乙速為，由題設(shè)知當(dāng)甲出發(fā)行駛小時(shí)時(shí)，乙已經(jīng)行駛了小時(shí)，故有，即，故，（小時(shí)）．故甲共走了（小時(shí)）．
4．B 設(shè)月份每件冬裝的出廠價(jià)為元，則每件成本為元，月份每件冬裝的利潤為元，又設(shè)月份銷售冬裝件，則月份銷售冬裝件，故月份的利潤總額與月份相比，增長．
5．D
6．D 設(shè)、兩地之間的距離為，汽車行駛的速度為，汽車從地到地所用的時(shí)間為，則．
7．（1），相加得，故．
（2）．故，同理，，，四式相加得．
8．設(shè)每臺計(jì)算器元，每本《數(shù)學(xué)競賽講座》書元，則，解得，故可購買計(jì)算器（臺），書（本）．
9．分鐘、分鐘
10．設(shè)需要開放個窗口，每個窗口每分鐘檢出的人數(shù)是，每分鐘來排隊(duì)的人數(shù)是，則
由①，②得，．
將，帶入③，得．
借助圖形思考（微探究）
例1 隊(duì)
例2 C 圖①中第個圖共有石子（個），圖②中第個圖共有石子（個），，．
例3 （1）或
．
（2）；
例4 如圖，形成“對角線”的三角形之邊與梯形之邊不在同一條直線上，即，這便是問題的癥結(jié)所在．
練一練
1． 設(shè)至少取丙類紙片張，新的正方形邊長為，則．
。
2．；； 拼法略
3．圖①的面積為，圖②的面積為．
4．，，矩形的長為，寬為，給出如圖所示的兩種拼法．
5．（1）；
（2）；
（3）；
（4），代入，得．
6．設(shè)，，，…，，分別表示正方形，，，…，，的邊長，由其相互位置可得到個線性無關(guān)（獨(dú)立）的方程，從該方程組不難解得：
，，，，，
，，，．

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