資源簡介

華羅庚（-），江蘇金壇人，初中畢業后刻苦自學，主要從事解析數論、矩陣幾何學等領域的研究并取得突出成績，在解決高斯完整三角和的估計難題、華林和塔里問題改進、近世代數論方法應用研究等方面獲出色成果．年當選美國科學院外籍院士，同年被聘為第三世界科學院院士．
12．不定方程（組）
解讀課標
如果一個方程（組）中，未知數的個數多于方程的個數，那么把這種方程（組）叫做不定方程（組）．
不定方程（組）的解是不確定的，一般不定方程（組）總有無窮多個（組）解，但若加上整數（或正整數）解的限制，則不定方程（組）的解有無數組，或有限組，或不存在．
簡單的不定方程是二元一次不定方程，它的一般形式是（，，為整數，且），與之相關的性質有：
1．無整數解的判定方法
若，而，則方程沒有整數解．
2．全部整數解的表示
若方程有一組解（特解）．，則方程全部整數解（通解）可表示為：（為整數）．
問題解決
例1
某班級為籌備運動會，準備用元購買兩種運動服，其中甲種運動服元/套，乙種運動服元/套，在錢用盡的條件下，有____種購買方案．
試一試
設購買甲、乙兩種運動服套數為套、套，則，即．將問題轉化為求不定方程的正整數解的個數．
例2
如圖，在高速公路上從千米處開始，每隔千米設一個速度限制標志，而且從千米處開始，每隔千米設一個測速照相標志，則剛好在千米處同時設置這兩種標志．問下一個同時設置這兩種標志的地點的千米數是（
）．
A．千米
B．千米
C．千米
D．千米
試一試
設置限速標志、照相標志千米數分別表示為、（，為自然數)，問題轉化為求不定方程的正整數解．
例3
（1）求方程的全部整數解；
（2）求方程的正整數解．
試一試
對于（），先表示出方程的全部整數解，再解不等式組確定方程的正整數解．
例4
某中學全體師生租乘同類型客車若干輛外出春游，如果每輛車坐人，就會余下人；如果開走一輛空車，那么所有師生剛好平均分乘余下的汽車，問：原先去租多少輛客車和學校師生共多少人？（已知每輛車的容量不多于人）
試一試
設原先租客車輛，開走一輛空車后，每輛車乘坐人，則，解此不定方程即可．
例5
購買鉛筆支，作業本個，圓珠筆支共需元；購買鉛筆支，作業本個，圓珠筆支共需元．問購買鉛筆支，作業本個，圓珠筆支共需多少元？
分析
設鉛筆、作業本、圓珠筆的單價分別為、、，則，需求的值．
解法1
原方程組變形為，解得
．
解法2
把直接用、的式子表示．
．
解法3
，
需求出，原方程組變形為
①②，得，
．
百錢買百雞
例6
中國百雞問題：雞翁一，值錢五，雞母一，值錢三，雞雛三，值錢一，百錢買百雞．問雞翁、雞母、雞雛各幾何？
分析與解
設雞翁、雞母、雞雛數目分別為，，，則有通過消元，將問題轉化為求二元一次不定方程的非負整數解．
②①，得，
即
③
到此，讀者可用窮舉法解之，我們還是用一般方法（分離整系數、運用整除）求出它的通解．
由③得，令，則，
，
，
這樣，得到方程組的通解為（為非負整數）．
解得．
令，，，，得下列四組解：
，，，
數學沖浪
1．若方程有一組解為則方程的通解可表示為___________．
2．若方程有一組整數解為則由此得方程的通解為___________．
3．用一元錢買面值分、分、角的種郵票共張，每種郵票至少買一張，共有______種不同的買法．
4．某步行街擺放有若干盆甲、乙、丙三種造型的盆景，甲種盆景由朵紅花、朵黃花和朵紫花搭配而成，乙種盆景由朵紅花和朵黃花搭配而成，丙種盆景由朵紅花、朵黃花和朵紫花搭配而成．這些盆景一共用了朵紅花，朵紫花，則黃花一共用了________朵．
5．方程的正整數解的個數是（
）．
A．
B．
C．
D．
6．為了獎勵進步較大的學生，某班決定購買甲、乙、丙三種鋼筆作為獎品，其單價分別為元、元、元，購買這些鋼筆需要花元；經過協商，每種鋼筆單價下降元，結果只花了元，那么甲種鋼筆可能購買（
）．
A．支
B．支
C．支
D．支
7．三元方程的非負整數解的個數有（
）．
A．個
B．個
C．個
D．個
8．某次足球比賽的計分規則是：勝一場得分，平一場得分，負一場得分，某球隊參賽場，積分，若不考慮比賽順序，則該隊勝、平、負的情況可能有（
）．
A．種
B．種
C．種
D．種
9．一賓館有二人間、三人間、四人間三種客房供游客租住，某旅行團人準備同時祖用這三種客房共間，如果每個房間都住滿，那么共有多少種租房方案？
10．某汽車制造廠開發了一款新式電動汽車，計劃一年生產安裝輛．由于抽調不出足夠的熟練工來完成新式電動汽車的安裝，工廠決定招聘一些新工人，他們經過培訓后上崗，也能獨立進行電動汽車的安裝．生產開始后，調研部門發現：名熟練工和名新工人每月可安裝輛電動汽車；名熟練工和名新工人每月可安裝輛電動汽車．
（1）每名熟練工和新工人每月分別可以安裝多少輛電動汽車？
（2）如果工廠招聘名新工人，使得招聘的新工人和抽調的熟練工剛好能完成一年的安裝任務，那么工廠有哪幾種新工人的招聘方案？
（3）在（2）的條件下，工廠給安裝電動汽車的每名熟練工每月發元的工資，給每名新工人每月發元的工資，那么工廠應招聘多少名新工人，使新工人的數量多于熟練工，同時工廠每月支出的工資總額（元）盡可能的少？
11．一個盒子里裝有不多于粒棋子，如果每次粒、粒、?；蛄５厝〕觯罱K盒內都剩一粒棋子；如果每次粒地取出，那么正好取完．間盒子里共有多少粒棋子？
思維方式天地
12．正整數、滿足，則的最大值為___________．
13．順思逆想
一年共有個月，閏年的二月是天，又有個小月，個大月，所以閏年共有（天）
反過來思考：如果非負整數、、滿足等式：，那么_______，這樣的數組（、、）共有_______組，它們分別是____________．
14．甲、乙、丙三人進行智力搶答活動，規定：第一個問題由乙提出，由甲、丙搶答．以后在搶答過程中若甲答對題，就可提個問題，乙答對題就可提個問題，丙答對題就可提個問題，供另兩人搶答，搶答結束后，總共有個問題沒有任何人答對，則甲、乙、丙答對的題數分別是_________．
15．有甲、乙、丙種商品，某人若購甲件、乙件、丙件共需元；若購買甲件、乙件、丙件共需元，則此人購買甲、乙、丙各件共需__________元．
16．如果一個兩位數與三位數的積為，那么___________．
17．司機小李駕車在公路上勻速行駛，他看到里程碑上的數是兩位數，小時后，看到里程碑上的數恰是第一次看到的數顛倒了順序的兩位數，再過小時后，第三次看到里程碑上的數又恰好是第一次見到的兩位數字之間添上一個零的三位數，這三塊里程碑上的數各是多少？
18．陳老師給名學生每人買了一件紀念品，其中有：每支元的鋼筆，每把元的圓規，每冊元的詞典，共用了元．問陳老師買了多少支鋼筆？多少本詞典？
應用探究樂園
19．將一個三位數的中間數碼去掉，成為一個兩位數，且滿足（如）．試求出所有這樣的三位數．
20．物不知其數
我國南北朝時期有一部著名的算術著作《孫子算經》，其中有這樣一個“物不知其數”問題：“今有物不知其數，三三數之剩二；五五數之剩三；七七數之剩二，問物幾何？”
12．不定方程（組）
問題解決
例1
，
例2
C
，，為所求的解．
例3
（1），只能取偶數，得一組解，故原方程的通解為（為整數）．
（2），經觀察，為方程的一組解，原方程的通解為（為整數）．
解得．故當取，，，…時，可知原方程有無窮多組正整數解．
例4
由，得，，得，或，得或．當時，師生總人數為（人），開走一輛車，每輛載客（人），與題意不符，故舍去，從而，師生共有（人）．
數學沖浪
1．（為整數）
2．（為整數）
3．
4．
設甲盆景盆，乙盆景盆，丙盆景盆，根據題意得：
得
所以共用了黃花（朵）．
5．B
6．D
7．C
當時，，分別取，，，…，時，取，，…，，有個整數解；當時，，有個整數解，當時，，有個整數解；…當時，，只有組整數解，故非負整數解共有（個）．
8．D
設該隊勝場，平場，負場，，，都為整數，且，，．則，解得，則，，．
9．設租二人間間，三人間間，四人間間，則得，，，均為正整數，有，，；，，，故有兩種租房方案．
10．（1）；
（2）工廠有種新工人的招聘方案；
（3）滿足題意要求的招聘方案為：招聘名新工人和抽調名熟練工，此時工廠每月支出的工資總額最少，為元．
11．設盒子里共有粒棋子，則被，，，的最小公倍數除時，余數為，即（為自然數），又（為自然數），得，，，因，故，得，，所以，，即盒子里共有粒棋子．
12．
，時，最大值為．
13．；；，，，
14．或
設甲、乙、丙分別答對、、個問題，那么，即，解得，，，，但不可能自己對自己提問，所以解中不可能有兩個零．
15．
16．
，則或或．
因，，則只能是，當時，，故，，．
17．設第一次看到兩位數為，由題意得，整理得，顯然，．故三塊里程碑上的數分別為，，．
18．鋼筆支，詞典冊．
19．因．，則，化簡得，這里、、，且，因為質數，故故則，，，，，．
20．此數可寫成或或形式，得，，于是把問題轉化為求、、的最小正整數值．、、的最小正整數為，，，物數的通解公式為（為非負整數）（為什么？），物有．趙爽是我國三國時期吳國著名的數學家，他曾為《周髀算經》作注，其中有一篇《勾股圓方圖注》，總結了我國東漢以來勾股算術的重要成果，在世界上最早給出并證明了有關直角三角形勾、股、弦三邊及其和、差關系的二十多個命題．趙爽在《勾股圓方圖注》中推導出了二次方程的求根公式．
10．二元一次方程組
二元一次方程組是在一元一次方程的基礎上發展的．“消元”是解方程組的基本思想，即通過消去一個未知數，把二元一次方程組轉化為一元一次方程來解，代人法和加減法是常見的消元方法．
解未知數系數較大、方程個數較多等復雜的方程組時，常用到整體疊加、整體疊乘、換元轉化、輔助引參等技巧方法，這些技巧方法的運用是建立在對方程組系數特點的觀察和對方程組整體特征的把握基礎上的．
方程組的解是方程組理論中的一個重要概念，代解法、求解法是處理方程組的解的基本方法，對于含有字母系數的二元一次方程組，可進一步探究解的個數、解的特征，基本思路是在消元的基礎上，把方程組的解的討論轉化為一元一次方程解的討論．
問題解決
例1
已知方程組的解應為，小明解題時把抄錯了，因此得到的解是，則的值為________．
試一試
把相應的解恰當地代入原方程組，先求出、、的值．
例2
關于，的方程組有無數組解，則、的值為（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
試一試
通過消元，將方程組解的討論轉化為一元一次方程解的討論．
例3
解下列方程組：
（1）
（2）
（3）
試一試
依據方程組的特點，靈活選用不同的解題方法，對于（2），設，，通過換元簡化方程組；對于（3），從尋找，，，…，，的聯系入手．
例4
已知是整數，方程組有整數解，求的值．
試一試
先求出，運用整除的性質求出的值，需注意所求的整數要使得也為整數．
例5
星期天，小明和七名同學共八人去郊游，途中，他用元錢去買飲料，商店只有可樂和奶茶，已知可樂元一杯，奶茶元一杯，如果元錢剛好用完，則
（1）有幾種購買方式？每種方式可樂和奶茶各多少杯？
（2）每人至少一杯飲料且奶茶至少兩杯時，有幾種購買方式？
試一試
由題意可得到一個二元一次方程，問題（1）轉化為求這個二元一次方程的非負整數解的個數．
疊加、疊乘
疊加、疊乘是指解系數有特點的方程組時，不拘泥于一般意義上的代入或加減，而是從整體上把方程組中的幾個方程相加（或相減）或相乘，從而達到簡化方程組的目的．
例6
將若干個自然數按某種規律排列，若前個數依次是，，，，，，，，則第個數是多少？
分析與解
設已知的數依次是，，，，…，，…，這若干個自然數排列的規律是什么？怎樣解多元方程組？
由題意得
，
，
……
，
以上個式子左、右兩邊分別相加，得
，
，即其中的第個數是．
數學沖浪
知識技能廣場
1．已知，則_______．
2．已知方程組的解為，則的值為________．
3．如果，那么的值為________．
4．已知方程組的解為，則方程組的解是______．
5．解方程組時，一學生把看錯后得到，而正確的解是，則、、的值為（
）
A．不能確定
B．，，
C．、不能確定，
D．，，
6．已知是二元一次方程的一個解，那么的值是（
）
A．
B．
C．
D．
7．若關于、的方程組無解，則的值為（
）
A．
B．
C．
D．
8．若關于，的二元一次方程組的解也是二元一次方程的解，則的值為（
）
A．
B．
C．
D．
9．已知是二元一次方程組的解，求的值．
10．給出下列程序，且已知當輸入的值為時，輸出值為；輸入的值為時，輸出值為．求當輸入的值為時的輸出值．
思維方法天地
11．為正整數，已知二元一次方程組有整數解，則______．
12．若對任意有理數、，關于，的二元一次方程有一組公共解，則公共解為________．
13．若，，則________．
14．小敏購買種數學用品：計算器、圓規、三角板、量角器的件數和用錢總數如下表：
品名件數
計算器
圓規
三角板
量角器
總錢數
第一次購件數
第二次購件數
則種數學用品各買一件共需_______元．
15．若，，則的值等于（
）
A．
B．
C．
D．
16．已知三個數、、滿足，，，則的值為（
）
A．
B．
C．
D．
17．如圖，三個天平的托盤中形狀相同的物體質量相等．圖（1）、（2）所示的兩個天平處于平衡狀態，要使第個天平也保持平衡，則需在它的右盤中放置（
）
A．個球
B．個球
C．個球
D．個球
18．方程組的解的個數為（
）個．
A．
B．
C．
D．
19．若滿足下列方程組，求的值．
20．某工廠用如圖①所示的長方形和正方形紙板做成如圖②所示的、兩種長方體形狀的無蓋紙盒．現有正方形紙板張，長方形紙板張，剛好全部用完，問能做成多少個型盒子，多少個型盒子？
應用探究樂園
21．某市中學生舉行足球聯賽，共賽輪（即每隊均需參賽場），記分辦法是勝一場得分，平一場得分，負一場得分．
（1）在這次足球賽中，若小虎足球隊踢平場數與踢負場數相同，共積分，試求該隊勝了幾場？
（2）在這次足球賽中，若小虎足球隊總積分仍為分，且踢平場數是踢負場數的整數倍，試推算小虎足球隊踢負場數的情況有幾種．
22．已知正數、、、、、滿足，，，，，，求的值．
10．二元一次方程組
問題解決
例1
，，，
例2
B
例3
（1）將兩方程相加，得，進而得．
（2）原方程組化為，
解得，即，得．
（3）由條件得并設，
，則，解得
，，即，．
例4
解得，若有整數解，則或或或，經檢驗當或時，為整數且也為整數，得，，，．
例5
（1）設買可樂、奶茶分別為，杯，則（且，均為自然數）
，解得．從而得，，，．
這表明有四種購買方式．
（2）略
數學沖浪
1．
2．
3．
4．
5．B
6．A
7．A
8．B
9．
10．由題意，解得，當時，．
11．
，若，為正整數，則，得．
12．由已知得，得，得．
13．
把兩等式相加．
14．
設小敏購買種數學用品單價分別為、、、，則
①②得．
15．D
由，得，代入得原式．
16．A
，，，相加得，．
17．C
設每個球、方塊、三角塊的質量分別為、、，則
，解得，，第三個天平左端的質量是．
18．A
19．
將各個方程相加得
20．個、個
21．（1）設小虎足球隊勝了場，平了場，負了場，由
，得．
（2）設小虎足球隊勝了場，平了場，負了場，
由題意得，得
當時，；當時，；當時，．即小虎足球隊所負場數有種情況．
22．因，，從而，，同理，，，，，原式．丘成桐，當代數學大師，現任哈佛大學客座教授，因解決了卡拉比猜想、正質量猜想等眾多難題，影響遍及理論物理和幾乎所有核心數學分支，年獲菲爾茲獎，年獲沃爾夫獎，是第一位兼得兩項獎的華裔數學家，他說：“我研究數學，就是因為它很美．”
13．一元一次不等式（組）
解讀課標
面對大量的同類量，最容易使人想到的就是它們有大小之分，不等式是現實世界中不等關系的一種數學表示形式，既是現階段學習的重點內容，又是后續學習的重要基礎．
不等式與方程都是反映客觀事物變化規律及其關系的模型，類比等式是學習不等式的重要方法．
等式兩邊都乘（或除）以同一個數時，僅需考慮這個數是否為零，而不等式兩邊都乘（或除）以同一個數時，既要注意這個數是否為零，又要考慮這個數的正負性；
解方程組時，我們可以對幾個方程進行“代入”或“加減”式的加工，而解不等式組時，我們只能分別求出每個不等式的解集，然后再求公共部分，得不等式組的解集．
問題解決
例1
（1）已知不等式的正整數解恰是，，，則的取值范圍是___________；
（2）已知關于的不等式組無解，則的取值范圍是______________．
試一試
對于（1），由題意知不等式的解在的范圍內；對于（2），從數軸上看，原不等式組中兩個不等式的解集無公共部分．
例2
（1）若關于的不等式的解集為，則的值為（
）．
A．
B．
C．或
D．
（2）若不等式組有解，則的取值范圍是（
）．
A．
B．
C．
D．
試一試
由不等式的解集建立的等式與不等式．
例3
解下列關于的不等式（組）：
（1）；
（2）．
試一試對于（1），分、兩種情況討論，去掉絕對值符號；對于（2），化為的形式，再就的正負性討論．
例4
已知，求關于的不等式的解集．
試一試
由條件先求出、的值．
例5
已知、、是三個非負數，并且滿足，，設，記為的最大值，為的最小值，求的值．
分析
本例綜合了方程組、不等式組的豐富知識，解題的關鍵是通過解方程組，用含一個字母的代數式來表示，通過解不等式組，確定這個字母的取值范圍，在約束條件下，求出，的值．
解
由條件得解得則．
由得，解得，從而，，故．
感悟不等
例6
甜飲料里有糖的質量分數，那么，給糖水添上一點糖，糖水就更甜了．請你把這一生活常識用數學式子表達出來．
分析與解
從生活常識到“數學不等式”歷經以下三個步驟：
（1）用字母、、表示相應的量；
（2）根據質量分數的定義，寫出加糖前后的質量分數，；
（3）將“更甜了”表示為不等式，其中，．
進一步追問：
（1）怎樣證明上述不等式？
（2）將一個分數的分子、分母同時加上一個正數，這個分數變大了嗎？
數學沖浪
知識技能廣場
1．若不等式組有解，則的取值范圍是________________．
2．若不等式組的解集是，則____________．
3．已知關于的不等式組只有個整數解，則的取值范圍是___________．
4．個小杯中依次盛有，，…，克糖水，并且分別含糖，，…，克．若這杯水的濃度相同，則有連等式：．
現將這杯糖水合到一個大空杯中，則合杯糖水的濃度與各小杯糖水的濃度還是一樣的，這個盡人皆知的事實，說明了一個數學定理——等比定理：若，則．
若這杯糖水的濃度互不相同，不妨設，現將這杯糖水合到一個大空杯中，則合杯糖水的濃度一定大于__________，且小于___________．
這個盡人皆知的事實，又說明了一個數學定理——不等比定理：若，則__________．
5．若不等式的解集都能使關于的一次不等式成立，則的取值范圍是（
）．
A．
B．
C．或
D．
6．若，則下列式子中正確的是（
）．
A．
B．
C．
D．
7．若方程組的解滿足條件，則的取值范圍是（
）．
A．
B．
C．
D．
8．不等式組的解集是，則的取值范圍是（
）．
A．
B．
C．
D．
9．試確定的取值范圍，使不等式組
只有一個整數解．
10．解下列關于的不等式
（1）；
（2）．
11．已知關于、的方程組的解滿足，化簡．
思維方法天地
12．關于的不等式的所有非負整數解的和為________________．
13．當時，不等式的解集是，則___________．
14．若實數、、滿足，，則的取值范圍是______________．
15．已知非負數、、滿足條件，，設的最大值為，最小值為，則的值為_____________．
16．已知、為常數，若的解集為，則的解集是（
）．
A．
B．
C．
D．
17．如果關于的不等式組的整數解僅為，，，那么適合這個不等式組的整數對共有（
）．
A．對
B．對
C．對
D．對
18．關于的不等式組只有個整數解，則的取值范圍是（
）．
A．
B．
C．
D．
19．若、為實數，則下列命題中正確的是（
）．
A．
B．
C．
D．
20．已知，求的最大值和最小值．
21．已知非負數，，滿足，設，求的最大值與最小值．
應用探究樂園
22．探索：先觀察并計算下列各式，在空白處填上“”、“”、“”，并完成式后的問題．
①_______，__________，
_________，__________，…
試用含有、的式子表示上述規律為________________．
②__________，__________，
___________，___________，…
試用含有、、的式子表示上述規律為____________________．
應用：用邊長為的正方形鐵片，在四個角上剪去四個邊長相同的小正方形，然后將對邊剩余部分分別折起來（如圖），可做成一個無蓋的長方體盒，問怎樣剪可使得到的盒子的容積最大？最大容積為多少？
23．已知整數，，，…，滿足①，，，…，；②；
③．
求的最大值與最小值．
13．一元一次不等式（組）
問題解決
例1
（1）由，得；（2）．
例2
（1）A
由條件得，推得；（2）A．
例3
（1）由得；由得，矛盾．故原不等式的解集為；
（2）由原不等式得，當，即時，其解集為；當，即時，其解集為；當，即時且，解集為所有數；當且時，原不等式無解．
例4
數學沖浪
1．
2．
3．
4．；；
5．A
6．D
7．A
8．C
9．
10．（1）；（2），即，當時，解集為；當時，解集為；當時，解集為一切數．
11．當時，原式；當時，原式．
12．
原不等式等價于
13．
14．
由條件得
，．
15．，，
，
16．B
17．B
由，得，，，，，，；，，，，，，共有對．
18．C
19．D
20．解不等式得，原式，從而知最大值為，最小值為．
21．設，則，，，由題意得
解得，于是．
所以，即，故的最小值為，最大值為．
22．①；；；；（時，等號成立)
②；；；；（時，等號成立)．
設長方體盒子的容積為，小正方形的邊長為，則有，此時，解得，．
23．設，，的個數分別是，，，則
即求的范圍解，得
．
由條件得，當時，取最小值，當時，取最大值．牛頓（），英國數學家、物理學家、天文學家．牛頓對數學的最大貢獻是創立了流數術（微積分），建立了二項式定理及“廣義的算術”（代數學），他的名作《自然哲學數學原理》用數學與知識解釋了哥白尼學說和天體運動的現象，闡明了運動三定理和萬有引力定理，建立了求方程近似根的法則，后人以其突出的貢獻，把他與阿基米德、高斯并稱為歷史上最偉大的數學家．
18．整式的乘除
解讀課標
數有乘、除、乘方運算，代數式也有相應的運算．
整式的乘除法的各個運算之間存在著內在的聯系，是可以相互轉化的．多項式與多項式相乘可以通過轉化變成單項式與多項式相乘，再通過轉化變成單項式相乘，最后化為同底數冪的乘法進行運算；類似的，多項式除以多項式最后可化為同底數冪的除法進行運算．因此，冪的運算是整式乘除的基礎．
問題解決
例1
（1）若為不等式的解，則的最小正整數的值為_______．
（2）已知，那么_______．
試一試
對于（1），從冪的乘方逆用入手；對于（2），就目前無法求出的值，恰當地運用條件，把高次項用低次多項式表示，如，等．
例2
把，，，這個數從小到大排列，正確的是（
）．
A．
B．
C．
D．
試一試
指數，，，的最大公約數為，把不同指數的冪化成同指數的冪．
例3
設、、、都是正整數，并且，，，求的值．
試一試
設，，這樣、可用的式子表示，、可用式子表示，通過減少字母的個數降低問題的難度．
例4
設．
求：（1）的值；
（2）的值．
試一試
通過展開式去求出每一項系數，這樣做計算繁難．事實上，上列等式在的允許值范圍內取任意值代入計算，等式都成立，注意的冪的特征，用賦值法求解．
例5
已知多項式能被整除，求的值．
解法一
用賦值法解
設，其中為多項式．
令代入上式，得，．
解法二
用待定系數法解
設，即
，
對比得，，，．
對稱之美
例6
觀察下列等式：
，，
，，
，……
以上每個等式中兩邊數字是分別對稱的，且每個等式中組成兩位數與三位數的數字之間具有相同規律，我們稱這類等式為“數字對稱等式”．
（1）根據上述各式反映的規律填空，使式子成為“數字對稱等式”：
①_______=______；②______________．
（2）設這類等式左邊兩位數的十位數字為，個位數字為，且，寫出表示“數字對稱等式”一般規律的式子（含、），并證明．
分析與解
觀察規律，左邊：兩位數所乘的數是這個兩位數的個位數字變為百位數字，十位數字變為個位數字，兩個數字的和放在十位；右邊：三位數與左邊的三位數字百位與個位數字交換，兩位數與左邊的兩位數十位與個位數字交換然后相乘，根據此規律填空并進行一般式的證明．
（1）①，；②，．
（2）一般規律的式子為
證明
左邊，
右邊，
左邊=右邊．
數學沖浪
知識技能廣場
1．滿足的的最小正整數為_______．
2．如果，那么________．
3．探索規律：
，個位數字是；，個位數字是；，個位數字是；，個位數字是；，個位數字是；，個位數字是；…
那么的個位數字是________，的個位數字是________．
4．計算
（1）________；
（2）_________．
5．如果，那么代數式的值為（
）．
A．
B．
C．
D．
6．已知，，，則、、的大小關系是（
）．
A．
B．
C．
D．
7．已知，，，則、、的關系是（
）．
A．
B．
C．
D．
8．化簡得（
）
A．
B．
C．
D．
9．已知，試確定、、的值．
10．探索、研究
儀器箱按如圖所示方式堆放（自下而上依次為第一層、第二層……），受堆放條件限制，堆放時應符合下列條件：每層堆放儀器箱的個數與層數之間滿足關系式，，為整數．
（1）例如：當時，，則_______，_______．
（2）第層比第層多堆放多少個儀器箱？（用含的代數式表示）
（3）如果不考慮儀器箱承受的壓力，請根據題設條件判斷儀器箱最多可以堆放幾層？并說明理由
（4）設每個儀器箱重（牛頓），每個儀器箱能承受的最大壓力為，并且堆放時每個儀器箱承受的壓力是均勻的．
①若儀器箱僅堆放第一、二兩層，求第一層中每個儀器箱承受的平均壓力．
②在確保儀器箱不被損壞的情況下，儀器箱最多可以堆放幾層？為什么？
思維方法天地
11．如果，那么________．
12．已知，則________．
13．（1）與的大小關系是_______（填“>”、“<”或“=”）．
（2）與的大小關系是________（填“<”、“>”或“=”）．
14．已知，，則等于（
）．
A．
B．
C．
D．
15．滿足的整數有（
）個．
A．
B．
C．
D．
16．若，則（
）．
A．
B．
C．
D．
17．是否存在整數、、滿足若存在，求出、、的值；若不存在，說明理由．
18．設、、、都是非零自然數，且，，，求的值．
應用探究樂園
19．已知，，是整數，且，，求的值．
20．紀念活動中的數學題
年，在美國舉行了建國周年紀念活動．在某中學的黑板報《一日一題》欄中有一道有趣的題目：的最后兩位數字是什么？
黑板報前面圍著一大群學生，大家議論紛紛，小馬克看了看題目，伸出了舌頭：“喲！的次方，年．美國第一任總統華盛頓宣布建立美利堅合眾國，確實值得紀念．但是要把連乘次，才能找出最后的末尾兩位數字，恐怕不知要算到何時；也不知要用掉多少草稿紙哩．”
請讀者研究一下這個數的特點，不用小馬克的呆辦法，而立即把答案說出來？
18．整式的乘除
問題解決
例1
（1），，的最小值為；（2）
例2
D
，，，．
例3
，，，，由得，即，因是質數，、是自然數，且，得，解得，，所以．
例4
（1）當時，得．故原式．
（2）由展開并比較系數的符號，得，，，，，，則原式（顯然）．
數學沖浪
1．
2．
3．；
4．（1）
（2）
5．C
6．A
7．B
，，得．
8．C
9．，，
10．（1）；．
（2），即第層比第層多堆放個儀器箱．
（3），由條件得，當時，，故儀器箱最多可以堆放層．
（4）①
②儀器箱最多可以堆放層．
11．
12．
令代入
13．（1）
，．
（2）
提示：設．
14．B
①，②，①×②，得，得．
15．D
由且，得；由，得，；由且是偶數，得．
16．A
17．原式可化為，得
，解得．
18．
參見例3得，，．
19．方程兩邊同乘以，得．
因為，要使上式左邊為奇數，只有，即．
則，即．
要使上式左邊為奇數，只有，即．
從而有，即．
故有，，．則．
20．“”是一個很特殊的數，任何兩個自然數，只要它們的最后兩位數字是，那么其乘積的最后兩位數字也必是“”．
我們還是來作一個一般的證明吧：
設兩個數分別為與，這里、是任意自然數，則
．
由于、是任意自然數，顯然最后兩位數字一定是．
所以這個數的最后兩位數毫無疑問的也是．笛卡兒（），法國著名數學家、哲學家、思想家．迪卡兒的最大貢獻是，建立以他的名字命名的迪卡兒坐標系，將過去對立著的兩個研究對象“數”與“形”統一起來，他在數學中引入“變量”，完成了數學史上一項劃時代的變革，年出版的《方法論》一書成為哲學經典，這本書的個著名附錄《幾何》、《折光》和《氣象》奠定了笛卡兒在數學、物理和天文學中的地位．
16．平面直角坐標系
解讀課標
在平面內，兩條互相垂直且有公共原點的數軸組成平面直角坐標系，從而坐標平面上的點與有序數對之間建立了一一對應關系，利用平面直角坐標系是確定位置的有效方法之一，解與此相關的問題需注意：
（1）理解點的坐標意義；
（2）熟悉象限內的點、坐標軸上的點、對稱點的坐標特征；
（3）善于促成坐標與線段的轉化．
如果說數軸撞開了數形結合的“一線天”，那么直角坐標系則撞開了一片廣闊的天地．
問題解決
例1
（1）已知點，且點到兩坐標軸的距離相等，則點的坐標為________．
（2）如圖，圍棋盤放置在某個平面直角坐標系內，白棋②的坐標為，白棋④的坐標為，那么，黑棋的坐標應該分別是________．
試一試
對于（1），由橫縱坐標的聯系建立方程．
例2
如圖，一個粒子在第一象限內及、軸上運動，在第一分鐘內它從原點運動到，而后它接著按圖所示在軸、軸平行的方向上來回運動，且每分鐘移動個長度單位，那么，在分鐘后這個粒子所處的位置是（
）．
A．
B．
C．
D．
試一試
從尋找第一象限特殊點的坐標與運動時間關系入手．
例3
如果將點繞定點旋轉后與點重合，那么稱點與點關于點對稱，定點叫做對稱中心，此時，點是線段的中點，如圖，在直角坐標系中，的頂點、、的坐標分別為、、，點，，，…中相鄰兩點都關于的一個頂點對稱，點與點關于點對稱，點與點關于點對稱，點與點關于點對稱，點與點關于點對稱，點與點關于點對稱，點與點關于點對稱，…對稱中心分別是，，，，，，…且這些對稱中心依次循環，已知的坐標是．試寫出點、、的坐標．
試一試
在操作的基礎上，探尋點的坐標變化規律．
例4
如圖，在平面直角坐標系中，四邊形各頂點的坐標分別為：，，，．
（1）求此四邊形的面積．
（2）在坐標軸上，你能否找到一點，使 若能，求出點坐標；若不能，請說明理由．
試一試
對于（1），通過作輔助線把表示為常規圖形面積的和差；對于（2），因點位置不確定，故需分類討論．
例5
如圖①，已知是一個長方形，其中頂點、的坐標分別為和，點在上，且，點在上，且．點在上，且使的面積為，的面積為，試求的值．
解
設點坐標為，，
，
，即．
①
同理，由，
得，即．
②
解由①②聯立的方程組得．
棋盤上的數學
例6
下象棋是很多人喜愛的事，你知道象棋里充滿著數學問題嗎？如圖①，象棋盤上有一只馬，它跳七步能回到原來的位置上嗎？若能，請給出一種跳法；若不能，請說明理由．
分析與解
不論怎么跳，馬都不能回到原來的位置，理由如下：
如圖②，我們可在棋盤上建立直角坐標系，并設這只馬所在的位置的坐標為．那么，馬跳一步后的位置的坐標應為，這里的和只可能是，，，這四個數中的一個（想一想，為什么）．
同樣，跳第二步后，馬所在的位置的坐標應為，這里的和也只可能是，，，．依此類推，跳七步后，馬所在的位置的坐標為．如果這時馬又回到原來的位置，那么有，．
也即，
將兩式相加，有．
由于上式中個數都只能取，，，，而且每一次跳的兩個坐標之和不能為，，，和，因此，，，，，，這七個數只能取，，，．
但是不論怎樣取法，由于奇數個奇數相加的和為奇數，所以這樣取出的七個數的和不可能等于．故馬跳七步不可能回到原來的位置．
數學沖浪
知識技能廣場
1．如圖，將繞點逆時針旋轉，得到，若點的坐標為，則點的坐標為________．
2．已知點和關于軸對稱，則的值為_______．
3．如圖，在平面直角坐標系中，有若干個橫坐標分別為整數的點，其順序按圖中“→”方向排列，如，，，，，……根據這個規律，第個點的橫坐標為_______．
4．在平面直角坐標系中，我們把橫、縱坐標都是整數的點叫做整點．已知點，點是軸正半軸上的整點，記內部（不包括邊界）的整點個數為，當時，點的橫坐標的所有可能值是_______；當點的橫坐標為（為正整數）時，________（用含的代數式表示）．
5．已知點關于軸的對稱點在第一象限，則的取值范圍是（
）．
A．
B．
C．
D．
6．如果點在第四象限，那么的取值范圍是（
）．
A．
B．
C．
D．
7．線段在直角坐標系中的位置如圖所示，線段關于軸對稱，則點的對應點的坐標為（
）．
A．
B．
C．
D．
8．甲乙兩位同學用圍棋子做游戲．如圖所示，現輪到黑棋下子，黑棋下一子后白棋再下一子，使黑棋的個棋子組成軸對稱圖形，白棋的個棋子也成軸對稱圖形，則下列下子方法不正確的是（
）．[說明：棋子的位置用數對表示，如點在]
A．黑；白
B．黑；白
C．黑；白
D．黑；白
9．中國象棋棋盤中蘊含著平面直角坐標系，如圖是中國象棋棋盤的一半，棋子“馬”走的規則是沿“日”形的對角線走．例如：圖中“馬”所在的位置可以直接走到點、處．
（1）如果“帥”位于點，“相”位于點，則“馬”所在的點的坐標為______，點的坐標為_______，點的坐標為________．
（2）若“馬”的位置在點，為了到達點，請按“馬”走的規則，在圖中畫出一種你認為合理的行走路線，并用坐標表示．
10．在平面直角坐標系中，一螞蟻從原點出發，按向上、向右、向下、向右的方向依次不斷移動，每次移動個單位．其行走路線如圖所示．
（1）填寫下列各點的坐標：（______，_______）；（______，______）；（______，______）．
（2）寫出點的坐標（是正整數）．
（3）指出螞蟻從點到點的移動方向．
思維方法天地
11．在平面直角坐標系中，橫坐標、縱坐標都為整數的點稱為整點，請你觀察圖中的正方形，，，…，每個正方形四條邊上的整點的個數，推算出正方形四條邊上的整點共有________個．
12．如圖，正方形在坐標系中的位置如圖，將正方形繞點順時針旋轉后，點的坐標為_____．
13．如圖，把自然數按圖的次序排在直角坐標系中，每個自然數都對應著一個坐標．如的對應點是原點，的對應點是，的對應點是，那么的對應點的坐標是_______．
14．若關于、的方程組的解為坐標的點在第二象限，則符合條件的實數的范圍是（
）．
A．
B．
C．
D．
15．在平面直角坐標系中，對于平面內任一點，若規定以下三種變換：
①．如；
②．如；
③．如．
按照以上變換有：，那么，等于（
）．
A．
B．
C．
D．
16．設平面直角坐標系的軸以作為長度單位，的頂點坐標為，，，其中，若該三角形的面積為，則的值是（
）．
A．
B．
C．
D．
E．
17．如圖，長方形的各邊分別平行于軸或軸，物體甲和物體乙由點同時出發，沿長方形的邊作環繞運動，物體甲按逆時針方向以每秒個單位長度的速度勻速運動，物體乙按順時針方向以每秒個單位長度的速度勻速運動，求兩個物體開始運動后的第次相遇地點的坐標．
18．在平面直角坐標系中，如圖①，將線段平移至線段，連接、．
（1）直接寫出圖中相等的線段、平行的線段；
（2）已知、，點在軸的正半軸上．點在第一象限內，且，求點、的坐標；
（3）如圖②，在平面直角坐標系中，已知一定點，，兩個動點、，請你探索是否存在以兩個動點、為端點的線段平行于線段且等于線段．若存在，求以點、、、為頂點的四邊形的面積，若不存在，請說明理由．
應用探究樂園
19．如圖，是放置在平面直角坐標系內的梯形，其中是坐標原點．點、、的坐標分別為，，，若點在梯形內，且，，求點的坐標．
20．操作與研究
（1）對數軸上的點進行如下操作：先把點表示的數乘以，再把所得數對應的點向右平移個單位，得到點的對應點．
點，在數軸上，對線段上的每個點進行上述操作后得到線段，其中點，的對應點分別為，．如圖①，若點表示的數是，則點表示的數是______；若點表示的數是，則點表示的數是______；已知線段上的點經過上述操作后得到的對應點與點重合，則點表示的數是_________．
（2）如圖②，在平面直角坐標系中，對正方形及其內部的每個點進行如下操作：把每個點的橫、縱坐標都乘以同一個實數，將得到的點先向右平移個單位，再向上平移個單位，得到正方形及其內部的點，其中點，的對應點分別為，．已知正方形內部的一個點經過上述操作后得到的對應點與點重合，求點的坐標．
16．平面直角坐標系
問題解決
例1
（1）、
；（2）、
例2
D
弄清粒子的運動規律，先觀察橫坐標與縱坐標的相同的點：，粒子運動了分鐘；，粒子運動了分鐘，將向左運動；粒子運動了分鐘，將向下運動；，粒子運動了分鐘，將向左運動，粒子運動了分鐘，將向下運動，…，于是將有：點處粒子運動了分鐘，這時粒子將向下運動，從而在運動了分鐘后，粒子所在位置是，故選D．
例3
點與點重合，個點構成一個循環，，．
，
點與點坐標相同，為．
例4
（1）．
（2）①當點在軸上，設，則，由，
得或，，．
②當點在軸上，延長交軸于點，過作軸于，設，
，，
．
又，解得，．
設，當點在點上方時，，
，解得；
當點在點下方時，，
，解得，
綜上，，，
滿足題意．
數學沖浪
1．
2．
3．
以最外邊的正方形邊上的點為準，點的總個數等于該正方形右下角（即軸上）的點的橫坐標的平方．
4．或；
5．B
6．D
7．D
8．C
9．（1），，；（2）略
10．（1），，；（2），；（3）向上
11．
提示：每個正方形四條邊的整點個數為
12．
13．
所有奇數的平方數都在第四象限的角平分線上，且數對應點的坐標為，于是數對應點的坐標為，而，故對應點的坐標為．
14．B
15．B
16．B
17．因為長方形的邊長為和，所以長方形的周長為．
因為物體乙的速度是物體甲的倍，故相同時間內，物體甲與物體乙行的路程比為．
（1）因為第次相遇時，物體甲與物體乙行的路程的和為，故物體甲行的路程為，物體乙行的路程為，所以它們在邊相遇，此時相遇地點的坐標為；
（2）因為第次相遇時，物體甲與物體乙行的路程的和為，故物體甲行的路程為，物體乙行的路程為，所以它們在邊相遇．此時相遇地點的坐標為；
（3）因為第次相遇時，物體甲與物體乙行的路程的和為，故物體甲行的路程為，物體乙行的路程為，所以它們在點相遇．此時甲、乙回到出發點．
因為除以的商為，余數為，所以甲、乙兩個物體運動后的第次相遇的地點與第次相遇的地點相同，此時相遇地點的坐標為．
18．（1），，，；
（2）連接，設則依題意有，，
，、；
（3）存在，依題意有，，則，，或，，
，或，，或．
19．如圖，過點作軸于點．因為的面積等于的面積，所以，即，解得．所以的面積的面積，的面積的面積，則，即，所以點的坐標是
．
20．（1）；；
（2）點，的對應點分別為，．
，解得．
由題意可得．設點的坐標為，
，解得．
點的坐標為．陶哲軒，年月日出版的美國《探索》雜志上，位歲以下的科學家被冠以“最具智慧的頭腦”稱號，華裔澳大利亞人陶哲軒排名第一．他年生于澳大利亞，歲獲得國際數學競賽的金牌，歲被評為終身教授，年我國數學家大會上獲得菲爾茲獎，時年歲，廣泛的興趣、豐富的知識儲備、深刻的洞察力以及能敏銳地發現那些陌生的問題同自己最擅長領域的本質聯系，是他最大的特色．
11．方程組的應用
解讀課標
方程組也是刻畫現實數量關系的有效模型，在代數式的化簡求值、解實際問題等方面有廣泛的應用．
一些代數式化簡求值問題，運用相關概念、性質，對題意的理解等，?？赊D化為方程組求解或利用方程組探尋字母間的關系．
列方程組解實際問題的關鍵是找到能夠表示問題中全部含義的相等關系，即在相等關系電，問題所給的條件既要不遺漏地重復使用，又不能把同一條件重復利用．
許多實際問題既可用列方程求解，又可用列方程組求解，列方程組求解常比單獨設一個未知數建立一元一次方程更容易表示相等關系，但解方程組稍繁，這是它們的各自優缺點．
問題解決
例1
若，則_______．
試一試
由不等推導相等，未知數個數多于方程個數，怎么辦？
例2
小明的爸爸騎摩托車帶著小明在公路上勻速行駛，小明每隔一段時間看到的里程碑上的數如下：
時刻
碑上的數
是一個兩位數，數字之和為
十位與個位數字與使所看到的正好顛倒了
比時看到的兩位數中間多了個
則時看到的兩位數是（
）．
A．
B．
C．
D．
試一試
理解行駛路程與里程碑上的數的關系是解題的關鍵．
例3
如圖，長方形中放置個形狀、大小都相同的小長方形（尺寸如圖），求圖中陰影部分的面積．
試一試
大長方形由小長方形拼接而成，要求陰影部分的面積，需求出小長方形的長與寬．
例4
韋武準備裝修一套新宅，若甲、乙兩個裝飾公司合做需周完成，需工錢萬元；若甲公司單獨做周后，剩下的由乙公司來做，還需周才能完成，需工錢萬元，若只選一個公司單獨完成，從節約開支的角度考慮，韋武是選甲公司還是選乙公司？請說明理由．
試一試
只有先求出每個公司工效、需要的工錢，才能進行正確的經濟決策，因此，解本例需解兩次方程組．
例5
已知，，，…，中每一個數值只能取，，中的一個，且滿足，，求的值．
分析
因，，，…，中每一個數值只能取，，中的一個，故只需求出相應值的個數，將問題轉化為解方程組．
解
設有個取，個取，由，得，故原式．
間隔發車
例6
小王沿街勻速行走，發現每隔分鐘從背后駛過一輛公交車，每隔分鐘從迎面駛來一輛公交車．假設每輛公交車行駛速度相同，而且公交車總站每隔固定時間發一輛車，那么發車間隔的時間是多少分鐘？
分析
本例是一個既含有相遇又含有追及的綜合性行程問題，有下列隱含的等量關系：
①迎面駛來兩車距離=（車速+人速）．
②背后開來兩車距離=（車速-人速）．
③迎面駛來兩車距離=背后開來兩車距離．
④同向兩車距離=車速×發車間隔時間．
解法一
設公交車的速度為米／分，小王行走的速度為米／分，發車間隔的時間是分鐘．
則，解得．
即公交車總站發車間隔的時間為分鐘．
解法二
設同向行駛的相鄰兩車的間距為米，發車間隔的時間為分鐘，小王行走相鄰兩車間距米所用的時間為分鐘．
即，解得．
即公交車總站發車間隔的時間為分鐘．
數學沖浪
知識技能廣場
1．如果，那么的值為________．
2．由圖給出的信息，可求得每件恤衫和每瓶礦泉水的價格分別為________．
3．如圖，某化工廠與，兩地有公路和鐵路相連．這家工廠從地購買一批每噸元的原料運回工廠，制成每噸元的產品運到地．已知公路運價為元／（噸·千米），鐵路運價為元／（噸·千米）．這兩次運輸共支出公路運費元，鐵路運費元．請計算這批產品的銷售款比原料費和運輸費的和多多少元？
（1）根據題意，甲、乙兩名同學分別列出尚不完整的方程組如下：
甲：
乙：
根據甲、乙兩名同學所列方程組，請你分別指出未知數，表示的意義，然后在等式右邊的方框內補全甲、乙兩名同學所列方程組．
甲：表示____________，表示______________
乙：表示____________，表示______________
（2）甲同學根據他所列方程組解得，則__________，并解決該實際問題：__________．
4．利用兩塊長方體木塊測量一張桌子的高度，首先按圖①方式放置，再交換兩木塊的位置，按圖②方式放置．測量的數據如圖，則桌子的高度是（
）
A．
B．
C．
D．
5．為確保信息安全，信息需加密傳輸，發送方將明文加密為密文傳輸給接收方，接收方收到密文后解密還原為明文，已知某種加密規則為：明文、對應的密文為、，例如：明文，對應的密文是，，當接收方收到密文是，時，解密得到的明文是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
6．甲是乙現在的年齡時，乙歲；乙是甲現在的年齡時，甲歲，那么（
）
A．甲比乙大歲
B．甲比乙大歲
C．乙比甲大歲
D．乙比甲大歲
7．某超市為“開業三周年”舉行了店慶活動，對，兩種商品實行打折出售．打折前，購買件商品和件商品需用元；購買件商品和件商品需用元，而店慶期間，購買件商品和件商品僅需元．這比不打折少花多少錢？
8．某旅行社擬在暑假期間面向學生推出“林州紅旗渠一日游”活動，收費標準如下：
人數
收費標準（元/人）
甲、乙兩所學校計劃組織本校學生自愿參加此項活動．已知甲校報名參加的學生人數多于人，乙校報名參加的學生人數少于人．經核算，若兩校分別組團共需花費元，若兩校聯合組團只需花費元．
（1）兩所學校報名參加旅游的學生人數之和超過人嗎？為什么？
（2）兩所學校報名參加旅游的學生各有多少人？
9．已知用輛型車和輛型車裝滿貨物一次可運貨噸；用輛型車和輛型車裝滿貨物一次可運貨噸．某物流公司現有噸貨物，計劃同時租用型車輛，型車輛，一次運完，且恰好每輛車都裝滿貨物．
根據以上信息，解答下列問題：
（1）輛型車和輛型車都裝滿貨物一次可分別運貨多少噸？
（2）請你幫該物流公司設計租車方案；
（3）若型車每輛需租金元／次，型車每輛需租金元／次．請選出最省錢的租車方案，并求出最少的租車費．
思維方法天地
10．美國籃球巨星喬丹在一場比賽中投中，拿下分，其中三分瓊三投全中，那么喬丹兩分球投中_________球，罰球投中_________球．
11．在一條筆直的公路上，某一時刻，有一輛客車在前，一輛小轎車在后，一輛貨車在客車與小轎車的正中間同向行駛，過了分鐘，小轎車追上了貨車；又過了分鐘，小轎車追上了客車；此后，再過分鐘，貨車追上了客車，則________．
12．已知、、是三個有理數，且與的平均數是，與的和的是，與的和的是，那么、、的平均數是________．
13．已知，，滿足，則的值為（
）
A．
B．
C．
D．
14．放成一排的個盒子中共有個小球，其中最左端的盒子中放了個小球，最右端的盒子放了個小球，如果任意相鄰的個盒子中的小球共有個，則（
）．
A．
B．
C．，
D．，
15．買支鉛筆、塊橡皮擦、本日記本需元；買支鉛筆、塊橡皮擦、本日記本需元；則買支鉛筆、塊橡皮擦、本日記本需（
）
A．元
B．元
C．元
D．元
16．如圖，從左上角標注的圓圈開始，順時針方向按的規律（表示前一個圓圈中的數字，、是常數）轉換后得到下一個圓圈中的數，求“？”代表的數．
17．已知，，，求的值．
18．如圖，正方形中的每個小圖形表示一個數字，相同的圖形表示相同的數字，不同的圖形表示不同的數字，正方形外的數字表示該行或該列的數字的和，求，的值．
應用探究樂園
19．老師布置了一個探究性活動作業：僅用一架天平和一個克的砝碼測量壹元硬幣和伍角硬幣的質量各是多少？（注：同種類的每枚硬幣質量相同）
聰明的小明同學找來足夠多的壹元和伍角的硬幣，經過探究得到以下兩個探究記錄：
記錄
天平左邊
天平右邊
狀態
記錄一
枚壹元硬幣，一個克的砝碼
枚伍角硬幣
平衡
記錄二
枚壹元硬幣
枚伍角硬幣，一個克的砝碼
平衡
請你用所學的數學知識計算出一枚壹元硬幣多少克？一枚伍角硬幣多少克？
20．【函函游園記】
函函早晨到達上海世博園區入口處等待開園，時整開園，區入口處有條安全檢查通道讓游客通過安檢入園，游客每分鐘按相同的人數源源不斷到達這里等待入園，直到中午時區入口處才沒有排隊人群，游客一到就可安檢入園，時分函函通過安檢進入上海世博園時，發現平均一個人通過安全檢查通道入園耗時秒．
【排隊的思考】
（1）若函函在時整排在第位，則這時區入口安全檢查通道可能有多少條？
（2）若時開園時等待區入口處的人數不變，當安檢通道是現有的倍且每分鐘到達區入口處的游客人數不變時，從中午時開始游客一到區入口處就可安檢入園，當每分鐘到達區入口處的游客人數增加了，仍要求從時開始游客一到區人口處就可安檢入園，求這時需要增加安檢通道的數量．
11．方程組的應用
問題解決
例l
由條件得，，兩式相加得．
例2
D
設兩位數為，則
．
例3
例4
設甲公司單獨完成需周，需要工錢萬元，乙公司單獨完成需要周，需要工錢萬元，由題意得
，解得；
又，解得．
從節約開支的角度考慮，韋武應選乙公司裝修房子．
數學沖浪
1．
2．元、元
3．（1）產品的重量；原料的重量；產品銷售額；原料費．
甲方程組右邊方框內的數分別為，，乙同甲．
（2）；這批產品的銷售款比原料費和運輸費的和多元．
4．C
5．C
6．A
提示：設甲、乙兩人現在的年齡分別是、歲，則
，解得．
7．
元
8．（1）超過人，理由略；（2）人，人
9．（1）噸；噸
（2）共有三種租車方案，具體方案略
（3）租用型車輛、型車輛最省錢，最少的租車費為元
10．；
11．
設在某一時刻，貨車與客車、小轎車的距離均為千米，小轎車、貨車、客車的速度分別為、、千米／分，則，，，解得．
12．
13．B
提示：由條件得，
14．A
提示：由，得，同理，又，得．
15．C
16．
17．由條件得，，，聯立解得，，，．
18．易知，設第一行所表示的數依次是，，，，第行第列的數字是，則有
②-③，得⑥
⑥代入④，得，
即
故．
19．克；克
20．（1）
（2）設時開園時，等待在D區人口處的人數為，每分鐘
到達D區入口處的游客人數為，增加安檢通道后的數量為．
依據題意，有：
由①，②解得：，
代入③，解得，
增加通道的數量為．徐寶騄（-），浙江杭州人，中國著名的數理統計學家．年徐寶騄進入當時的數理統計研究中心倫敦大學學院學習數理統計，年回國任教．作為我國概率統計方面的學科帶頭人，在數理統計的許多領域，他都做出了杰出貢獻，出版的專著介紹了對他的評價：“徐寶騄是世紀中最淵博、富有創造性的統計學家之一．”
14．不等式（組）的應用
解讀課標
現實世界中不等關系是普遍存在的，許多現實問題是很難確定或不需確定具體的數值，但可以求出或確定某個量的變化范圍或變化趨勢，從而對所研究問題有一個較清晰的估算或認識，這就是不等分析的基本思想．
不等式的應用主要表現在：
（1）求代數式的取值范圍；
（2）作差或作商比較數的大?。?br/>（3）求代數式的最值；
（4）列不等式（組）解決實際問題．
問題解決
例1
若、滿足，，則的取值范圍是______________．
試一試
用的代數式表示、，由、建立關于的不等式組．
例2
、，…，都是正數，如果，，那么、的大小關系是（
）．
A．
B．
C．
D．不確定的
試一試
作差比較、的大小，解題的關鍵是如何簡化、，不妨換元．
例3
為了加強學生的交通安全意識，某中學和交警大隊聯合舉行了“我當一次小交警”活動，星期天選派部分學生到交通路口值勤，協助交通警察維護交通秩序．若每一個路口安排人，那么還剩下人；若每個路口安排人，那么最后一個路口不足人，但又不少于人，這個中學共選派值勤學生多少人？共在多少個交通路口安排值勤？
試一試
設共在個交通路口安排值勤，則共派名學生值勤，解題的關鍵是，若每個路口安排人，則最后一個路口安排人數用怎樣的不等式表示．
例4
某工廠生產、兩種產品共件，其生產成本與利潤如下表：
種產品
種產品
生產成本（萬元/件）
利潤（萬元/件）
若該廠計劃投入資金不超過萬元，且希望獲利超過萬元，問：工廠有哪幾種生產方案？哪種生產方案獲利最大？最大利潤是多少？
試一試
設生產種產品件，建立的不等式組，將問題轉化為求的整數解并討論．
例5
已知、、、、、、是彼此互不相等的正整數，它們的和等于，求其中最小數的最大值．
分析與解
不妨設，則，解題的關鍵是怎樣把多元等式轉化為只含的不等式，這里要用到整數的如下性質：設、為整數，若，則．
因，，…為整數，故，，，，，，上面不等武相加，得，，故的最大值是．
放縮法
放縮法，即將代數式的某些部分恰當地放大或縮小，從而得到相應的不等式，以達到解決問題的目的．
放縮法的實質是構造不等式，通過縮小范圍逼近求解，放縮法體現了化“相等”為不等．以“不等”求“相等”的策略和思想．
例6
將若干由開始的連續自然數寫在紙上，然后刪去其中一個數，則余下的數的平均數為，問刪去的那個數是多少？
分析
設所寫的數為，，…，，刪去其中的，則余下的數的平均數為，由，建立的不等式組．
解
，，即，解得，或．當時，；當時，為非正數，舍去．
數學沖浪
1．在關于，，的方程組中，已知，那么將，，從大到小排起來應該是_________________．
2．若方程組的解，都是正數，則的取值范圍是___________．
3．一輛公共汽車上有名乘客，到某一車站有名乘客下車，則車上原有_______名乘客．
4．小芳和爸爸、媽媽三人玩蹺蹺板，三人的體重一共為千克，爸爸坐在蹺蹺板的一端，體重只有媽媽一半的小芳和媽媽一同坐在蹺蹺板的另一端，這時，爸爸的那一端仍然著地，請你猜一猜小芳的體重應小于（
）．
A．千克
B．千克
C．千克
D．千克
5．幾位同學拍一張合影作留念，已知沖一張底片需要元，洗一張相片需要元，在每位同學得到一張相片，共用一張底片的前提下，平均每人分攤的錢不足元，那么參加合影的同學人數（
）．
A．至多人
B．至少人
C．至多人
D．至少人
6．某種出租車的收費標準是：起步價元（即行駛距離不超過千米都需付元車費），超過千米以后，每增加千米，加收元（不足千米按千米計）．某人乘這種出租車從甲地到乙地共支付車費元，設此人從甲地到乙地經過的路程是千米，那么的最大值是（
）．
A．
B．
C．
D．
7．將一箱蘋果分給若干個小朋友，若每位小朋友分個蘋果，則還剩個蘋果；若每位小朋友分個蘋果，則有一個小朋友未分到個蘋果．求這一箱蘋果的個數與小朋友的人數．
8．“節能環保，低碳生活”是我們倡導的一種生活方式，某家電商場計劃用萬元購進節能型電視機、洗衣機和空調共臺，三種家電的進價和售價如下表所示：
種類
價格
進價（元/臺）
售價（元/臺）
電視機
洗衣機
空調
（1）在不超出現有資金前提下，若購進電視機的數量和洗衣機的數量相同，空調的數量不超過電視機的數量的倍，請問商場有哪幾種進貨方案？
（2）在“年消費促進月”促銷活動期間，商家針對這三種節能型產品推出“現金每購滿元送元家電消費券一張、多買多送”的活動．在（1）的條件下，若三種電器在活動期間全部售出，商家預估最多送出消費券多少張？
9．溫州享有“中國筆都”之稱，其產品暢銷全球，某制筆企業欲將件產品運往，，三地銷售，要求運往地的件數是運往地件數的倍，各地的運費如圖所示．
設安排件產品運往地．
（1）當時，①根據信息填表：
地
地
地
合計
產品件數（件）
運費（元）
②若運往地的件數不多于運往地的件數，總運費不超過元，則有哪幾種運輸方案？
（2）若總運費為元，求的最小值．
思維方法天地
10．名少年運動員胸前的號碼分別是，，，…，，．選出其中的名運動員，使得他們的號碼數之和等于，那么的最大值是______________．
11．按如圖所示的程序進行操作，規定：程序運行從“輸入一個值”到“結果是否”為一次操作，如果操作進行四次才停止，那么的取值范圍是____________．
12．、、、是正整數，且，，，設的最大值為，最小值為，則____________．
13．為了保護環境，某企業決定購買臺污水處理設備．現有、兩種型號的設備，其中每臺的價格、月處理污水及年消耗費如下表．經計算，該企業購買設備的資金不高于萬元，請你設計，該企業購買方案有______________種．
型
型
價格（萬元/臺）
處理污水量（噸/月）
年消耗費（萬元/臺）
14．要使方程組的解是一對異號的數，則的取值范圍是（
）．
A．
B．
C．
D．或
15．已知，，，都是整數，且，，，，那么的最大值是（
）．
A．
B．
C．
D．
16．甲從一個魚攤上買了三條魚，平均每條元，又從另一個魚攤上買了兩條魚，平均每條元，后來他又以每條元的價格把魚全部賣給了乙，結果發現賠了錢，原因是（
）．
A．
B．
C．
D．與和的太小關系無關
17．若，且，則（
）．
A．有最小值
B．有最大值
C．有最大值
D．有最小值
18．有五個數，每兩個數的和分別為，，，，，，，，，（未按順序排列），求五個數中最大數的值．
19．問題提出
我們在分析解決某些數學問題時，經常要比較兩個數或代數式的大小，而解決問題的策略一般要進行一定的轉化，其中“作差法”就是常用方法之一．所謂“作差法”就是通過作差、變形，并利用差的符號來確定它們的大小，即要比較代數式、的大小，只要作出它們的差，若，則；若，則；若，則．
問題解決
如圖①，把邊長為的大正方形分割成兩個邊長分別是、的小正方形及兩個矩形，試比較兩個小正方形的面積之和與兩個矩形面積之和的大小．
解：由圖可知，，，
．
，
，．
類比應用
（1）已知小麗和小穎購買同一種商品的平均價格分別為元/千克、元/千克（，是正數，且），試比較小麗和小穎所購商品的平均價格的高低．
（2）試比較圖②、圖③兩個矩形的周長、的大小．
聯系拓展
小剛在超市里買了一些物品，用一個長方體的箱子“打包”，箱子的尺寸如圖④所示，售貨員分別可按圖⑤、圖⑥、圖⑦三種方法進行捆綁，問哪種方法用繩最短？哪種方法用繩最長？請說明理由．
應用探究樂園
20．已知，皆為自然數，且，若，及，求的值．
21．某樓盤一樓是車庫（暫不銷售），二樓至二十三樓均為商品房（對外銷售）．商品房售價方案如下：第八層售價為元/平方米，從第八層起每上升一層，每平方米的售價增加元；反之，樓層每下降一層，每平方米的售價減少元．已知商品房每套面積均為，開發商為購買者制定了兩種購房方案．
方案一：購買者先交納首付金額（商品房總價的），再辦理分期付款（即貸款）．
方案二：若購買者一次付清所有房款，則享受的優惠，并免收五年物業管理費（已知每月物業管理費為元）．
（1）請寫出每平方米售價（元/平方米）與樓層（，是正整數）之間的關系式．
（2）小張已籌到元，若用方案一購房，他可以購買哪些樓層的商品房呢？
（3）有人建議老王使用方案二購買第十六層，但他認為此方案還不如不免收物業管理費而直接享受的優惠劃算．你認為老王的說法一定正確嗎？請用具體的數據闡明你的看法．
14．不等式（組）的應用
問題解決
例1
例2
A
設，，則．
例3
由題意得，
19．，，共有值勤學生（人），共在個交通路口值勤．
例4
正整數解為，，，即共有三種生產方案，具體方案略；最大利潤為萬元．
數學沖浪
1．
2．
3．人或人或人
提示：且、．
4．D
5．B
6．B
7．個或個，人或人
8．（1）共有三種進貨方案；
（2）最多送出消費券張（）．
9．（1）①略
②有三種運輸方案；
（2）的最小值為．
10．選號碼越小的，可以使選出的人數越多，因此考慮選由～的連續個自然數之和不超過的組，因，得，，，于是?。醋疃嗄苓x出人．
11．
前四次操作的結果分別為，，，．
由已知，得，解得．
容易驗證，當時，，．
故的取值范圍是．
12．
，，，由，，，為正整數得，原式．
13．
設購買臺種型號的設備，臺種型號的設備，
則
14．D
，，．
15．B
，，，．
16．A
，得．
17．C
，或，，從而或，．
18．設，將和數從小到大重新排列為，，，，，，，，，．
則又，從而．
19．（1），
，即小麗所購商品的平均價格比小穎的高．
（2）圖②矩形的周長大于圖③矩形的周長．
聯系拓展
圖⑦的捆綁方法用繩最長，圖⑥的最短．
20．
．
即，，，
于是，，
故．
21．（1）
（2）當時，小張首付款為：
（元）（元）．
所以～層可任選．
當時，小張首付款為：（元），
由，解得．
因為正整數，所以．
綜上可知：小張用方案一可以購買二至十六層的任何一層．
（3）若按方案二購買第十六層，則老王要實交房款為：（元）．
若按老王的想法則要交房款為：（元）．
由．
可知當，即時，解得，此時老王想法正確；當，即，解得，此時老王想法不正確．蘇步青，浙江平陽人，年畢業于日本東北帝國大學，復旦大學教授、名譽校長，年選聘為中國科學院院士，主要從事微分幾何學和計算幾何學等方面的研究，被譽為“東方第一幾何學家”．在空間微分幾何學、幾何外形設計、計算機輔助幾何設計等方面取得突出成就．
15．從估算到數感
解讀課標
大到國家的財政預算，工農業生產的總值、產量，小到某人的身高、體重、年齡等，在生活生產實踐和科學研究中，我們常要對一些問題的數量進行估算，估算是我們研究和處理有關數量問題時經常運用的一種方法．
數感是人對數與運算的一般理解，這種理解可以幫助人們用靈活的方法作出數學判斷和為解決復雜的問題提出有用的策略，數感主要表現在：理解數的意義，能用多種方法表示數，能在具體的情境中把握數的相對大小關系，能用數來表達和交流信息，能為解決問題而選擇適當的算法，能估計運算的結果，并對結果的合理性作出解釋．
加強估算，培養數感是新課程的基本要求．
例1
圖中的算式表示四位數與的積是四位數，那么、、、這個數字分別是_____．
試一試
被乘數是四位數，與的積也是四位數，由此可估算確定、的值，這是解本例的突破口．
例2
已知，則與的大小關系是（
）．
A．
B．
C．
D．無法確定的
試一試
通過放縮法，化異分母為同分母，為比較與的大小創造條件．
例3
如果三個邊長為整數的正方形紙片的面積之和為，其中最大的正方形紙片面積為，最小的正方形紙片面積為，確定的最大值．
試一試
設三個正方形邊長分別為，，（其中，，為正整數，），由題意得，怎樣解這個不定方程，從估算入手．
例4
證明：．
試一試
先用放大的方法：．類似用縮小的方法證明另一不等式．
例5
求方程的正整數解．
分析
易知，，都大于，不妨設，則（排序估算），將復雜的三元不定方程轉化為一元不等式，通過解不等式對某個未知數的取值作出估計，逐步縮小其取值范圍，求出其結果．
解
，即，由此得或，當時，，即，由此得或或，同理當時，或，由此可得當時，共有，，，組，由于、、在方程中地位平等，可得原方程的解共有組：，，，，，，，，，，，，，，．
逼近求解
通過放縮或特殊化，把相關量限制在某取值范圍內，從而找到解決問題的突破口，逼近求解體現了變“相等”為“不等”，以“不等”求“相等”的解題策略和思想．
例6
甲組同學每人有個核桃，乙組同學每人有個核桃，丙組同學每人有個核桃，三組的核桃總數是個，問三個小組共有多少名同學？
分析與解
設甲組學生人，乙組學生人，丙組學生人，由題意得，運用放縮法，從求出的取值范圍入手．
因，得，故．
因，得，故．
從而，或．當時，得，此方程無正整數解，故，．
數學沖浪
知識技能廣場
1．設、、表示三種不同物體的質量，用天平稱兩次，情況如圖所示，則這三種物體的質量從小到大排序正確的是（
）．
A．
B．
C．
D．
2．細胞分裂時一分為二，設原有個細胞，第一次分裂為個，第次分裂為個…第十次分裂為個，則第二十次分裂后的細胞數最接近于（
）．
A．個
B．個
C．個
D．個
3．將，，，，…，，這個整數分為兩組，使得一組中所有數的和比另一組中所有數的和大，這樣的分組方法（
）．
A．只有一種
B．恰有兩種
C．多于三種
D．不存在
4．某學校在開展“節約每一滴水”的活動中，從初三年級的名同學中任選出名同學匯報了各自家庭一個月的節水情況，將有關數據整理如下表：
節水量（單位：噸）
同學數
用所學的統計知識估計這名同學的家庭一個月節約用水的總量大約是（
）．
A．噸
B．噸
C．噸
D．
噸
5．某商場為了吸引顧客，舉行抽獎活動，并規定：顧客每購買元的商品，就可隨機抽取一張獎券，抽得獎券“紫氣東來”、“花開富貴”、“吉星高照”，就可以分別獲得元、元、元的購物券，抽得“謝謝惠顧”不贈購物券；如果顧客不愿意抽獎，可以直接獲得購物券元．小明購買了元的商品，他看到商場公布的前張獎券的抽獎結果如下：
獎券種類
紫氣東來
花開富貴
吉星高照
謝謝惠顧
出現張數（張）
（1）求“紫氣東來”獎券出現的頻率；
（2）請你幫助小明判斷，抽獎和直接獲得購物券，哪種方式更合算？并說明理由．
6．在杭州市中學生籃球賽中，小方共打了場球．他在第，，，場比賽中分別得了，，和分，他的前場比賽的平均得分比前場比賽的平均得分要高，如果他所參加的場比賽的平均得分超過分．
（1）用含的代數式表示；
（2）小方在前場比賽中，總分可達到的最大值是多少？
（3）小方在第場比賽中，得分可達到的最小值是多少？
7．證明：（為正整數且）．
8．求滿足關系式的數字和．
9．已知一個四位數的各位數字的和與這個四位數相加等于，試求這個四位數．
思維方法天地
10．已知分數，那么的整數部分是_________．
11．回文對聯
北京有一家“天然居”的名餐館，顧客進店，便可看見一副對聯：客上天然居，居然天上客．這副對聯不但意境好，而且是一副回文聯，即將上聯倒過來念，便成了下聯．這與數學中的對稱頗為類似．據說清代乾隆皇帝把這副回文聯兩句并成一句，作為新的上聯，大臣紀曉嵐對出了下聯：人過大佛寺，寺佛大過人．
下面左邊的乘法算式中，每個漢字代表一個數字，不同漢字代表不同數字，請把這道乘法算式在右邊還原出來．
__________________．
12．有克、克、克、克的砝碼各若干個，從中共取個，每類砝碼至少取個，克的砝碼不能超過個，若總重量為千克，則的最小值為_______．
13．中國古代數學問題
唐太宗傳令點兵：若一千零一卒為一營，則剩一人；若一千零二卒為一營，則剩四人，此次點兵至少有________人．
14．、、是三個連續正整數，，，那么是（
）．
A．
B．
C．
D．
15．，則的整數部分等于（
）．
A．
B．
C．
D．
16．求中的數字、、．
17．已知由小到大的個正整數，，，…，的和是，求的最大值．
應用探究樂園
18．設、、為互不相等的正整數，且，為整數，求、、的正整數解．
19．已知正整數，其中、、均為質數，且，，求的值．
15．從估算到數感
問題解決
例1
，，推得，．
例2
C從到共有個數，故
例3
，而，最大值取，得，得，，的最大值為．
例4
原式．故．
數學沖浪
1．A
2．D
3．D
設一組數的和為，另一組數的和為，由
，得．
4．C
5．（1）；（2）平均每張獎券獲得的購物券金額為（元），，選擇抽獎更合算．
6．（1）；（2）分；（3）分．
7．提示：利用結果．
8．，
，
，得．
在與之間的完全平方數只有，
經檢驗知，為所求．
9．設所求四位數是，由題意得，
即，得，，得．，進一步得，．故所求四位數是．
10．，，故的整數部分是．
11．
12．
設克、克、克、克的砝碼分別有、、、個，則，，隨著的減小，越來越大，經討論知，，，，為所求．
13．
設第一次點兵共營，第二次點兵共營，則，即，的最小值等于，此時，至少有（人）．
14．D
，為偶數，必為奇數．
15．A
當，，…，時，
，
，于是有，得的整數部分為．
16．因，故，，即，解得的正整數解為，而，所以，．
17．要使最大，需使，，，及，…，盡量小，又因，故先取，，，分別為，，，，于是有．即．又，，，，，故，即，，故最大值可?。?br/>18．設，則，，．所以，，得．解方程，得，，，，，．
19．由，，得，
即，解得．
，都為質數，
，得，，．克萊因（），德國數學家、數學史家和數學教育家，克萊因在年就提出應把拓撲學發展為一門重要的幾何學科，使得拓撲學在世紀獲得了飛躍的發展，并成為現代數學的核心．他在突出貢獻是用群的觀點來統一整個數學，作為世紀的領袖數學家，他的許多觀點至今仍然對數學家、數學史家、數學教育家有所啟迪．
17．實數
人類對數的認識是在生活中不斷加深和發展的，數系的每一次擴張都源于實際生活的需要，在非負有理數知識的基礎上引進負數，數系發展到有理數，這是數系的第一次擴張；但隨著人類對數的認識不斷加深和發展，人們發現現實世界中確實存在不同于有理數的數——無理數，在引入無理數的概念后，數系發展到實數，這是數系的第二次擴張．
理解無理數是學好實數的關鍵，為此應注意：
1．把握無理數的定義：無理數是無限不循環小數，不能寫成分數的形式（這里、是互質的整數，且）；
2．掌握無理數的表現形式：無限不循環小數，與相關的數，開方開不盡得到的數等；
3．澄清一些模糊認識；
4．明確無理數的真實性．
問題解決
例1
已知實數、滿足，則代數式的值為________．
試一試
運用非負數性質，求出，值．
例2
下面有個結論：
①存在兩個不同的無理數，它們的差是整數；
②存在兩個不同的無理數，它們的積是整數；
③存在兩個不同的非整數的有理數，它們的和與商都是整數．
其中，正確的結論有（
）個．
A．
B．
C．
D．
試一試
看是否能構造出符合要求的數．
例3
若實數、、滿足關系式，試確定的值．
試一試
觀察發現、互為相反數，由算術平方根的定義、性質探尋解題的突破口．
例4
設、都是有理數，且滿足方程，求的值．
試一試
將等式整理成有理數、無理數兩部分，運用相關性質挖掘隱含的、的值．
例5
設，，，…，．求的值（用含的代數式表示，其中為正整數）．
解法一：，
，
，
．
原式
．
解法二：，
，
原式．
本質追尋：設實數，，滿足，且，則或．
問題新編：化簡（為正整數）．
尋找
公元前世紀，古希臘人點燃的無理數的火種，照亮了實數的廣闊天地，但人類很久不能分享這甘美的“人類智慧之果”．直到世紀后期，著名數學家魏爾斯特拉斯·戴德金、康托的杰出貢獻，為無理數、實數理論的建立打下堅實的基礎．
例6
（1）可以用有理數形式表示如下：
（2）紙是人們學習工作不可或缺的物品，而紙的尺寸是怎樣確定的呢？
印刷廠工人把一張長方形的標準紙（如圖①），對折次，分為兩半，每一張都是原來的，稱為對開（即開）；對折次，得張，每一張都是原來的，稱為開；對折次，得張，每一張都是原來的，稱為開……對折次，得張，每一張都是原來的，稱為開．
一張國際標準尺寸的紙，應符合下列兩個條件：①它的面積為；②經過若干次對開，所得各種大小不同的長方形形狀都相同（即長和寬之比都相等）．這張國際標準尺寸紙的長和寬到底各是多少呢？（精確到毫米）
用列方程組的方法，設標準紙長為米，寬為米（如圖②），則它的長與寬之比為，對開后的長與寬之比為．于是，由條件②，得
，即．
①
另一方面，因為與都大于零，且由條件①可得
，所以．
②
①×②，可得
，即．
所以
代入②，得（米）．
由此可見，國際標準紙的長為毫米，寬為毫米，面積為平方米，長與寬之比為
我國開用的標準紙長為毫米，寬為毫米，面積為（平方米）平方米，長與寬之比為．這就是說，我國開用的標準紙與國際標準紙是相符的．
（3）正難則反：請證明為無理數．
數學沖浪
知識技能廣場
1．已知、為兩個連續的整數，且，則________．
2．實數、在數軸上的位置如圖所示：，化簡______．
3．已知，則的值為________．
4．觀察下列等式：，，，對于一般的自然數，將有等式_______．
5．如圖，數軸上表示、的對應點分別為、，點關于點的對稱點為，則點所表示的數是（
）．
A．
B．
C．
D．
6．若，為實數，且，則的值為（
）．
A．
B．
C．
D．
7．一個自然數的算術平方根為，則和這個自然數相鄰的下一個自然數是（
）
A．
B．
C．
D．
8．若，則的值為（
）．
A．
B．
C．
D．
9．在下面兩個集合中各有一些實數，請你分別從中選出個有理數和個無理數，再用“+，-，×，÷”中的種符號將選出的個數進行次運算，使得運算的結果是一個正整數．
10．計算：
思維方法天地
11．若，則_________．
12．若、滿足，則的取值范圍是________．
13．已知實數滿足，則__________．
14．已知非零實數、滿足，則等于（
）．
A．
B．
C．
D．
15．設，，則的值為（
）．
A．
B．
C．
D．
16．如果實數、、在數軸上的位置如圖所示：，那么代數式可以化簡為（
）．
A．
B．
C．
D．
17．已知實數、滿足，求的算術平方根．
18．順思逆想
設，為正實數，由知，當很小（此處約定）時，，所以，，于是．
利用公式（※）可求某些數的平方根的近似值．如．試計算的近似值（結果精確到小數點后第位）．
應用探究樂園
19．設，為正有理數，，為無理數，求證：為無理數．
20．閱讀下面的文字，解答問題：大家知道拉是無理數，而無理數是無限不循環小數，因此的小數部分我們不可能全部地寫出來，于是小明用來表示的小數部分，你同意小明的表示方法嗎？事實上，小明的表示方法是有道理的，因為的整數部分是，將這個數減去其整數部分，差就是小數部分．又例如：，即，的整數部分為，小數部分為．根據以上知識解答下列各題：
（1）如果的小數部分為，的整數部分為，求的值；
（2）已知，其中是整數，且，求的相反數．
（3）已知的小數部分為，的小數部分為，求的值．
17．實數
問題解決
例1
例2
D
舉例：，滿足結論①、②；、滿足結論③．
例3
由算術平方根定義，得
，即，
，
，由非負數性質，
得，解得．
例4
原等式整理，得
，解得，故．
數學沖浪
1．
2．
3．
4．
5．C
6．B
7．B
8．C
9．提示：與，與，與是三種正確的配對．
10．原式
11．
由條件得
，，．
12．
由條件得
，，，，
則，解得．
13．
由條件得，則，從而．
14．C
由條件得，原等式為，．
15．A
，．
16．C
17．
，
18．
19．假設為有理數，由，得為有理數．
為有理數，則為有理數．
這與為無理數矛盾，故原假設不成立，為無理數．
20．（1）原式
（2）原式
（3）原式

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