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中考綜合題的分析與教學策略
——以2011年至2016年廣東省中考數學試題為例
一、如何看待中考綜合題
1、中考綜合題是體現中考試題選拔性的重要載體。在試題中集中在第23-25題，題型分別為代數綜合、幾何綜合、代數幾何綜合。是中考試題中得分率最低的題目，體現為難度大，耗時長，難教學。在平時的教學中花費了教師極大的心力，在中考考場上耗費了學生眾多的腦力，但往往事倍功半。
2、綜合題是對數學核心素養的綜合考查。六大數學素養中，邏輯推理、數學建模、數學運算這三種素養更多的在綜合題中體現，直觀想象、數據分析、數學抽象也有體現。www.21-cn-jy.com
3、綜合題的解答是學生綜合學力的體現；綜合題的訓練是教師執教能力的綜合體現。對于學生而言，需要想得到→做得出→寫得對→算得準→完得成。而對于老師來說，則需要能想得通→做得準→析得清→講得透→練得巧。高屋建瓴、深入淺出等詞語都是對老師的素質要求。21*cnjy*com
4、綜合題是長期訓練的結果。它不可能通過突擊訓練來達到效果；不可能通過模式化訓練來達到效果；不可能通過猜題來達到效果。2-1-c-n-j-y
盡管綜合題難做難教，但也它的考查形式與突破口也是有章可循的，下面筆者以近6年廣東省卷的綜合題為例，談談綜合題的教學策略。
二、近六年廣東省中考綜合題分析
(一)代數綜合題(第23題)
1、試題共性特點：近六年的代數綜合題都是以函數為背景，11-13年考查二次函數，14-16年則考查反比例函數。它們的共同點是都考查函數解析式的求法；而且每年的第二、三兩問都具有關聯性，只有在正確解決第二問的基礎上才能解答第三問，所以每次的得分也并不算高。
2、試題考查的知識點：常見考查方法有：求解析式、求交點、求頂點、求最值、求面積、求范圍、比較大小等。近六年中考了兩次求最短距離，包括求直線異側兩點和同側兩點的最短距離；2016年則考到了關于直線y=x對稱的兩點坐標。這給了我們一個啟示，就是教學中需要適當拓展。
關于某條斜向直線對稱在2016年廣東茂名中考中也考查到了，它考查的知識點是根據兩端點求中點坐標，若適當拓展，則可引申到互相垂直的兩直線k1·k2=-1.
(二)幾何綜合題(第24題)
1、試題共性特點：(1)近四年都是考查圓，而且試題都屬原創。其中2013年中考題在2016年被自貢市原題引用。2015年中考試題的研究則發表在《中學數學》雜志2015年8月下第34頁。
(2)試題的解答都需要排除干擾。2014、2015年的圖形都比較復雜，解答時需要排除圖形干擾；而2016年的試題中因為多了30度角這個條件，所以解題時需要排除已知條件的干擾，思路簡單但書寫麻煩。
(3)四年中有三年都需要證明切線。證切線的過程中證角相等往往是題目突破的關鍵。在圓中證角相等的方法主要有三種：①利用圓周角定理或圓心角定理；②通過全等(或相似)證角相等；③通過基本圖形證角相等：雙垂直三角形、角平分線+平行線、對頂三角形、燕尾形、弦切角定理圖形等。
2、試題解答思路分析：(1)2013和2014年證明切線的題目都是弦切角定理的基本圖形，分別借助圓周角定理和全等開展進一步的證明。(2)2015和2016年的試題都是通過全等的方法予以解答。(3)2016年試題包含許多基本圖形，現有試題未能充分發掘。
(三)代數幾何綜合題(第25題)
1、試題共性特點：(1)除2011和2012年外，其它幾年都是以三角形和四邊形為背景載體。(2)從2011年至2016年每年的最后一題都考查平移，且12-16年都考查的是平移過程中形成的三角形的面積。
2、試題解答思路分析：關鍵點都是求線段長度。求線段長度常見的有四種方法，分別是：(1)用勾股定理求線段長度。例如2012年第21題。(2)利用相似求線段長度。例如2012年第22題；2014年第25題。(3)利用三角函數求線段長度。例如2013、2015、2016年第25題。(4)利用坐標平面兩點間距離求線段長度。例如2011年第22題。2·1·c·n·j·y
三、綜合題的教學策略
1、抓綱務本，變式拓展.
(1)注意課本中隱含的知識點。2016年省卷第23題曾考查關于某條直線對稱，當年的茂名市中考題也曾考查這一直線，其中解決的關鍵知識點是中點坐標特征。這一內容在人教版教材(以下簡稱教材)七下86頁第10題中有體現。同時八下第91-92頁一次函數內容中，所舉例的兩幅函數圖形分別是平行兩直線與垂直兩直線，對于“垂直兩直線的斜率之積為-1”這一知識隱晦的體現了出來。www-2-1-cnjy-com
(2)注意課本例題與習題的變式。教材九上第60頁課本例題(如圖1)，經改編后成為2015年中考第21題。這一題目在初二時常用作截長補短的典型例題。教材九上第87頁課本例題(如圖2)則被改編為2016年廣州中考題，2016年江蘇淮安也考到此題。
也有許多課本習題被改編為中考題，如教材九下58頁第11題中有三角形中截正方形的題目，教學中可以拓展到截矩形，2014年第25題就是該圖形的拓展應用。
教材八上第79頁有矩形紙片沿對角線折疊的題目，2012年第21題就改編自本題，其中的基本圖形與基本結論依然存在。
還有許多課本原題也被全國各地改編為中考試題。詳見課件中的附錄部分。
圖1 圖2 圖3 圖4
2、基本圖形，分解化難.
任何復雜的圖形都由若干的基本圖形組成，綜合題的解決很多都是依賴于對基本圖形的解讀。例如：2013年中考第25題的模型來自于解直角三角形一節(圖3)，解含45度和120度角的鈍角三角形，平時我們的訓練是已知鈍角三角形中的最短邊，求該邊上的高，現在則是設這條最短邊為x，要將該邊上的高用含x的式子表示。21教育網
此外，2012年矩形折疊題包含角平分線+平行線的基本圖形；2008年中考題中可利用對頂三角形去解決；2014年第25題第(3)問則是相似中的A型與M型的應用(圖4)。【來源：21·世紀·教育·網】
基本圖形大多是從初一初二開始一點一滴積累而來，在初一初二的課堂教學中，對于經典例題、經典習題、經典圖形就要講透練透，基本圖形的基本結論要形成了種本能，要培養學生讀圖識圖分解圖形的能力。21*cnjy*com
3、一題一課，騰挪時間.
中考復習最痛苦的是總覺得時間不夠，時間都去哪兒啦？都被沒有思維量的大量重復勞動所吞噬了，所以復習課一定要知道哪些基礎內容是學生清楚的，是不用復習的，哪些則是要重點復習的。要想提高課堂效率，建議一題一課，知識融通。【來源：21cnj*y.co*m】
(1)基礎知識的復習要注意綜合與拓展，而不能是反復低效演練。
例如：中考題的第1題是類似于這樣的題目“-3的相反數是__________.”這樣的題目有必要訓練嗎？訓練再多有用嗎？如果作如下改編：
-3的相反數是__________；a-3的相反數是____________；已知a<3，則|a-3|=_________；
分解因式：3x2(a-b)3-6x(b-a)2=_________；已知a<3，化簡：=_________.
以上這一組問題都與相反數有關，一定有學生對其中的某一部分內容感受出思維量。這樣的復習，才會讓每一節復習課都令學生感到新鮮，感受到知識的融合。
(2)解答題的訓練要用好用透，八方聯系，一題多變。
例如：在格點中作三角形是一道很平常的中考作圖題(圖5)，我們在講解的時候能否利用這道題目復習更多的知識呢？①作圖：將△ABC向上平移5個單位再向左平移4個單位；②作圖：作出△ABC關于x軸對稱的三角形；③作圖：以點O為旋轉中心，將△ABC按逆時針方向旋轉90度；④作圖：以點O為位似中心，將△ABC放大到原來的兩倍.21世紀教育網版權所有
⑤計算：在y軸上找一點E，使AE+CE的和最小；⑥計算：求△ABC的面積；⑦計算：在平面上找一點D，使A、B、C、D四點形成平行四邊形；⑧計算：將△ABC繞點A沿逆時針方向旋轉90度，求線段BC掃過區域的周長和面積.
這樣改編后四道作圖題是復習基礎，四道計算題中的每一個都可以成為綜合題的一小問來考查。
圖5 圖6
4、講透用夠，舉一反三.
每一道綜合題都是出題者智慧的結晶，都是對學生的綜合素養的考查，都是學生學習能力的具體體現，如果一道綜合題只是講清楚答案，就太浪費了。所以每道綜合題都要講透用夠，關注應用同類型思想方法的題型，舉一反三，練好練透。21cnjy.com
例如：2011年第21題(圖6)第一小問“(1)始終與△AGC相似的三角形有_____和______.”這一問是解決第二、三問的基礎，我們可以借助它復習相似的四種常見圖形類別：A型、X型、母子型和M型，通過基本圖形分析可以看出只能應用母子型，都有一個公共角，只要找到一個45度角即可，這樣就可以輕松解決。如果能夠用動態的觀點來理解，效果更好。21教育名師原創作品
本題的第(3)問“設CG=x，當x為何值時，△AGH是等腰三角形.”本題需要利用相似，將“△AGH是等腰三角形”轉化為“△AGC是等腰三角形.”這樣就可以解決問題了。21·cn·jy·com
2010年廣東省卷的第22題也是應用這種方法來解決的，這種轉化思想的應用對于解決問題有決定性的影響，所以應該有些針對性訓練。可以選擇2015年山東泰安的對應中考題。
5、夯實基礎，計算過關.
我們觀察發現，2012-2015年的最后一題，答案的數字與計算都非常復雜，2015年的第23題出現了解無理系數的二元一次方程組，第25題的計算更是復雜到不愿動筆。
計算題的訓練是一個長期的過程，初一主要訓練學生定準結果的符號，初二則主要訓練學生的變形技巧(因式分解)，初三則是綜合訓練。考綱將分母有理化的內容納入考核后，更要注意二次根式的運算。
6、分解訓練，水滴石穿.
綜合題的解答是一項綜合的工程，需要長期分解訓練，絕不能在考前一段時間集中訓練。具體而言，可以做到：知識點分解到課堂；能力點分解到作業；訓練時間分解到每周；鉆研對象分解到個人；考查時間分解到每月。21·世紀*教育網
7、思想方法，能力習慣.
從歷年中考綜合題來看，分類討論思想呈現隔年出現的趨勢，其它思想方法也都體現在綜合題中。影響綜合題解答的因素很多，學生的讀題能力、分解圖形能力、計算能力、書寫能力、心理素質等制約著學生的解答情況。能力培養首先從學生的學習習慣入手，包括刻苦鉆研的習慣、認真作業習慣、課后反思習慣、時間分配習慣、自主歸納習慣等，具備這些良好學習習慣的學生綜合題的解答能力會更突出一些。
8、趨勢研究，關注變遷.
從歷年的中考試題來看，廣東省卷每3-4年題型會有一些變化，所以在今年的復習中不應該死抱著往年的題型訓練，可以多了解其它省市中考試題的類型，以作參考。以代數綜合題為例。可以是代數閱讀理解題(2013-2015年珠海)，可以是應用題的綜合(近幾年深圳)，可以是一元二次方程與二次函數的綜合(2016廣州)，可以是一元二次方程的綜合，也可以是純一次函數的應用。【出處：21教育名師】
而代數綜合題的題型全國各地仍以二次函數背景為主，以形成等腰三角形、形成平行四邊形、形成相似、形成直角三角形、形成線段(周長)和最小、形成最小面積等類型為主體。純幾何題則多會與運動變換、分類討論等綜合考查。
綜上所述，綜合題解答能力的培養是一項系統工程，它對學生的要求很高，對教師也提出了很高的要求。教師要增強自己對教材的解讀能力、對試題的鉆研能力、對知識的融通能力、對題目的講解能力，只要堅持不懈，必會水到渠成！
附：抓綱務本的中山特色
從以上的分析中可以看來，綜合題解答能力的培養是一項系統工程，它要求教師在課堂教學中抓綱務本，深入研究教材，只要堅持不懈，最終必能水到渠成。中山市每學期的期末考試都能體現這一特點。我們分析中山市初一初二期末測試題就能發現，每一年的9分題都來自于課本中熟悉的圖形，或是對課本例題、習題的研究變式。以2013年上學期初一數學試題第25題為例：
從甲地到乙地，先下山后走平路，某人騎自行車從甲地以每小時24km的速度下山，以每小時18km的速度通過平路，到乙地用時55分鐘。回程時以每小時16km的速度通過平路，以每小時8km的速度上山，回到甲地用1.5小時，求甲乙兩地的距離.
這本是上世紀80年代一道競賽試題，最容易想到的方法是列方程組來解，但初一上學期只學了一元一次方程，所以有些老師認為本題超過了范圍，實際上本題是對課本“球賽積分表”問題的變式。
“球賽積分表”的常見的解決思路有以下四種：(1)根據鋼鐵隊的積分可知負一場得一分。這也是課本的思路。但如果沒有鋼鐵隊的數據呢？(2)可以根據遠大隊的積分發現勝一場與負一場一共可積3分，可得勝一場x分，負一場(3-x)分；(3)或對比東方與光明兩隊，發現多勝一場比多負一場一共可多得1分，則勝一場為x分，負一場(x-1)分。(4)如果只知道光明隊和衛星隊的積分呢？根據光明隊成績，設勝一場x分，勝場總分9x分，負場總積分(23-9x)分，故負一場得分，再根據衛星隊成績可列方程。這一問題與期末考試試題實際上是同一種類型的試題，也可以應用相同的方法去解決。【版權所有：21教育】
縱觀中山市初一初二歷年期末考試試題，后三題中都有針對課本核心知識的考查，正因為試題具有這樣的導向性，教師在教學中對教材的解讀是比較深入的，中山市的中考取得較好的成績與這種導向性是分不開的。老師們，抓綱務本是一種教學態度，深研教材是一種備課習慣，當這種習慣變成學生思考的本能的時候，學生的學習能力會得到本質提升，綜合題的解答也會變成一件容易的事情。

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