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例析利用二次函數的圖象求一元二次方程的根
方程與函數是初中數學中的重要內容，方程與函數之間存在著密切的聯系，二次函數的圖象與x軸交點的橫坐標即為相應的二次方程的解，課程標準要求我們能利用二次函數的圖象求二次方程的近似解．本文舉例說明，供同學們學習時參考．www.21-cn-jy.com
例1．(江西)已知二次函數的部分圖象如圖所示，則關于的一元二次方程的解為 ．
解析：因為二次方程的根為二次函數的圖象與x軸交點橫坐標．根據已知條件 ，可知拋物線的對稱軸為直線；根據圖象可知拋物線與x軸的一個交點的橫坐標為，所以利用拋物線的對稱性知拋物線與x軸的另一個交點橫坐標為―1，因此，方程的解為3和－1．本題利用拋物線的軸對稱性求拋物線與軸的交點坐標，從而求出相應的一元二次方程的根．
例2．(寧夏) 二次函數是常數中，自變量與函數的對應值如下表：
1
2
3
1
1
(1)判斷二次函數圖象的開口方向，并寫出它的頂點坐標．
(2)一元二次方程是常數的兩個根的取值范圍是下列選項中的哪一個 ．
① ②
③ ④
解析：本題以表格的形式給出二次函數的部分對應值，解題時可以選定三對值，求出二次函數解析式，再判斷開口方向，求出頂點坐標．但這樣去做計算量較大，觀察表格的特征發現，與等距離的x對應的函數值相等，所以直線是拋物線的對稱軸，因此拋物線的頂點坐標為(1，2)；觀察表格發現：當時，y隨著x的增大而減小，當時，y隨著x的增大而增大，所以拋物線的開口向下．(2)一元二次方程是常數的根即為拋物線與x軸交點的橫坐標，觀察表格發現：與0之間一定有一個x的值，使＝0；2與之間一定有一個x的值，使＝0，所以的兩根的取值范圍是，故答案為③．21世紀教育網版權所有
例3．(內江)已知函數的圖象如圖所示，那么關于的方程的根的情況是( )
A．無實數根 B．有兩個相等實數根
C．有兩個異號實數根 D．有兩個同號不等實數根
　　　　　
解析：本題以圖象的形式給出信息,要判斷關于的方程的根的情況，因為可化為，即，所以，方程的根即為拋物線與直線y＝－2的交點橫坐標，作直線y=－2，觀察圖象可知直線與拋物線的交點在第四象限，因此交點橫坐標都為正，故答案為D．本題把方程的根轉化為拋物線與直線的交點橫坐標．21教育網
例4．(貴陽)二次函數的圖象如圖所示，根據圖象解答下列問題：
(1)寫出方程的兩個根．　
(2)寫出不等式的解集．　
(3)寫出隨的增大而減小的自變量的取值范圍．　
(4)若方程有兩個不相等的實數根，求的取值范圍．　
解析：本題以圖象的形式給出信息,考查了二次函數、二次方程、二次不等式這三個二次之間的關系．
(1)方程的根即拋物線與x軸交點的橫坐標，觀察圖象得方程的兩根為，；
(2)不等式的解集即拋物線位于x軸上方的那一段的x的范圍，觀察圖象得不等式的解集為；
(3)拋物線的增減性是以對稱軸為界，拋物線的對稱軸為，結合圖象得對稱軸右邊隨的增大而減小，所以；21cnjy.com
(4)方程的解為拋物線與直線的交點，所以當時，拋物線與直線有兩個交點，即方程有兩個不相等的實數根的的取值范圍是．21·cn·jy·com

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