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知識(shí)精講與針對(duì)訓(xùn)練：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)
［知識(shí)要點(diǎn)］
1. 一般地，形如的函數(shù)叫作x的二次函數(shù).
2. 如圖，二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，它的開(kāi)口向上，且關(guān)于y軸對(duì)稱，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，它是圖象的最低點(diǎn).
3. 二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，它的開(kāi)口向下，且關(guān)于y軸對(duì)稱，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，它是圖象的最高點(diǎn)，它的圖象與的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱.
4. 二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，且關(guān)于y軸對(duì)稱，當(dāng)a>0時(shí)，它的開(kāi)口向上，圖象有最低點(diǎn)——原點(diǎn)；當(dāng)a<0時(shí)，它的開(kāi)口向下，圖象有最高點(diǎn)——原點(diǎn).|a|越大，開(kāi)口越小.
5. 二次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象形狀相同，開(kāi)口方向和對(duì)稱軸也相同，但頂點(diǎn)坐標(biāo)不同，的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，b）.
6. 二次函數(shù)的圖象都是拋物線，并且形狀相同，只是位置不同，將的圖象向右平移k個(gè)單位就得到的圖象，再向上平移h個(gè)單位就得到的圖象.
7. 二次函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向上，對(duì)稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（k，h）；當(dāng)a<0時(shí)，開(kāi)口向下，對(duì)稱軸是直線x=k，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（k，h）.
8. 二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，它的對(duì)稱軸是直線，頂點(diǎn)是.
【典型例題】
例1. 已知拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和第一、二、三象限，則（ ）
A. a>0，b<0，c=0
B. a<0，b<0，c=0
C. a<0，b<0，c<0
D. a>0，b>0，c=0
答案：D
例2. 在同一直角坐標(biāo)系中，直線y=ax+b和拋物線的圖象只可能是圖中的（ ）
答案：C
例3. 在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象只可能是圖中的（ ）
答案：D
例4. 拋物線的頂點(diǎn)在y軸上，則m的值為_(kāi)_________.
答案：
例5. 按要求求出下列二次函數(shù)的解析式：
（1）形狀與的圖象形狀相同，但開(kāi)口方向不同，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，－3）的拋物線的解析式；
（2）與拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱的拋物線的解析式；
（3）對(duì)稱軸是y軸，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)是，且經(jīng)過(guò)（1，1）點(diǎn)的拋物線的解析式.
解：（1）
（2）
（3）
例6. 已知函數(shù)
（1）寫(xiě)出拋物線的開(kāi)口方向，頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸及最值；
（2）求拋物線與x軸、y軸的交點(diǎn)；
（3）觀察圖象：x為何值時(shí)，y隨x的增大而增大；
（4）觀察圖象：當(dāng)x為何值時(shí)，y>0時(shí)，當(dāng)x為何值時(shí)，y=0；當(dāng)x為何值時(shí)，y<0.
解：（1）原函數(shù)可化為，
∴拋物線開(kāi)口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸是直線
當(dāng)時(shí)，
（2）當(dāng)時(shí)，，
∴拋物線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為
當(dāng)y=0時(shí)，
解得，
∴拋物線與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，
（3）當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大
（4）當(dāng)時(shí)，y>0
當(dāng)時(shí)，y=0
當(dāng)時(shí)，y<0
例7. 已知二次函數(shù)，根據(jù)下列給出的條件求出相應(yīng)的k的值.
（1）拋物線的頂點(diǎn)在x軸上；
（2）拋物線的頂點(diǎn)在y軸上；
（3）拋物線的頂點(diǎn)在y=4x上.
解：利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式可求出函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為
（1）∵頂點(diǎn)在x軸上
∴
解得
∴拋物線的頂點(diǎn)在x軸上時(shí)，k=0或k=3
（2）∵頂點(diǎn)在y軸上
∴=0
∴
∴拋物線的頂點(diǎn)在y軸上時(shí)，k=0
（3）∵拋物線的頂點(diǎn)在y=4x上
∴
∴
∴拋物線的頂點(diǎn)在y=4x上時(shí)，.

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