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曲線和方程知識要點精析
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重點內容精析
1．“曲線”與“方程”這兩個概念的主要區別與聯系
⑴曲線的方程”這一概念中，主要的詞是“方程”，方程前面的三個字“曲線的”，是用來限制“方程”的含義的，說明這類方程不能是隨意的方程(例如不能是x＋y＋z
=
0這樣的平面方程
)，而只能是表示“曲線”的方程，因此，“曲線的方程”這個概念反映的是圖形所滿足的數量關系．反過來，“方程的曲線”這一概念中，主要的詞是“曲線”，曲線前面三個字“方程的”，用來限制“曲線”的含義，說明這類曲線只能是有“方程”的曲線(有的曲線沒有方程，例如對于某一天氣溫變化曲線，通常列不出方程)，因此，“方程的曲線”這個概念反映的是數量關系所表示的圖形．
⑵“曲線”與“方程”是研究的同一對象(即點的軌跡)的兩種表現形式，曲線是軌跡的幾何形式，方程是軌跡的代數形式．它們在表現和研究軌跡的性質時，各有所長．幾何形式具有直觀、形象的優點，代數形式具有便于運算的特性因而具有操作程序化的長處．“曲線”與“方程”之間的實質是一一對應關系，即作為曲線C上的點集P
=
{M
|
P(M)}和方程=
0之間的一一對應關系，由曲線與方程的這一對應關系，既可以通過方程研究曲線的性質，又可以深刻認識方程的幾何背景，具體解題時最好將二者結合起來，這就是所謂的“數形結合”．曲線與方程的聯系，可通過下表理解得更加清楚：
⑶“曲線和方程”的定義中所列的兩個條件，正好組成兩個集合相等的充要條件，二者缺一不可，它是判斷方程=
0是不是曲線C的方程的依據．例如，方程y
=
x不能叫做到兩坐標軸距離相等的軌跡的方程，到兩坐標軸距離相等的軌跡(曲線)也不能叫做方程y
=
x的曲線．用集合觀點解釋“曲線和方程”的定義：設P
=
{具有某種性質(或適合某種條件)的點}，Q
=
{(x，y)|=
0}，若M(x，y)有：①MP(x，y)Q，即PQ時；②
(x，y)Q
MP，即QP時，當且僅當PQ且QP，即P
=
Q時，才稱方程=
0為曲線C的方程；曲線C為方程=
0的曲線(圖形)．
2．建立坐標系所遵循的一般原則
坐標系建立適當，可使運算過程簡單，所得的方程也比較簡單，否則會大大增加運算的繁難程度．在實際解題過程中，應充分利用圖形的幾何特性．如中心對稱圖形，可利用它的對稱中心作為坐標原點；軸對稱圖形，可以利用它的對稱軸作為坐標軸，使橫、縱坐標互為相反數；條件中若有直角，可考慮兩直角邊作為坐標軸等等；原點取在某一定點，坐標軸選在某定直線段所在直線或圖形的對稱軸；設出各點的坐標，使用字母要盡可能的少．
3．求曲線方程的步驟
求曲線方程，一般有五個步驟，這五個步驟和列方程解應用題的步驟完全類似．
⑴依據已知幾何條件建立適當的直角坐標系，用(x，y)表示曲線上任意一點M的坐標；
⑵列出適合條件p的點M的集合P
=
{M
|
P(M)}；(此步根據情況可以省略)
⑶用坐標表示條件P(M)，列出方程=
0；
⑷化方程=
0為最簡形式；
⑸證明化簡后的方程為所求曲線的方程，即驗證以⑷中方程的解為坐標的點都在曲線上．
簡記為建系、列式、代換、化簡、證明．
這五步構成一個整體，每一步都有其特點和重要性．第一步在具體問題中有兩種情況：⑴題設中給定坐標系；⑵題設中沒有確定坐標系，必須選取適當的坐標系；第二步應仔細分析曲線的特征，注意揭示隱含條件，抓住與曲線上任意一點M有關的等量關系，列出幾何等式；第三步在將幾何條件轉化為代數方程的過程中
，常用到一些基本公式；第四步在化簡過程中，注意運算的合理性與準確性，盡量避免“丟解”和“增根”；對第五步“證明”，從理論上講是必要的，但實際處理上常被省略掉．如遇到特殊情況可適當予以說明，例如據審查，某些點雖然其坐標適合方程，但不在曲線上，那么可通過限制方程中x，y的取值范圍予以剔除．求曲線方程時，一般步驟⑵和⑸可以省略．
求曲線方程主要有以下四種方法
⑴條件直譯法：如果動點運動的規律就是一些幾何量的等量關系，這些條件簡單、明確、易于表達，就可以把這些關系直譯成含“x、y”的等式，把此種方法稱為“直譯”．
⑵代入法：有時動點所滿足的幾何條件不易求出，它隨另一動點的運動而運動，稱之為相關點．如果相關點滿足的條件簡單、明確，就可以用動點坐標把相關點的坐標表示出來，再用條件直譯法把相關點的軌跡表示出來，就得到原動點的軌跡方程．
⑶幾何法：利用平面幾何或解析幾何的知識分析圖形，發現動點運動規律．
⑷參數法：有時很難直接找出動點的橫、縱坐標之間的關系，如果借助中間參數，使x、y之間的關系建立起聯系，然后再從所求式子中消去參數，這便可得到動點的軌跡方程．
5．關于曲線的交點問題
由曲線方程定義知，兩條曲線交點的坐標即兩個曲線方程組成的方程組的實數解，也就是說兩條曲線有交點的充要條件是它們的方程所組成的方程組有實數解．如果曲線C，C的方程分別為=
0，，點P的坐標為(x，y)，則P是C，C的交點．
關于曲線的交點問題，通常有下列兩種類型：一是判定兩曲線是否存在交點；二是求解交點及和交點有關的問題，在解決這些問題時，除要用到方程組及相關知識外，有時還須綜合運用各種曲線自身所具有的某些幾何性質．
特別提示
1．求曲線的方程與求曲線的軌跡的區別
求曲線的方程與求曲線的軌跡主要區別是，若是求曲線的軌跡則不僅要求出方程，而且還需要說明和討論所求軌跡是什么的圖形，在何處即圖形的形狀、位置、大小都需要說明、討論清楚．
2．求曲線方程時應注意的問題
在求曲線方程時經常出現的問題是產生多解或漏解現象，為此，解題時應注意以下三點：①注意動點應滿足的某些隱含條件；②注意方程變形是否同解；③注意圖形可能的不同位置或字母系數取不同值時的討論．
3．求兩條曲線交點的坐標，只需解兩條曲線的方程組即可；要想得知兩條曲線有無交點，或有幾個交點，則只需判斷方程組有無實數解，或有幾個實數解；直線與二次曲線的交點，一般通過聯立方程得到關于x或y
的一元二次方程，通過其判別式來判斷：當△＞0時，有兩個交點，當△=
0時，有一個交點，當△＜0時，無交點．
4．在掌握求曲線軌跡方程的一般步驟的基礎上還要注意：⑴選擇適當的坐標系，因為坐標系如果選擇得恰當，可使解題過程簡化，減少運算量；⑵要注意給出曲線圖形的范圍，要在限定范圍的基礎上求曲線方程．如果只求出曲線方程，而沒有根據題目要求，確定出x、y的取值范圍，最后求得的結論是不一定正確的．
曲線和方程
曲線的方程
方程的曲線
求曲線和方程
曲線的交點
概
念
判
定
步
驟
方法
驟
幾何結論
代數結論
幾何問題
代數問題
直角坐標系
轉化
代數方程
轉化
按某種規律運動
(幾何意義)
點M
曲線C
坐標(x，y)
方程(x，y)
x、y的制約條件
(代數意義)

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