資源簡(jiǎn)介

專題四　用銳角三角函數(shù)計(jì)算高度
　　本專題主要涉及高度的計(jì)算，如計(jì)算旗桿的高度，樓房的高度、山的高度等．此類問題的解題思路是構(gòu)建直角三角形模型，一般需要將兩個(gè)直角三角形聯(lián)系起來，通過列方程解決問題．通過本專題的復(fù)習(xí)，應(yīng)達(dá)到以下目標(biāo)：能構(gòu)建直角三角形解有關(guān)高度問題．
　　例　小劉同學(xué)為了測(cè)量雷州市三元塔的高度，如圖1，她先在A處測(cè)得塔頂C的仰角為32°，再向塔的方向直行35米到達(dá)B處，又測(cè)得塔頂C的仰角為60°，請(qǐng)你幫助小劉計(jì)算出三元塔的高度（小劉的身高忽略不計(jì)，結(jié)果精確到1米）．
　　分析：要計(jì)算三元塔的高度，反映到幾何圖形上，就是求OC的長(zhǎng)，根據(jù)已知條件可用含有OC的關(guān)系表示OA，OB，然后根據(jù)OA－OB=AB去求OC．
　　解：在Rt△AOC中，OA=．
　　在Rt△BOC中，OB=．
　　因?yàn)锳B=OA-OB，
　　所以－＝35．
　　所以O(shè)C=≈34（米）．
　　所以三元塔的高度約是34米．
　　說明：利用直角三角形求高度，一般是從實(shí)際問題中構(gòu)造直角三角形，或?qū)⒁阎獔D形中的兩個(gè)直角三角形聯(lián)合起來．
　　專題訓(xùn)練：
　　1．如圖2，在把易拉罐中水倒入一個(gè)圓水杯的過程中，若水杯中的水在點(diǎn)P與易拉罐剛好接觸，則此時(shí)水杯中的水深為（　?。?br/>　　A．2cm　
B．4cm　
C．6cm
　D．8cm
　　2．
“平陽(yáng)府有座大鼓樓，半截子插在天里頭”．如圖3，為測(cè)量臨汾市區(qū)鼓樓的高AB，在距B點(diǎn)50m的C處安裝測(cè)傾器，測(cè)得鼓樓頂端A的仰角為40°12′，測(cè)傾器的高CD為1.3m，則鼓樓高AB約為________m（tan40°12′≈0.85）．
參考答案：
1．C
2．43.8專題六　用三角函數(shù)設(shè)計(jì)測(cè)量方案問題
　　用三角函數(shù)設(shè)計(jì)測(cè)量方案是中考試題中的常見題型．其中以測(cè)量河的寬度，測(cè)量物體的高度為重要題型，解決測(cè)量問題需要熟練掌握銳角三角函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，能從實(shí)際問題中構(gòu)造一個(gè)或兩個(gè)直角三角形，并能根據(jù)自己所設(shè)計(jì)的方案進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算．
　　例　如圖1，河邊有一條筆直的公路L，公路兩側(cè)是平坦的草地．在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師要求測(cè)量河對(duì)岸點(diǎn)B到公路的距離，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)測(cè)量方案．要求：
　　（1）列出你測(cè)量所使用的測(cè)量工具；
　?。?）畫出測(cè)量的示意圖，寫出測(cè)量的步驟；
　　（3）用字母表示測(cè)得的數(shù)據(jù)，求出B到公路的距離．
　　分析：本題是一道求測(cè)量點(diǎn)到公路距離的實(shí)際問題．可構(gòu)造用公共邊的兩個(gè)直角三角形來解決．
　　解：（1）測(cè)角器、尺子；
　　（2）測(cè)量示意圖見圖2；
　　測(cè)量步驟：
　?、僭诠飞先牲c(diǎn)C，D，∠BCD，∠BDC為銳角；
　?、谟脺y(cè)角器測(cè)出∠BCD=，∠BDC=；
　?、塾贸咦訙y(cè)得CD的長(zhǎng)，記為m米；
　　④計(jì)算求值．
　　（3）設(shè)B到CD的距離為x米，
　　作BA⊥CD于點(diǎn)A，在△CAB中，x=CA·tan，
　　在△DAB中，，
　　所以，．
　　因?yàn)椋裕?br/>　　所以．
　　說明：本題是一道測(cè)量距離的方案設(shè)計(jì)問題，解決問題的關(guān)鍵在于正確地構(gòu)造直角三角形．
　　專題訓(xùn)練：
　　在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師帶領(lǐng)學(xué)生去測(cè)一條南北流向的河寬，如圖3所示，某學(xué)生在河?xùn)|岸點(diǎn)A處觀測(cè)到河對(duì)岸水邊有一點(diǎn)
C，測(cè)得C在A北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行20米到達(dá)B處，測(cè)得C在B北偏西45°的方向上，請(qǐng)你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，幫助該同學(xué)計(jì)算出這條河的寬度．（參考數(shù)值：tan31°≈，sin31°≈）
參考答案：
解：過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，設(shè)CD=x米．
在Rt△BCD中，∠CBD=45°，所以BD=CD=x米．
在Rt△ACD中，∠DAC=31°，AD=AB＋BD=（20＋x）米，CD=x米．
因?yàn)椋裕?br/>所以．所以這條河的寬度為30米．解直角三角形的中的數(shù)學(xué)思想
數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，學(xué)習(xí)了解直角三角形，下面向大家介紹其中的一些數(shù)學(xué)思想．
一、數(shù)形結(jié)合思想
在解直角三角形時(shí)，應(yīng)該通過畫圖來幫助分析解決問題，通過數(shù)形結(jié)合的思想加深對(duì)解直角三角形本質(zhì)的理解．
例1
　已知tanA=，求sinA的值．
分析：此已知條件可轉(zhuǎn)化為：已知Rt△ABC中，
∠C=90°，
tanA=，求∠A正弦值．
解：如圖1，若設(shè)AC=3k，BC=4k，那么必有AB=5k，所以sinA=．
二、轉(zhuǎn)化思想
將斜邊三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，是解決有關(guān)問題的重要的思想方法，解決的方法是作三角形的高．
例2
　如圖2，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AB=8，求AC．
分析：已知三角形的兩角和邊，求其中的一邊的長(zhǎng)，我們可以通過作三角形的高，將原三角形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)直角三角形求解．
解：作AD⊥BC于D，
在Rt△ABD中，因?yàn)椤螧=45°，
所以BD=AD=AB·sin45°=8×=4，
在Rt△ACD中，AD=4，∠C=60°，
所以AC=．
三、方程思想
通過設(shè)未知數(shù)表示三角形中的數(shù)量關(guān)系，構(gòu)造方程解決問題的思想，即方程思想．
例3　如圖3，天空中有一個(gè)靜止的廣告氣球C，從地面A點(diǎn)測(cè)得C點(diǎn)的仰角為45°，從地面B點(diǎn)測(cè)得C點(diǎn)的仰角為60°．已知AB＝20
m，點(diǎn)C和直線AB在同一鉛垂平面上，求氣球離地面的高度（結(jié)果保留根號(hào)）．
解：作CD⊥AB垂足為D，設(shè)氣球離地面的高度是xcm，
在Rt△ACD中，∠CAD=45°，所以AD=CD=x，
在Rt△CBD中，∠CBD=60°，所以tan60°=，所以BD=
因?yàn)锳B=AD-BD，所以20=x-，所以x=30+30，
所以氣球離地面的高度是（30+30）m．
四、建模的思想
解直角三角形在生產(chǎn)、生活中有著廣泛的應(yīng)用，這就要求我們能從實(shí)際問題出發(fā)去分析、抽象、構(gòu)建直角三角形模型．
例4
如圖4，公路PQ和公路PN在P處交匯，∠QPN=30°，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP=160m，設(shè)拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍100m以內(nèi)會(huì)受噪音影響，那么拖拉機(jī)在公路PN上由P向N方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受噪音的影響？設(shè)拖拉機(jī)的速度為18km/s，如果有影響，那么影響的時(shí)間是多長(zhǎng)？
分析：學(xué)校是否會(huì)受影響，取決于點(diǎn)A到PN的距離與100m的長(zhǎng)短的比較．
解：過點(diǎn)A作AB⊥PN，垂足為B，因?yàn)椤螻PQ=30°，
所以AB=(m)<100m．
所以學(xué)校會(huì)受影響．設(shè)拖拉機(jī)行至C處時(shí)學(xué)校剛受影響，
超過D處時(shí)不在受影響，則AC=AD=100(m)，
在Rt△ABC中，BC=，
同理BD=60，所以CD=120．
所以學(xué)校受影響的時(shí)間為t=．
圖1
圖2
圖3
圖4專題五　用銳角三角函數(shù)解航海問題
　　航海問題主要包括求航行的時(shí)間、求航行速度、判斷是否有觸礁危險(xiǎn)等，是考試中的熱點(diǎn)問題．解決航行問題的關(guān)鍵是從實(shí)際問題中構(gòu)建一個(gè)或兩個(gè)直角三角形，通過三角函數(shù)直接解決或根據(jù)圖形中的數(shù)量關(guān)系建立方程解決．
　　例1　如圖1，燈塔A周圍1
000米水域內(nèi)有礁石，一艦艇由西向東航行，在O處測(cè)得燈塔A在北偏東74°方向線上，這時(shí)O，A相距4
200米，如果不改變航向，此艦艇是否有觸礁的危險(xiǎn)？
　　分析：要判斷艦艇是否有觸礁的危險(xiǎn)，關(guān)鍵比較點(diǎn)A到正東方向的距離與1
000米的大小，因此，需過點(diǎn)A向正東方向引垂線，轉(zhuǎn)化為直角三角形中的問題．
　　解：如圖1，過點(diǎn)A作AB與正東方向線垂直，垂足為B．
　　在Ｒt△AOB中，OA=4
200，∠AOB=90°－74°=16°．
　　AB=AO·sin∠AOB=4
200·sin16°
　　=4
200×0.275
6≈1
158（米）．
　　因?yàn)?
158>1
000，所以此艦艇按原航向繼續(xù)航行沒有觸礁的危險(xiǎn)．
　　說明：本題是一道比較簡(jiǎn)單的航行問題，不僅要能從實(shí)際問題中構(gòu)造出直角三角形，而且還要注意一些解題技巧，如能用乘法的運(yùn)算的，不用除法，能用正弦計(jì)算的，不用余弦．
　　例2　如圖2，某船以每小時(shí)36海里的速度向正東方向航行，在點(diǎn)A測(cè)得某島C在北偏東60°方向上，航行半小時(shí)后到達(dá)點(diǎn)B，測(cè)得該島在北偏東30°方向上，已知該島周圍16海里內(nèi)有暗礁．
　?。?）試說明點(diǎn)B是否在暗礁區(qū)域外？
　　（2）若繼續(xù)向東航行有無(wú)觸礁危險(xiǎn)？請(qǐng)說明理由．
　　分析：要判斷點(diǎn)B是否在暗礁區(qū)域外．則需要計(jì)算BC的長(zhǎng)度，看其長(zhǎng)度是否大于16海里，若BC>16海里，則點(diǎn)B在暗礁區(qū)域外；要判斷繼續(xù)向東航行有無(wú)觸礁危險(xiǎn)，則需要計(jì)算船到島C的最短距離，看是否小于16海里．若小于16海里，則有觸礁的危險(xiǎn)．為此，需要構(gòu)造直角三角形解決．
　　解：（1）過點(diǎn)B作BD∥AE，交AC于點(diǎn)D．
　　因?yàn)锳B=36×0.5=18（海里），∠ADB=60°，∠DBC=30°，
　　所以∠ACB=30°．
　　又∠CAB=30°，所以BC=AB．
　　即BC=AB=18>16．
　　所以點(diǎn)B在暗礁區(qū)域外．
　?。?）過點(diǎn)C作CH⊥AB，垂足為H，
　　在Rt△CHB中，∠BCH=30°，
　　令BH=x，則CH=x．
　　在Rt△ACH中，∠CAH=30°，
　　所以．
　　因?yàn)?，所以?br/>　　解得．所以．
　　所以船繼續(xù)向東航行有觸礁的危險(xiǎn)．
　　說明：有無(wú)觸礁問題是航海中的熱點(diǎn)，也是中考試題中經(jīng)常出現(xiàn)的試題．解決此類問題需要正確理解題意，從實(shí)際問題構(gòu)建直角三角形模型．
　　專題訓(xùn)練：
　　1．如圖3，一艘船向正東方向航行，在B處測(cè)得有一燈塔在它的北偏東30°，距離為72海里的A處．當(dāng)行至C處測(cè)得燈塔恰好在它的正北方向，求此時(shí)它與燈塔的距離AC（計(jì)算結(jié)果精確到0.1海里）．
　　2．如圖4，海上有一燈塔P，在它周圍3海里處有暗礁．一艘客輪以9海里/時(shí)的速度由西向東航行，行至A點(diǎn)處測(cè)得P在它的北偏東60°的方向，繼續(xù)行駛20分鐘后，到達(dá)B處又測(cè)得燈塔P在它的北偏東45°方向．
問客輪不改變方向繼續(xù)前進(jìn)有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)？
參考答案：
1．據(jù)題意∠ABC=90°－30°=60°，AB=72．
在Rt△ABC中，因?yàn)閟in∠ABC=，
所以AC=ABsin∠ABC=72sin60°=72×≈62.4（海里）．
2．過P作PC⊥AB于C點(diǎn)．
據(jù)題意知：AB=9×=3，∠PAB=90°-60°=30°，∠PBC=90°-45°=45°，∠PCB=90°．
所以PC=BC．
在Rt△PAC中，．
即．
所以．
所以客輪不改變方向繼續(xù)前進(jìn)無(wú)觸礁危險(xiǎn)．專題二　特殊角的三角函數(shù)值
　　本專題主要是特殊角的三角函數(shù)值的有關(guān)計(jì)算，特殊角的三角函數(shù)值在解決實(shí)際問題中應(yīng)用非常廣泛，所以通過復(fù)習(xí)應(yīng)達(dá)到以下目標(biāo)：熟練掌握30°，45°，60°角的三角函數(shù)值，并能通過特殊角的銳角三角函數(shù)值進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算．
　　例1　tan30°的值等于（　?。?br/>　　A．　　B．　　C．　　D．
　　分析：本題考查特殊角三角函數(shù)值的理解情況，解決本題需要熟練記住特殊銳角的三角函數(shù)值．
　　解：選C．
　　說明：如果沒有記住30°的正切值，可以先畫一個(gè)含有30°角的直角三角形，根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，找到三邊關(guān)系，根據(jù)定義求解．
　　例2　計(jì)算tan60°+2sin45°-2cos30°的結(jié)果是（　?。?br/>　　A．2
　B．　
C．
　
D．1
　　分析：本題是一道與銳角三角函數(shù)值有關(guān)的計(jì)算問題，解決問題的關(guān)鍵是先確定函數(shù)值，然后再進(jìn)行實(shí)數(shù)的運(yùn)算．
　　解：tan60°＋2sin45°-2cos30°
　?。?br/>　　故選C．
　　說明：與特殊角三角函數(shù)值有關(guān)的運(yùn)算，先寫出每個(gè)銳角函數(shù)值，然后轉(zhuǎn)成具體的實(shí)數(shù)運(yùn)算，應(yīng)注意運(yùn)算的順序和計(jì)算的方法．
　　專題訓(xùn)練：
　　1．計(jì)算：｜－4sin45°｜+（cos60°－tan30°）=_____．
　　2．計(jì)算：sin30°+sin245°tan260°=______．
　　3．銳角A滿足2sin（A－15°）=，則A=______．
　　4．如果，那么銳角的度數(shù)是（　　）．
　　A．15°　
B．30°　
C．45°　
D．60°
　　5．在△ABC中，∠C=90°，若∠B=2∠A，則cosB的值等于（　?。?br/>A．
　B．
　C．
　D．
參考答案：
1．1
2．0
3．75°
4．D
5．D專題一　銳角三角函數(shù)
　　本專題包括兩個(gè)方面的知識(shí)點(diǎn)，一是銳角三角函數(shù)的概念，二是一般的銳角三角函數(shù)值的計(jì)算．這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)是本章的基礎(chǔ)，也是解決實(shí)際問題的關(guān)鍵，通過本專題的復(fù)習(xí)應(yīng)達(dá)到以下目標(biāo)：（1）掌握銳角三角函數(shù)定義；（2）掌握銳角三角函數(shù)值的幾種不同的計(jì)算方法．
　　例1　三角形在正方形網(wǎng)格紙中的位置如圖1所示，則sin的值是（　?。?br/>　　A．　　B．　　C．　　D．
　　分析：本題是一道設(shè)計(jì)比較新穎的試題，它通過網(wǎng)格的特征給出解題信息，由正方形網(wǎng)格可知角的對(duì)邊的長(zhǎng)為3，鄰邊的長(zhǎng)為4，要求sin，只要根據(jù)勾股定理求出三角形的斜邊，再根據(jù)三角函數(shù)的定義計(jì)算即可．
　　解：設(shè)的對(duì)邊為a，鄰邊為b，斜邊為c，則a=3，b=4，所以，所以，選C．
　　說明：解決這類問題的思路是依據(jù)圖形確定三角形的三邊的長(zhǎng)，然后根據(jù)定義進(jìn)行計(jì)算．
　　例2　如圖2，△ABC中，∠C=90°，AC+BC=7（AC>BC），AB=5，則tanB=______．
　　分析：要求tanB，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，則需要求對(duì)邊AC和鄰邊BC的長(zhǎng)，因?yàn)橹佬边匒B=5，且AC+BC=7，所以可以根據(jù)勾股定理進(jìn)行計(jì)算．
　　解：設(shè)AC=x，則BC=7-x，根據(jù)勾股定理，得
　　，解得．
　　所以．所以．
　　說明：本題的解題思路是根據(jù)已知條件確定∠B的對(duì)邊和鄰邊的長(zhǎng)，采用了一般的解題方法，并體現(xiàn)了方程思想在求三角函數(shù)值中的應(yīng)用．實(shí)際上，本題是一道填空題，不通過計(jì)算直接觀察就可以解決．因?yàn)樾边吺?，且兩條直角邊的和為7，所以兩條直角邊的長(zhǎng)分別是4和3．
　　例3　在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=2AC，則cosA的值等于（　　）．
　　A．　
B．
　C．
D．
　　分析：已知三角形的兩邊的關(guān)系，要求cosA，根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，，所以只要由已知條件求出即可．
　　解：因?yàn)椋裕?br/>　　所以．選C．
　　說明：本題是一道選擇題，解決問題時(shí)可以采用取特殊值的方法，即令A(yù)C=1，則AB=2．這樣更簡(jiǎn)單．
　　專題訓(xùn)練：
　　1．在△ABC中，∠C=90°，AB=2，AC=1，則sinB的值是（　?。?br/>　　A．　　B．　　C．　　D．2
　　2．在△ABC中，∠C=90°，，則邊AC的長(zhǎng)是（　?。?br/>　　A．　　B．3　　C．　　D．
　　3．如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D．
已知AC=，BC=2，那么sin∠ACD＝（　　）．
　　A．　　　B．　　C．　　
D．
參考答案：
1．A
2．A
3．A專題三　直角三角形邊角關(guān)系的應(yīng)用
　　本專題主要是根據(jù)直角三角形邊角的關(guān)系，確定邊長(zhǎng)、角的度數(shù)以及三角函數(shù)值等，此類問題是銳角三角函數(shù)解決實(shí)際問題中的一個(gè)過渡，通過本專題的復(fù)習(xí)，應(yīng)達(dá)到以下目標(biāo)：能根據(jù)直角三角形中的邊角關(guān)系，求邊長(zhǎng)、角的度數(shù)以及銳角三角函數(shù)值等．
　　例1　如圖1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，
∠C=120°，AB=8，則CD的長(zhǎng)為（　　）．
　A．　　B．　　C．　　D．
　　分析：求CD的長(zhǎng)可構(gòu)造直角三角形利用三角函數(shù)求解：如圖1，作AF⊥BC，垂足為F，DE⊥BC，垂足為E，則根據(jù)已知條件可求出DE=AF=AB·sinB，再根據(jù)三角函數(shù)求出CD的長(zhǎng)．
　　解：作AF⊥BC于F，DE⊥BC并交BC的延長(zhǎng)線于E．
　　在Rt△ABF中，因?yàn)锳B=8，∠B=45°，
所以，
　　所以．
　　在Rt△CDE中，
　　因?yàn)椋?br/>　　所以，故選A．
　　說明：在利用銳角三角函數(shù)求邊長(zhǎng)時(shí)，若所求的邊不在直角三角形內(nèi)，則需將它轉(zhuǎn)化到直角三角形中去，轉(zhuǎn)化的途徑比較多，如構(gòu)造直角三角形或用已知的直角三角形的邊或角來代替．
　　例2　如圖2，已知AD為等腰三角形ABC底邊上的高，
且，AC上有一點(diǎn)E，滿足AE∶EC=2∶3．那么，
tan∠ADE是（　?。?br/>　　A．　
B．　
C．　
D．
　　分析：要求tan∠ADE值，需要構(gòu)造包含∠ADE的直角三角形，為此需要過點(diǎn)E作EF⊥AD，再求出即可．
　　解：因?yàn)锳D⊥BC，垂足為D，AB=AC，
　　所以∠BAD=∠CAD．
　　因?yàn)?，∠B+∠CAD=90°，
　　所以．
　　作EF⊥AD交AD于F，則tan∠CAD．
　　所以．
　　因?yàn)锳D⊥BC，EF⊥AD，
　　所以EF∥CB．
　　又AE∶EC=2∶3，所以AF∶FD=2∶3．所以．
　　所以．故選C．
　　說明：當(dāng)要求銳角三角函數(shù)值的角不在直角三角形內(nèi)時(shí)，其解題思路是構(gòu)造直角三角形或?qū)ふ业冉牵绢}采用了構(gòu)造直角三角形的方法．
　　專題訓(xùn)練：
　　1．如圖3，CD是Rt△ABC斜邊上的高，AC=4，BC=3，則cos∠BCD=_____．
　　2．如圖4，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，AC=，tan∠DAC=，則AB=（　?。?br/>　　A．5　　　
B．
　　C．　
D．
　　3．如圖5，在△ABC中，∠B=60°，BC=2，中線CD⊥BC，求AB，tanA的值．
參考答案：
1．
2．A
3．因?yàn)椤螧=60°，CD⊥BC，所以∠CDB=30°．
因?yàn)镃B=2，所以DB=4，CD=．
所以AD=4，AB=8．
作CE⊥BD，則CE=，DE=3．
所以AE=7．所以tanA=．

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