資源簡介

測量方案問題兩例
《新課程標(biāo)準(zhǔn)》要求同學(xué)們學(xué)會，運用數(shù)學(xué)知識解決日常生活和其他學(xué)科中的問題．測量方案問題正是這樣的問題
，希望同學(xué)們切實掌握．
例1．如圖1，小明想測量校園內(nèi)一棵不可攀的樹的高度，由于無法直接度量A，B兩點間的距離，請你用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識按以下要求設(shè)計一種測量方案．
（1）畫出測量圖案；
（2）寫出測量步驟(測量數(shù)據(jù)用字母表示)；
（3）計算A，B間的距離．
分析：測量方案有多種，我們給出其中一種方案．
解：（1）測量圖案如圖2．
（2）把一面很小的鏡子放在離樹底(A)a米的點E處，然后沿著直線AE后退到點C，這時恰好在鏡子里看到樹梢頂點B，再用皮尺量得CE=b米，測出測量者的身高CD=
c米．
樹(AB)的高度就可以求出來了．
（3）因為測量者的身體與樹均垂直于地面，
所以∠DCE=∠BAE=90°，又∠BEA=∠DEC，
所以△DCE∽△BAE，所以，DC∶BA=CE∶AE，
即
c∶BA=b∶a，
所以，AB=．
則樹(AB)的高度為米．
例2．（本題有2個小題，請從中任選一題作答）測量路燈的高度或河的寬度．
說明：①測量可以在有陽光的晴日里進行．
②測量者手頭只有若干個標(biāo)桿及測量長度的皮尺．
③畫出相關(guān)圖形，用a，b，…表示測量所得的數(shù)據(jù)．
題(1)：小明和爸爸一起散步，發(fā)現(xiàn)小區(qū)新安裝了漂亮的路燈．決定測量一下路燈的高度，請你幫助小明設(shè)計一個測量方案．
題(2)：小杉星期天到郊外游玩，來到一條不能到達對岸的河邊．決定測量一下小河的寬度(河岸大致平行)，請你幫助小彬設(shè)計一個測量方案．
分析：本題有兩個小題供選作，解答時，選自己把握性大的題目作．
解：(1)在陽光下利用影長測路燈高．
如圖3，設(shè)AB表示路燈高，BC為它的影長，DE為標(biāo)桿高．
EF為它的影長，測得
BC=a．DE=b，EF=c．
由△ABC∽△DEF得：AB∶BC=DE∶EF，
即AB∶a=b∶c，所以，AB=．
(2)
測量小河的寬．
如圖4，找到與河岸大致垂直的A，B兩個目標(biāo)，順河岸找到點D．C點與AB在同一直線上，E點與A，D在同一直線上，并使CE∥BD，
測得BC=a，BD=b，CE=c．
令A(yù)B=x，由△ABD∽△ACE得：
，即，所以x=AB=．
評注：解答測量方案問題時應(yīng)注意，設(shè)計方案要合理、實用，敘述要簡潔，畫圖要正確．測塔高方案多
解直角三角形在實際生活中應(yīng)用廣泛，其中測塔高問題就是典型的例子．
例1
如圖1，山上有一座鐵塔，山腳下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周圍沒有開闊平整地帶．該建筑物頂端寬度AD和高度DC都可直接測得，從A、D、C三點可看到塔頂端H．可供使用的測量工具有皮尺、測傾器．
（1）請你根據(jù)現(xiàn)有條件，充分利用矩形建筑物，設(shè)計一個測量塔頂端到地面高度HG的方案．具體要求如下：①測量數(shù)據(jù)盡可能少；②在所給圖形上，畫出你設(shè)計的測量平面圖，并將應(yīng)測數(shù)據(jù)標(biāo)記在圖形上（如果測A、D間距離，用m表示；如果測D、C間距離，用n表示；如果測角，用α、β、γ表示）．
（2）根據(jù)你測量的數(shù)據(jù)，計算塔頂端到地面的高度HG（用字母表示，測傾器高度忽略不計）．
解：
方案1：（1）如圖a（測三個數(shù)據(jù)）
（2）解：設(shè)HG=x
在Rt△CHG中，　CG=
在Rt△DHM中　，DM=．
所以=，所以x=．
方案2：（1）如圖b（測四個數(shù)據(jù)）
（2）解：設(shè)HG=x
在Rt△AHM中，　AM=，
在Rt△DHM中　DM=，
所以=
+m
．
所以x=。
方案3：（1）如圖c（測五個數(shù)據(jù)）（請大家寫出計算式）．
以下兩種方案（圖d、e）或其他與其相似的圖形不合理．
圖d
A
H
G
B
D
C
α
β
n
方案1圖a
M
A
H
G
B
D
C
圖1
H
A
G
B
D
C
α
γ
n
m
β
方案3圖c
M
H
A
G
B
D
C
α
γ
n
m
方案2圖b
M
圖e
A
H
G
B
D
C
γ
β
n
M
m
A
H
G
B
D
C圖d
α
β
n
M利用解直角三角形測量物體高度
今天，為了承應(yīng)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)總體目標(biāo)“增強應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識”的要求，解直角三角形的知識有著更為廣泛的應(yīng)用，本文將求物體的高度的題目采擷幾例，供讀者學(xué)習(xí)參考。
求樓高
例1某地某時刻太陽光線與水平線的夾角為，此時在該地測得一幢
樓房在水平地面上的影長為30米，（如圖1）求這幢樓房的高AB。（結(jié)果精確到1米。參考數(shù)據(jù)：0.52，，）
圖1
圖2
【解答】：設(shè)直線AE交水平地面于點C，如圖2，由題意得：
，
BC=30米
，于點B。
在RtΔABC中，
所以（米）
答：這幢樓房的高約為18米。
二.求塔高
例2為測量某塔AB
的高度，在離該塔底部20米處目測其頂，仰角為
，目高1.5米，（如圖3）試求該塔的高度。（）
圖3
圖4
【解答】：如圖4所示，過點C作，交AB于點D。
在RtΔACD中，
所以
，所以
因此，AB=AD+DB=34+1.5=35.5（米）。
答：該塔的高度是35.5米。
三.求旗桿高
例3如圖5，小鵬準(zhǔn)備測量學(xué)校旗桿的高度，他發(fā)現(xiàn)當(dāng)斜坡正對著太陽時，旗桿AB的影子恰好落在水平地面BC與斜坡坡面CD上，測得旗桿在水平地面上的影長BC=20米，在斜坡坡面上的影長CD=8米，太陽光線AD與水平地面成的角，且太陽光線AD與斜坡坡面CD互相垂直。請你幫小鵬求出旗桿AB的高度。（精確到1米）。（可供選用的數(shù)據(jù)：，）
圖5
圖6
【解答】：延長AD、BC交于點E，則。
因為
，CD=8米，所以
CE=2CD=16米
在RtΔABE中，BE=BC+CE=20+16=36米，由得
（米）
答：旗桿AB的高度約為20米。
四．求樹高
例4如圖7，在一個坡角為15"的斜坡上有一棵樹，高為AB．當(dāng)太陽光與水平線成50°時．測得該樹在斜坡上的樹影BC的長為7m,求樹高．(精確到0.1m)
圖7
圖8
【解答】：如圖8，過點C作水平線與AB
的延長線交于點，則，
所以
。
在RtΔCDB中，
，
在RtΔACD中，
所以
（）
答：樹高AB約為6.2。
五.求建筑物高
例5如圖9，兩建筑物的水平距離BC為27米，從點A測得點D的俯角，測得點C的俯角，求AB和CD兩建筑物的高。
圖9
圖10
【解答】：過點A作AM∥BC交CD的延長線于M，由題意知四邊形ABCM是矩形。
因為，所以。
在RtΔABC中，，所以
在RtΔAMD中，，因為，
所以
所以
答：建筑物AB的高為米，CD的高為米。《測量》知識解讀
學(xué)習(xí)了相似三角形的有關(guān)知識，我們可以借助三角形相似測量旗桿的高度，下面從三個不同的方面介紹測量旗桿高度的方法.
方法一：利用陽光下的影子
測量：如圖，身高為a的小明站在旗桿AB的影子的頂端處D處，同時測量小明的影長DE=b，和旗桿AB的影長BD=c.
計算：因為CE//AD，所以∠CED=∠ADB，
因為CD⊥BE，AB⊥BE，
所以∠CDE=∠ABD=90°，
所以△CDE∽△ABD，
所以，即,所以AB=
所以旗桿的高度為.
思路概括：由于太陽離地球非常遠(yuǎn)，而且太陽的體積比地球大得多，所以可以把太陽光線近似看成平行線.借助太陽光下的影子測量旗桿的高度，基本思路是利用太陽光是平行光線以及人，旗桿與地面垂直構(gòu)造相似三角形，通過相似三角形對應(yīng)邊成比例列出關(guān)系式求解.
方法二：利用標(biāo)桿
測量：如圖，小華的眼睛到地面的高度CD=m，標(biāo)桿GF的高度為n，小明與標(biāo)桿的水平距離DF=a，旗桿與標(biāo)桿的水平距離BF=b.
計算：作CE⊥AB于E，交GF于H，
因為GF⊥BD，AB⊥BD，所以GH//AE，
所以∠GHC=∠AEC，
因為∠GCH=∠ACE，所以△CGH∽△CAE，
所以，
因為CH=DF=a，GH=GF－HF=GF－CD=n－m，BD=DF+BF=a+b，
所以，
所以AE=，所以AB=AE+BE=+m.
所以旗桿的高度為+m.
思路概括：借助標(biāo)桿測量旗桿的高度，思路是從人眼所在的部位向旗桿作垂線，根據(jù)人，標(biāo)桿，旗桿與地面垂直構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形對邊成比例列式計算.
方法三：利用鏡子的反射
測量：測量小亮的眼睛與地面的距離CD=a，測量小亮的腳部與鏡面的距離DE=b，旗桿的低端B與鏡子的距離BE=c.
計算：因為CD⊥BD，AB⊥BD，
所以∠CDE=∠ABE=90°，
根據(jù)入射角等于反射角可得∠CED=∠AEB，
所以△CDE∽△ABE，
所以，所以，所以AB=，所以旗桿的高度為.
思路概括：利用鏡子反射測量旗桿的高度，思路是根據(jù)入射角等于反射角，人、旗桿與地面垂直，構(gòu)造相似三角形，根據(jù)對應(yīng)邊成比例列出算式.

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