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依米書院學科教師輔導講義
全等三角形的判定
一．全等三角形的判定方法：
邊角邊定理（SAS）：兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等．
角邊角定理（ASA）：兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等．
邊邊邊定理（SSS）：三邊對應相等的兩個三角形全等．
角角邊定理（AAS）：兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等．
斜邊、直角邊定理(HL)：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等．
二．全等三角形的應用：
1．運用三角形全等可以證明線段相等、角相等、兩直線垂直等問題，在證明的過程中，注意有時會添加輔助線；
2．能通過判定兩個三角形全等進而證明兩條線段間的位置關系和大小關系．而證明兩條線段或兩個角的和、差、倍、分相等是幾何證明的基礎．
題模一：SSS
例2.1.1如圖，，，，求證：．
【答案】見解析
【解析】由SSS可得．
題模二：SAS
例2.2.1已知：如圖，E為BC上一點，AC∥BD，，．
求證：
【答案】見解析
【解析】證明：∵AC∥BD，∴
在△ACB和△EBD中：
，∴△CBM≌△DBM（SAS），∴．
例2.2.2如圖，已知△ABC中，厘米，，厘米，點D為AB的中點．如果點P在線段BC上以4厘米/秒的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上由C點向A點運動．當點Q的運動速度為____________厘米/秒時，能夠在某一時刻使△BPD與△CQP全等
【答案】4，6
【解析】該題考查的是動點與全等三角形綜合．
設經過x秒后，使△BPD與△CQP全等，
∵，
∴要使△BPD與△CQP全等，只能或BP=CP，
∵，點D為AB的中點，
∴，
故，
或
時，，；
時，，；
即點Q的運動速度是4厘米/秒或6厘米/秒．
題模三：ASA
例2.3.1已知：如圖，C是線段AB的中點，，．
求證：．
【答案】見解析
【解析】該題考查三角形的全等．
∵C是線段AB的中點，
∴．
∵，
∴，
在△ADC和△BEC中，
，
∴△ADC≌△BEC（ASA）．
∴．
題模四：AAS
例2.4.1如圖，于點D，于點E，AD與BE相交于點F，且．
求證：．
【答案】見解析
【解析】該題考查的是三角形的綜合．
證明：∵于D，于E，
∴
在Rt△和Rt△中，,
∴………………………………
1分
在△和△中，
．…………………………
3分
∴△≌△．……………………
4分
∴．……………………
5分
題模五：HL
例2.5.1如圖，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC與BD交于O，AC=BD．求證：△ABC≌△BAD．
【答案】見解析
【解析】證明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠C=∠D=90，
在Rt△ACB和Rt△BDA中，
，
∴△ACB≌△BDA（HL）．
隨練2.1已知：如圖，在四邊形中，，，求證：．
【答案】見解析
【解析】連接，由SSS定理證明，從而得到．
隨練2.2如圖，C為線段AB上一點，AD∥EB，AC=BE，AD=BC．求證：△ACD≌△BEC．
【答案】見解析
【解析】證明：∵AD∥BE，∴∠A=∠B．
在△ACD和△BEC中
，
∴△ACD≌△BEC（SAS）．
隨練2.3如圖，已知，，，．
求證：（1）；（2）
【答案】見解析
【解析】（1）∵，，
∴，∴，即．
在△EAC和△BAF中，
∵，∴△EAC≌△BAF，
∴．
（2）由（1）知，△EAC≌△BAF，∴．
在△AFC中，∵，∴，
∴，∴，∴
隨練2.4已知：如圖，AC=EC，E、A、D在同一條直線上，∠1=∠2=∠3．試說明：△ABC≌△EDC．
【答案】見解析
【解析】證明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠ACD=∠2+∠ACD，∴∠ACB=∠ECD，
∵∠1=∠3，∠4=∠5，∴∠B=∠D，
在△ABC和△CDE中，，
∴△ABC≌△EDC（AAS）．
隨練2.5如圖，在△ABC中，AC=BC，直線l經過頂點C，過A，B兩點分別作l的垂線AE，BF，E，F為垂足．AE=CF，求證：∠ACB=90°．
【答案】見解析
【解析】證明：如圖，在Rt△ACE和Rt△CBF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△CBF（HL），
∴∠EAC=∠BCF，
∵∠EAC+∠ACE=90°，
∴∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠ACB=180°﹣90°=90°．
隨練2.6如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于點E．AD⊥CE于點D．
求證：△BEC≌△CDA．
【答案】見解析
【解析】本題考查了全等三角形的判定定理，本題根據AAS證明兩三角形全等，難度適中．
根據垂直的定義以及等量代換可知∠CBE=∠ACD，根據已知條件∠BEC=∠CDA，∠CBE=∠ACD，BC=AC，根據全等三角形的判定AAS即可證明△BEC≌△CDA．
證明：∵BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，
∴∠BEC=∠CDA=90°，
在Rt△BEC中，∠BCE+∠CBE=90°，
在Rt△BCA中，∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠CBE=∠ACD，
在△BEC和△CDA中，∠BEC=∠CDA，∠CBE=∠ACD，BC=AC，
∴△BEC≌△CDA．
作業1如圖，在四邊形中，，，求證：．
【答案】見解析
【解析】連接，由SSS證明，得到，，則．
作業2已知：如圖，AB，CD交于點O，E，F為AB上兩點，OA=OB，OE=OF，∠A=∠B，∠ACE=∠BDF．求證：△ACE≌△BDF．
【答案】見解析
【解析】證明：∵OA=OB，OE=OF，∴OA﹣OE=OB﹣OF，∴AE=BF，
在△AEC和△BFD中，
∴△ACE≌△BDF（AAS）．
作業3已知：D是AC上一點，，，
求證：．
【答案】見解析
【解析】∵DE//AB，∴.
在△和△中，
∴△≌△
∴
作業4如圖，點M、N分別是正五邊形ABCDE的邊BC、CD上的點，且BM=CN，AM交BN于點P．
（1）求證：△ABM≌△BCN；
（2）求∠APN的度數．
【答案】（1）見解析；（2）108°
【解析】（1）證明：∵正五邊形ABCDE，∴AB=BC，∠ABM=∠C，
∴在△ABM和△BCN中
，∴△ABM≌△BCN（SAS）；
（2）∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM=∠CBN，
∵∠BAM+∠ABP=∠APN，∴∠CBN+∠ABP=∠APN=∠ABC==108°．
即∠APN的度數為108°．
作業5如圖，四邊形ABCD中，E點在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求證：△ABC與△DEC全等．
【答案】證明見解析
【解析】∵∠BCE=∠ACD=90°，∴∠3+∠4=∠4+∠5，∴∠3=∠5，
在△ACD中，∠ACD=90°，∴∠2+∠D=90°，
∵∠BAE=∠1+∠2=90°，∴∠1=∠D，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（AAS）．
作業6已知：△ABC中，BD、CE分別是AC、AB邊上的高，BQ=AC，點F在CE的延長線上，CF=AB，求證：AF⊥AQ．
【答案】見解析
【解析】證明：∵BD、CE分別是AC、AB邊上的高，∴∠ADB=90°，∠AEC=90°，
∴∠ABQ+∠BAD=90°，∠BAC+∠ACE=90°，∴∠ABD=∠ACE，
在△ABQ和△ACF中，
∴△ABQ≌△ACF（SAS），∴∠F=∠BAQ，
∵∠F+∠FAE=90°，∴∠BAQ+∠FAE═90°，
∴AF⊥AQ．
作業7如圖已知：，，，試判斷直線AD、BC的位置關系并加以證明．
【答案】垂直
【解析】該題考查的是三角形全等．
連接AD，BC，交于O，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴，
在△ABO和△ACO中，
，
∴△ABO≌△ACO（SAS），
∴，
∴．
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