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依米書院學(xué)科教師輔導(dǎo)講義
直角三角形
一．直角三角形全等的判定
直角三角形的判定定理：
如果兩個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)直角三角形全等（簡稱為）．
二．直角三角形的性質(zhì)
定理1：直角三角形的兩個(gè)銳角互余．
定理2：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．
推論1：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．
推論2：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角等于．
題模一：直角三角形的性質(zhì)
例1.1.1如圖，中，，，平分，則的度數(shù)為（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】中，，，．平分，
，．
例1.1.2如圖，在中，，，為上一點(diǎn)，過作，垂足為，連接，若，則的長為________．
【答案】．
【解析】在中，，，垂足為，，，中，，
，中，，
，
中，，
．
例1.1.3已知：如圖，在中，是邊上的高，，，是邊上的中線．
（1）；
（2）若，求證：．
【答案】見解析
【解析】證明：（1）是邊上的高，，，
，是等腰直角三角形，，．
（2）連接，如圖所示：是邊上的中線，，是斜邊上的中線，，，，，．
題模二：直角三角形全等的判定
例1.2.1已知：如圖所示，在中，，，．
求證：是等腰三角形．
【答案】見解析
【解析】證明：，，和都是直角三角形．
在與中，
得
，即是等腰三角形．
隨練1.1如圖，在中，，，分別過點(diǎn)，作過點(diǎn)的直線的垂線，，若，，則______．
【答案】
【解析】在中，，
，
，
．
隨練1.2如圖，是的平分線上的一點(diǎn)，，垂足為，交于點(diǎn)，若，，則_______．
【答案】4
【解析】如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，是的平分線，，，
，
．
隨練1.3如圖：，，過點(diǎn)，于，于，．求證：．
【答案】見解析
【解析】證明：連接
，，，
，，，在和中，
．
等腰三角形
等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊和腰的夾角叫做底角．
等腰三角形的性質(zhì)：
1．等腰三角形的兩個(gè)底角相等，兩條腰相等．
2．等腰三角形的三線合一：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．
證明：是等腰三角形，，作底邊的高，
由等腰三角形是軸對稱圖形，底邊上的高是的對稱軸可知，
對稱軸左右兩邊的三角形完全相等，即，得，．
等腰三角形三線合一及其逆定理：一個(gè)三角形如果一條邊上的中線，高線以及這條邊所對角的平分線有兩條互相重合，則這個(gè)三角形是等腰三角形．
等腰三角形的判定：
1．如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么著兩個(gè)角所對的邊也相等
補(bǔ)充：1．如果三角形一個(gè)外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個(gè)三角形是等腰三角形（需要證明）
題模一：等邊對等角
例2.1.1如圖，在中，，為斜邊上的兩個(gè)點(diǎn)，且，，則的大小為____________．
【答案】
【解析】設(shè)一個(gè)角度為，即可導(dǎo)出的度數(shù)．
例2.1.2如圖所示，已知O是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，OB=OC=OD，∠BCD=∠BAD=75°，則∠ADO+∠ABO=____度．
【答案】135
【解析】用的知識(shí)點(diǎn)為：等邊對等角；四邊形的內(nèi)角和為360°．
由線段相等可得相應(yīng)的角相等，那么可得∠CDO=∠DCO，∠OCB=∠OBC，可得這四個(gè)角的和；根據(jù)四邊形ABCD的內(nèi)角和為360°減去已知角的度數(shù)即為所求的度數(shù)．
∵OB=OC=OD，
∴∠CDO=∠DCO，∠OCB=∠OBC，
∵∠DCO+∠BCO=75°，
∴∠CDO+∠DCO+∠OCB+∠OBC=150°，
∴∠ADO+∠ABO=360°-∠BAD-（∠CDO+∠DCO+∠OCB+∠OBC）=135°．
題模二：等角對等邊
例2.2.1已知：如圖，平分，．求證：是等腰三角形．
【答案】見解析
【解析】作于，于．
平分，，．
，．，
，，即，
，是等腰三角形．
例2.2.2如圖，在中，，、分別是和的角平分線，且，，則的周長是_______
【答案】5
【解析】∵、分別是和的角平分線，
，．
，，，，
，，，，
∴的周長．
題模三：三線合一
例2.3.1如圖，△ABC中，，，AD是BC邊上的中線，且，則的度數(shù)為（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】該題考查的是三角形的性質(zhì)．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵AD是BC邊上的中線，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故該題答案為B．
題模四：角平分線，平行線，等腰三角形知二推一
例2.4.1如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC的平分線與∠BCD的平分線的交點(diǎn)E恰在AB上．若AD=7cm，BC=8cm，則AB的長度是____cm．
【答案】15
【解析】
∵∠ADC的平分線與∠BCD的平分線的交點(diǎn)E恰在AB上，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵AB∥DC，
∴∠2=∠5，∠3=∠6，
∴∠1=∠5，∠4=∠6，
∴AE=AD，BE=BC，
∵AD=7cm，BC=8cm，
∴AB=AE+BE=AD+BC=7+8=15（cm）．
故答案為：15．
題模五：等腰三角形與全等三角形綜合
隨練2.1如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=36°，則∠1的度數(shù)為（　　）
A．36°
B．60°
C．72°
D．108°
【答案】C
【解析】∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=36°，
∴∠1=∠A+∠ABD=72°
隨練2.2如圖，在△ABC中，，，AD平分，于G，交AB、AC及BC的延長線于E、M、F，則______________．
【答案】
【解析】該題考查的是等腰三角形三線合一．
∵，，AD平分
∴
又∵AD⊥EF即
∴
又∵△CFM的外角
∴
隨練2.3如圖，在△ADC中，AD，BE分別為邊BC，AC上的高，D，E為垂足，M為AB的中點(diǎn)，N為DE的中點(diǎn)，求證：
（1）△MDE是等腰三角形；
（2）MN⊥DE．
【答案】見解析
【解析】（1）如圖，在△ABD中，AD⊥BD，則△ABD是直角三角形，AB是斜邊．
∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，
∴，同理
∴
∴△MDE是等腰三角形；
（2）由（1）知，△MDE是等腰三角形．
∵N是ED的中點(diǎn)，∴MN平分DE，
∴MN⊥DE．
等邊三角形
一．等邊三角形的概念
等邊三角形：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形．等邊三角形是一種特殊的等腰三角形．
二．等邊三角形的性質(zhì)
等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于．
三．等邊三角形的判定
判定1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形．
判定2：有一個(gè)角是的等腰三角形是等邊三角形．
四．直角三角形性質(zhì)定理
在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．
證明：，，延長至使，則有垂直平分，所以，因?yàn)椋允堑冗吶切危裕矗?br/>五．等邊三角形與全等三角形綜合
等邊三角形與全等三角形綜合問題主要分兩種類型：
一是以等邊三角形為載體來考察全等三角形的綜合問題；
二是利用全等三角形的性質(zhì)和判定證明三角形是等邊三角形．
不管是哪種類型都要注意60°角和邊的等量關(guān)系的應(yīng)用，尤其是后面學(xué)習(xí)旋轉(zhuǎn)之后，會(huì)出現(xiàn)一些比較難的等邊三角形和全等三角形結(jié)合的問題．
題模一：等邊三角形的性質(zhì)
例3.1.1如圖，等邊△ABC的周長是9，D是AC邊上的中點(diǎn)，E在BC的延長線上．若DE=DB，則CE的長為____．
【答案】
【解析】該題考查的是
∵△ABC為等邊三角形，D為AC邊上的中點(diǎn)，BD為的平分線，
∴，，
又，
∴，
∴，即，
∴；
∵等邊△ABC的周長為9，
∴，
∴，
即．
例3.1.2在等邊△ABC中，D是邊AC上一點(diǎn)，連接BD，將△BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BAE，連接ED，若BC=5，BD=4．則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　　）
A．AE∥BC
B．∠ADE=∠BDC
C．△BDE是等邊三角形
D．△ADE的周長是9
【答案】B
【解析】本題考查的是圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及等邊三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定，熟知旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等是解答此題的關(guān)鍵．
首先由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∠AED=∠ABC=60°，所以看得AE∥BC，先由△ABC是等邊三角形得出AC=AB=BC=5，根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AE=CD，BD=BE，故可得出AE+AD=AD+CD=AC=5，由∠EBD=60°，BE=BD即可判斷出△BDE是等邊三角形，故DE=BD=4，故△AED的周長=AE+AD+DE=AC+BD=9，問題得解．
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠C=60°，
∵將△BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BAE，
∴∠EAB=∠C=∠ABC=60°，
∴AE∥BC，故選項(xiàng)A正確；
∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=AB=BC=5，
∵△BAE△BCD逆時(shí)針旋旋轉(zhuǎn)60°得出，
∴AE=CD，BD=BE，∠EBD=60°，
∴AE+AD=AD+CD=AC=5，
∵∠EBD=60°，BE=BD，
∴△BDE是等邊三角形，故選項(xiàng)C正確；
∴DE=BD=4，
∴△AED的周長=AE+AD+DE=AC+BD=9，故選項(xiàng)D正確；
而選項(xiàng)B沒有條件證明∠ADE=∠BDC，
∴結(jié)論錯(cuò)誤的是B，
故選：B．
題模二：等邊的判定
例3.2.1如圖所示，AD是的中線，，，把沿直線AD折疊后，點(diǎn)C落在位置，則的長為________.
【答案】4
【解析】本題考察的是等邊三角形．
由題意，，．
，有
一個(gè)角為的等腰三角形為等邊三角形，
．
故本題的答案是4．
例3.2.2已知：如圖，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，，都是等邊三角形，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）求證：為等邊三角形．
【答案】見解析
【解析】（1），是等邊三角形，
，，，
，即．
在和中，，，，
，．
（2），，
又，，
在和中，，，，
，，為等腰三角形，
又，為等邊三角形．
題模三：30°的角直角三角形等于斜邊的一邊
例3.3.1如圖，已知中，，，，則下列關(guān)系式正確的為（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】該題考查的是特殊的直角三角形．
，
∴為等腰三角形，∴，
在中，，
∴
故選B．
例3.3.2如圖，，OP平分，于D，交OA于C.若，則__________，
__________.
【答案】
【解析】該題考查的是角平分線的性質(zhì)定理和含30°直角三角形的性質(zhì)．
∵OP平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
過P作于點(diǎn)E，
∵，OP平分，
∴，
∵，
∴
在中，
∴
題模四：等邊三角形與全等三角形綜合
例3.4.1如圖，是邊長為的等邊三角形，是等腰三角形，且．以為頂點(diǎn)作一個(gè)角，使其兩邊分別交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，則的周長為____
【答案】6
【解析】延長到，連接，使，連接．為等邊三角形，為等腰三角形，且，，，又，，，，，，在和中，，，，，．
例3.4.2已知等邊三角形ABC的邊長為8，P是BC邊上一點(diǎn)，連接AP，若AP=7，則BP的長為__________．
【答案】3或5．
【解析】如圖1所示，
過點(diǎn)A作AD⊥BC，
設(shè)DP=x，
∵△ABC為等邊三角形，AD⊥BC，
∴BD==4，
在Rt△ABD中，
AD2=AB2﹣BD2=82﹣42=48，
在Rt△APD中，
DP2=AP2﹣AD2=72﹣48=1，
∴DP=1，
∴BP=5；
當(dāng)點(diǎn)P在AD的左側(cè)時(shí)，如圖2所示，
同理可得，BP=BD﹣PD=4﹣1=3，
綜上所述，BP的長為3或5，
隨練3.1如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，OP=5cm，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OA和射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，△PMN周長的最小值是5cm，則∠AOB的度數(shù)是（
）
A．25°
B．30°
C．35°
D．40°
【答案】B
【解析】分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)C、D，連接CD，
分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN，如圖所示：
∵點(diǎn)P關(guān)于OA的對稱點(diǎn)為D，關(guān)于OB的對稱點(diǎn)為C，
∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；
∵點(diǎn)P關(guān)于OB的對稱點(diǎn)為C，
∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，
∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，
∵△PMN周長的最小值是5cm，
∴PM+PN+MN=5，
∴DM+CN+MN=5，
即CD=5=OP，
∴OC=OD=CD，
即△OCD是等邊三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠AOB=30°；
隨練3.2如圖，△ABC是等邊三角形，BD平分∠ABC，點(diǎn)E在BC的延長線上，且CE=1，∠E=30°，則BC=___________．
【答案】2．
【解析】∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，BA=BC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠E=30°，BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
∴BC=2DC，
∵∠ACB=∠E+∠CDE，
∴∠CDE=∠E=30°，
∴CD=CE=1，
∴BC=2CD=2．
隨練3.3如圖，已知△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在BC、AC邊上，且AE=CD，AD與BE相交于點(diǎn)F．
（1）求證：△ABE≌△CAD；
（2）求∠BFD的度數(shù)．
【答案】（1）見解析（2）60°
【解析】
（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，
∴∠BAE=∠C=60°，AB=CA，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS）．
（2）∵∠BFD=∠ABE+∠BAD，
又∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD．
∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．
勾股定理的應(yīng)用
一．求線段長
常用的方法有：
1．直接利用勾股定理：已知直角三角形的兩條邊，求另外一條；
2．通過設(shè)未知數(shù)，根據(jù)勾股定理列方程，解方程；
3．通過特殊三角形的比例關(guān)系來計(jì)算（僅限于選擇、填空題中的快速計(jì)算）；
如圖1，；如圖2，
4．面積法：當(dāng)所求的線段為三角形的高時(shí)，利用面積相等可求得對應(yīng)高的長度；
如上圖，，．
5．挖掘題目中的隱含條件，通過全等三角形、等腰三角形等來求線段長；
6．做輔助線：根據(jù)題目中的條件，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，如垂直等進(jìn)而解三角形．
二．勾股定理與最短距離
在立體圖形中，往往會(huì)涉及到求某兩點(diǎn)之間的最短路程問題，這就需要我們畫出立體圖形的展開圖，然后利用“兩點(diǎn)之間線段最短”和“勾股定理”求出最短距離．
三．兩點(diǎn)間距離公式
在平面直角坐標(biāo)系中，任意給定兩點(diǎn)，．過點(diǎn)A、B分別向坐標(biāo)軸作垂線，則，，由勾股定理可得，．（初中階段解答題中不能直接應(yīng)用，如果需要，應(yīng)提前說明“由勾股定理得”）
題模一：求線段長
例4.1.1在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，則點(diǎn)C到AB的距離是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示：
在Rt△ABC中，AC=9，BC=12，
根據(jù)勾股定理得：AB==15，
過C作CD⊥AB，交AB于點(diǎn)D，
又S△
ABC=AC BC=AB CD，
∴CD===，
則點(diǎn)C到AB的距離是．
故選A
例4.1.2如圖．在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜邊AC，交AB于D，E是垂足，連接CD，若BD=1，則AC的長是（　　）
A．2
B．2
C．4
D．4
【答案】A
【解析】∵∠A=30°，∠B=90°，
∴∠ACB=180°﹣30°﹣90°=60°，
∵DE垂直平分斜邊AC，
∴AD=CD，
∴∠A=∠ACD=30°，
∴∠DCB=60°﹣30°=30°，
∵BD=1，
∴CD=2=AD，
∴AB=1+2=3，
在△BCD中，由勾股定理得：CB=，
在△ABC中，由勾股定理得：AC==2，
故選：A．
例4.1.3如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊cm，cm．現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD等于（
）
A．2cm
B．3cm
C．4cm
D．5cm
【答案】B
【解析】該題考查的是勾股定理的計(jì)算．
∵，，，
∴，
∵，∴，
設(shè)，則在Rt△DEB中，
，故，
故選B．
題模二：最短路徑問題
例4.2.1如圖，點(diǎn)A的正方體左側(cè)面的中心，點(diǎn)B是正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，正方體的棱長為2，一螞蟻從點(diǎn)沿其表面爬到點(diǎn)的最短路程是（
）
A．3
B．
C．
D．4
【答案】C
【解析】該題考查最短路徑求解．
將正方體的左側(cè)面與前面展開，構(gòu)成一個(gè)長方形，用勾股定理求出距離即可．
如圖，．故選C．
題模三：兩點(diǎn)之間距離公式
隨練4.1已知一個(gè)直角三角形的兩條直角邊分別為6cm，8cm，那么這個(gè)直角三角形斜邊上的高為　　cm．
【答案】4.8
【解析】∵直角三角形的兩條直角邊分別為6cm，8cm，∴斜邊為=10，設(shè)斜邊上的高為h，則直角三角形的面積為×6×8=×10h，h=4.8cm，這個(gè)直角三角形斜邊上的高為4.8cm．
隨練4.2在Rt△ABC中，∠ACB=90，∠BAC=30°，BC=2，以斜邊AB為一邊，作等邊△ABD，則線段CD的長為__________.
【答案】2或
【解析】本題考察的是解三角形．
如圖，由，知．．
①當(dāng)D與C分居直線AB兩側(cè)時(shí)，，由勾股定理，
．
②若，故在BC的延長線上．那么
隨練4.3如圖所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D，且AB=4，BD=5，則點(diǎn)D到BC的距離是（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【解析】
過D點(diǎn)作DE⊥BC于E．
∵∠A=90°，AB=4，BD=5，
∴AD===3，
∵BD平分∠ABC，∠A=90°，
∴點(diǎn)D到BC的距離=AD=3．
故選A．
隨練4.4在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（-，0），B（，0），點(diǎn)C在坐標(biāo)軸上，且AC+BC=6，寫出滿足條件的所有點(diǎn)C的坐標(biāo)____．
【答案】（0，2），（0，-2），（-3，0），（3，0）
【解析】本題考查了勾股定理、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)．解題時(shí)，要分類討論，以防漏解．另外，當(dāng)點(diǎn)C在y軸上時(shí)，也可以根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式來求點(diǎn)C的坐標(biāo)．
需要分類討論：①當(dāng)點(diǎn)C位于x軸上時(shí)，根據(jù)線段間的和差關(guān)系即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；②當(dāng)點(diǎn)C位于y軸上時(shí)，根據(jù)勾股定理求點(diǎn)C的坐標(biāo)．
如圖，①當(dāng)點(diǎn)C位于y軸上時(shí)，設(shè)C（0，b）．
則+=6，解得，b=2或b=-2，
此時(shí)C（0，2），或C（0，-2）．
如圖，②當(dāng)點(diǎn)C位于x軸上時(shí)，設(shè)C（a，0）．
則|--a|+|a-|=6，即2a=6或-2a=6，
解得a=3或a=-3，
此時(shí)C（-3，0），或C（3，0）．
綜上所述，點(diǎn)C的坐標(biāo)是：（0，2），（0，-2），（-3，0），（3，0）．
故答案是：（0，2），（0，-2），（-3，0），（3，0）．
作業(yè)1如圖，，于，于，且，點(diǎn)從向運(yùn)動(dòng)，每分鐘走，點(diǎn)從向運(yùn)動(dòng)，每分鐘走，、兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)_______分鐘后與全等．
【答案】4
【解析】于，于，，設(shè)運(yùn)動(dòng)分鐘后與全等；
則，，則，分兩種情況：
①若，則，，，，；
②若，則，解得：，，此時(shí)與不全等；
綜上所述：運(yùn)動(dòng)分鐘后與全等．
作業(yè)2已知：如圖，在中，，垂足為點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)，為邊邊的中點(diǎn)，連接、、．
（1）求證：為等腰三角形；
（2）若，求的度數(shù)．
【答案】（1）見解析（2）
【解析】（1）證明：為邊的中點(diǎn)，，，．為等腰三角形；
（2），
，同理可得：
．
作業(yè)3如圖，將△ABC放在正方形網(wǎng)格圖中（圖中每個(gè)小正方形的邊長均為1），點(diǎn)A，B，C恰好在網(wǎng)格圖中的格點(diǎn)上，那么△ABC中BC的高是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】該題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)．
根據(jù)圖形可得：，，
故△ABC為等腰直角三角形，，
故BC邊上的高等于斜邊BC的一半，
故．
故選A．
作業(yè)4如圖，D為外一點(diǎn)，，BD平分的一個(gè)外角，，若，，則BD的長為（
）
A．1
B．1.5
C．2
D．3
【答案】D
【解析】本題考查勾股定理及等腰三角形的判定與性質(zhì)．
如圖，設(shè)CB與AD延長線交于E點(diǎn)．
∵，
∴．
又∵BD平分∠ABE，BD⊥AD，
∴，
∴，
∴，
∴在RT△ABD中，由勾股定理得到．
作業(yè)5如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的邊長分別是3，5，2，3，則最大正方形E的面積是（　　）
A．13
B．26
C．47
D．94
【答案】C
【解析】
根據(jù)勾股定理的幾何意義，可得A、B的面積和為S1，C、D的面積和為S2，S1+S2=S3，于是S3=S1+S2，
即S3=9+25+4+9=47．
故選C．
作業(yè)6如圖，在四邊形ABCD中，∠A=120°，∠C=60°，AB=2，AD=DC=4，則BC邊的長為　　　　　　．
【答案】6
【解析】連結(jié)BD，作DM⊥AB于M，DN⊥BC于N，
∵∠BAD=120°，
∴∠MAD=180°﹣120°=60°，
∵AD=4，
∴AM=2，DM=2，
∵∠C=60°，
∴DN=2，NC=2，
在Rt△BDM與Rt△BDN中，
，
∴Rt△BDM≌Rt△BDN（HL），
∴BN=BM=2+2=4，
∴BC=BN+NC=6．
故答案為：6．
作業(yè)7如圖，長方體的高cm，一只小螞蟻從A點(diǎn)爬到BC上某一點(diǎn)P，再爬到D點(diǎn)去吃糖，如果小螞蟻?zhàn)叩淖疃搪烦淌?3cm，則____cm
【答案】12
【解析】如圖展開，連接AD交BC于P，此時(shí)小螞蟻?zhàn)叩穆烦套疃蹋?br/>cm，cm，，
在Rt△AED中，由勾股定理得：，
即cm，
作業(yè)8如圖，已知：△ABC中，，D是BC上一點(diǎn)，且，，求∠BAC的度數(shù)．
【答案】
【解析】題中所要求的∠BAC在△ABC中，但僅靠是無法求出來的．因此需要考慮和在題目中的作用．此時(shí)圖形中三個(gè)等腰三角形，構(gòu)成了內(nèi)外角的關(guān)系．因此可利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)外角關(guān)系定理來求．
因?yàn)椋?br/>因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)椋裕ǖ冗厡Φ冉牵?br/>而
所以
所以
又因?yàn)?br/>即，所以
即求得
作業(yè)9如圖，在等邊中，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上，且，BE與AD相交于點(diǎn)P，于點(diǎn)Q.
（1）求證：；
（2）請問PQ與BP有何關(guān)系？并說明理由.
【答案】（1）見解析（2）
【解析】該題考查全等三角形的判定與性質(zhì)．
∵△ABC為等邊三角形．
∴,,
在△BAE和△ACD中：
∴△BAE≌△ACD
（2）
∵△BAE≌△ACD
∴
∵是△ABP的外角，
∴，
∴
∵，
∴
∴
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