資源簡介

依米書院學科教師輔導講義
直角三角形
一．直角三角形全等的判定
直角三角形的判定定理：
如果兩個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應相等，那么這兩個直角三角形全等（簡稱為）．
二．直角三角形的性質
定理1：直角三角形的兩個銳角互余．
定理2：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．
推論1：在直角三角形中，如果一個銳角等于，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．
推論2：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角等于．
題模一：直角三角形的性質
例1.1.1如圖，中，，，平分，則的度數為（
）
A．
B．
C．
D．
例1.1.2如圖，在中，，，為上一點，過作，垂足為，連接，若，則的長為________．
例1.1.3已知：如圖，在中，是邊上的高，，，是邊上的中線．
（1）；
（2）若，求證：．
題模二：直角三角形全等的判定
例1.2.1已知：如圖所示，在中，，，．
求證：是等腰三角形．
隨練1.1如圖，在中，，，分別過點，作過點的直線的垂線，，若，，則______．
隨練1.2如圖，是的平分線上的一點，，垂足為，交于點，若，，則_______．
隨練1.3如圖：，，過點，于，于，．求證：．
等腰三角形
等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊和腰的夾角叫做底角．
等腰三角形的性質：
1．等腰三角形的兩個底角相等，兩條腰相等．
2．等腰三角形的三線合一：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．
證明：是等腰三角形，，作底邊的高，
由等腰三角形是軸對稱圖形，底邊上的高是的對稱軸可知，
對稱軸左右兩邊的三角形完全相等，即，得，．
等腰三角形三線合一及其逆定理：一個三角形如果一條邊上的中線，高線以及這條邊所對角的平分線有兩條互相重合，則這個三角形是等腰三角形．
等腰三角形的判定：
1．如果一個三角形有兩個角相等，那么著兩個角所對的邊也相等
補充：1．如果三角形一個外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個三角形是等腰三角形
題模一：等邊對等角
例2.1.1如圖，在中，，為斜邊上的兩個點，且，，則的大小為____________．
例2.1.2如圖所示，已知O是四邊形ABCD內一點，OB=OC=OD，∠BCD=∠BAD=75°，則∠ADO+∠ABO=____度．
題模二：等角對等邊
例2.2.1已知：如圖，平分，．求證：是等腰三角形．
例2.2.2如圖，在中，，、分別是和的角平分線，且，，則的周長是_______
題模三：三線合一
例2.3.1如圖，△ABC中，，，AD是BC邊上的中線，且，則的度數為（
）
A．
B．
C．
D．
題模四：角平分線，平行線，等腰三角形知二推一
例2.4.1如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC的平分線與∠BCD的平分線的交點E恰在AB上．若AD=7cm，BC=8cm，則AB的長度是____cm．
題模五：等腰三角形與全等三角形綜合
隨練2.1如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=36°，則∠1的度數為（　　）
A．36°
B．60°
C．72°
D．108°
隨練2.2如圖，在△ABC中，，，AD平分，于G，交AB、AC及BC的延長線于E、M、F，則______________．
隨練2.3如圖，在△ADC中，AD，BE分別為邊BC，AC上的高，D，E為垂足，M為AB的中點，N為DE的中點，求證：
（1）△MDE是等腰三角形；
（2）MN⊥DE．
等邊三角形
一．等邊三角形的概念
等邊三角形：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形．等邊三角形是一種特殊的等腰三角形．
二．等邊三角形的性質
等邊三角形的三個內角都相等，并且每一個角都等于．
三．等邊三角形的判定
判定1：三個角都相等的三角形是等邊三角形．
判定2：有一個角是的等腰三角形是等邊三角形．
四．直角三角形性質定理
在直角三角形中，如果一個銳角等于，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．
證明：，，延長至使，則有垂直平分，所以，因為，所以是等邊三角形，所以，即．
五．等邊三角形與全等三角形綜合
等邊三角形與全等三角形綜合問題主要分兩種類型：
一是以等邊三角形為載體來考察全等三角形的綜合問題；
二是利用全等三角形的性質和判定證明三角形是等邊三角形．
不管是哪種類型都要注意60°角和邊的等量關系的應用，尤其是后面學習旋轉之后，會出現一些比較難的等邊三角形和全等三角形結合的問題．
題模一：等邊三角形的性質
例3.1.1如圖，等邊△ABC的周長是9，D是AC邊上的中點，E在BC的延長線上．若DE=DB，則CE的長為____．
例3.1.2在等邊△ABC中，D是邊AC上一點，連接BD，將△BCD繞點B逆時針旋轉60°，得到△BAE，連接ED，若BC=5，BD=4．則下列結論錯誤的是（　　）
A．AE∥BC
B．∠ADE=∠BDC
C．△BDE是等邊三角形
D．△ADE的周長是9
題模二：等邊的判定
例3.2.1如圖所示，AD是的中線，，，把沿直線AD折疊后，點C落在位置，則的長為________.
例3.2.2已知：如圖，點為線段上一點，，都是等邊三角形，交于點，交于點．
（1）求證：；
（2）求證：為等邊三角形．
題模三：30°的角直角三角形等于斜邊的一邊
例3.3.1如圖，已知中，，，，則下列關系式正確的為（
）
A．
B．
C．
D．
例3.3.2如圖，，OP平分，于D，交OA于C.若，則__________，
__________.
題模四：等邊三角形與全等三角形綜合
例3.4.1如圖，是邊長為的等邊三角形，是等腰三角形，且．以為頂點作一個角，使其兩邊分別交于點，交于點，連接，則的周長為____
例3.4.2已知等邊三角形ABC的邊長為8，P是BC邊上一點，連接AP，若AP=7，則BP的長為__________．
隨練3.1如圖，點P是∠AOB內任意一點，OP=5cm，點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點，△PMN周長的最小值是5cm，則∠AOB的度數是（
）
A．25°
B．30°
C．35°
D．40°
隨練3.2如圖，△ABC是等邊三角形，BD平分∠ABC，點E在BC的延長線上，且CE=1，∠E=30°，則BC=___________．
隨練3.3如圖，已知△ABC為等邊三角形，點D、E分別在BC、AC邊上，且AE=CD，AD與BE相交于點F．
（1）求證：△ABE≌△CAD；
（2）求∠BFD的度數．
勾股定理的應用
一．求線段長
常用的方法有：
1．直接利用勾股定理：已知直角三角形的兩條邊，求另外一條；
2．通過設未知數，根據勾股定理列方程，解方程；
3．通過特殊三角形的比例關系來計算（僅限于選擇、填空題中的快速計算）；
如圖1，；如圖2，
4．面積法：當所求的線段為三角形的高時，利用面積相等可求得對應高的長度；
如上圖，，．
5．挖掘題目中的隱含條件，通過全等三角形、等腰三角形等來求線段長；
6．做輔助線：根據題目中的條件，添加適當的輔助線，如垂直等進而解三角形．
二．勾股定理與最短距離
在立體圖形中，往往會涉及到求某兩點之間的最短路程問題，這就需要我們畫出立體圖形的展開圖，然后利用“兩點之間線段最短”和“勾股定理”求出最短距離．
三．兩點間距離公式
在平面直角坐標系中，任意給定兩點，．過點A、B分別向坐標軸作垂線，則，，由勾股定理可得，．（初中階段解答題中不能直接應用，如果需要，應提前說明“由勾股定理得”）
題模一：求線段長
例4.1.1在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，則點C到AB的距離是（　　）
A．
B．
C．
D．
例4.1.2如圖．在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜邊AC，交AB于D，E是垂足，連接CD，若BD=1，則AC的長是（　　）
A．2
B．2
C．4
D．4
例4.1.3如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊cm，cm．現將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD等于（
）
A．2cm
B．3cm
C．4cm
D．5cm
題模二：最短路徑問題
例4.2.1如圖，點A的正方體左側面的中心，點B是正方體的一個頂點，正方體的棱長為2，一螞蟻從點沿其表面爬到點的最短路程是（
）
A．3
B．
C．
D．4
隨練4.1已知一個直角三角形的兩條直角邊分別為6cm，8cm，那么這個直角三角形斜邊上的高為　　cm．
隨練4.2在Rt△ABC中，∠ACB=90，∠BAC=30°，BC=2，以斜邊AB為一邊，作等邊△ABD，則線段CD的長為__________.
隨練4.3如圖所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于點D，且AB=4，BD=5，則點D到BC的距離是（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
隨練4.4在平面直角坐標系中，已知點A（-，0），B（，0），點C在坐標軸上，且AC+BC=6，寫出滿足條件的所有點C的坐標____．
作業1如圖，，于，于，且，點從向運動，每分鐘走，點從向運動，每分鐘走，、兩點同時出發，運動_______分鐘后與全等．
作業2已知：如圖，在中，，垂足為點，，垂足為點，為邊邊的中點，連接、、．
（1）求證：為等腰三角形；
（2）若，求的度數．
作業3如圖，將△ABC放在正方形網格圖中（圖中每個小正方形的邊長均為1），點A，B，C恰好在網格圖中的格點上，那么△ABC中BC的高是（
）
A．
B．
C．
D．
作業4如圖，D為外一點，，BD平分的一個外角，，若，，則BD的長為（
）
A．1
B．1.5
C．2
D．3
作業5如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的邊長分別是3，5，2，3，則最大正方形E的面積是（　　）
A．13
B．26
C．47
D．94
作業6如圖，在四邊形ABCD中，∠A=120°，∠C=60°，AB=2，AD=DC=4，則BC邊的長為　　　　　　．
作業7如圖，長方體的高cm，一只小螞蟻從A點爬到BC上某一點P，再爬到D點去吃糖，如果小螞蟻走的最短路程是13cm，則____cm
作業8如圖，已知：△ABC中，，D是BC上一點，且，，求∠BAC的度數．
作業9如圖，在等邊中，點D、E分別在邊BC、AC上，且，BE與AD相交于點P，于點Q.
（1）求證：；
（2）請問PQ與BP有何關系？并說明理由.
知識精講
題模精講
隨堂練習
知識精講
題模精講
A
B
C
D
E
隨堂練習
M
知識精講
題模精講
A
C
D
B
隨堂練習
知識精講
題模精講
隨堂練習
自我總結
課后作業
A
B
C
D
A
B
P
E
Q
D
C

展開更多......

收起↑