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依米書院學科教師輔導講義
全等三角形輔助線的作法
一．中點類輔助線作法
見到中線(中點)，我們可以聯想的內容無非是倍長中線或者是與中點有關的一條線段，尤其是在涉及線段的等量關系時，倍長中線的應用更是較為常見，常見添加方法如下圖（
是底邊的中線)．
二．角平分線類輔助線作法
有下列三種作輔助線的方式：
1．由角平分線上的一點向角的兩邊作垂線；
2．過角平分線上的一點作角平分線的垂線，從而形成等腰三角形；
3．，這種對稱的圖形應用得也較為普遍．
三．截長補短類輔助線作法
截長補短法，是初中數學幾何題中一種輔助線的添加方法，也是把幾何題化難為易的一種思想．所謂“截長”，就是將三者中最長的那條線段一分為二，使其中的一條線段等于已知的兩條較短線段中的一條，然后證明其中的另一段與已知的另一條線段相等；所謂“補短”，就是將一個已知的較短的線段延長至與另一個已知的較短的長度相等，然后求出延長后的線段與最長的已知線段的關系．有的是采取截長補短后，使之構成某種特定的三角形進行求解．
題模一：角平分線類
例2.1.1如圖，，平分，平分，點在上．
①探討線段、和之間的等量關系．
②探討線段與之間的位置關系．
【答案】見解析
【解析】①；②．證明如下：
在線段上取點，使，連結．
在和中
∴
∴，
∵
而
∴
在和中
∴
∴，
∴，
例2.1.2如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，若AD=2DC，請你判斷∠A與∠DBC之間的數量關系并證明你的結論
【答案】見解析
【解析】該題考查的是三角形的性質．
如圖，過點D作于E．
∵BD平分，
∴，
∵，，
∴，
在△CBD和△EBD中，
，
∴△CBD≌△EBD（AAS），
∴，
∵，
∴在Rt△ADE中，，
∴，
∴在Rt△ABC中，
，
∵，
∴，
∴．
例2.1.3如圖，已知，，BD為∠ABC的平分線，CE⊥BE，求證：．
【答案】見解析
【解析】延長CE，交BA的延長線于點F．
∵BD為∠ABC的平分線，CE⊥BE，
∴△BEF≌△BEC，∴，．
∵，CE⊥BE，∴，
又∵，∴△ABD≌△ACF，∴．∴．
題模二：中點類
例2.2.1已知：△ABC中，AD是BC邊上的中線，，，試求AD的取值范圍．
【答案】
【解析】該題考查了三角形三邊關系和三角形的全等．
延長AD至E，使得，連結CE
在△ABD和△ECD中
∴△ABD≌△ECD（SAS）
∴
∴AE的取值范圍為
例2.2.2如圖所示，在中，，延長到，使，為的中點，連接、，求證：．
【答案】見解析
【解析】解法一：如圖所示，延長到，使，連接BF．
容易證明，從而，而，故．
注意到，
，
故，而公用，故，
因此．
解法二：如圖所示，取的中點，連接．
因為是的中點，是的中點，
故是的中位線，從而，
由可得，故，
從而，．
例2.2.3如圖，在四邊形ABCD中，，，BD平分∠ABC，求證：．
【答案】見解析
【解析】延長BA至F，使，連FD
△BDF≌△BDC（SAS），故，
又，故在等腰△BFD中，
故有
題模三：截長補短類
例2.3.1如圖所示，是邊長為的正三角形，是頂角為的等腰三角形，以為頂點作一個的，點、分別在、上，求的周長．
【答案】見解析
【解析】如圖所示，延長到使．
在與中，因為，，，
所以，故．
因為，，所以．
又因為，所以．
在與中，，，，
所以，則，所以的周長為．
例2.3.2閱讀下列材料：
如圖1，在四邊形ABCD中，已知∠ACB=∠BAD=105°，∠ABC=∠ADC=45°.求證：CD=AB.
小剛是這樣思考的：由已知可得，∠CAB=30°，∠DAC=75°，∠DCA=60°，∠ACB+∠DAC=180°，由求證及特殊角度數可聯想到構造特殊三角形.即過點A作AE⊥AB交BC的延長線于點E，則AB=AE，∠E=∠D.
在△ADC與△CEA中，
∵
∴△ADC≌△CEA，
得CD=AE=AB.
請你參考小剛同學思考問題的方法，解決下面問題：
如圖2，在四邊形ABCD中，若∠ACB+∠CAD=180°，∠B=∠D，請問：CD與AB是否相等？若相等，請你給出證明；若不相等，請說明理由.
【答案】見解析
【解析】該題考查的是全等三角形的判定與性質．
CD與AB相等．
證明如下：
作交BC的延長線于點E，
∴
∵
∴，
∵，，
∴，
∵在△DAC和△ECA中
∴△DAC≌△ECA
∴
∴.
例2.3.3如圖，在中，，是的平分線，且，求的度數．
【答案】見解析
【解析】法一：如圖所示，延長至使，連接、．
由知，
而，則為等邊三角形．
注意到，，，
故．
從而有，，
故．
所以，．
法二：在上取點，使得，則由題意可知.
在和中，，，，
則，從而，
進而有，，
.
注意到，則：
，
故.
隨練2.1已知：如圖，在△ABC中，，，BE⊥AE．求證：．
【答案】見解析
【解析】延長BE交AC于M，
∵BE⊥AE，∴
在△ABE中，∵，
∴
同理，
∵，∴，∴
∵BE⊥AE，∴，
∴，
∵∠4是△BCM的外角，∴
∵，∴
∴，∴
∴，∴
隨練2.2如圖所示，已知中，平分，、分別在、上．，．求證：∥．
【答案】見解析
【解析】延長到，使，連結，利用證明≌，
∴，．
又，∴，
∴，∴，
∵平分，∴，
∴，∴∥．
隨練2.3已知中，，、分別平分和，、交于點，試判斷、、的數量關系，并加以證明．
【答案】見解析
【解析】，
理由是：在上截取，連結，
利用證得≌，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，
∴，
∵，∴，∴，
利用證得≌，∴，
∴．
隨練2.4如圖，在△ABC中，，，P、Q分別在BC、CA上，并且AP、BQ分別是∠BAC、∠ABC的角平分線．求證：
（1）；
（2）．
【答案】見解析
【解析】該題考察的是全等三角形．
（1）∵BQ是的角平分線，
∴．
∵，且，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）延長AB至M，使得，連結MP．
∴，
∵△ABC中，，
∴，
∵BQ平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵AP平分，
∴，
在△AMP和△ACP中，
∵
∴△AMP≌△ACP，
∴，
∵，，
∴
隨練2.5五邊形ABCDE中，，，，求證：AD平分∠CDE．
【答案】見解析
【解析】延長DE至F，使得，連接AC.
∵，，∴
∵，，∴△ABC≌△AEF．
∴，
∵，∴
∴△ADC≌△ADF，∴
即AD平分∠CDE．
隨練2.6如圖，△ABC中，，AD是BC邊上的高，如果，我們就稱△ABC為“高和三角形”．請你依據這一定義回答問題：
（1）若，，則△ABC____
“高和三角形”（填“是”或“不是”）；
（2）一般地，如果△ABC是“高和三角形”，則與之間的關系是____，并證明你的結論
【答案】（1）是（2）；見解析
【解析】該題考察的是全等三角形．
（1）如圖，Rt△ABC中，，，
在BC上截取，則△ABE為等邊三角形
∴
∵，
∴
∴
∴
∵，且△ABE為等邊三角形
∴
∴
∴是高和三角形．
（2）如上圖，在△ABC中，在DC上截取．
∵
∴
∴
∴
∵AD是BC邊上的高且
∴△ABD≌△AED（SAS）
∴
∴
隨練2.7如圖所示，，是的中點，，，求證．
【答案】見解析
【解析】如圖所示，設交于，要證明，實際上就是證明，而條件不好運用，我們可以倍長中線到，連接交于點，交于點．
容易證明
則，，從而，
而，，故
從而，故
而
故，亦即．
作業1已知：，OM是∠AOB的平分線，將三角板的直角頂點P在射線OM上滑動，兩直角邊分別與OA、OB交于C、D．
（1）PC和PD的數量關系是__________．
（2）請你證明（1）得出的結論．
【答案】見解析
【解析】（1）．
（2）過P分別作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，
∴，
∵OM是∠AOB的平分線，∴，
∵，且，
∴，
∴，∴，
在△CFP和△DEP中
，∴△CFP≌△DEP，∴．
作業2已知：如圖，E是BC的中點，點A在DE上，且．
求證：．
【答案】見解析．
【解析】延長DE到F，使，連接BF，
∵E是BC的中點，∴，
∵在△BEF和△CED中
∴△BEF≌△CED．
∴，．
∵，∴．
∴，
又∵，∴．
作業3如圖，在中，D為BC邊上的中點，AE平分交BC于E，交AC于F，，，求CF的長．
【答案】
【解析】解：延長DF交BA延長線與點G，延長FD到H使得，連接BH．
平分，，
，，
又，，易得，
，，
則，設，則，，
解得，，．
作業4如圖，在△ABC中，，AD平分∠BAC，求證：．
【答案】見解析
【解析】在AB上截取點E，使得．
∵AD平分∠BAC，∴，
∴△ADE≌△ADC（SAS）．∴，．
∵，∴．
∵，∴，∴．
∴．
作業5已知：如圖，△ABC中，，BD平分∠ABC，BC上有動點P．
（1）DP⊥BC時（如圖1），求證：；
（2）DP平分∠BDC時（如圖2），BD、CD、CP三者有何數量關系？
【答案】（1）見解析（2）
【解析】（1）證明：在BP上截取，連接DM，
∵DP⊥BC，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵BD平分∠ABC，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：，
理由是：在BD上截取，連接PM，
∵DP平分∠BDC，
∴，
在△MDP和△CDP中
∴△MDP≌△CDP（SAS），
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
作業6已知等腰，，的平分線交于，則．
【答案】見解析
【解析】如圖，在上截取，連接，
過作，交于，于是，．
又∵，
∴，故．顯然是等腰梯形．
∴，．
∵，
，
∴，∴，
∴，．
又∵，∴．
作業7如圖，在△ABC中，，D是三角形外一點，且，．求證：
【答案】見解析
【解析】延長BD至E，使，連接AE，AD，
∵，，∴，
∵，∴△ABE是等邊三角形，
∴，，
在△ACD和△ADE中，，
∴△ACD≌△ADE（SSS），
∴．
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